2024-2025學(xué)年河南省鄭州市高二（上）段考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年河南省鄭州市高二（上）段考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知空間兩點(diǎn)A(2,1,1)，B(3,2,1)，下列選項(xiàng)中的a與AB共線的是(

)A.a=(1,0,1) B.a=(2,1,1) C.a=(2,?2,0)2.已知空間向量a=(1,0,1)，b=(1,1,n)，且a?b=3，則向量a與A.π6 B.π3 C.π3或2π3 3.直線l1的方向向量v1=(1,0,?1)，直線l2的方向向量v2=(?2,0,2)，則直線lA.平行 B.相交 C.垂直 D.不能確定4.已知向量a=(1,1,0)，b=(?A.13 B.12 C.?15.已知向量n=(2,0,1)為平面α的法向量，點(diǎn)A(?1,2,1)在α內(nèi)，則P(1,2,2)到α的距離為(

)A.55 B.5 C.26.在空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在OB上，且OM=3MB，A.?12a+34b?17.在正方體ABCD?A1B1C1D1A.arctan22

B.π6

C.π8.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別為ACA.MN//平面ADD1A1

B.MN⊥AB

C.直線MN與平面ABCD所成角為45°

D.異面直線MN二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知直線l1、l2的方向向量分別是AB=(2,4,x)，CD=(2,y,2)，若|AB|=6且lA.?3 B.?1 C.1 D.310.已知空間三點(diǎn)A(?1,0,1)，B(?1,2,2)，C(?3,0,4)，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.AB?AC=3 B.AB//AC

C.|11.如圖，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AE=BC=2.AB=AD=1，CF=87，則(

)A.BD⊥EC

B.BF//平面ADE

C.平面EBD與平面ABCD夾角的余弦值為13

D.直線CE與平面BDE所成角的正弦值為49三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知直線l過(guò)定點(diǎn)A(2,3,1)，且n=(0,1,1)為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)P(4,3,2)，到直線l的距離為______．13.已知A(0,1,1)，B(2,?1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，則直線AB和CD所成角的余弦值為______．14.四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=1，AB=3，G是△ABC的重心，則PG與平面PAD所成角θ的正弦值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(x,1,2)，b=(1,y,?2)，c=(3,1,z)，a/?/b，b⊥c．

(1)求向量a，b，c；

16.(本小題15分)

已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(?2,1,6)，C(1,?1,5)．

(1)求AB；

(2)求△ABC的面積．17.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．

(1)求證：AP⊥BC；

(2)若點(diǎn)M是線段AP是一點(diǎn)，且AM=3.試證明平面AMC⊥平面BMC．18.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC中點(diǎn)，且PB⊥AM．

(1)求BC；

(2)求二面角A?PM?B的正弦值．19.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=3．

(1)若AD⊥PB，證明：AD/?/平面PBC；

(2)若AD⊥DC，且二面角A?CP?D的正弦值為427

參考答案1.D

2.A

3.A

4.B

5.B

6.A

7.B

8.D

9.AC

10.AC

11.BCD

12.313.514.1015.解：(1)∵向量a=(x,1,2)，b=(1,y,?2)，c=(3,1,z)，

且a/?/b，b⊥c，

∴x1=1y=2?23+y?2z=0，

解得x=?1，y=?1，z=1；

∴向量a=(?1,1,2)，b=(1,?1,?2)，c=(3,1,1)；

(2)∵向量(a+16.解：(1)由于空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(?2,1,6)，C(1,?1,5)，

故：|AB|=(0+2)2+(2?1)2+(3?6)2=14．

(2)由已知條件得：AB=(?2,?1,3)，AC=(1,?3,2)，17.解：以O(shè)為原點(diǎn)，以AD方向?yàn)閅軸正方向，以射線OP的方向?yàn)閆軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，

如圖所示；

則O(0,0,0)，A(0,?3,0)，B(4,2,0)，C(?4,2,0)，P(0,0,4)

(1)AP=(0,3,4)，BC=(?8,0,0)，

∴AP?BC=0×(?8)+3×0+4×0=0，

∴AP⊥BC，即AP⊥BC；

(2)∵M(jìn)為AP上一點(diǎn)，且AM=3，

∴M(0,?65,125)，

∴AM=(0,95,125)，

BM=(?4,?165,125)，

CM=(4,?165,125)；

設(shè)平面BMC的法向量為n=(a,b,c)，

則n?BM=0n?CM=0，18.解：(1)連結(jié)BD，

因?yàn)镻D⊥底面ABCD，且AM?平面ABCD，

則AM⊥PD，

又AM⊥PB，PB∩PD=P，PB，PD?平面PBD，

所以AM⊥平面PBD，

又BD?平面PBD，則AM⊥BD，

所以∠ADB+∠DAM=90°，

又∠DAM+∠MAB=90°，

則有∠ADB=∠MAB，

所以Rt△DAB∽R(shí)t△ABM，

則ADAB=BABM，所以12BC2=1，解得BC=2；

(2)因?yàn)镈A，DC，DP兩兩垂直，故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A(2,0,0)，B(2,1,0)，M(22,1,0)，P(0,0,1)，

所以AP=(?2,0,1)，AM=(?22,1,0)，BM=(?22,0,0)，BP=(?2,?1,1)，

設(shè)平面AMP的法向量為n=(x,y,z)，

則有n?AP=0n?AM=0，即?2x+z=0?22x+y=0，19.(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，

又因?yàn)锳D⊥PB，PA∩PB=P，PA,PB?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，

又AB?平面PAB，所以AD⊥AB，

因?yàn)锳B=3，BC=1，AC=2，AB2+BC2=AC2，所以BC⊥AB，

于是AD/?/BC，又AD?平面PBC，BC?平面PBC．

所以AD/?/平面PBC．

(2)因?yàn)锳D⊥DC，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，為x，y軸，