2024-2025學(xué)年試題數(shù)學(xué)（選擇性人教A版2019）第1章1-1-2空間向量的數(shù)量積運算

1.1.2空間向量的數(shù)量積運算課后訓(xùn)練鞏固提升A組1.若a,b均為非零向量,則a·b=|a||b|是a與b共線的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件解析:a·b=|a||b|?cos<a,b>=1?<a,b>=0°,即a與b共線.反之不成立,因為當(dāng)a與b反向共線時,a·b=|a||b|.答案:A2.已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,則a與b的夾角<a,b>的余弦值為()A.12 B.2C.34 D.解析:∵a+b+c=0,∴a+b=c.∴(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=|c|2.∴a·b=32.∴cos<a,b>=a答案:D3.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點E,F分別是BC,AD的中點,則AE·AF的值為(A.a2 B.12a2C.14a2 D.34解析:AE·AF=12(AB+AC答案:C4.設(shè)A,B,C,D是空間中不共面的四點,且滿足AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0,則A.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.不確定解析:BC·BD=(AC-AB)·(AD-AB)=AC·AD-AC同理可證CB·CD>0,DB·所以△BCD的每個內(nèi)角均為銳角.故△BCD是銳角三角形.答案:B5.(多選題)已知四邊形ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,連接AC,BD,PB,PC,PD,則下列各組向量中,數(shù)量積一定為零的是()A.PCB.DAC.PDD.PA解析:因為PA⊥平面ABCD,且CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.故PA·CD=0.因為AD⊥AB,PA⊥AD,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB.因為PB?平面PAB,所以AD⊥PB.故DA·PB=0.同理,PD·AB=0,PA·CD=0.因為PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.所以PC·BD=(PA+AC)·BD=PA·BD+AC·BD=答案:BCD6.已知空間向量a,b,|a|=32,|b|=5,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,若m⊥n,則λ的值為.

解析:∵m⊥n,∴(a+b)·(a+λb)=0.∴m·n=0,即a2+λb2+(1+λ)a·b=0,即18+25λ+(1+λ)×32×5×cos135°=0,解得λ=310答案:37.如圖所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,則cos<BA1,C解析:BA1·CB1=(BA+B∵BB1⊥BA1,BB1⊥BC,∴BA·BB1=又BA·CB=|BA||CB|·cos(180°∠ABC)=2×1×cos135°=1,B∴BA1·CB1=1+0+0+4=3,又|BA∴cos<BA1,答案:308.如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,則體對角線AC1的長度等于.

解析:|AC1|2=(AB+AD+AA1)2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=16+9+25+2×4×3×cos90°+2×4×5×cos60°+2×3×答案:859.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為菱形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,證明:PC⊥BD.證明:∵PC=∴PC·BD=(AB+AD-AP)·(AD-AB)=(AB+AD=AD2∵底面ABCD為菱形,∴AD=AB,∴AD2-AB∵側(cè)棱PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥AD,∴AP·AD∴PC·BD=AD2-AB10.如圖,已知線段AB在平面α內(nèi),線段AC⊥α于點A,線段BD⊥AB于點B,線段DD'⊥α于點D',如果∠DBD'=30°,AB=a,AC=BD=b,求點C,D間的距離.解:|CD|2=(CA+AB+BD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2∵AC⊥α,且AB?α,∴AC⊥AB.∴CA·AB=又∠DBD'=30°,AC⊥α,DD'⊥α,∴<CA,BD>=60又BD⊥AB,∴AB·BD=∴|CD|2=b2+a2+b2+2(0+b2cos60°+0)=a2+3b2.∴|CD|=a2即點C,D間的距離為a2B組1.已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心為O1,則AO1·ACA.1 B.0 C.1 D.2解析:∵AO∴AO1·AC=AA1答案:C2.如圖,在正四面體ABCD中,E是BC的中點,那么()A.AEB.AEC.AED.AE·解析:∵AE·BC=12(AB+AC)·(AC-AB)=12AE·CD=12=12AB·AD=12|AC|2(cos60°1)∴AE·答案:C3.(多選題)已知正方體ABCDA1B1C1D1,下列四個結(jié)論中,正確的是()A.(AA1+AD+AB)2B.A1C·(A1C.AD1與D.正方體的體積為|AB·解析:如圖所示,(AA1+AD+AB)2=(AA1+A1D1+D1C1)2=|AC1|2=3|AB|2,故A正確;A1C·(A1B1-A1A)=A1C·AB1.因為AB1⊥平面A1BC,A1C?平面A1BC,所以AB1⊥A1C,所以A1C·AB答案:AB4.已知|a|=2,|b|=1,<a,b>=60°,則使向量a+λb與λa2b的夾角為鈍角的實數(shù)λ的取值范圍是.

解析:由題意知(由①得λ2+2λ2<0,解得13<λ<1+3.當(dāng)a+λb與λa2b反向共線時,存在實數(shù)k<0,使a+λb=k(λa2b),即kλ=1,λ=-2k,無解.所以不存在a+λb與λa2b反向共線的情況,②始終成立.故實數(shù)λ的取值范圍為(答案:(13,1+3)5.在四面體OABC中,棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G為△ABC的重心,則OG·(OA+OB+OC)解析:由已知得OA·OB=如圖,取BC的中點D,連接OD,AD,則AD過點G,且AG=23ADOG=OA+AG=OA+OG·(OA+OB+OC)=13(OA+OB+OC)2=13(|OA|2+|OB|2+|OC|2)=答案:146.已知正三棱柱ABCDEF的側(cè)棱長為2,底面邊長為1,M是BC的中點,若CF上有一點N,使MN⊥AE,則CNCF=.解析:如圖,設(shè)CNCF=m∵AE=AB+∴AE·MN=(AB+BE)·12BC+mAD=1∴m=116答案:17.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1=2,求BA1解:∵BA且BA·BC∴BA1·AC=|BA|又|AC|=2,|BA1|=∴cos<BA1,AC>=故BA1與8.如圖所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,底面邊長為2.(1)設(shè)側(cè)棱長為1,求證:AB1⊥BC1;(2)設(shè)AB1與BC1的夾角為π3,求側(cè)棱長答案：(1)證明:AB∵BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,BB1⊥BC.∴BB1·AB=0,又△ABC為