2.2空間向量及其運(yùn)算（第1課時(shí)）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

2.2

空間向量及其運(yùn)算第1課時(shí)空間向量的概念及其運(yùn)算第2章空間向量與立體幾何湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊課標(biāo)要求1.理解空間向量的有關(guān)概念.2.掌握數(shù)乘向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算法則.3.理解向量共線定理,并能夠解決實(shí)際問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1空間向量的基本概念1.空間向量的定義:在空間中,把既有

又有

的量稱為空間向量.空間向量a的

稱為a的模,記為

.

2.空間向量及其模的表示方法:大小

方向大小(或長度)|a|3.幾類特殊的向量:零向量長度為0的向量,表示位移的

與

重合(即保持起點(diǎn)不動(dòng)),記作0.規(guī)定0的方向可以是任意的

相等向量方向

,長度

相反向量方向

,長度

的向量

單位向量長度為

的向量

起點(diǎn)

終點(diǎn)相同相等相反相等1過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)空間向量就是空間中的一條有向線段.(

)(2)任意兩個(gè)空間向量可以比較大小.(

)(3)只有零向量的模等于0.(

)2.空間向量的定義及表示方法,與平面向量的定義及表示方法有區(qū)別嗎?××√提示

空間向量與平面向量沒有本質(zhì)區(qū)別,定義及表示方法都一樣.知識(shí)點(diǎn)2空間向量的加減法1.空間向量的加減法:2.空間向量加法的運(yùn)算律.(1)交換律:a+b=

.

(2)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c).b+a名師點(diǎn)睛1.兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則和三角形法則在空間中仍成立.求始點(diǎn)相同的兩個(gè)向量之和時(shí),可考慮用平行四邊形法則,求首尾相接的兩個(gè)向量之和時(shí),可考慮用三角形法則.2.空間向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律:結(jié)合圖(a)可以證明交換律,結(jié)合圖(b)可以證明結(jié)合律.(a)(b)如結(jié)合律證明:3.根據(jù)向量加法的三角形法則,首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.求空間若干向量之和時(shí),可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)兩個(gè)相反向量的和為零向量.(

)(2)平行四邊形法則和三角形法則對任何向量都適用.(

)(3)三個(gè)不共面向量的和等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的體對角線所表示的向量.(

)2.空間兩向量的加減法與平面內(nèi)兩向量的加減法相同嗎?√×√提示

因?yàn)榭臻g中任意兩個(gè)向量均可平移到同一平面內(nèi),所以空間向量與平面向量均可用三角形或平行四邊形法則,是相同的.知識(shí)點(diǎn)3向量與實(shí)數(shù)相乘1.向量a與λa(λ∈R)的關(guān)系:λ的范圍方向關(guān)系模的關(guān)系λ>0方向相同|λa|=|λ||a|λ=0λa=0,其方向是任意的λ<0方向相反這里是涉及同向共線的,還可以有反方向共線的

3.向量共線定理:對于空間任意兩個(gè)向量a,b(a≠0),若b=λa(λ∈R),則b與a

,記作b∥a.

λ是唯一的

共線(或平行)4.空間向量與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律:(1)λ(a+b)=

(對向量加法的分配律).

(2)(λ1+λ2)a=

(對實(shí)數(shù)加法的分配律).

名師點(diǎn)睛當(dāng)兩向量a,b不共線,且λa+μb=0時(shí),則λ=μ=0.λa+λbλ1a+λ2a過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若b=λa(a≠0),則λ=.(

)(2)若a與b共線,則存在唯一實(shí)數(shù)λ,使b=λa成立.(

)(3)若a,b,c為空間的三個(gè)向量,且a∥b,b∥c,則a∥c.(

)×××2.向量共線定理b=λa中為什么規(guī)定a≠0?提示

若a=0,則b=0時(shí)λ不唯一,b≠0時(shí),λ不存在.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一空間向量及相關(guān)概念的理解②③

解析

①錯(cuò)誤,在同一條直線上的單位向量,方向可能相同,也可能相反,故它們不一定相等;②正確,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;規(guī)律方法

空間向量的有關(guān)概念應(yīng)注意的問題(1)向量的兩個(gè)要素是大小與方向,兩者缺一不可;(2)單位向量的方向雖然不一定相同,但長度一定為1;(3)兩個(gè)向量(非零向量)的模相等是兩個(gè)向量相等的必要不充分條件;(4)空間向量可以根據(jù)需要進(jìn)行平移.變式訓(xùn)練1(多選題)下列說法正確的是(

)A.兩個(gè)空間向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)也相同B.若空間向量a,b滿足|a|=|b|,則a=bD.若空間向量m,n,p滿足m=n,n=p,則m=pCD解析

當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)也相同時(shí),這兩個(gè)向量必相等,但兩個(gè)向量相等,不一定起點(diǎn)相同、終點(diǎn)也相同,故A錯(cuò)誤;易知B錯(cuò)誤;C,D顯然正確.變式訓(xùn)練2如圖所示,在以長方體ABCD-A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中:探究點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算變式探究3本例中若O是B1D1的中點(diǎn),其他條件不變,如何用a,b,c表示?規(guī)律方法

1.空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧(1)巧用相反向量:向量加減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法運(yùn)算的關(guān)鍵,靈活應(yīng)用相反向量可使有關(guān)向量首尾相接,從而便于運(yùn)算.(2)巧用平移:利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法、減法運(yùn)算時(shí),務(wù)必要注意和向量、差向量的方向,必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果.2.化簡空間向量的常用思路(1)分組:合理分組,以便靈活運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則進(jìn)行化簡.(2)多邊形法則:在空間向量的加法運(yùn)算中,若是多個(gè)向量求和,還可利用多邊形法則,若干個(gè)向量的和可以將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和.(3)走邊路:靈活運(yùn)用空間向量的加法、減法法則,盡量走邊路(即沿幾何體的邊選擇途徑).探究點(diǎn)三空間向量共線定理及其應(yīng)用角度1.證明三點(diǎn)共線【例3】

(1)[北師大版教材習(xí)題]寫出A,B,C三點(diǎn)共線的一個(gè)充分條件.

規(guī)律方法

證明空間三點(diǎn)共線的三種思路對于空間三點(diǎn)P,A,B可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線.角度2.利用向量共線定理求參數(shù)

規(guī)律方法

根據(jù)兩向量共線求參數(shù)的方法

變式訓(xùn)練4若e1,e2是空間兩個(gè)不共線的向量,則使ke1+e2與e1+ke2共線的k的值為

.

1或-1解析

若ke1+e2與e1+ke2共線,則有ke1+e2=λ(e1+ke2).所以k的值為1或-1.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)空間向量的基本概念;(2)空間向量的加減法;(3)向量與實(shí)數(shù)相乘.2.方法歸納:利用向量的概念求解有關(guān)問題;利用平行四邊形及三角形法則求解幾何圖形中的向量運(yùn)算;利用向量共線定理求解向量共線問題.3.特別提示:向量可以根據(jù)需要進(jìn)行平移;涉及向量共線問題,應(yīng)注意向量是否為非零向量;數(shù)乘向量的結(jié)果仍然是向量;向量共線定理中b=λa要求a≠0.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測123451.(多選題)下列說法正確的是(

)B.零向量沒有長度,所以它不是空間向量C.同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量D.空間中任意兩個(gè)單位向量必相等6AC解析

選項(xiàng)A中的兩個(gè)向量互為相反向量,所以它們長度相等;空間向量并不是一個(gè)立體圖形,只要是存在于立體空間內(nèi)的向量都是空間向量,所以B錯(cuò)誤;C是相等向量定義的另外一個(gè)說法;我們研究的向量是自由向量,只要向量相等都可以移動(dòng)到同一起點(diǎn),空間中任意兩個(gè)單位向量的模均為1,但方向