彈性力學(xué)第二章 平面問題的基本理論

第二章

平面問題的基本理論要點(diǎn)——建立平面問題的基本方程包括：平衡微分方程；幾何方程；物理方程；變形協(xié)調(diào)方程；邊界條件的描述；方程的求解方法等第2章平面問題的基本理論

2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題2.2平衡微分方程2.3斜面上的應(yīng)力。主應(yīng)力2.4幾何方程。剛體位移2.6物理方程2.7邊界條件2.8圣維南原理2.9按位移求解平面問題2.10按應(yīng)力求解平面問題。相容方程2.11常體力情況下的簡化2.12應(yīng)力函數(shù)。逆解法與半逆解法

2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題

板殼2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題

應(yīng)力符號的意義：第1個下標(biāo)x表示切應(yīng)力所在面的法線方向；第2個下標(biāo)y

表示切應(yīng)力的方向.應(yīng)力正負(fù)號的規(guī)定：正應(yīng)力——拉為正，壓為負(fù)。切應(yīng)力——坐標(biāo)正面上，與坐標(biāo)正向一致時為正；坐標(biāo)負(fù)面上，與坐標(biāo)正向相反時為正。xyzO2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題

2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題

2.1.1平面應(yīng)力問題

（1）幾何特征：

薄板

一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸小得多?！桨迦缧D(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等xyyztba2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題

2.1.1平面應(yīng)力問題

（1）受力特征：

薄板xyyztba外力（體力、面力）和約束，僅平行于板面作用，沿

z

方向不變化。2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題

2.1.1平面應(yīng)力問題

（3）應(yīng)力特征：如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為xy

平面，垂直于中面的任一直線為z軸。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z軸方向不變?？烧J(rèn)為整個薄板的各點(diǎn)都有：xyyztba由剪應(yīng)力互等定理，有2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題

2.1.1平面應(yīng)力問題

結(jié)論：平面應(yīng)力問題只有三個應(yīng)力分量：應(yīng)變分量、位移分量也僅為x、y的函數(shù)，與z無關(guān)。2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題

2.1.2平面應(yīng)變問題

（1）幾何特征：一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸大得多，且沿長度方向幾何形狀和尺寸不變化。

2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題

2.1.2平面應(yīng)變問題

（2）受力特征：

外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿長度z方向不變化。

約束——沿長度z方向不變化。

2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題

2.1.2平面應(yīng)變問題

（3）變形特征：

如圖建立坐標(biāo)系：以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸。

設(shè)z方向為無限長，則沿z方向都不變化，僅為x，y的函數(shù)。任一橫截面均可視為對稱面因為任一橫截面均可視為對稱面，則有所有各點(diǎn)的位移矢量都平行于xy平面?！矫嫖灰茊栴}2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題

2.1.2平面應(yīng)變問題

又有對稱條件知，根據(jù)切應(yīng)力的互等關(guān)系，由于z方向的伸縮被阻止，所以一般不等于零2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題

2.1.2平面應(yīng)變問題

結(jié)論：注：(1)平面應(yīng)變問題中但是，(2)平面應(yīng)變問題中應(yīng)力分量：水壩名稱平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題未知量已知量未知量已知量位移應(yīng)變

應(yīng)力外力體力、面力的作用面平行中面，外力沿板厚均布且只作用于板。體力、面力的作用面平行于xy面，外力沿z軸無變化。形狀

Z向尺寸遠(yuǎn)小于板面尺寸（等厚薄平板）Z向尺寸遠(yuǎn)大于XY平面內(nèi)的尺寸（等截面長柱體）在彈性力學(xué)分析問題，從三個方面考慮：靜力學(xué)方面，幾何學(xué)方面和物理學(xué)方面，分別對應(yīng)平衡微分方程，幾何方程以及物理方程。2.2平衡微分方程首先考慮平面問題的靜力學(xué)方面，根據(jù)平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力分量和體力分量之間的關(guān)系式，也就是平面問題的平衡微分方程。取微元體PABC（P點(diǎn)附近）Z方向取單位長度。設(shè)P點(diǎn)應(yīng)力已知：2.2平衡微分方程oxyCoxyPABC2.2平衡微分方程以x軸為投影軸，建立平衡方程2.2平衡微分方程以微分體中心C并平行與z軸的直線為矩軸，建立力矩的平衡方程2.2平衡微分方程2.3斜面上的應(yīng)力。主應(yīng)力如果已知任一點(diǎn)P處的應(yīng)力分量，就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的、平行于z軸而傾斜于x軸和y軸的任何斜面上的應(yīng)力。切應(yīng)力順時針為正2.3斜面上的應(yīng)力。主應(yīng)力斜面AB的面積為PB的面積為PA的面積為由,可得2.3斜面上的應(yīng)力。主應(yīng)力由,可得將和分別向外法線方向和切應(yīng)力方向投影得：2.3斜面上的應(yīng)力。主應(yīng)力主應(yīng)力——切向應(yīng)力為零的面上的的正應(yīng)力。主應(yīng)力面——切向應(yīng)力為零的面。應(yīng)力主向——切向應(yīng)力為零的面的法向方向。2.3斜面上的應(yīng)力。主應(yīng)力假設(shè)AB是p點(diǎn)的一個應(yīng)力主面2.3斜面上的應(yīng)力。主應(yīng)力從而可求的兩個主應(yīng)力：下面來求出主應(yīng)力的方向，即應(yīng)力主向。2.3斜面上的應(yīng)力。主應(yīng)力2.3斜面上的應(yīng)力。主應(yīng)力2.3斜面上的應(yīng)力。主應(yīng)力，代入上式，得

在與應(yīng)力主向成450的斜面上現(xiàn)在考慮平面問題的幾何學(xué)方面，導(dǎo)出變形分量與位移分量之間的關(guān)系式，也就是平面問題的幾何方程。2.4幾何方程。剛體位移設(shè)P點(diǎn)在x方向的位移分量是u，則A點(diǎn)的位移分量為線段PA的線應(yīng)變是2.4幾何方程。剛體位移設(shè)P點(diǎn)在y方向的位移分量是v，則B點(diǎn)的位移分量為線段PB的線應(yīng)變是2.4幾何方程。剛體位移現(xiàn)在來求PA與PB之間直角的改變，也就是切應(yīng)變該切應(yīng)變是由兩部分組成：一部分x方向的線段PA的夾角；另一部分是y方向的線段PB的夾角。2.4幾何方程。剛體位移首先求PA線段的轉(zhuǎn)角，設(shè)P點(diǎn)在y方向的位移分量是v，則A點(diǎn)在y方向上的位移分量為因此PA的轉(zhuǎn)角為：2.4幾何方程。剛體位移首先求PB線段的轉(zhuǎn)角，設(shè)P點(diǎn)在x方向的位移分量是u，則A點(diǎn)在y方向上的位移分量為因此PB的轉(zhuǎn)角為：2.4幾何方程。剛體位移于是可見，PA與PB之間的直角改變（以減小時為正），也就是切應(yīng)變：2.4幾何方程。剛體位移變形分量與位移分量之間的關(guān)系式，即幾何方程在平面問題中的簡化形式：2.4幾何方程。剛體位移2.6物理方程現(xiàn)在考慮平面問題的物理學(xué)方面，導(dǎo)出形變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系式，也就平面問題的物理方程。在完全彈性的各向同性體內(nèi)，形變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，根據(jù)虎克定律建立如下：2.6平面應(yīng)力問題的物理方程在平面應(yīng)力問題中，

，另外2.6平面應(yīng)變問題的物理方程在平面應(yīng)變問題中，因為物體的所有各點(diǎn)都不沿z方向移動，即

，所以z方向的線段都沒有伸縮，即彈性力學(xué)平面問題的基本方程，包括：2個平衡微分方程，3個幾何方程，3個物理方程。根據(jù)邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。2.7邊界條件位移邊界條件：物體在全部邊界上的位移分量都是已知的，也就是在邊界上，有2.7邊界條件應(yīng)力邊界條件：彈性體在全部邊界上所受的面力都是已知的，也就是在邊界上，有2.7邊界條件在垂直于x軸的邊界上在垂直于y軸的邊界上混合邊界條件：物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件；另一部分邊界則具有已知的面力，因而具有應(yīng)力邊界條件。2.7邊界條件圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計。2.8圣維南原理2.8圣維南原理(1)(5)(2)(3)(4)2.9按位移求解平面問題2.9按位移求解平面問題在彈性力學(xué)里求解問題，有三種基本方法，按位移求解，按應(yīng)力求解和混合求解。按位移求解的步驟：1.以位移分量為基本未知函數(shù)2.由包含位移分量的微分方程和邊界條件求出位移分量3.再用幾何方程求出形變分量4.最后用物理方程求出應(yīng)力分量2.9按位移求解平面問題在彈性力學(xué)里求解問題，有三種基本方法，按位移求解，按應(yīng)力求解和混合求解。按應(yīng)力求解的步驟：1.以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)2.由包含應(yīng)力分量的微分方程和邊界條件求出應(yīng)力分量3.再用物理方程求出形變分量4.最后用幾何方程求出位移分量2.9按位移求解平面問題現(xiàn)在導(dǎo)出按位移求解平面問題時所需用的微分方程和邊界條件：2.9按