專題07一次函數(shù)與面積綜合運用(原卷版+解析)

專題07一次函數(shù)與面積綜合運用（三大題型）重難點題型歸納【題型1常規(guī)三角形面積】【題型2鉛垂法求面積】【題型3等底轉(zhuǎn)化】【題型1常規(guī)三角形面積】【解題技巧】當三角形的底或高在坐標軸上，或者平行于坐標軸上，這樣的三角形為常規(guī)三角形，可以直接利用三角形的面積公式進行求解。【典例1】（2023春?永定區(qū)期末）綜合與探究：如圖，平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝圖象分別交x軸、y軸于點A，B，一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象經(jīng)過點B，并與x軸交于點C，點P是直線AB上的一個動點．（1）求A，B兩點的坐標；（2）并直接寫出點C的坐標并求直線BC的表達式；（3）試探究直線AB上是否存在點P，使以A，C，P為頂點的三角形的面積為18？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【變式1-1】（2023春?鳳山縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA，OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，且OA，OB的長滿足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分線交x軸于點C，過點C作AB的垂線，垂足為點D，交y軸于點E．（1）求直線AB的解析式；（2）若△ABC的面積為15，求點C的坐標；【變式1-2】（2023春?涪陵區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝﹣x﹣3與x軸、y軸分別交于點A，B，直線l2交x軸、y軸分別于點C（﹣6，0），D（0，6），直線l2與直線l1交于點E，連接BC．（1）求直線l2的解析式；（2）求△BCE的面積；（3）連結(jié)OE，若點P是x軸上一動點，連結(jié)PE，當△POE為等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標．【變式1-3】（2023春?蘭陵縣期末）如圖，已知函數(shù)y＝x+1的圖象與y軸交于點A，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點B（0，﹣1），與x軸以及y＝x+1的圖象分別交于點C，D，且點D的坐標為（1，n）．（1）則k＝，b＝，n＝；（2）求四邊形AOCD的面積；（3）在x軸上是否存在點P，使得以點P，C，D為頂點的三角形是直角三角形，請求出點P的坐標．【變式1-4】（2023春?連城縣期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點A、點B，點D在y軸的負半軸上，若將△DAB沿直線AD折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點C處．（1）求AB的長；（2）求點C和點D的坐標；（3）y軸上是否存在一點P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式1-5】（2023春?文登區(qū)期中）如圖，直線l1表達式為y＝﹣3x+3，且與x軸交于點D，直線l2經(jīng)過點A（4，0），B（3，），直線l1，l2交于點C．（1）求直線l2的表達式；（2）在直線l2上存在點P，能使S△ADP＝3S△ACD，求點P的坐標．【變式1-6】（2023?花都區(qū)一模）在平面直角坐標系中，直線y＝kx+4（k≠0）交x軸于點A（8，0），交y軸于點B．（1）k的值是；（2）點C是直線AB上的一個動點，點D和點E分別在x軸和y軸上．①如圖，點D的坐標為（6，0），點E的坐標為（0，1），若四邊形OECD的面積是9，求點C的坐標；②當CE平行于x軸，CD平行于y軸時，若四邊形OECD的周長是10，請直接寫出點C的坐標．【題型2鉛垂法求面積】【解題技巧】對于一般三角形，我們可以選擇鉛垂法求解三角形的面積。比如求△ABC的面積，我們可以選取任意兩點橫坐標之差的絕對值作為水平寬，過第三個點作鉛垂線，與之前兩點所在直線交于一點，第三個點與這個交點縱坐標之差的絕對值作為鉛垂高，利用水平寬與鉛垂高乘積的一半求出三角形的面積?！镜淅?】（2021秋?開江縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝kx+1交y軸于點A，交x軸于點B（4，0），過點E（2，0）的直線l2平行于y軸，交直線l1于點D，點P是直線l2上一動點（異于點D），連接PA、PB．（1）求直線l1的解析式；（2）設(shè)P（2，m），求△ABP的面積S的表達式（用含m的代數(shù)式表示）；（3）當△ABP的面積為3時，則以點B為直角頂點作等腰直角△BPC，請直接寫出點C的坐標．【變式2】（秋?鐵西區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+2與x軸交于點A，點B（5，n）在直線y＝x+2上，點C是線段AB上的一個動點，過點C作CP⊥x軸交直線點P，設(shè)點C的橫坐標為m．（1）n的值為；（2）用含有m的式子表示線段CP的長；（3）若△APB的面積為S，求S與m之間的函數(shù)表達式，并求出當S最大時點P的坐標；（4）在（3）的條件下，把直線AB沿著y軸向下平移，交y軸于點M，交線段BP于點N，若點D的坐標為，在平移的過程中，當∠DMN＝90°時，請直接寫出點N的坐標．【題型3等底轉(zhuǎn)化】【典例3】（秋?雁塔區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線l1的解析式為y＝﹣x，直線l2與l1交于點A（a，﹣a），與y軸交于點B（0，b），其中a，b滿足﹣a＝3．（1）求直線l2的解析式．（2）在平面直角坐標系中第二象限有一點P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，請求出點P的坐標．（3）已知平行于y軸左側(cè)有一動直線，分別與l1，l2交于點M、N，且點M在點N的下方，點Q為y軸上一動點，且△MNQ為等腰直角三角形，請求出滿足條件的點Q的坐標．【變式3】（秋?南岸區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，三個頂點的坐標分別為A（0，4），B（﹣2，0），C（﹣4，1），點D是AC延長線與x軸的交點，點P（﹣1，m）在邊AC上．（1）若某一次函數(shù)圖象過A，C兩點，求此一次函數(shù)的解析式；（2）點N是y軸上一動點，當PN+BN值最小時，求N點坐標．（3）在線段BD上是否存在一點Q，使直線PQ平分△ABD的面積？若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

專題07一次函數(shù)與面積綜合運用（三大題型）重難點題型歸納【題型1常規(guī)三角形面積】【題型2鉛垂法求面積】【題型3等底轉(zhuǎn)化】【題型1常規(guī)三角形面積】【解題技巧】當三角形的底或高在坐標軸上，或者平行于坐標軸上，這樣的三角形為常規(guī)三角形，可以直接利用三角形的面積公式進行求解?！镜淅?】（2023春?永定區(qū)期末）綜合與探究：如圖，平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝圖象分別交x軸、y軸于點A，B，一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象經(jīng)過點B，并與x軸交于點C，點P是直線AB上的一個動點．（1）求A，B兩點的坐標；（2）并直接寫出點C的坐標并求直線BC的表達式；（3）試探究直線AB上是否存在點P，使以A，C，P為頂點的三角形的面積為18？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）A（﹣6，0），B（0，3）；（2）y＝﹣x+3，C（3，0）；（3）存在，P坐標為（2，4）或（﹣14，﹣4）．【解答】解：（1）當x＝0時，，∴B（0，3），當y＝0時，則：，解得：x＝﹣6，∴A（﹣6，0）；（2）將點B坐標（0，3）代入y＝﹣x+b可得：﹣3+b＝0，解得：b＝3，∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，當y＝0時，則：﹣x+3＝0，解得：x＝3，∴C（3，0）；（3）存在以A，C，P為頂點的三角形的面積為18，∵A（﹣6，0），C（3，0），∴AC＝9，∴，∴|Py|＝4，當時，x＝2，∴點P坐標為（2，4），當時，x＝﹣14，∴點P坐標為（﹣14，﹣4），綜上，滿足條件的點P坐標為（2，4）或（﹣14，﹣4）．【變式1-1】（2023春?鳳山縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA，OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，且OA，OB的長滿足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分線交x軸于點C，過點C作AB的垂線，垂足為點D，交y軸于點E．（1）求直線AB的解析式；（2）若△ABC的面積為15，求點C的坐標；【答案】（1）y＝；（2）C（﹣3，0）；（3）存在，（﹣3，﹣4）或（3，﹣4）或（﹣3，4）．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，代入A點和B點的坐標得，解得，∴直線AB的解析式為y＝；（2）∵△ABC的面積為15，∴AC?OB＝15，即AC×6＝15，∴AC＝5，∵OA＝8，∴OC＝OA﹣AC＝8﹣5＝3，即C（﹣3，0）；【變式1-2】（2023春?涪陵區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝﹣x﹣3與x軸、y軸分別交于點A，B，直線l2交x軸、y軸分別于點C（﹣6，0），D（0，6），直線l2與直線l1交于點E，連接BC．（1）求直線l2的解析式；（2）求△BCE的面積；（3）連結(jié)OE，若點P是x軸上一動點，連結(jié)PE，當△POE為等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標．【答案】（1）y＝x+6；（2）9；（3）（﹣8，0），，或．【解答】解：（1）設(shè)直線l的解析式為：y＝kx+b，把點C（﹣6，0），D（0，6）代入得：，解得：，∴直線l2的解析式為y＝x+6；（2）解方程組：得：，∴點E的坐標為（﹣4，2），令y＝0，則0＝x﹣3，解得x＝﹣，∴點A得坐標為，當x＝0時，y＝﹣3，∴點B得坐標為（0，﹣3），∵S△BCE＝S△ACE+S△BCA＝AC×|yE|+AC×|yB|＝××2+××3＝9；（3）如圖所示，當OE＝EP時，由等腰三角形的對稱性可得P（﹣8，0）；如圖所示，當OE＝OP時，OP＝OE＝＝，∴P（，0）或P（，0）；如圖所示，當PE＝OP時，設(shè)PE＝OP＝x，則PQ＝4﹣x，在Rt△PQE中，PQ2+EQ2＝PE2，即（4﹣x）2+22＝x2，解得：，∴，綜上所述，點P的坐標為：（﹣8，0），，或．【變式1-3】（2023春?蘭陵縣期末）如圖，已知函數(shù)y＝x+1的圖象與y軸交于點A，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點B（0，﹣1），與x軸以及y＝x+1的圖象分別交于點C，D，且點D的坐標為（1，n）．（1）則k＝3，b＝﹣1，n＝2；（2）求四邊形AOCD的面積；（3）在x軸上是否存在點P，使得以點P，C，D為頂點的三角形是直角三角形，請求出點P的坐標．【答案】（1）3，﹣1，2；（2）；（3）（1，0）或（7，0）．【解答】解：（1）∵點D在直線y＝x+1上，∴n＝1+1＝2，∴D（1，2），∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點B（0，﹣1）和點D（1，2），∴，解得，故答案為：3；﹣1；2；（2）在y＝x+1中，令x＝0可得y＝1，∴A（0，1）由（1）可知一次函數(shù)解析式為y＝3x﹣1，令y＝0，可求得x＝，∴C（，0），∵B（0，﹣1），D（1，2），∴AB＝2，OC＝，OB＝1，∴S四邊形AOCD＝S△ABD﹣S△OBC＝×2×1﹣×1×＝；（3）如圖2所示，設(shè)P（p，0），∴PC2＝（p﹣）2，PD2＝22+（p﹣1）2，CD2＝22+（1﹣）2，分兩種情況考慮：①當P′D⊥DC時，P′C2＝P′D2+CD2，∴（p﹣）2＝22+（p﹣1）2+22+（1﹣）2，∴p＝7，∴P′（7，0）；②當DP⊥CP時，由D橫坐標為1，得到P橫坐標為1，∵P在x軸上，∴P的坐標為（1，0），綜上，P的坐標為（1，0）或（7，0）．【變式1-4】（2023春?連城縣期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點A、點B，點D在y軸的負半軸上，若將△DAB沿直線AD折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點C處．（1）求AB的長；（2）求點C和點D的坐標；（3）y軸上是否存在一點P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．（2）∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．設(shè)OD＝x，則CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）存在，理由如下：∵S△PAB＝S△OCD，∴S△PAB＝××6×8＝12．∵點P在y軸上，S△PAB＝12，∴BP?OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P點的坐標為（0，12）或（0，﹣4）．【變式1-5】（2023春?文登區(qū)期中）如圖，直線l1表達式為y＝﹣3x+3，且與x軸交于點D，直線l2經(jīng)過點A（4，0），B（3，），直線l1，l2交于點C．（1）求直線l2的表達式；（2）在直線l2上存在點P，能使S△ADP＝3S△ACD，求點P的坐標．【答案】（1）直線l2的表達式為：y＝x﹣6；（2）點P的坐標（10，9）或（﹣2，﹣9）．【解答】解：（1）設(shè)直線l2的表達式為：y＝kx+b（k≠0），∵直線l2經(jīng)過點A（4，0），B（3，﹣），∴，∴，∴直線l2的表達式為：y＝x﹣6；（2）∵直線l1y＝﹣3x+3與x軸交于點D，∴D（1，0），解得，∴C（2，﹣3），設(shè)P（m，m﹣6），∵S△ADP＝3S△ACD，∴×3×|m﹣6|＝3××3×3，∴m＝10或﹣2，∴點P的坐標（10，9）或（﹣2，﹣9）．【變式1-6】（2023?花都區(qū)一模）在平面直角坐標系中，直線y＝kx+4（k≠0）交x軸于點A（8，0），交y軸于點B．（1）k的值是﹣；（2）點C是直線AB上的一個動點，點D和點E分別在x軸和y軸上．①如圖，點D的坐標為（6，0），點E的坐標為（0，1），若四邊形OECD的面積是9，求點C的坐標；②當CE平行于x軸，CD平行于y軸時，若四邊形OECD的周長是10，請直接寫出點C的坐標．【答案】（1）﹣；（2）①點C的坐標為（3，）；②點C的坐標為（2，3）或（﹣，）．【解答】解：（1）將A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，解得：k＝﹣，故答案為：﹣；（2）①如圖1，由（1）可知直線AB的解析式為y＝﹣x+4．∴設(shè)C（m，﹣m+4）（0＜m＜8），∵點D的坐標為（6，0），點E的坐標為（0，1），∴OD＝6，OE＝1，∴OM＝m，CM＝﹣m+4，∵四邊形OECD的面積是9，∴S梯形CEOM+S△CDM＝（1﹣m+4）?m+（﹣m+4）?（6﹣m）＝9，整理得2m＝6，解得m＝3，∴點C的坐標為（3，）；②∵CE平行于x軸，CD平行于y軸，∴四邊形CEOD是矩形，∵四邊形OECD的周長是10，∴2（m﹣m+4）＝10或2（﹣m+4﹣m）＝10，解得m＝2或m＝6，點C的坐標為（2，3）或（﹣，）．【題型2鉛垂法求面積】【解題技巧】對于一般三角形，我們可以選擇鉛垂法求解三角形的面積。比如求△ABC的面積，我們可以選取任意兩點橫坐標之差的絕對值作為水平寬，過第三個點作鉛垂線，與之前兩點所在直線交于一點，第三個點與這個交點縱坐標之差的絕對值作為鉛垂高，利用水平寬與鉛垂高乘積的一半求出三角形的面積?！镜淅?】（2021秋?開江縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝kx+1交y軸于點A，交x軸于點B（4，0），過點E（2，0）的直線l2平行于y軸，交直線l1于點D，點P是直線l2上一動點（異于點D），連接PA、PB．（1）求直線l1的解析式；（2）設(shè)P（2，m），求△ABP的面積S的表達式（用含m的代數(shù)式表示）；（3）當△ABP的面積為3時，則以點B為直角頂點作等腰直角△BPC，請直接寫出點C的坐標．【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）當m時，S＝2m﹣1；當m＜時，S＝1﹣2m；（3）（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．【解答】解：（1）∵直線l1：y＝kx+1交x軸于點B（4，0），∴0＝4k+1．∴k＝﹣．∴直線l1：y＝﹣x+1；（2）由得：．∴D（2，）．∵P（2，m），∴PD＝|m﹣|．∴S＝×|4﹣0|?PD＝×|m﹣|×4＝|2m﹣1|．當m時，S＝2m﹣1；當m＜時，S＝1﹣2m；（3）當S△ABP＝3時，2m﹣1＝3，解得m＝2，∴點P（2，2），∵E（2，0），∴PE＝BE＝2，∴∠EPB＝∠EBP＝45°，如圖2，∠PBC＝90°，BP＝BC，過點C作CF⊥x軸于點F，∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，∴∠CBF＝∠PBE＝45°，在△CBF與△PBE中，，∴△CBF≌△PBE（AAS）．∴BF＝CF＝PE＝EB＝2．∴OF＝OB+BF＝4+2＝6．∴C（6，2）；如圖3，△PBC是等腰直角三角形，∴PE＝CE，∴C（2，﹣2），∴以點B為直角頂點作等腰直角△BPC，點C的坐標是（6，2）或（2，﹣2）．當1﹣2m＝3時，m＝﹣1，可得P（2，﹣1），同法可得C（3，2）或（5，﹣2）．綜上所述，滿足條件的點C坐標為（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．【變式2】（秋?鐵西區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+2與x軸交于點A，點B（5，n）在直線y＝x+2上，點C是線段AB上的一個動點，過點C作CP⊥x軸交直線點P，設(shè)點C的橫坐標為m．（1）n的值為7；（2）用含有m的式子表示線段CP的長；（3）若△APB的面積為S，求S與m之間的函數(shù)表達式，并求出當S最大時點P的坐標；（4）在（3）的條件下，把直線AB沿著y軸向下平移，交y軸于點M，交線段BP于點N，若點D的坐標為，在平移的過程中，當∠DMN＝90°時，請直接寫出點N的坐標．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）點B（5，n）在直線y＝x+2上，則n＝7，故答案為：7；（2）∵點C的橫坐標為m，∴點C（m，m+2），∵CP⊥x軸交直線于點P，∴點，∴＝；（3）∵直線y＝x+2與x軸交于點A，∴點A（﹣2，0），S＝△APC的面積+△BPC的面積＝＝＝＝，∵，∴S隨m的增大而增大，∵點C是線段AB上的一個動點，∴當點C與點B重合時，m有最大值，即m＝5時，S有最大值．當m＝5時，，∴點；（4）過點N作NG⊥y軸于點G，過點D作DH⊥y軸于點H，設(shè)直線向下平移m個單位，則平移后直線的表達式為：y＝x+2﹣m，故點M（0，2﹣m），點N（5，7﹣m），直線AB的傾斜角為45°，則∠GMN＝45°，∵∠DMN＝90°，則∠GMN＝∠MDH＝45°，故MH＝DH，即2﹣m﹣（﹣）＝2，解得：m＝，故：點．【題型3等底轉(zhuǎn)化】【典例3】（秋?雁塔區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線l1的解析式為y＝﹣x，直線l2與l1交于點A（a，﹣a），與y軸交于點B（0，b），其中a，b滿足﹣a＝3．（1）求直線l2的解析式．（2）在平面直角坐標系中第二象限有一點P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，請求出點P的坐標．（3）已知平行于y軸左側(cè)有一動直線，分別與l1，l2交于點M、N，且點M在點N的下方，點Q為y軸上一動點，且△MNQ為等腰直角三角形，請求出滿足條件的點Q的坐標．【答案】（1）y＝x+4；（2）（﹣1，5）或（﹣9，5）；（3）（0，）或（0，）或（0，）．【解答】解：（1）由﹣a＝3得：a＝﹣3，b＝4，即A（﹣3，3），B（0，4），設(shè)l2的解析式為y＝kx+b，將A，B點坐標代入函數(shù)解析式，得，解得，∴l(xiāng)2的解析式為y＝x+4；（2）如圖1，作PB∥AO，P到AO的距離等于B到AO的距離，S△AOP＝S△AOB．∵PB∥AO，PB過B點（0，4），∴PB的解析式為y＝﹣x+4或y＝﹣x﹣4①，又P在直線y＝5②上，聯(lián)立①②得：﹣x+4＝5或﹣x﹣4＝5，解得x＝﹣1或﹣9，∴P點坐標為（﹣1，5）或（