2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十一：圖形形狀變化引起的類比探究綜合題(原卷版+解析)

2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十一：圖形形狀變化引起的類比探究綜合題方法點(diǎn)睛解決圖形形狀變化引起的類比探究題的一般思路1．形狀變化的一般形式(1)等邊三角形或等腰直角三角形等腰三角形一般三角形；(2)等腰直角三角形直角三角形一般三角形；(3)正方形矩形或菱形．2．解題方法先探究特殊圖形情況下的相關(guān)結(jié)論，再推廣到一般圖形，將用圖形之間相通或不變的性質(zhì)，結(jié)合相同的思路去解決問題．關(guān)鍵是對(duì)試題中的變量過程進(jìn)行分析，把握原有圖形的特點(diǎn)，探究變化量的特點(diǎn)，常用類比思想逐步解題．一般情況下，每問采取的方法步驟基本相同，這類題目往往是數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化、從一般到特殊、類比思想和方程思想的綜合運(yùn)用，要將各種情形逐一分析，避免出錯(cuò)．可概括為“方法類似，思路順延；類比滲透，知識(shí)遷移”．典例分析例（2022煙臺(tái)中考）（12分）【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫出的值．【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．（1）求的值；（2）延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．專題過關(guān)1.（2022黔東南中考）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問題：如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)在上．求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．請(qǐng)你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．（2）【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點(diǎn)在上．

①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．②若，試求出正方形的面積．2.（2022盤錦中考）在中，，點(diǎn)D在線段上，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，過點(diǎn)E作，交直線于點(diǎn)F．（1）如圖1，若，請(qǐng)用等式表示與的數(shù)量關(guān)系：____________．（2）如圖2．若，完成以下問題：①當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的異側(cè)時(shí)，請(qǐng)用等式表示之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的同側(cè)時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．3.（2022陜西中考）問題提出（1）如圖1，是等邊的中線，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，且，則的度數(shù)為__________．問題探究（2）如圖2，在中，．過點(diǎn)A作，且，過點(diǎn)P作直線，分別交于點(diǎn)O、E，求四邊形的面積．問題解決（3）如圖3，現(xiàn)有一塊型板材，為鈍角，．工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)型部件，并要求．工人師傅在這塊板材上的作法如下：①以點(diǎn)C為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)D，連接；②作的垂直平分線l，與于點(diǎn)E；③以點(diǎn)A為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)P，連接，得．請(qǐng)問，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？請(qǐng)證明你的結(jié)論．4．（2022日照中考）（14分）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，以CM，CN為鄰邊作矩形PMCN，交AB于E，F(xiàn)．設(shè)CM＝a，CN＝b，若ab＝8．（1）判斷由線段AE，EF，BF組成的三角形的形狀，并說明理由；（2）①當(dāng)a＝b時(shí)，求∠ECF的度數(shù)；②當(dāng)a≠b時(shí)，①中的結(jié)論是否成立？并說明理由．5.（2022武漢中考）問題提出：如圖（1），中，，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，探究的值．（1）先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫出的值；（2）再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問題拓展：如圖（3），在中，，是的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．直接寫出的值（用含的式子表示）．6.（2022盤錦中考）在中，，點(diǎn)D在線段上，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，過點(diǎn)E作，交直線于點(diǎn)F．（1）如圖1，若，請(qǐng)用等式表示與的數(shù)量關(guān)系：____________．（2）如圖2．若，完成以下問題：①當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的異側(cè)時(shí)，請(qǐng)用等式表示之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的同側(cè)時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．7.（2022北部灣中考）已知，點(diǎn)A，B分別在射線上運(yùn)動(dòng)，．（1）如圖①，若，取AB中點(diǎn)D，點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A，B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，連接．判斷OD與有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：（2）如圖②，若，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離：（3）如圖③，若，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大?請(qǐng)說明理由，并求出面積的最大值．8.（2022樂山中考）華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第121頁習(xí)題19.3第2小題及參考答案．2．如圖，在正方形ABCD中，．求證：．證明：設(shè)CE與DF交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對(duì)該問題進(jìn)一步探究（1）【問題探究】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．試猜想的值，并證明你的猜想．（2）【知識(shí)遷移】如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．則______．（3）【拓展應(yīng)用】如圖，在四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，且．求的值．9.（2022湖州中考）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對(duì)邊，．記△ABC的面積為S．（1）如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為，正方形BGFC的面積為．①若，，求S的值；②延長(zhǎng)EA交GB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連結(jié)FN，交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：．（2）如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為，等邊三角形CBE的面積為．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點(diǎn)C在△ABF內(nèi)），連結(jié)EF，CF．若EF⊥CF，試探索與S之間的等量關(guān)系，并說明理由．10.（2022黔東南中考）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問題：如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)在上．求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．請(qǐng)你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．（2）【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點(diǎn)在上．

①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．②若，試求出正方形的面積．11.（2022信陽一模）在直線m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D，A，E，在直線m上方有AB=AC，且滿足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，當(dāng)α=120°時(shí)，點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且AB=AF，分別連接FB，F(xiàn)D，F(xiàn)E，F(xiàn)C，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．12.（2022河南長(zhǎng)垣一模）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，∠CDE=∠BAC=，CD=ED，連接BE，EC．

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，若=60°，則∠EBA=，AD與EB的數(shù)量關(guān)系是；（2）類比探究：如圖②，當(dāng)=90°時(shí)，請(qǐng)寫出∠EBA的度數(shù)及AD與EB的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)E為正方形ABCD的邊AB上的三等分點(diǎn)，以DE為邊在DE上方作正方形DEFG，點(diǎn)O為正方形DEFG的中心，若OA=，請(qǐng)直接寫出線段EF的長(zhǎng)度13.（2022河南長(zhǎng)垣二模）（1）在中，，，，且點(diǎn)D，E為邊BC上的點(diǎn)（分別不與點(diǎn)B，C重合，且點(diǎn)D在點(diǎn)E左側(cè)）．①初步探究如圖1，若，，，試探究BD，DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系．下面是小東的探究過程（不完整），請(qǐng)補(bǔ)充完整．解：∵，，∴，，．∴．如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到，連接GE．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，∴，，．∴，．∴為等邊三角形．（依據(jù)：_________________）∴____________．∵，，∴，又∵，∴．∴．∴．②類比探究如圖2，若，，，請(qǐng)寫出BD，DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并就圖2的情形說明理由．（2）問題解決如圖3，在中，，于點(diǎn)M，，，點(diǎn)N為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)N為BC的三等分點(diǎn)時(shí)，直接寫出AN的長(zhǎng)．14.（2022河南夏邑一模）在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），過點(diǎn)C作交射線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)F．（1）觀察猜想如圖（1）．當(dāng)時(shí)，_______，線段之間的數(shù)量關(guān)系為________．（2）類比探究當(dāng)時(shí)，如圖（2），求的度數(shù)，并探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．（3）解決問題當(dāng)時(shí)，若，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C，D重合），其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)A，F(xiàn)，E中的一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)的連線的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．15.（2022河南濟(jì)源一模）在與中，連接，點(diǎn)、分別為和的中點(diǎn)，與所在直線交于點(diǎn)．

（1）【觀察猜想】如圖①，若，，，與的數(shù)量關(guān)系是________，________；（2）【類比探究】如圖②，若，，，請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系與的度數(shù)，并就圖②的情形說明理由；（3）【解決問題】如圖③，，，，將繞點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在的邊所在直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．16.（2022鄭州一模）如圖，射線AB和射線CB相交于點(diǎn)B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．點(diǎn)D是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)C和點(diǎn)B重合），作射線AD，并在射線AD上取一點(diǎn)E，使∠AEC＝α，連接CE，BE．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，α＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠AEB的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，α＝120°時(shí)，請(qǐng)寫出線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)α＝120°，tan∠DAB＝時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．17.（2022南陽唐河二模）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題做了如下研究：【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，連接AM，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，則∠ABC和∠ACN的數(shù)量關(guān)系為；【變式探究】（2）如圖②，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C，連接AM，以AM為邊作等腰三角形AMN，使∠AMN＝∠ABC，AM＝MN，連接CN，試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【解決問題】（3）如圖③，在正方形ADBC中，點(diǎn)M為BC邊上一點(diǎn)，以AM為邊作正方形AMEF，點(diǎn)N為正方形AMEF的中心，連接CN，AB，AE，若正方形ADBC的邊長(zhǎng)為8，CN＝，直接寫出正方形AMEF的邊長(zhǎng)．18.（2022鶴壁一模）如圖，在中，，AH是BC邊上的高，點(diǎn)D是直線AH上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），且，得到線段DE，連結(jié)EC，EB，直線AH和直線BE相交于點(diǎn)F．（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，線段AD與BE的比值是_________；直線AD與BE所夾銳角是_________；（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)僅就圖②中的情形進(jìn)行證明；否測(cè)，請(qǐng)說明理由；（3）如圖③，若當(dāng)時(shí)，，請(qǐng)直接寫出EF的長(zhǎng)．19.（2022安陽一模）興趣小組探索等腰三角形中線段比值問題，部分探索活動(dòng)如下：

（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，D，E分別是BC，AC邊上的點(diǎn)，∠AFE=∠ABC，則的值為______．（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，D，E分別是BC，AC邊上的點(diǎn)，∠AFE=∠ABC，請(qǐng)你猜想的值，并給出證明；（3）如圖3，在△ABC中，AB=AC，cos∠ABC=，D，E分別是BC，CA邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠DFB=∠ABC，請(qǐng)直接寫出的值．20.（2022南陽唐河一模）（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一條直線上．填空：①線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為；②∠BEC=°．（2）（類比探究）如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，點(diǎn)B，D，E在同一條直線上，請(qǐng)判斷線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系及∠BEC的度數(shù)，并給出證明．（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=5，點(diǎn)D在AB邊上，DE⊥AC于點(diǎn)E，AE=3，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE所在直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，CE長(zhǎng)是多少？（直接寫出答案）21.（2022南陽內(nèi)鄉(xiāng)一模）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直線BD，CE交于點(diǎn)F，直線BD，AC交于點(diǎn)G．則線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）類比探究如圖2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直線BD，CE交于點(diǎn)F，AC與BD相交于點(diǎn)G．若AB＝kAC，試判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系以及直線BD和CE相交所成的較小角的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3.0），點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN．將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段MP，連接NP，OP．請(qǐng)直接寫出線段OP長(zhǎng)度的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．22.（2022鄭州外國(guó)語一模）如圖(1)，在矩形ABCD中，AD＝nAB，點(diǎn)M，P分別在邊AB，AD上(均不與端點(diǎn)重合)，且AP＝nAM，以AP和AM為鄰邊作矩形AMNP，連接AN，CN.【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖(2)，當(dāng)n＝1時(shí)，BM與PD的數(shù)量關(guān)系為，CN與PD的數(shù)量關(guān)系為.【類比探究】（2）如圖(3)，當(dāng)n＝2時(shí)，矩形AMNP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接PD，則CN與PD之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)就圖(3)給出證明；若變化，請(qǐng)寫出數(shù)量關(guān)系，并就圖(3)說明理由.【拓展延伸】（3）在(2)的條件下，已知AD＝4，AP＝2，當(dāng)矩形AMVP旋轉(zhuǎn)至C，N，M三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CN的長(zhǎng)23.（2022信陽二模）（1）觀察猜想：如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，四邊形EBFG也是正方形，連接DG．則，直線DG與直線CF相交所夾的銳角度數(shù)為；（2）探索思考：①如圖②，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，四邊形EBFG是矩形，連接DG，則，直線DG與直線CF相交所夾的銳角度數(shù)為；②如圖③，若將矩形EBFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，的值以及直線DG與直線CF相交所夾的銳角度數(shù)是否發(fā)生變化？請(qǐng)僅就圖③的情形給出證明；（3）拓履延伸：在（2）條件下當(dāng)矩形EBFG旋轉(zhuǎn)至EG垂直DF時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C到直線DF的距離．2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十一：圖形形狀變化引起的類比探究綜合題方法點(diǎn)睛解決圖形形狀變化引起的類比探究題的一般思路1．形狀變化的一般形式(1)等邊三角形或等腰直角三角形等腰三角形一般三角形；(2)等腰直角三角形直角三角形一般三角形；(3)正方形矩形或菱形．2．解題方法先探究特殊圖形情況下的相關(guān)結(jié)論，再推廣到一般圖形，將用圖形之間相通或不變的性質(zhì)，結(jié)合相同的思路去解決問題．關(guān)鍵是對(duì)試題中的變量過程進(jìn)行分析，把握原有圖形的特點(diǎn)，探究變化量的特點(diǎn)，常用類比思想逐步解題．一般情況下，每問采取的方法步驟基本相同，這類題目往往是數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化、從一般到特殊、類比思想和方程思想的綜合運(yùn)用，要將各種情形逐一分析，避免出錯(cuò)．可概括為“方法類似，思路順延；類比滲透，知識(shí)遷移”．典例分析例（2022煙臺(tái)中考）（12分）【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫出的值．【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．（1）求的值；（2）延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．【分析】【問題呈現(xiàn)】證明△BAD≌△CAE，從而得出結(jié)論；【類比探究】證明△BAD∽△CAE，進(jìn)而得出結(jié)果；【拓展提升】（1）先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進(jìn)而得出結(jié)果；（2）在（1）的基礎(chǔ)上得出∠ACE＝∠ABD，進(jìn)而∠BFC＝∠BAC，進(jìn)一步得出結(jié)果．【解答】【問題呈現(xiàn)】證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；【類比探究】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴＝＝，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴＝＝；【拓展提升】解：（1）∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，∴＝＝；（2）由（1）得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．專題過關(guān)1.（2022黔東南中考）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問題：如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)在上．求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．請(qǐng)你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．（2）【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點(diǎn)在上．

①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．②若，試求出正方形的面積．【答案】（1）鈍角三角形；證明見詳解（2）①直角三角形；證明見詳解；②S四邊形ABCD=【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再證△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC為鈍角三角形即可；（2）①以、、為邊的三角形是直角三角形，連結(jié)CG，根據(jù)正方形性質(zhì)，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再證△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可證△AGC為直角三角形即可；②連結(jié)BD，根據(jù)勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面積公式求解即可．【小問1詳解】證明：∵△ABC與△EBD均為等邊三角形，∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，∴∠EBA=∠DBC，△EBA和△DBC中，，∴△EBA≌△DBC（SAS），∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，∴△ADC為鈍角三角形，∴以、、為邊的三角形是鈍角三角形．【小問2詳解】證明：①以、、為邊的三角形是直角三角形．連結(jié)CG，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∵EG為正方形的對(duì)角線，∴∠BEA=∠BGE=45°，∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，∴∠EBA=∠GBC，在△EBA和△GBC中，，∴△EBA≌△GBC（SAS），∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，∴△AGC為直角三角形，∴以、、為邊的三角形是直角三角形；②連結(jié)BD，∵△AGC為直角三角形，，∴AC=，∴四邊形ABCD為正方形，∴AC=BD=，∴S四邊形ABCD=．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理是解題關(guān)鍵．2.（2022盤錦中考）在中，，點(diǎn)D在線段上，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，過點(diǎn)E作，交直線于點(diǎn)F．（1）如圖1，若，請(qǐng)用等式表示與的數(shù)量關(guān)系：____________．（2）如圖2．若，完成以下問題：①當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的異側(cè)時(shí)，請(qǐng)用等式表示之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的同側(cè)時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）①；②或；【解析】【分析】（1）過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，先證明△EDF≌△CDG，得到，然后等腰三角形的性質(zhì)和含30度直角三角形的性質(zhì)，即可求出答案；（2）①過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，與（1）同理，證明△EDF≌△CDH，然后證明是等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；②過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，與（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案．【小問1詳解】解：過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，如圖，∵，∴，∵，，∴△EDF≌△CDG，∴；∵在中，，，∴，∴，∴；故答案為：；【小問2詳解】解：①過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，如圖，與（1）同理，可證△EDF≌△CDH，∴，∴，在中，，，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；②如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，與（1）同理可證，△EDF≌△CDG，∴，∵，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)A、D之間時(shí)，有∴，與①同理，可證是等腰直角三角形，∴；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A、F之間時(shí)，如圖：∴，與①同理，可證是等腰直角三角形，∴；綜合上述，線段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線，正確得到三角形全等．3.（2022陜西中考）問題提出（1）如圖1，是等邊的中線，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，且，則的度數(shù)為__________．問題探究（2）如圖2，在中，．過點(diǎn)A作，且，過點(diǎn)P作直線，分別交于點(diǎn)O、E，求四邊形的面積．問題解決（3）如圖3，現(xiàn)有一塊型板材，為鈍角，．工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)型部件，并要求．工人師傅在這塊板材上的作法如下：①以點(diǎn)C為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)D，連接；②作的垂直平分線l，與于點(diǎn)E；③以點(diǎn)A為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)P，連接，得．請(qǐng)問，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【答案】（1）（2）（3）符合要求，理由見解析【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的判定及性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和，先求出即可；（2）連接．先證明出四邊形是菱形．利用菱形的性質(zhì)得出，由，得出．根據(jù)，得，，即可求出，再求出，利用即可求解；（3）由作法，知，根據(jù)，得出．以為邊，作正方形，連接．得出．根據(jù)l是的垂直平分線，證明出為等邊三角形，即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：，，，，解得：，，，故答案為：；【小問2詳解】解：如圖1，連接．圖1∵，∴四邊形是菱形．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．【小問3詳解】解：符合要求．由作法，知．∵，∴．如圖2，以為邊，作正方形，連接．圖2∴．∵l是的垂直平分線，∴l(xiāng)是的垂直平分線．∴．∴為等邊三角形．∴，∴，∴．∴裁得型部件符合要求．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、菱形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、正方形、垂直平分線，解題的關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行求解，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，題目較難．4．（2022日照中考）（14分）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，以CM，CN為鄰邊作矩形PMCN，交AB于E，F(xiàn)．設(shè)CM＝a，CN＝b，若ab＝8．（1）判斷由線段AE，EF，BF組成的三角形的形狀，并說明理由；（2）①當(dāng)a＝b時(shí)，求∠ECF的度數(shù)；②當(dāng)a≠b時(shí)，①中的結(jié)論是否成立？并說明理由．【分析】（1）分別表示出AE，BF及EF，計(jì)算出AE2+BF2及EF2，從而得出結(jié)論；（2）①連接PC，可推出PC⊥AB，可推出AE＝PE＝PF＝BF，從而得出ME＝EG＝GF＝NF，進(jìn)而得出CE平分∠PCF，CF平分∠BCP，從而得出結(jié)果；②將△BCF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACD，連接DE，可推出DE＝EF，進(jìn)而推出△DCF≌△FCE，進(jìn)一步得出結(jié)果．【解答】解：（1）線段AE，EF，BF組成的是直角三角形，理由如下：∵AM＝AC﹣CM＝4﹣a，BN＝4﹣b，∴AE＝，BE＝，∴AE2+BF2＝2（4﹣a）2+2（4﹣b）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），＝4，∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝[4﹣（4﹣a）﹣（4﹣b）]，∵ab＝8，EF2＝2（a+b﹣4）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+16+2ab）＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），∴AE2+BF2＝EF2，∴線段AE，EF，BF組成的是直角三角形；（2）①如圖1，連接PC交EF于G，∵a＝b，∴ME＝AM＝BN＝NF，∵四邊形CNPM是矩形，∴矩形CNPM是正方形，∴PC平分∠ACB，∴CG⊥AB，∴∠PEG＝90°，∵CM＝CN＝PM＝PN，∴PE＝PF，∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，EF2＝AE2+BF2，EF2＝PE2+PF2，∴PE＝AE＝PF＝BF，∴ME＝EG＝FG＝FN，∴∠MCE＝∠GCE，∠NCF＝∠GCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECG+∠FCG＝；②如圖2，仍然成立，理由如下：將△BCF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACD，連接DE，∴∠DAC＝∠B＝45°，AD＝BF，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAB＝90°，∴DE2＝AD2+AE2＝BF2+AE2∵EF2＝BF2+AE2，∴DE＝EF，∵CD＝CF，CE＝CE，∴△DCF≌△FCE（SSS），∴∠ECF＝∠DCF＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，正方形判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．5.（2022武漢中考）問題提出：如圖（1），中，，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，探究的值．（1）先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫出的值；（2）再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問題拓展：如圖（3），在中，，是的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．直接寫出的值（用含的式子表示）．【答案】（1）[問題提出]（1）；（2）見解析（2）[問題拓展]【解析】【分析】[問題探究]（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合已知條件，求得，，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可得，即可求解；（2）取的中點(diǎn)，連接．證明，可得，根據(jù)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得；[問題拓展]方法同（2）證明，得出，，證明，得到，進(jìn)而可得．【小問1詳解】[問題探究]：（1）如圖，中，，是的中點(diǎn)，，是等邊三角形，，，，，，，，，，．（2）證明：取的中點(diǎn)，連接．∵是的中點(diǎn)，∴，．∵，∴，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．【小問2詳解】[問題拓展]如圖，取的中點(diǎn)，連接．∵是的中點(diǎn)，∴，．∵，∴，∴．∵，∴．∴．∴．∴．，∴．∵，∴．∴．∴．∴．．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)等角，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．6.（2022盤錦中考）在中，，點(diǎn)D在線段上，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，過點(diǎn)E作，交直線于點(diǎn)F．（1）如圖1，若，請(qǐng)用等式表示與的數(shù)量關(guān)系：____________．（2）如圖2．若，完成以下問題：①當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的異側(cè)時(shí)，請(qǐng)用等式表示之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的同側(cè)時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）①；②或；【解析】【分析】（1）過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，先證明△EDF≌△CDG，得到，然后等腰三角形的性質(zhì)和含30度直角三角形的性質(zhì)，即可求出答案；（2）①過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，與（1）同理，證明△EDF≌△CDH，然后證明是等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；②過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，與（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案．【小問1詳解】解：過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，如圖，∵，∴，∵，，∴△EDF≌△CDG，∴；∵在中，，，∴，∴，∴；故答案為：；【小問2詳解】解：①過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，如圖，與（1）同理，可證△EDF≌△CDH，∴，∴，在中，，，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；②如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，與（1）同理可證，△EDF≌△CDG，∴，∵，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)A、D之間時(shí)，有∴，與①同理，可證是等腰直角三角形，∴；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A、F之間時(shí)，如圖：∴，與①同理，可證是等腰直角三角形，∴；綜合上述，線段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線，正確得到三角形全等．7.（2022北部灣中考）已知，點(diǎn)A，B分別在射線上運(yùn)動(dòng)，．（1）如圖①，若，取AB中點(diǎn)D，點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A，B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，連接．判斷OD與有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：（2）如圖②，若，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離：（3）如圖③，若，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大?請(qǐng)說明理由，并求出面積的最大值．【答案】（1），證明見解析（2）（3）當(dāng)時(shí)，的面積最大；理由見解析，面積的最大值為【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半進(jìn)行證明即可；（2）取AB中點(diǎn)T，連接OT、CT、OC，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，繼而可得當(dāng)O、T、C在同一直線上時(shí)，CO最大，再證明，再由勾股定理求出OT的長(zhǎng)，即可求解；（3）以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，連接OC交AB于點(diǎn)T，在OT上取點(diǎn)E，使OE=BE，連接BE，由（2）可知，當(dāng)時(shí)，OC最大，當(dāng)時(shí)，此時(shí)OT最大，即的面積最大，由勾股定理等進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】，證明如下：，AB中點(diǎn)為D，，為的中點(diǎn)，，，，；【小問2詳解】如圖，取AB中點(diǎn)T，連接OT、CT、OC，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，，（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)T在線段OC上時(shí)，等號(hào)成立），當(dāng)O、T、C在同一直線上時(shí)，CO最大，在和中，，，，，即，，，；【小問3詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)到時(shí)，的面積最大，證明如下：以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，連接OC交AB于點(diǎn)T，在OT上取點(diǎn)E，使OE=BE，連接BE，由（2）可知，當(dāng)時(shí)，OC最大，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)OT最大，的面積最大，，，，綜上，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)到時(shí)，的面積最大，面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8.（2022樂山中考）華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第121頁習(xí)題19.3第2小題及參考答案．2．如圖，在正方形ABCD中，．求證：．證明：設(shè)CE與DF交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對(duì)該問題進(jìn)一步探究（1）【問題探究】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．試猜想的值，并證明你的猜想．（2）【知識(shí)遷移】如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．則______．（3）【拓展應(yīng)用】如圖，在四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，且．求的值．【答案】（1）1；證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，利用正方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求證△ABM≌△ADN即可．（2）過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，利用在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，求證△ABM∽△ADN．再根據(jù)其對(duì)應(yīng)邊成比例，將已知數(shù)值代入即可．（3）先證是等邊三角形，設(shè)，過點(diǎn)，垂足為，交于點(diǎn)，則，在中，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，然后證，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例即可求解．【小問1詳解】，理由為：過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形AMFH是平行四邊形，四邊形AEGN是平行四邊形，

∴AM＝HF，AN＝EG，

在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°

∵EG⊥FH，

∴∠NAM＝90°，

∴∠BAM＝∠DAN，

在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN

∴△ABM≌△ADN

∴AM＝AN，即EG＝FH，∴；【小問2詳解】解：過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形AMFH是平行四邊形，四邊形AEGN是平行四邊形，

∴AM＝HF，AN＝EG，在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，

∵EG⊥FH，

∴∠NAM＝90°，

∴∠BAM＝∠DAN．

∴△ABM∽△ADN，∴，

∵，，AM＝HF，AN＝EG，

∴，∴；故答案為：【小問3詳解】解：∵，，∴是等邊三角形，∴設(shè)，過點(diǎn)，垂足為，交于點(diǎn)，則，在中，，∵，，∴，，又∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合性較強(qiáng)，難度較大，是一道難題．9.（2022湖州中考）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對(duì)邊，．記△ABC的面積為S．（1）如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為，正方形BGFC的面積為．①若，，求S的值；②延長(zhǎng)EA交GB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連結(jié)FN，交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：．（2）如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為，等邊三角形CBE的面積為．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點(diǎn)C在△ABF內(nèi)），連結(jié)EF，CF．若EF⊥CF，試探索與S之間的等量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）①6；②見解析（2），理由見解析【解析】【分析】（1）①將面積用a，b的代數(shù)式表示出來，計(jì)算，即可②利用AN公共邊，發(fā)現(xiàn)△FAN∽△ANB，利用，得到a，b的關(guān)系式，化簡(jiǎn)，變形，即可得結(jié)論（2）等邊與等邊共頂點(diǎn)B，形成手拉手模型，△ABC≌△FBE，利用全等的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角，得到：AC＝FE＝b，∠FEB＝∠ACB＝90°，從而得到∠FEC＝30°，再利用，，得到a與b的關(guān)系，從而得到結(jié)論【小問1詳解】∵，∴b＝3，a＝4∵∠ACB＝90°∴②由題意得：∠FAN＝∠ANB＝90°，∵FH⊥AB∴∠AFN＝90°－∠FAH＝∠NAB∴△FAN∽△ANB∴∴，得：∴．即【小問2詳解】，理由如下：∵△ABF和△BEC都是等邊三角形∴AB＝FB，∠ABC＝60°－∠FBC＝∠FBE，CB＝EB∴△ABC≌△FBE（SAS）∴AC＝FE＝b∠FEB＝∠ACB＝90°∴∠FEC＝30°∵EF⊥CF，CE＝BC＝a∴∴∴由題意得：，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似，手拉手模型，代數(shù)運(yùn)算，本題難點(diǎn)是圖二中的相似和圖三中的手拉手全等.10.（2022黔東南中考）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問題：如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)在上．求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．請(qǐng)你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．（2）【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點(diǎn)在上．

①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．②若，試求出正方形的面積．【答案】（1）鈍角三角形；證明見詳解（2）①直角三角形；證明見詳解；②S四邊形ABCD=【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再證△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC為鈍角三角形即可；（2）①以、、為邊的三角形是直角三角形，連結(jié)CG，根據(jù)正方形性質(zhì)，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再證△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可證△AGC為直角三角形即可；②連結(jié)BD，根據(jù)勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面積公式求解即可．【小問1詳解】證明：∵△ABC與△EBD均為等邊三角形，∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，∴∠EBA=∠DBC，△EBA和△DBC中，，∴△EBA≌△DBC（SAS），∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，∴△ADC為鈍角三角形，∴以、、為邊的三角形是鈍角三角形．【小問2詳解】證明：①以、、為邊的三角形是直角三角形．連結(jié)CG，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∵EG為正方形的對(duì)角線，∴∠BEA=∠BGE=45°，∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，∴∠EBA=∠GBC，在△EBA和△GBC中，，∴△EBA≌△GBC（SAS），∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，∴△AGC為直角三角形，∴以、、為邊的三角形是直角三角形；②連結(jié)BD，∵△AGC為直角三角形，，∴AC=，∴四邊形ABCD為正方形，∴AC=BD=，∴S四邊形ABCD=．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理是解題關(guān)鍵．11.（2022信陽一模）在直線m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D，A，E，在直線m上方有AB=AC，且滿足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，當(dāng)α=120°時(shí)，點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且AB=AF，分別連接FB，F(xiàn)D，F(xiàn)E，F(xiàn)C，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．【答案】（1）DE＝BD+CE##DE=CE+BD（2）成立，證明見詳解（3）等邊三角形，理由見詳解【解析】分析】（1）由∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，進(jìn)而得到∠DBA=∠EAC，然后結(jié)合AB=AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE；（2）由∠BDA=∠BAC=∠AEC=α得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α，進(jìn)而得到∠DBA=∠EAC，然后結(jié)合AB=AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE；（3）先由α=120°和AF平分∠BAC得到∠BAF=∠CAF=60°，然后結(jié)合AB=AF=AC得到△ABF和△ACF是等邊三角形，然后得到FA=FC、∠FCA=∠FAB=60°，然后結(jié)合△BDA≌△EAC得到∠BAD=∠ACE、AD=CE，從而得到∠FAD=∠FCE，故可證△FAD≌△FCE，從而得到DF=EF、∠DFA=∠EFC，最后得到∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠EFC+∠AFE=60°，即可得證△DEF是等邊三角形．【小問1詳解】DE=BD+CE，理由如下，∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，∴∠DBA=∠EAC，∵AB=AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=BD+CE，故答案為：DE=BD+CE．【小問2詳解】DE=BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=α，∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α，∴∠DBA=∠EAC，∵AB=AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AD+AE=BD+CE；【小問3詳解】△DEF是等邊三角形，由（2）知，△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵當(dāng)α=120°時(shí)，點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)∴∠BAF＝∠CAF＝60°，∵AB=AF=AC∴△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE·10分在△DBF和△EAF中，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DEF為等邊三角形【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用一線三等角模型證明三角形全等．12.（2022河南長(zhǎng)垣一模）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，∠CDE=∠BAC=，CD=ED，連接BE，EC．

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，若=60°，則∠EBA=，AD與EB的數(shù)量關(guān)系是；（2）類比探究：如圖②，當(dāng)=90°時(shí)，請(qǐng)寫出∠EBA的度數(shù)及AD與EB的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)E為正方形ABCD的邊AB上的三等分點(diǎn)，以DE為邊在DE上方作正方形DEFG，點(diǎn)O為正方形DEFG的中心，若OA=，請(qǐng)直接寫出線段EF的長(zhǎng)度【答案】（1），相等（2），，理由見解析（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，證得、為等邊三角形；再通過證明，得，從而完成求解；（2）根據(jù)題意，證得、為等腰直角三角形，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，得；通過證明，根據(jù)相似三角形相似比的性質(zhì)分析，即可得到答案；（3）分、兩種情況；當(dāng)時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，推導(dǎo)得、是等腰直角三角形，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)，通過證明，根據(jù)相似比的性質(zhì)，計(jì)算得、，再根據(jù)勾股定理和正方形的性質(zhì)分析，即可得EF；當(dāng)時(shí)，同理，通過證明，結(jié)合勾股定理計(jì)算，即可得到答案．【小問1詳解】∵∠CDE=∠BAC==60°，CD=ED，AB=AC，∴、為等邊三角形∴，，∵，∴在和中∴∴，∴故答案為：，相等；【小問2詳解】∵∠CDE=∠BAC==90°，CD=ED，AB=AC，∴、為等腰直角三角形∴，∴，∴∴∴，∴；【小問3詳解】如圖，當(dāng)時(shí)，得正方形，連接BD∴，，，∴，∴是等腰直角三角形∴∴，∵正方形ABCD∴，∴∴是等腰直角三角形∴，∴，∴∴∵OA=∴∵，∴∴∴∴∴；如圖，當(dāng)時(shí)，得正方形，連接BD

∴，，，∴，∴是等腰直角三角形∴∴，∵正方形ABCD∴，∴∴是等腰直角三角形∴，∴，∴∴∵OA=∴∵，∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形、全等三角形、勾股定理、正方形、等腰直角三角形、三角函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．13.（2022河南長(zhǎng)垣二模）（1）在中，，，，且點(diǎn)D，E為邊BC上的點(diǎn)（分別不與點(diǎn)B，C重合，且點(diǎn)D在點(diǎn)E左側(cè)）．①初步探究如圖1，若，，，試探究BD，DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系．下面是小東的探究過程（不完整），請(qǐng)補(bǔ)充完整．解：∵，，∴，，．∴．如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到，連接GE．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，∴，，．∴，．∴為等邊三角形．（依據(jù)：_________________）∴____________．∵，，∴，又∵，∴．∴．∴．②類比探究如圖2，若，，，請(qǐng)寫出BD，DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并就圖2的情形說明理由．（2）問題解決如圖3，在中，，于點(diǎn)M，，，點(diǎn)N為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)N為BC的三等分點(diǎn)時(shí)，直接寫出AN的長(zhǎng)．

【答案】（1）①有一個(gè)角為60°的等腰三角形，CE，GE；②結(jié)論是：DE2=CE2+BD2．證明見詳解（2）AN長(zhǎng)為或【解析】【分析】（1）①將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到，連接GE．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，得出，．可證為等邊三角形．（依據(jù)：有一個(gè)角為60°的等腰三角形），得出CEGE即可；②結(jié)論是：DE2=CE2+BD2,將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACG，連結(jié)CG，得出AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，∠B=∠ACG，再證∠DAE=∠GAE，然后證明△DAE≌△GAE（SAS）即可；（2）將△AMC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AHC′，延長(zhǎng)HC′與MB的延長(zhǎng)線交于S，先證四邊形AHSM為正方形，∠C′AB=90°-∠HAC′-∠BAM=90°-（∠CAM+∠MAB）=45°=∠CAB,AM=AH=HS=BS，再證△AC′B≌△ACB（SAS），得出C′B=CB=BM+CM=5，根據(jù)勾股定理得即解方程即可．【詳解】（1）①將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到，連接GE．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，∴，，．∴，．∴為等邊三角形．（依據(jù)：有一個(gè)角為60°的等腰三角形）∴CEGE．∵，，∴，又∵，∴．∴．∴．故答案為：有一個(gè)角為60°的等腰三角形，CE，GE；②結(jié)論是：DE2=CE2+BD2．證明：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACG，連接EG，則AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，∠B=∠ACG，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=90°，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠BAD+∠EAC=90°-∠DAE=45°，∴∠DAE=∠GAE，在△DAE和△GAE中，，∴△DAE≌△GAE（SAS），∴DE=GE，在Rt△GCE中，GE2=EC2+GC2即DE2=EC2+BD2；

（2）解：將△AMC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AHC′，延長(zhǎng)HC′與MB的延長(zhǎng)線交于S，則∠HAM=90°，∵AM⊥BC，∴∠AMC=∠AMB=90°，根據(jù)三角形旋轉(zhuǎn)90°得AH=AM，HC′=MC=2，AC′=AC，∠HAC′=∠MAC，∠H=∠AMC=90°，∴∠H=∠AMC=∠HAM=90°，∴四邊形AHSM為矩形，∵AH=AM，∴四邊形AHSM為正方形，∴∠C′AB=90°-∠HAC′-∠BAM=90°-（∠CAM+∠MAB）=45°=∠CAB,AM=AH=HS=MS，在△AC′B和△ACB中，，∴△AC′B≌△ACB（SAS），∴C′B=CB=BM+CM=5，在Rt△C′SB中,C′S=AM-HC′=AM-2，BS=AM-BM=AM-3，根據(jù)勾股定理得即，解得AM=6或AM=-1（舍去），

當(dāng)點(diǎn)N在BM上，NB=，∴MN=3-BN=，∴AN=，當(dāng)點(diǎn)N在CM上，CN=，∴MN=2-CN=，∴AN=，綜合AN的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形判定與性質(zhì)，一元二次方程，掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形判定與性質(zhì)，一元二次方程是解題關(guān)鍵．14.（2022河南夏邑一模）在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），過點(diǎn)C作交射線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)F．（1）觀察猜想如圖（1）．當(dāng)時(shí)，_______，線段之間的數(shù)量關(guān)系為________．（2）類比探究當(dāng)時(shí)，如圖（2），求的度數(shù)，并探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．（3）解決問題當(dāng)時(shí)，若，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C，D重合），其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)A，F(xiàn)，E中的一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)的連線的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1）45，（2）的度數(shù)為30°，（3）的長(zhǎng)為或【解析】【分析】（1）連接AD，根據(jù)題意可得，，再證明，由全等三角形的性質(zhì)即可求解；（2）連接AD，根據(jù)題意可得，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)即可求解；（3）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)勾股定理求解即可．【小問1詳解】連接AD，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，，，，，即，，，，在和中，又，，，，，，故答案為：45°，；【小問2詳解】連接AD，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，；【小問3詳解】當(dāng)點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)時(shí)，如圖，在中，根據(jù)勾股定理得，即，，，；當(dāng)點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)時(shí)，如圖，連接AD，，，在中，根據(jù)勾股定理得，即，，，；綜上，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．15.（2022河南濟(jì)源一模）在與中，連接，點(diǎn)、分別為和的中點(diǎn)，與所在直線交于點(diǎn)．

（1）【觀察猜想】如圖①，若，，，與的數(shù)量關(guān)系是________，________；（2）【類比探究】如圖②，若，，，請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系與的度數(shù)，并就圖②的情形說明理由；（3）【解決問題】如圖③，，，，將繞點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在的邊所在直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1）2MN=BD，60；（2）2MN=BD，∠BPM=90°；（3）MN的長(zhǎng)為，或．【解析】【分析】（1）先證∠BPM=∠QP'B，再找∠DAB=∠EAC，從而得到，于是有∠DBA=∠ECA，BD=CE=2MN，進(jìn)而得出∠QP'B=∠QAC=60°即可求解；（2）如圖2，連接CE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)Q，交BD于點(diǎn)P'，先證明△ADB≌△AEC(SAS)，得到∠DBA=∠ECA，BD=CE=2MN，然后在△QP'B和△QAC中，由∠P'BQ=∠ACQ，∠P'QB=∠AQC，得出∠QP'B=∠QAC=90°即可求解；（3）連接BD，CE，求出點(diǎn)D在以點(diǎn)A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑的圓上，進(jìn)而分四種情況討論求解即可：①當(dāng)點(diǎn)D落在邊AC上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)D落在邊BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)D落在邊CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，④當(dāng)點(diǎn)D落在邊AB上時(shí)．【小問1詳解】解：如圖1，連接CE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)P'，解：M，N分別為DE，DC的中點(diǎn)，MN是△DEC的中位線，MN//EC，且2MN=EC，∠BPM=∠QP'B，∠BAC=∠DAE=60°，∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，即∠DAB=∠EAC，又AB=AC，AD=AE，，∠DBA=∠ECA，BD=CE=2MN，在△QP'B和△QAC中，∠P'BQ=∠ACQ，∠P'QB=∠AQC，∠QP'B=∠QAC=60°，∠BPM=60°；【小問2詳解】解：如圖2，連接CE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)Q，交BD于點(diǎn)P'，M，N分別為DE，DC的中點(diǎn)，MN是△DEC的中位線，MN//EC，且2MN=EC，∠BPM=∠BP'Q，∠BAC=∠DAE=90°，∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，即∠DAB=∠CAE.又AB=AC，AD=AE，△ADB≌△AEC(SAS)，∠DBA=∠ECA，BD=CE=2MN，在△QP'B和△QAC中，∠P'BQ=∠ACQ，∠P'QB=∠AQC，∠QP'B=∠QAC=90°，∠BPM=90°；【小問3詳解】解：連接BD，CE，易證CE=BD，同（2）可得MN=EC，MN=BD，點(diǎn)D在以點(diǎn)A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑的圓上，如圖3，故分四種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)D落在邊AC上時(shí)，如圖4，3AD=AB=6，AD=2，在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=，MN=BD=；②當(dāng)點(diǎn)D落在邊BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖5，此時(shí)BD=AB+AD=8，MN=BD=；③當(dāng)點(diǎn)D落在邊CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖6，此時(shí)，MN=BD=；④當(dāng)點(diǎn)D落在邊AB上時(shí)，如圖7，此時(shí)BD=AB-AD=4，MN=BD=；綜上所述，MN的長(zhǎng)為MN的長(zhǎng)為，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、圖形旋轉(zhuǎn)及性質(zhì)以及圓的認(rèn)識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)及中位線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16.（2022鄭州一模）如圖，射線AB和射線CB相交于點(diǎn)B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．點(diǎn)D是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)C和點(diǎn)B重合），作射線AD，并在射線AD上取一點(diǎn)E，使∠AEC＝α，連接CE，BE．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，α＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠AEB的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，α＝120°時(shí)，請(qǐng)寫出線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)α＝120°，tan∠DAB＝時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．【23題答案】【答案】（1）45°；（2）AE＝BE+CE，理由見解析；（3）或【解析】【分析】（1）連接AC，證A、B、E、C四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠AEB＝∠ACB，證出△ABC是等腰直角三角形，則∠ACB＝45°，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）在AD上截取AF＝CE，連接BF，過點(diǎn)B作BH⊥EF于H，證△ABF≌△CBE（SAS），得出∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，由等腰三角形的性質(zhì)得出FH＝EH，由三角函數(shù)定義得出FH＝EH＝BE，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）分兩種情況，由（2）得FH＝EH＝BE，由三角函數(shù)定義得出AH＝3BH＝BE，分別表示出CE，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）連接AC，如圖①所示：∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，∴∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A、B、E、C四點(diǎn)共圓，∴∠AEB＝∠ACB，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∴∠AEB＝45°；（2）AE＝BE+CE，理由如下：在AD上截取AF＝CE，連接BF，過點(diǎn)B作BH⊥EF于H，如圖②所示：∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，∴∠ABD＝∠FBE，∵∠ABC＝120°，∴∠FBE＝120°，∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF＝，∵BH⊥EF，∴∠BHE＝90°，F(xiàn)H＝EH，Rt△BHE中，，∴，∵AE＝EF+AF，AF＝CE，∴；（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，在AD上截取AF＝CE，連接BF，過點(diǎn)B作BH⊥EF于H，如圖②所示，由（2）得：FH＝EH＝BE，∵tan∠DAB＝，∴，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，在射線AD上截取AF＝CE，連接BF，過點(diǎn)B作BH⊥EF于H，如圖③所示，同①得：，∴，∴＝；綜上所述，當(dāng)α＝120°，時(shí)，的值為或．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理、三角函數(shù)定義等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．17.（2022南陽唐河二模）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題做了如下研究：【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，連接AM，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，則∠ABC和∠ACN的數(shù)量關(guān)系為；【變式探究】（2）如圖②，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C，連接AM，以AM為邊作等腰三角形AMN，使∠AMN＝∠ABC，AM＝MN，連接CN，試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【解決問題】（3）如圖③，在正方形ADBC中，點(diǎn)M為BC邊上一點(diǎn)，以AM為邊作正方形AMEF，點(diǎn)N為正方形AMEF的中心，連接CN，AB，AE，若正方形ADBC的邊長(zhǎng)為8，CN＝，直接寫出正方形AMEF的邊長(zhǎng)．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）10【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，證明△ABM≌△ACN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到答案；（2）證明△ABC∽△AMN．得到，再證明△ABM∽△ACN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（3）證明△ABM～△ACN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BM，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵△ABC與△AMN是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，在△ABM與△ACN中，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN，故答案為：∠ABC＝∠ACN；（2）∠ABC＝∠ACN，理由如下：∵AB＝BC，AM＝MN，∴,∴，又∠ABC＝∠AMN，∴△ABC∽△AMN．∴,∵∠BAC＝∠MAN，∴∠BAM＝∠CAN，∴△ABM∽△ACN，∴∠ABC＝∠ACN；（3）∵四邊形ADBC，AMEF為正方形，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∠MAN＝45°，∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，∵,∴,又∠BAM＝∠CAN，∴△ABM∽△ACN，∴，即,∴BM＝2，∴CM＝6，在Rt△AMC，AC＝8，CM＝6，,答：正方形AMEF的邊長(zhǎng)為10．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．18.（2022鶴壁一模）如圖，在中，，AH是BC邊上的高，點(diǎn)D是直線AH上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），且，得到線段DE，連結(jié)EC，EB，直線AH和直線BE相交于點(diǎn)F．（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，線段AD與BE的比值是_________；直線AD與BE所夾銳角是_________；（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)僅就圖②中的情形進(jìn)行證明；否測(cè)，請(qǐng)說明理由；（3）如圖③，若當(dāng)時(shí)，，請(qǐng)直接寫出EF的長(zhǎng)．【答案】（1）；45°（2）不成立，，直線AD與BE所夾銳角是，見解析（3）或【解析】【分析】（1）證明，利用相似三角形的性質(zhì)求的值，利用三角形內(nèi)角和求AD與BE所成的角；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理即可求解；（3）分情況討論：點(diǎn)D在線段AH上，點(diǎn)D在HA的延長(zhǎng)線上兩中情況．【小問1詳解】解：如圖，在中，，，AH是BC邊上的高，，在中，，DC=DE，

，，，，故答案為：；【小問2詳解】解：結(jié)論不成立．；直線AD與BE所夾銳角是．理由如下：如圖，，線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段DE在中，，，【小問3詳解】解：分情況討論：當(dāng)點(diǎn)D在線段AH上時(shí)，，是等邊三角形，，，，，，在中，令，根據(jù)勾股定理，得，解得，，，在中，，，在中，，，當(dāng)點(diǎn)D在HA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，，由，得，，，，在中，，，，綜上可得，或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的綜合題，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．相似三角形相似和全等三角形的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．19.（2022安陽一模）興趣小組探索等腰三角形中線段比值問題，部分探索活動(dòng)如下：

（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，D，E分別是BC，AC邊上的點(diǎn)，∠AFE=∠ABC，則的值為______．（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，D，E分別是BC，AC邊上的點(diǎn)，∠AFE=∠ABC，請(qǐng)你猜想的值，并給出證明；（3）如圖3，在△ABC中，AB=AC，cos∠ABC=，D，E分別是BC，CA邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠DFB=∠ABC，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】（1）1（2）的值為，證明見解析（3）的值為．【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)證明∠CBE=∠BAD，再利用“ASA”證明△CBE≌△BAD可證明BE=AD，即可求解；（2）利用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)得到BC，再證明∠CBE=∠BAD，推出△BCE∽△ABD，利用相似三角形的性質(zhì)即可得到=；（3）過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，在Rt△ABM中，求得，再證明∠E=∠D，推出△BCE∽△ABD，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【小問1詳解】解：在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABD=C=60°，∴∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°，∵∠AFE=∠BAD+∠ABE，且∠AFE=∠ABC，∴∠CBE+∠ABE=∠BAD+∠ABE，∴∠CBE=∠BAD，在△CBE和△BAD中，，∴△CBE≌△BAD(ASA)，∴BE=AD，∴，即的值為1；故答案為：1；【小問2詳解】解：猜想的值為，證明如下：在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，∴∠C=∠ABC=45°，∠BAC=90°，∴BC=，∵∠AFE=∠BAD+∠ABE，∠AFE=∠ABC，∠CBE+∠ABE=∠ABC，∴∠CBE+∠ABE=∠BAD+∠ABE，∴∠CBE=∠BAD，∴△BCE∽△ABD，∴=；【小問3詳解】：在△ABC中，AB=AC，cos∠ABC=，∴∠BCE=∠ABD，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，如圖：

則∠AMB=90°，BM=CM=BC，在Rt△ABM中，=cos∠ABC=，∴，∴，∵∠DFB=∠ABC，∠DFB=∠E+∠EAF，∠ABC=∠BCA=∠D+∠CAD，∴∠E+∠EAF=∠D+∠CAD，而∠EAF=∠CAD，∴∠E=∠D，∴△BCE∽△ABD，∴，即的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．20.（2022南陽唐河一模）（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一條直線上．填空：①線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為；②∠BEC=°．（2）（類比探究）如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，點(diǎn)B，D，E在同一條直線上，請(qǐng)判斷線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系及∠BEC的度數(shù)，并給出證明．（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=5，點(diǎn)D在AB邊上，DE⊥AC于點(diǎn)E，AE=3，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE所在直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，CE長(zhǎng)是多少？（直接寫出答案）【26題答案】【答案】（1）①BD=CE，②60；（2）BD=，∠BEC=45．理由見解析；（3）或【解析】【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和SAS可證明，則有，然后再利用即可求出的度數(shù)；（2）首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)得出，則有，，進(jìn)而可求出，再根據(jù)即可得到；（3）分兩種情況進(jìn)行討論：將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，DE所在直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)和將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，DE所在直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，利用相似三角形的判定及性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）∵和均為等邊三角形，，．在和中，，，；（2），．理由如下：和均為等腰直角三角形，∴，，∴，，∵和中，，，，∴，∴，又∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；（3）如圖，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，DE所在直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，，．，．，．，．，，，，．，，，；如圖，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，DE所在直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，同理可得，綜上所述，CE的長(zhǎng)度為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.（2022南陽內(nèi)鄉(xiāng)一模）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，且∠B