江蘇省南通市海安高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE江蘇省南通市海安高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）參考公式：（1）回來方程：，其中，（2）球的半徑為R，球的表面積，體積為一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.某校的足球，樂器演奏，航模愛好三個愛好小組的人數(shù)分別為200，150，100，若用分層抽樣方法抽取n名學(xué)生參與某項活動，已知從航模小組中抽取了2名學(xué)生，則n的值為（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】A【解析】【分析】由題意利用分層抽樣的定義和方法，求出n的值.【詳解】由分層抽樣的定義得解得n=9.【點睛】本題考查分層抽樣的定義和方法，屬于基礎(chǔ)題.2.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則△ABC的形態(tài)為（）A.等腰三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.銳角三角形【答案】B【解析】【分析】依據(jù)兩角差的余弦公式可得，從而得到，即可得到答案；【詳解】,,△ABC的形態(tài)為鈍角三角形.故選：B.【點睛】本題考查三角形形態(tài)的推斷、三角恒等變換，考查邏輯推理實力、運算求解實力.3.兩條平行直線和之間的距離是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題首先可依據(jù)兩直線平行求出，得出直線方程為，然后依據(jù)兩平行直線間的距離公式即可得出結(jié)果.【詳解】因為直線和平行，所以，解得，則直線方程為，即，故直線與之間的距離，故選：C.【點睛】本題考查依據(jù)兩直線平行求參數(shù)以及兩平行直線間的距離公式，若兩平行直線方程為、，則兩平行直線間的距離公式為，考查計算實力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，是簡潔題.4.一組數(shù)據(jù)90，92，99，97，96，x的眾數(shù)是92，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.94 B.95 C.96 D.97【答案】A【解析】【分析】由于眾數(shù)為92，從而可得x=92，然后排列后可求出中位數(shù).【詳解】解：因為數(shù)據(jù)90，92，99，97，96，x眾數(shù)是92，所以x=92，所以這組數(shù)據(jù)從小到大排列后為：90，92，92，96，97，99，所以中位數(shù)為，故選：A【點睛】此題考查一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.5.已知直線x＋my＋1＋m＝0在兩坐標軸上的截距相等，則實數(shù)m＝（）A.1 B.－1 C.±1 D.1或0【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，可分直線過原點和不過原點，兩種狀況探討，即可求解.【詳解】由題意，直線在兩坐標軸上的截距相等，當(dāng)直線過原點時，此時在坐標軸上的截距都為零，則，解得；當(dāng)直線不過原點時，要使得在坐標軸上的截距相等，此時直線的斜率為，即，解得，綜上可得，實數(shù).故選：C.【點睛】本題主要考查了直線方程，以及直線的截距的概念及應(yīng)用，其中解答中熟記直線在坐標軸上的截距的概念，列出相應(yīng)的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解實力.6.將60個個體依據(jù)01，02，03，…，60進行編號，然后從隨機數(shù)表的第9行第9列起先向右讀數(shù)（下表為隨機數(shù)表的第8行和第9行），則抽取的第11個個體是（）A.38 B.13 C.42 D.02【答案】D【解析】【分析】依據(jù)隨機數(shù)表法，推斷出所抽取的個體.【詳解】隨機數(shù)表第9行第9列為2，抽取的個體分別為29，56，07，52，42，44，38，15，51，13，02，第11個個體為02.故選：D【點睛】本小題主要考查隨機數(shù)表法進行抽樣，屬于基礎(chǔ)題.7.一個箱子中裝有4個白球和2個黑球，若一次摸出兩個球，則摸到兩球顏色相同的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用組合數(shù)計算得到基本領(lǐng)件總數(shù)和顏色相同的基本領(lǐng)件個數(shù)，由古典概型概率公式計算可得結(jié)果.【詳解】一個盒子里裝有4個白球，2個黑球，一次摸出兩個球，基本領(lǐng)件總數(shù)取到的球顏色相同包含的基本領(lǐng)件個數(shù)，取到的球顏色相同的概率故選：B.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，涉及到組合數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.正方體的全面積為1，它的頂點都在球面上，則這個球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得外接球半徑，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意可知，正方體的體對角線為外接球的直徑，設(shè)正方體的棱長為，由題意可得：，則，設(shè)外接球半徑為，由題意可知：，則，這個球的表面積為：.故選：B.【點睛】本題主要考查球的表面積公式，正方體外接球半徑的求解等學(xué)問，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實力和計算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.9.一個班數(shù)學(xué)成果頻率分布表（樣本容量為）不當(dāng)心損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為，則估計樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)共有（）分組頻數(shù)A.28 B.30 C.32 D.34【答案】B【解析】【分析】設(shè)樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)分別為，由樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為，求得樣本中數(shù)據(jù)在上的數(shù)據(jù)個數(shù)，即可求得答案.【詳解】設(shè)樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)分別為數(shù)據(jù)在上的頻率為解得：則樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)共有：.故選：B.【點睛】本小題主要考查樣本、頻數(shù)與頻率之間的關(guān)系，考查分析和解決問題的實力，屬于基礎(chǔ)題.10.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為，角C的平分線交對邊AB于D，且CD將三角形的面積分成3：4兩部分，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知面積關(guān)系和角平分線，可得出關(guān)系，結(jié)合和正弦定理，即可求出結(jié)論.【詳解】，CD將三角形的面積分成3：4兩部分，，又是角的角平分線，，.故選：C.【點睛】本題考查面積公式、正弦定理以及三角恒等變換解三角形，留意角平分線的合理應(yīng)用，考查計算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題4分，共12分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得4分，兩個都選對但不全的得2分，有選錯或只選一個或不選的不得分．11.已知的三邊長分別是，，．則下列說法正確的是（）A.以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為B.以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為C.以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的全面積為D.以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為【答案】ABD【解析】【分析】以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時，所得旋轉(zhuǎn)體是圓錐，求出其側(cè)面積；以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，所得旋轉(zhuǎn)體是具有同底的兩個圓錐體的組合體，求出其體積；以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時，所得旋轉(zhuǎn)體是圓錐，求出其側(cè)面積和體積，從而可得答案.【詳解】以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時，所得旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為，母線長為，高為的圓錐，其側(cè)面積為，故A正確；以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，所得旋轉(zhuǎn)體是具有同底的兩個圓錐體的組合體，其半徑為，故所得旋轉(zhuǎn)體的體積：，故B正確；以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時，所得旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為，母線長為，高為的圓錐，側(cè)面積為，體積為，故C錯誤，D正確.故選：ABD.【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的概念，考查了圓錐的側(cè)面積和體積公式，屬于基礎(chǔ)題.12.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知下列條件：①；②；③；④．其中滿意上述條件的三角形有兩解的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】AB【解析】【分析】①先求出頂點A到BC的距離，再與b，c兩邊比較大小可得結(jié)論；②先求出頂點C到AB的距離，再與a，b兩邊比較大小可得結(jié)論；③由正弦定理干脆求解即可推斷，④由，可得，從而可推斷.【詳解】解：對于①，由，得，所以，所以三角形有兩個解；對于②，由得，，所以，所以三角形有兩個解；對于③，由結(jié)合正弦定理得，，所以角，所以三角形只有一個解；對于④，由于，可知，這樣的三角形不存在，無解；故選：AB【點睛】此題考查正弦定理的應(yīng)用，三角形中大邊對大角，三角形解的個數(shù)的推斷方法，屬于中檔題.13.以下對各事務(wù)發(fā)生的概率推斷正確的是（）A.連續(xù)拋兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣，有3個基本領(lǐng)件，出現(xiàn)一正一反的概率為B.每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，例如12＝5＋7，在不超過15的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于14的概率為C.將一個質(zhì)地勻稱的骰子先后拋擲2次，登記兩次向上的點數(shù)，則點數(shù)之和為6的概率是D.從三件正品、一件次品中隨機取出兩件，則取出產(chǎn)品全是正品的概率是【答案】BCD【解析】【分析】A.列舉全部的基本領(lǐng)件，得到概率，推斷選項；B.首先列舉素數(shù)，再依據(jù)組合數(shù)，寫出概率；C.列舉滿意條件的基本領(lǐng)件，求概率；D.依據(jù)組合數(shù)寫出概率，推斷選項.【詳解】A.連續(xù)拋兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣，有4個基本領(lǐng)件，包含兩正，兩反，先反再正，先正再反，出現(xiàn)一正一反的概率，故A不正確；B.不超過15的素數(shù)包含2,3,5,7,11,13，共6個數(shù)字，隨機選取兩個不同的數(shù)字，和等于14的包含，則概率為，故B正確；C.將一個質(zhì)地勻稱的骰子先后拋擲2次，共36種狀況，點數(shù)之和為6包含，共5種，所以點數(shù)之和為6的概率，故C正確；D.由題意可知取出的產(chǎn)品全是正品的概率，故D正確.【點睛】本題考查古典概型，列舉法，組合數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型，本題的關(guān)鍵是正確列舉全部滿意條件的基本領(lǐng)件.二、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在答題卡中的橫線上．14.已知中，，，，則的面積為______．【答案】【解析】【分析】由，求得，可得，結(jié)合三角形面積公式，即可求得答案.【詳解】依據(jù)三角形面積公式：故答案為：.【點睛】本題主要考查了求三角形的面積問題，解題關(guān)鍵是駕馭三角形面積公式，考查了分析實力和計算實力，屬于基礎(chǔ)題.15.已知圓柱底面圓的半徑為1，高為3，矩形ABCD為圓柱的軸截面，一只螞蟻從A點動身，從側(cè)面爬行一圈半到達C點，則螞蟻爬行的最短距離為______．【答案】【解析】分析】通過視察螞蟻爬行的路徑，在矩形中，利用勾股定理得出結(jié)果.【詳解】由題意畫出螞蟻爬行的路徑，如圖所示：將圓柱的側(cè)面綻開，其中為底面圓周的一半，則,，則螞蟻爬行的最短距離為線段，在矩形中，所以螞蟻爬行的最短距離為.故答案為：.【點睛】本題主要考查利用圓柱的側(cè)面綻開圖解決實際問題.屬于中檔題.16.已知一組數(shù)據(jù)點：x…y…用最小二乘法得到其線性回來方程為，若數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為1，則___．【答案】【解析】【分析】依據(jù)回來方程必過樣本點的中心，即可得到答案；【詳解】，，，故答案為：.【點睛】本題考查回來方程的概念，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.17.設(shè)光線l從點動身，經(jīng)過x軸反射后經(jīng)過點，則光線l與x軸交點的橫坐標為______，若該入射光線l經(jīng)x軸發(fā)生折射，折射角為入射角的一半，則折射光線所在直線的縱截距為______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】首先，依據(jù)光線從點射向x軸，得到其關(guān)于x軸的對稱點，然后依據(jù)反射光線的反向延長線經(jīng)過和，得到直線，即得光線與x軸的交點.由入射角是60°可得折射角是30°，且光線經(jīng)過，由直線的點斜式可得直線方程，以此得出縱截距.【詳解】點關(guān)于x軸的對稱點為，則直線:與x軸交于點，所以光線與x軸的交點為;由入射角是,得折射角是，且光線經(jīng)過,得出折射光線所在直線方程為，所以縱截距為.【點睛】本題考查直線方程的兩點式，點斜式，點關(guān)于直線的對稱問題，以及入射反射折射問題.三、解答題：本題共6小題，共82分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．18.為了解學(xué)生課后閱讀的狀況，從全市中小學(xué)抽取1000名學(xué)生進行調(diào)查，統(tǒng)計他們每周利用課后閱讀的時長，下圖是依據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖．（1）依據(jù)頻率分布直方圖，求全部被抽查人員利用課后閱讀的平均時長；（2）現(xiàn)為了了解學(xué)生利用課后閱讀的詳細狀況，打算采納分層抽樣的方法從和組中抽取25人了解狀況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的25人中選5人參與一個座談會．現(xiàn)從參與座談會的5人中隨機抽取兩人發(fā)言，求小組中至少有1人發(fā)言的概率？【答案】（1），（2）10，15，【解析】【分析】（1）用每一組的中點值乘以對應(yīng)的頻率，再把全部的乘積相加即可；（2）先依據(jù)分層抽樣求出每一組抽取的人數(shù)，再求出抽取總事務(wù)，求出概率.【詳解】解：（1）設(shè)被抽查人員利用課后閱讀的平均時長為，則，所以全部被抽查人員利用課后閱讀的平均時長，（2）組的人數(shù)為人，組的人數(shù)為人，所以從組中抽取人，從組中抽取人，在抽取的5人中組中抽取人，組中抽取人，記組中抽取的2人分別為，組中抽取的3人分別為，則從5人中抽取2人的全部狀況如下：共10種狀況，其中在組至少抽取1人的有7種，所以小組中至少有1人發(fā)言的概率為，【點睛】此題考查由頻率分布直方圖求平均數(shù)、分層抽樣和古典概型的概率的求法，屬于基礎(chǔ)題.19.某產(chǎn)品剛剛上市銷售，銷售前對該產(chǎn)品擬定了5種單價進行試銷售，每本單價x（元）試銷售1天，得到如表單價x（元）與銷量y的數(shù)據(jù)關(guān)系：單價x（元）89101112銷量y9892908882（1）已知銷量與單價（元）具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回來方程；（2）若該書每本的成本為5元，要使得售賣時利潤最大，請利用所求的線性相關(guān)關(guān)系確定單價應(yīng)當(dāng)定為多少元？參考公式：.【答案】（1）；（2）單價定為20元時，利潤最大.【解析】【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)，可求出，，，，再結(jié)合，，可求出線性回來方程；（2）設(shè)利潤為，可得，結(jié)合二次函數(shù)，可求出答案.【詳解】（1）由題意，，，，，所以，，所以y關(guān)于x的線性回來方程為.（2）設(shè)利潤為，則，當(dāng)時，利潤取得最大值，故單價定為20元時，利潤最大.【點睛】本題考查線性回來方程及利用回來方程預(yù)料銷售問題，要留意公式的理解及計算的精確性，屬于基礎(chǔ)題.20.在平面直角坐標系中，過定點作傾斜角為（）直線與軸交于點，與軸交于點．（1）當(dāng)取得最大值時，求直線的斜截式方程；（2）當(dāng)面積為時，求直線的截距式方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因為直線的傾斜角為，可得直線的斜率為，其，故：，分別求得點坐標，即可求得，依據(jù)均值不等式即可求得當(dāng)取得最大值時的值，進而求得直線的斜截式方程；（2）由（1）可得，，依據(jù)面積為，可求得值，依據(jù)直線的截距式方程，即可求得答案.【詳解】（1）直線過定點，且傾斜角為（）直線的斜率為，其依據(jù)直線點斜式方程可得直線：即：當(dāng)時，可得：當(dāng)時，可得：又，可得：依據(jù)均值不等式可得：當(dāng)且僅當(dāng)取等號，即解得或（舍），當(dāng)且僅當(dāng)取等號直線的斜截式方程為：當(dāng)取得最大值時，直線的斜截式方程為：.（2）由（1）可得，面積為整理可得：即：直線的截距式方程：【點睛】本題主要考查了求直線的方程，解題關(guān)鍵是駕馭向量數(shù)量積的坐標運算公式，及其直線的斜截式方程和截距式方程求法，考查了分析實力和計算實力，屬于中檔題.21.在長方體中，，E，F(xiàn)為，的中點，且三棱錐的體積為8．（1）求的長；（2）求異面直線BE與所成角的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，再利用，即可得出結(jié)論；（2）建立空間坐標系，利用空間向量求解異面直線所成角即可.詳解】（1）由題意知：，，設(shè)，又面，三棱錐的高，則，所以，即；（2）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間坐標系，，故，所以，所以異面直線BE與所成角的余弦值為.【點睛】本題主要考查利用體積求高以及利用空間向量求解異面直線所成角的問題.屬于中檔題.22.在①；②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題