高考數(shù)學(xué)科學(xué)復(fù)習(xí)提升版第1講集合

第1講集合[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系，能夠在自然語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語(yǔ)言刻畫集合，了解全集與空集的含義.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.3.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，能求兩個(gè)集合的并集與交集，理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，能求給定子集的補(bǔ)集，能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算，體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用．1．集合的概念(1)集合中元素的三個(gè)特征：eq\x(\s\up1(01))確定性、eq\x(\s\up1(02))互異性、eq\x(\s\up1(03))無(wú)序性．(2)元素與集合的關(guān)系是eq\x(\s\up1(04))屬于或eq\x(\s\up1(05))不屬于兩種，用符號(hào)eq\x(\s\up1(06))∈或eq\x(\s\up1(07))?表示．(3)集合的表示法：eq\x(\s\up1(08))列舉法、eq\x(\s\up1(09))描述法、eq\x(\s\up1(10))圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)eq\x(\s\up1(11))Neq\x(\s\up1(12))N*(或N＋)eq\x(\s\up1(13))Zeq\x(\s\up1(14))Qeq\x(\s\up1(15))R2.集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言相等構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是eq\x(\s\up1(16))一樣的eq\x(\s\up1(17))A?B且eq\x(\s\up1(18))B?A?A＝B子集集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素eq\x(\s\up1(19))A?B或B?A真子集集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x?Aeq\x(\s\up1(20))AB或BA結(jié)論任何一個(gè)集合是它本身的子集A?A若A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集A?B，B?C?eq\x(\s\up1(21))A?C空集是eq\x(\s\up1(22))任何集合的子集，是eq\x(\s\up1(23))任何非空集合的真子集??A?B(B≠?)3．集合的基本運(yùn)算并集交集補(bǔ)集圖形符號(hào)A∪B＝eq\x(\s\up1(24)){x|x∈A，或x∈B}A∩B＝eq\x(\s\up1(25)){x|x∈A，且x∈B}eq\a\vs4\al(?UA)＝eq\x(\s\up1(26)){x|x∈U，且x?A}4.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)并集的性質(zhì)：(A∪B)?A；(A∪B)?B；A∪A＝A；A∪?＝A；A∪B＝B∪A.(2)交集的性質(zhì)：(A∩B)?A；(A∩B)?B；A∩A＝A；A∩?＝?；A∩B＝B∩A.(3)補(bǔ)集的性質(zhì)：?U(?UA)＝A；?UU＝?；?U?＝U；A∩(?UA)＝?；A∪(?UA)＝U.1．交集與并集的轉(zhuǎn)化(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．2．子集個(gè)數(shù)若有限集A中有n個(gè)元素，則集合A的子集個(gè)數(shù)為2n，真子集的個(gè)數(shù)為2n－1，非空真子集的個(gè)數(shù)為2n－2.3．元素個(gè)數(shù)用card(A)表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù)．對(duì)任意兩個(gè)有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．1．(2023·銀川模擬)下列五個(gè)式子：①a?{a}；②??{a}；③{a}∈{a，b}；④{a}?{a}；⑤a∈{b，c，a}中，正確的是()A．②④⑤ B．②③④⑤C．②④ D．①⑤答案A解析①錯(cuò)誤，應(yīng)改為a∈{a}；②正確；③錯(cuò)誤，應(yīng)改為{a}{a，b}；④正確；⑤正確．2．(2024·重慶月考)已知集合A＝{x|x2<2，x∈Z}，則A的真子集的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．6 D．7答案D解析因?yàn)锳＝{x|x2<2，x∈Z}＝{－1，0，1}，所以其真子集的個(gè)數(shù)為23－1＝7.故選D.3．(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題1.2T5(1)改編)設(shè)集合M＝{5，x2}，N＝{5x，5}，若M＝N，則實(shí)數(shù)x的值組成的集合為()A．{5} B．{1}C．{0，5} D．{0，1}答案C解析因?yàn)镸＝N，所以x2＝5x，解得x＝0或5，所以實(shí)數(shù)x的值組成的集合為{0，5}．故選C.4．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>0}，則(?RA)∩(?RB)＝________．答案{x|x≤－1}解析因?yàn)锳∪B＝{x|x>－1}，所以(?RA)∩(?RB)＝?R(A∪B)＝{x|x≤－1}．5．(人教B必修第一冊(cè)習(xí)題1－1BT6改編)已知A＝[－2，1]，B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(p,3)))，且B?RA，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________．答案[6，＋∞)解析因?yàn)锳＝[－2，1]，所以?RA＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，又因?yàn)锽＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(p,3)))，且B?RA，所以－eq\f(p,3)≤－2，解得p≥6，所以實(shí)數(shù)p的取值范圍是[6，＋∞)．考向一集合的含義及表示例1(1)(2023·秦皇島模擬)已知集合A＝{1，2，3}，則B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的個(gè)數(shù)為()A．2 B．4C．6 D．8答案C解析因?yàn)锳＝{1，2，3}，根據(jù)x∈A，y∈A，|x－y|∈A可知，B＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(1，2)，(1，3)，(2，3)}，B中含有6個(gè)元素．故選C.(2)已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)，則下列結(jié)論中元素與集合的關(guān)系正確的是()A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈BC．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B答案C解析由x2≥0，得x2＋1≥1，所以A＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，所以2∈A，(1，2)?A，(3，10)?A；B＝{(x，y)|y＝x2＋1}中的元素是函數(shù)y＝x2＋1圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，所以2?B，因?yàn)閥＝12＋1＝2，y＝32＋1＝10，所以(1，2)∈B，(3，10)∈B.(3)(2024·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個(gè)元素，則a＝()A.eq\f(9,2) B.eq\f(9,8)C．0 D．0或eq\f(9,8)答案D解析集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個(gè)元素，當(dāng)a＝0時(shí)，可得x＝eq\f(2,3)，集合A中只有一個(gè)元素為eq\f(2,3)；當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax2－3x＋2＝0只有一個(gè)解，即Δ＝9－8a＝0，可得a＝eq\f(9,8).故選D.理解集合的含義的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他集合．(2)看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么．注意：利用集合元素的限制條件或元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性．1.(多選)(2024·長(zhǎng)沙一中階段考試)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，則下列表示正確的是()A．－1?A B．－11?AC．3k2－1∈A D．－34∈A答案BCD解析當(dāng)k＝0時(shí)，x＝－1，所以－1∈A，所以A錯(cuò)誤；令－11＝3k－1，得k＝－eq\f(10,3)?Z，所以－11?A，所以B正確；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D正確；因?yàn)閗∈Z，所以k2∈Z，則3k2－1∈A，所以C正確．2．(2023·徐州模擬)已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，則B＝()A．{0，1} B．{0，1，2}C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}答案C解析由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，對(duì)于集合B，由x－1∈A，得－2≤x－1≤2，即－1≤x≤3，又x∈N*，所以x＝1，2，3，即B＝{1，2，3}．3．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，則2023a的值為________；若1?A，則a不可能取得的值為________．答案1－2，－1，0，eq\f(－1＋\r(5),2)，eq\f(－1－\r(5),2)解析若1∈A，a＋2＝1，則a＝－1，A＝{1，0，1}，不符合集合中元素的互異性；(a＋1)2＝1，則a＝0或－2，當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{2，1，3}，符合集合中元素的互異性，當(dāng)a＝－2時(shí)，A＝{0，1，1}，不符合集合中元素的互異性；a2＋3a＋3＝1，則a＝－1或－2，顯然都不符合集合中元素的互異性．因此a＝0，20230＝1.若1?A，a＋2≠1，解得a≠－1；(a＋1)2≠1，解得a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1，解得a≠－1，－2.又a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3互不相等，由a＋2≠(a＋1)2得a≠eq\f(－1±\r(5),2)；由a＋2≠a2＋3a＋3得a≠－1；由(a＋1)2≠a2＋3a＋3得a≠－2.綜上，a的值不可能為－2，－1，0，eq\f(－1＋\r(5),2)，eq\f(－1－\r(5),2).考向二集合間的基本關(guān)系例2(1)(2023·茂名二模)已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|2x－a<0}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，2]答案A解析由已知得A＝{x|－1≤x≤1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(a,2)))，若A?B，則eq\f(a,2)＞1，所以a＞2.(2)已知集合A＝{x|y＝eq\r(x－1)＋2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,a－1)，1<a≤\f(3,2)))))，則下列結(jié)論正確的是()A．A＝B B．A?BC．BA D．AB答案C解析因?yàn)锳＝{x|y＝eq\r(x－1)＋2}＝{x|x≥1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,a－1)，1<a≤\f(3,2)))))＝{x|x≥2}，所以BA.(3)設(shè)A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，①若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________；②若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案①{a|a≤－1或a＝1}②{1}解析由題意，得A＝{－4，0}．①∵B?A，∴B＝?或B＝{－4}或B＝{0}或B＝{－4，0}．當(dāng)B＝?時(shí)，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0無(wú)解，即Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8<0，解得a<－1；當(dāng)B＝{－4}或B＝{0}時(shí)，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則Δ＝8a＋8＝0，∴a＝－1，此時(shí)B＝{0}，符合條件；當(dāng)B＝{－4，0}時(shí)，－4和0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩個(gè)根，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝8a＋8>0，,－4＋0＝－2（a＋1），,－4×0＝a2－1，))解得a＝1.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤－1或a＝1}．②∵A?B，∴B＝{－4，0}．由①知a＝1.1．判斷兩集合間關(guān)系的三種方法2．由集合間的關(guān)系求參數(shù)的解題策略(1)若集合元素是一一列舉的，則將集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，此時(shí)注意集合中元素的互異性．(2)若集合表示的是不等式的解集，常借助數(shù)軸轉(zhuǎn)化為區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，此時(shí)需注意端點(diǎn)值能否取到．提醒：題目中若有條件B?A，則應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況進(jìn)行討論．1.(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝()A．2 B．1C．eq\f(2,3) D．－1答案B解析因?yàn)锳?B，若a－2＝0，解得a＝2，此時(shí)A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合題意；若2a－2＝0，解得a＝1，此時(shí)A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合題意．綜上所述，a＝1.故選B.2．(2024·合肥模擬)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0<x<6，x∈N}，則滿足條件AC?B的集合C的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．7 D．8答案C解析由已知得A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，因?yàn)锳C?B，所以集合C的個(gè)數(shù)為23－1＝7.故選C.3．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<－2或0≤m≤\f(5,2)))))解析A＝{x|－1≤x≤6}，若B?A，則當(dāng)B＝?時(shí)，有m－1>2m＋1，即m<－2，符合題意；當(dāng)B≠?時(shí)，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6，))解得0≤m≤eq\f(5,2).綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<－2或0≤m≤\f(5,2))))).多角度探究突破考向三集合的基本運(yùn)算角度集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算例3(1)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．2答案C解析因?yàn)镹＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故選C.(2)(2023·全國(guó)乙卷)設(shè)集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，則{x|x≥2}＝()A．?U(M∪N) B．N∪?UMC．?U(M∩N) D．M∪?UN答案A解析由題意可得M∪N＝{x|x<2}，則?U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正確；?UM＝{x|x≥1}，則N∪?UM＝{x|x>－1}，B錯(cuò)誤；M∩N＝{x|－1<x<1}，則?U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，C錯(cuò)誤；?UN＝{x|x≤－1或x≥2}，則M∪?UN＝{x|x<1或x≥2}，D錯(cuò)誤．故選A.集合基本運(yùn)算的求解策略(1)當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時(shí)，可以通過(guò)列舉集合的元素進(jìn)行運(yùn)算，也可借助Venn圖運(yùn)算．(2)當(dāng)集合是用不等式表示時(shí)，可運(yùn)用數(shù)軸求解．對(duì)于端點(diǎn)處的取舍，可以單獨(dú)檢驗(yàn)．(3)解決抽象集合(沒有給出具體元素的集合)間的關(guān)系判斷和運(yùn)算的問(wèn)題的途徑有兩條：一是利用特殊值法將抽象集合具體化；二是利用圖形化抽象為直觀．1.(2023·運(yùn)城四模)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,\r(1－2x))))))，B＝{y|y＝－|x－3|－2}，則A∪B＝()A．? B．(－∞，－2]C．(－∞，0) D．(－∞，0]答案C解析A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,\r(1－2x))))))＝{x|x<0}，B＝{y|y＝－|x－3|－2}＝{y|y≤－2}，則A∪B＝(－∞，0)．故選C.2．(2024·廣州模擬)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥4或x≤0}，B＝{x|x>4或x≤－2}，則圖中陰影部分表示的集合為()A．(－2，0] B．[－2，0]C．[－2，0]∪{4} D．(－2，0]∪{4}答案D解析因?yàn)锳＝{x|x≥4或x≤0}，B＝{x|x>4或x≤－2}，所以A∪B＝{x|x≥4或x≤0}∪{x|x>4或x≤－2}＝{x|x≥4或x≤0}，A∩B＝{x|x≥4或x≤0}∩{x|x>4或x≤－2}＝{x|x>4或x≤－2}．由題意可知陰影部分表示的集合為[?U(A∩B)]∩(A∪B)，因?yàn)?U(A∩B)＝{x|－2<x≤4}，所以[?U(A∩B)]∩(A∪B)＝{x|－2<x≤0或x＝4}．故選D.3．已知M，N均為R的子集，且?RM?N，則M∪(?RN)＝()A．? B．MC．N D．R答案B解析解法一：∵?RM?N，∴M??RN，據(jù)此可得M∪(?RN)＝M.故選B.解法二：如圖所示，設(shè)矩形區(qū)域ABCD表示全集R，矩形區(qū)域ABHE表示集合M，則矩形區(qū)域CDEH表示集合?RM，矩形區(qū)域CDFG表示集合N，滿足?RM?N，結(jié)合圖形可得M∪(?RN)＝M.故選B.角度利用集合運(yùn)算求參數(shù)例4(1)(2024·無(wú)錫模擬)已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(?RB)＝{1，2}，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(0，4) B．(0，4]C．(0，3] D．(0，3)答案C解析由集合A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0，1，2}，B＝{x|3x－a<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(a,3)))))，可得?RB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(a,3)))))，因?yàn)锳∩(?RB)＝{1，2}，所以0<eq\f(a,3)≤1，解得0<a≤3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，3]．故選C.(2)已知集合A＝{x|3x2－2x－1≤0}，B＝{x|2a<x<a＋3}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤－\f(10,3)或a≥\f(1,2)))))解析A＝{x|3x2－2x－1≤0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤1))))，①若B＝?，則2a≥a＋3，解得a≥3，符合題意；②若B≠?，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<3，,a＋3≤－\f(1,3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<3，,2a≥1，))解得a≤－eq\f(10,3)或eq\f(1,2)≤a<3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤－\f(10,3)或a≥\f(1,2))))).根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的值或取值范圍的方法(1)將集合中的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系．若集合中的元素能一一列舉，則用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系；若集合是與不等式有關(guān)的集合，則一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到．(2)將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解方程(組)或不等式(組)問(wèn)題求解．(3)根據(jù)求解結(jié)果來(lái)確定參數(shù)的值或取值范圍．1.已知集合A＝{x|3x2－2x－5<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,3)))C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)答案C解析依題意A＝{x|3x2－2x－5<0}＝{x|(3x－5)(x＋1)<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(5,3)))))，而A∪B＝B，故A?B，得a≤－1.故選C.2．已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2，3]，則a＋b＝________．答案－5解析P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}，∵P∪Q＝R，P∩Q＝(2，3]，∴Q＝{x|－1≤x≤3}，∴－1，3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，－a＝－1＋3＝2，b＝－3，∴a＋b＝－5.角度集合的新定義問(wèn)題例5(2023·青島模擬)若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，稱兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”；若兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對(duì)方子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“偏食”．對(duì)于集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1))，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”或“偏食”，則a的值為________．答案0或1或4解析因?yàn)锽＝{x|ax2＝1，a≥0}，若a＝0，則B＝?，滿足B為A的真子集，此時(shí)A與B構(gòu)成“全食”；若a>0，則B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,a)))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a))，－\f(1,\r(a)))).若A與B構(gòu)成“全食”或“偏食”，則eq\f(1,\r(a))＝1或eq\f(1,\r(a))＝eq\f(1,2)，解得a＝1或a＝4.綜上，a的值為0或1或4.解決以集合為背景的新定義問(wèn)題要抓住的兩點(diǎn)(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中，這是破解新定義型集合問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在．(2)用好集合的性質(zhì)．解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì)．(2024·泰安期中)對(duì)于非空數(shù)集A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N*)，其所有元素的算術(shù)平均數(shù)記為E(A)，即E(A)＝eq\f(a1＋a2＋a3＋…＋an,n).若非空數(shù)集B滿足下列兩個(gè)條件：①B?A；②E(B)＝E(A)，則稱B為A的一個(gè)“保均值子集”．據(jù)此，集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有()A．4個(gè) B．5個(gè)C．6個(gè) D．7個(gè)答案D解析設(shè)集合A＝{1，2，3，4，5}，則該集合中所有元素的算術(shù)平均數(shù)E(A)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，所以由新定義可知，只需找到非空數(shù)集B滿足B?A，且E(B)＝3即可．據(jù)此分析易知，集合{1，2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，5}，{2，4}，{3}都符合要求．故集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有7個(gè)．故選D.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2024·武漢二中質(zhì)檢)已知集合M＝{a，2a－1，2a2－1}，若1∈M，則M中所有元素之和為()A．3 B．1C．－3 D．－1答案C解析若a＝1，則2a－1＝1，不滿足集合元素的互異性；若2a－1＝1，則a＝1，不滿足集合元素的互異性，故2a2－1＝1，解得a＝1(舍去)或a＝－1，故M＝{－1，－3，1}，M中所有元素之和為－3.故選C.2．(2023·四省高考適應(yīng)性測(cè)試)設(shè)集合A＝{2，3，a2－2a－3}，B＝{0，3}，C＝{2，a}．若B?A，A∩C＝{2}，則a＝()A．－3 B．－1C．1 D．3答案B解析因?yàn)锽?A，所以a2－2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3.若a＝－1，則A＝{2，3，0}，C＝{2，－1}，此時(shí)A∩C＝{2}，符合題意；若a＝3，則A＝{2，3，0}，C＝{2，3}，此時(shí)A∩C＝{2，3}，不符合題意．故選B.3．(2023·全國(guó)甲卷)設(shè)集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U為整數(shù)集，?U(A∪B)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．?答案A解析因?yàn)檎麛?shù)集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以?U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故選A.4．(2023·南京一模)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x－a)<0))))，若A∩N*＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．{1} B．(－∞，1)C．[1，2] D．(－∞，2]答案D解析解法一：由題意，得A＝{x|(x－1)(x－a)<0}，當(dāng)a>1時(shí)，A＝{x|1<x<a}，因?yàn)锳∩N*＝?，所以1<a≤2；當(dāng)a<1時(shí)，A＝{x|a<x<1}，因?yàn)锳∩N*＝?，所以a<1；當(dāng)a＝1時(shí)，A＝?，滿足題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，2]．故選D.解法二：當(dāng)a＝2時(shí)，A＝{x|1<x<2}，A∩N*＝?，故排除A，B；當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{x|0<x<1}，A∩N*＝?，故排除C.故選D.5．(2023·青島二模)已知A，B均為R的子集，且A∩(?RB)＝A，則下列結(jié)論中一定成立的是()A．B?A B．A∪B＝RC．A∩B＝? D．A＝?RB答案C解析∵A∩(?RB)＝A，∴A??RB，用Venn圖表示如右．由圖可知，A∩B＝?，即C一定成立，A一定不成立，B，D都不一定成立．故選C.6．(2024·鄭州一中質(zhì)檢)已知集合M＝{x|x2－3x<0}，N＝{x|log2x<4}，且全集U＝[－1，20]，則U＝()A．M∩(?UN) B．N∩(?UM)C．M∪(?UN) D．N∪(?UM)答案D解析由已知得集合M＝(0，3)，N＝(0，16)，則M∩(?UN)＝?，N∩(?UM)＝[3，16)，M∪(?UN)＝[－1，3)∪[16，20]，N∪(?UM)＝[－1，20]＝U.故選D.7．(2024·濰坊模擬)設(shè)集合M＝{x∈Z|x2<100<2x}，則M的所有子集的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．8 D．16答案C解析解不等式x2<100，得－10<x<10，解不等式100<2x，得x>log2100，由于log226<log2100<log227，所以M＝{x∈Z|x2<100<2x}＝{x∈Z|log2100<x<10}＝{7，8，9}，所以M的所有子集的個(gè)數(shù)為23＝8.故選C.8．調(diào)查了100名攜帶藥品出國(guó)的旅游者，其中75人帶有感冒藥，80人帶有胃藥，那么對(duì)于既帶感冒藥又帶胃藥的人數(shù)統(tǒng)計(jì)中，下列說(shuō)法正確的是()A．最多人數(shù)是55 B．最少人數(shù)是55C．最少人數(shù)是75 D．最多人數(shù)是80答案B解析設(shè)100名攜帶藥品出國(guó)的旅游者組成全集I，其中帶感冒藥的人組成集合A，帶胃藥的人組成集合B.又設(shè)所攜帶藥品既非感冒藥又非胃藥的人數(shù)為x，則x∈[0，20]，以上兩種藥都帶的人數(shù)為y.根據(jù)題意列出Venn圖，如圖所示．由圖可知，x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人數(shù)是55.故選B.二、多項(xiàng)選擇題9．(2024·無(wú)錫一中月考)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}，則下列關(guān)系式正確的是()A．A∩B＝? B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪(?RB)＝{x|x≤－1或x>2} D．A∩(?RB)＝{x|2<x≤3}答案BD解析∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，A不正確；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，B正確；∵?RB＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪(?RB)＝{x|x<－2或x>－1}，A∩(?RB)＝{x|2<x≤3}，C不正確，D正確．10.(2023·濟(jì)南模擬)圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為()A．A∩(B∪C) B．A∪(B∩C)C．A∩?U(B∩C) D．(A∩B)∪(A∩C)答案AD解析圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為A∩(B∪C)或(A∩B)∪(A∩C)．故選AD.11．設(shè)集合A＝{x|x＝m＋eq\r(3)n，m，n∈N*}，若對(duì)于任意x1∈A，x2∈A，均有x1⊕x2∈A，則運(yùn)算⊕可能是()A．加法 B．減法C．乘法 D．除法答案AC解析由題意可設(shè)x1＝m1＋eq\r(3)n1，x2＝m2＋eq\r(3)n2，其中m1，m2，n1，n2∈N*，則x1＋x2＝(m1＋m2)＋eq\r(3)(n1＋n2)，x1＋x2∈A，所以加法滿足條件，A正確；x1－x2＝(m1－m2)＋eq\r(3)(n1－n2)，當(dāng)n1＝n2時(shí)，x1－x2?A，所以減法不滿足條件，B錯(cuò)誤；x1x2＝m1m2＋3n1n2＋eq\r(3)(m1n2＋m2n1)，x1x2∈A，所以乘法滿足條件，C正確；eq\f(x1,x2)＝eq\f(m1＋\r(3)n1,m2＋\r(3)n2)，當(dāng)eq\f(m1,m2)＝eq\f(n1,n2)＝λ(λ>0)時(shí)，eq\f(x1,x2)?A，所以除法不滿足條件，D錯(cuò)誤．三、填空題12．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2x，\f(y－1,x)，1))，B＝{x2，x＋y，0}，若A＝B，則x＋y＝________．答案2解析顯然y＝1，即A＝{2x，0，1}，B＝{x2，x＋1，0}．若x＋1＝1，則x＝0，集合A