2024-2025學年江蘇省南京航空航天大學蘇州附中高三（上）期初數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省南京航空航天大學蘇州附中高三（上）期初數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知i是虛數單位，5+7i=(1+i)z，則|z+1|=(

)A.52 B.37 C.62.已知等差數列{an}的公差大于0，a5+a3?a2A.?4 B.0 C.?5 D.53.已知直線l：xa+ya=1及圓C：x2+y2?6x?2y+2=0A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4.已知向量AB=(?1,1),AC=(2,m),AB?A.?4 B.?2 C.2 D.45.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為e1，若橢圓CA.e1>e2 B.e1=e2

C.6.已知(1+2x)n=a0+a1x+a2A.5

B.8

C.9

D.147.已知α,β∈(0,π2)，tanαtanβ=17，tanA.23 B.12 C.388.某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲、乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對抗訓練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當兩人獲勝局數不少于3局時，則認為這輪訓練過關；否則不過關.若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為p1，p2，且滿足p1+p2=43，每局之間相互獨立.記甲、乙在A.27 B.24 C.32 D.28二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知一組數據x1，x2，…，xm的平均數為x?，另一組數據y1，y2，…，yn的平均數為y?.若數據x1，x2，…，xm，yA.當m=n時，z?=x?+y?2 B.當z?=x?+y10.已知定義在R上的函數f(x)(f(x)≠0)，導函數為f′(x)，且滿足f′(x)+f′(?x)=0，f(1+x)+f(1?x)=0，則(

)A.f(x+4)=f(x) B.f′(?1)=f′(3)

C.y=f(1?x)?f′(x)一定為偶函數 D.y=f′(x)11.已知三棱錐P?ABC中，平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC，PA=1，AC=3，則(

)A.PA⊥平面ABC

B.當BC⊥AB時，平面PBC⊥平面PAB

C.當PC⊥AB時，二面角P?BC?A的最小值為π6

D.當BC⊥AB時，點A到平面PBC的距離小于三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知logab+4logba=413.已知圓臺的母線與底面所成角為60°，下底面的半徑為2，其體積為73π14.在平面直角坐標系xOy中，曲線E：(x2+y2)3=8x2y2的圖象是四葉草曲線，設P(x0,四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=3AB=3，點E，F分別在棱BB1，CC1上，BE=C16.(本小題15分)

在△ABC中，AB=7AC，點D在BC上，滿足CD=2DB，AD=3．

(1)若AC=BD，求△ABC的面積；17.(本小題15分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右頂點分別為A(?1,0)，B(1,0)，動直線l過點M(2,0)，當直線l與雙曲線C有且僅有一個公共點時，點B到直線l的距離為22．

(1)求雙曲線C的標準方程．

(2)當直線l與雙曲線C交于異于A，B的兩點P，Q時，記直線AP的斜率為k118.(本小題17分)

已知函數f(x)=lne?xa?x(e為自然對數的底數，e=2.718…)．

(1)求函數f(x)的最小值；

(2)已知g(x)=f(x)+ln(a+x)(a>0)，

①若g(x)在定義域上單調遞增，求實數a的取值范圍；

②若直線y=?19.(本小題17分)

有無窮多個首項均為1的等比數列，記第n(n∈N?)個等比數列的第m(m∈N,m≥2)項為am(n)，公比為qn(qn>0)．

(1)若a2(2)a2(1)=2，求q2q1的值；

(2)若m為給定的值，且對任意n有a參考答案1.A

2.C

3.C

4.B

5.A

6.B

7.A

8.A

9.ACD

10.ABD

11.AB

12.1213.314.51315.解：(1)BD//平面AEF，

證明如下：

以DA，DC，DD1所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(1,0,0)，B(1,1,0)，E(1,1,1)，F(0,1,2)，

所以EA=(0,?1,?1),EF=(?1,0,1)，

由EA+EF=(0,?1,?1)+(?1,0,1)=(?1,?1,0)，

BD=(?1,?1,0)，所以BD=EA+EF，所以BD,EA,EF是共面向量．

因為EA，EF?平面AEF，BD?平面AEF內，

故BD/?/平面AEF；

(2)設平面AEF的一個法向量為n=(x,y,z)，

則n?EA=?y?z=0n?EF=?x+z=0，不妨令x=1，得y=?1，z=1，

則平面AEF的一個法向量為n=(1,?1,1)．

又平面ABCD16.解：(1)設AC=BD=x，則AB=7x，CD=2x，

在△ABC中，cosC=AC2+BC2?AB22×AC×BC=x2+9x2?7x22x×3x=12，

在△ADC中，cosC=AC2+DC2?AD22×AC×DC=x2+4x2?32x×2x=12，解得x2=1，故x=1，

所以S△ABC=17.解：(1)∵a=1，

∴x2?y2b2=1，

故當直線l過(2,0)與雙曲線C有且僅有一個公共點時，l應與C的漸近線平行，

設直線l：y=±b(x?2)，即bx±y?2b=0，則點B到直線l的距離為b1+b2=22，解得b=1，

∴雙曲線C的標準方程為x2?y2=1；

(2)由題可知，直線l的斜率不等于±1，

設直線l：x=my+2，A(x1,y1)，B(x2,18.解：(1)f(x)=lne?xa?x=?x?ln(a?x)，定義域為(?∞,a)．

f′(x)=?1+1a?x=x?a+1a?x，令f′(x)=0，得x=a?1．

當x∈(?∞,a?1)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；

當x∈(a?1,a)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；

故f(x)的最小值為f(a?1)=1?a．

(2)g(x)=?x?ln(a?x)+ln(a+x)(a>0)，g′(x)=?1+1a?x+1a+x．

①g(x)=?x?ln(a?x)+ln(a+x)(a>0)，則x∈(?a,a)．

若g(x)在定義域上單調遞增，則g′(x)=?1+1a?x+1a+x?1+2aa2?x2≥0，

即x2≥a2?2a恒成立，所以0≥a2?2a，又a>0，解得0<a≤2，即a的取值范圍為(0,2]．

②若直線y=?12x與曲線g(x)相切，設切點為(x0,g(x0))，則g(