2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圖形的相似與位似（講義）（解析版）

第20講圖形的相似與位似

目錄

題型13平行線分線段成比例的常用輔助線之

一、考情分析垂線

考點二相似圖形的概念與性質(zhì)

二、知識建構(gòu)題型01理解相似圖形的概念

考點一比例線段的概念與性質(zhì)題型02相似多邊形

題型01成比例線段題型03相似多邊形的性質(zhì)

題型02圖上距離與實際距離考點三位似圖形

題型03利用比例的性質(zhì)判斷式子變形是否正確題型01位似圖形的識別

題型04利用比例的性質(zhì)求未知數(shù)的值題型02判斷位似中心

題型05利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值題型03根據(jù)位似的概念判斷正誤

題型06理解黃金分割的概念題型04求兩個位似圖形的相似比

題型07黃金分割的實際應(yīng)用題型05畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似

題型08由平行線分線段成比例判斷式子正誤圖形

題型09平行線分線段成比例（A型）題型06求位似圖形的坐標(biāo)

題型10平行線分線段成比例（X型）題型07求位似圖形的線段長度

題型11平行線分線段成比例與三角形中位線綜題型08在坐標(biāo)系中求位似圖形的周長

合題型09在坐標(biāo)系中求位似圖形的面積

題型12平行線分線段成比例的常用輔助線之平

行線

考點要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測

>了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線

比例線段的概念與

段；

性質(zhì)

>通過建筑、藝術(shù)上的實例了解黃金分割.在中考中，該模塊內(nèi)容常出現(xiàn)在選

擇題、填空題，較為簡單.本節(jié)內(nèi)

相似圖形的概念與>通過具體實例認(rèn)識圖形的相似.

容是下一節(jié)相似三角形的基礎(chǔ)，需

性質(zhì)>了解相似多邊形和相似比.

要學(xué)生在復(fù)習(xí)時加以重視.

>了解圖形的位似,知道利用位似可以將一個圖

位似圖形

形放大或縮小.

定義：對于四條線段a、b、c、d,如果a/b=c/d（即ad=bc）,我們就說這四段線

段是成比例線段，簡稱比例線段。

比例

當(dāng)比例的內(nèi)項相等時，即a/b=b/d或a:b=b:d,線段b叫做線段a和d的比例中項

線段題型01成比例線段

判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判題型02圖上距離與實際距離

解題思路斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；題型03利用比例的性質(zhì)判斷式子變形是否正確

題型04利用比例的性質(zhì)求未知數(shù)的值

基本性質(zhì)a/b=c/d=ad=bc(bd#0)

題型05利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值

合、分比性質(zhì)a/b=c/d?(a±b)/b=(c±d)/d(bd—0)題型06理解黃金分割的概念

相似比例的性題型07黃金分割的實際應(yīng)用

圖

形質(zhì)如果a/b=c/d=e/f=-=m/n=k(b+d+f+…+nwO),題型08由平行線分線段成比例判斷式子正誤

基

礎(chǔ)那么

等比性質(zhì)(a+c+e+…+m)/(b+d+f+…+n)=k題型09平行線分線段成比例（A型）

點C把線段AB分割成AC和CB兩段如果AC/AB=BC/AC,那么線段AB被點題型10平行線分線段成比例（X型）

黃金分割C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比。題型11平行線分線段成比例與三角形中位線綜合

題型12平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線

題型13平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線

線段嬴匕定理:三條平行線載兩條直線所翻導(dǎo)的對西段成比例。

翅__________推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的

對應(yīng)線段成比例.

圖

形

定義：如果邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例的兩

的

個多邊形叫做相似多邊形.

題型理解相似圖形的概念

相01

相似圖形的概相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.題型02相似多邊形

似念與性質(zhì)蜩相似多邊形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平題型03相似多邊形的性質(zhì)

與方.

位

似定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形，且對應(yīng)點連線相交于一點，對應(yīng)線段相互平行，那么這樣的兩

個圖形叫做位似圖形.

首先看這兩個圖形是否相似

判斷位似圖形的方法I-----------------------------------------

再看對應(yīng)點的連線是否經(jīng)過位似中心

位似圖形的對應(yīng)頂點的連線所在直線相交與一點題型01位似圖形的識別

題型02判斷位似中心

位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或者共線

題型03根據(jù)位似的概念判斷正誤

位似圖形的隨位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比題型04求兩個位似圖形的相似比

—位似圖形\題型05畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形

在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k,那么位題型06求位似圖形的坐標(biāo)

似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或-k.題型07求位似圖形的線段長度

畫位確定位似中心，找原圖形的關(guān)鍵點.題型08在坐標(biāo)系中求位似圖形的周長

似

圖題型09在坐標(biāo)系中求位似圖形的面積

形

的確定位似比.

驟

步

以位似中心為端點向各關(guān)鍵點作射線.

順次連結(jié)各截取點，即可得到要求的新圖形.

注意：畫位似圖形時，注意關(guān)于某點的位似圖形有兩個

考點一比例線段的概念與性質(zhì)

.夯基-必備基礎(chǔ)知識梳理

線段的比的定義：兩條線段的比是兩條線段的長度之比.

比例線段的定義：對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度的比）與另兩條線段的

比相等，如（即ad=bc），我們就說這四段線段是成比例線段,簡稱比例線段?其中a、b、c、d叫組

成比例的項；a、d叫比的外項，b、c叫比的內(nèi)項，

【補充】當(dāng)比的內(nèi)項相等時，即或a：b=b：d,線段b叫做線段a和d的比例中項.

【解題思路】

1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段

的比是否相等即可；

2）成比例的線段是有順序的，比如:a、b、c、d是成比例的線段,則成比例線段只能寫成三=%即:廚=禁）,

bd第一條第四條

而不能寫成；=

bc

比例的性質(zhì)：

1）基本性質(zhì)：!ad=be|?b2=ac

bdbc

（交換內(nèi)項）

2）變形：（=￡=｛（=：，（交換外項）核心內(nèi)容：ad=be

（=2（同時交換內(nèi)外項）

3）合、分比性質(zhì)：?=50喈=岑

bdbd

【補充】實際上，比例的合比性質(zhì)可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發(fā)生同樣和差

rb-a_d-c

變化比例仍成立.如：合戶區(qū)二工

、a+bc+d

4）等比性質(zhì)：如果:=：=：=…=里=k,那么:…+m=k（b+d+f+…+n力0）.

bdfnb+d+f+…+n''

【補充】根據(jù)等比的性質(zhì)可推出，如果貝哈=：=n（b+d40）.

bdbdb+d''

5）黃金分割：點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果發(fā)=器那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做線

ABAC

段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.

【注意】1）AC=^AB=0.648AB（早叫做黃金分割值）.簡記為：年

2）一條線段的黃金分割點有兩個.

【擴展】作一條線段的黃金分割點：

如圖，已知線段AB,按照如下方法作圖：

①經(jīng)過點B作BDLAB,使BD」AB.

2萬

②連接AD,在DA上截取DE=DB.

③在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點.A^-.....J-

6）平行線分線段成比例定理

平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應(yīng)線段成比例.

ZTN.日—1*ZQ尺尺

①已―r知13〃//I14/〃/I15,可得A一B=D一E―或p.A一B=D一E―或p.B一C=E一F—或p.BC一=E一F―或p.A一B=B一C等

BCEFACDFABDEACDFDEEF

推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例.

1.求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系.

2.通常四條線段a、b、c、d的單位應(yīng)該一致，但有時為了計算方便，a和b統(tǒng)一為一個單位，c和d

統(tǒng)一為另外一個單位也可以.

一提升?必考題型歸納

題型01成比例線段

【例1】（2023?福建泉州?校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列長度的各組線段中，能構(gòu)成比例線段的是（）

A.2,5,6,8B.3,6,9,2C.1,2,3,4D.3,6,7,9

【答案】B

【分析】分別計算各組數(shù)中最大與最小數(shù)的積和另外兩數(shù)的積，然后根據(jù)比例線段的定義進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A.V2x8力5x6,

.",2,5,6,8不能構(gòu)成比例線段，不符合題意；

B.V2x9=3x6,

；.3,6,9,2能構(gòu)成比例線段，符合題意；

C.V1X43x2,

.?.1,2,3,4不能構(gòu)成比例線段，不符合題意；

D.V3X96X7,

，3,6,7,9不能構(gòu)成比例線段，不符合題意；

故選B.

【點睛】本題考查了比例線段：判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩

條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所

選取的單位無關(guān)系.

【變式1T】（2023?上海長寧?統(tǒng)考一模）已知線段a、b、c、d是成比例線段，如果a=l,b=2,c-3,

那么d的值是（）

A.8B.6C.4D.1

【答案】B

【分析】利用成比例線段的定義得到a：b=c:d,然后根據(jù)比例的性質(zhì)求d的值.

【詳解】解：根據(jù)題意得：a:b=c:d,

即1:2=3:d,

解得d=6.

故選：B.

【點睛】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b,c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與

另兩條線段的比相等，如a:b=c:d（即ad=be）,我們就說這四條線段是成比例線段.

【變式1-2]（2023?上海楊浦?統(tǒng)考一模）已知線段a=3厘米，c=12厘米，如果線段b是線段a和c的比例中

項，那么b=____厘米.

【答案】6

【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)比例中項的定義得到a：b=b:c,然后利用比例性質(zhì)計算即可，解題的

關(guān)鍵是理解四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，a:6=c:d,

我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段，當(dāng)a：b=b：c時，線段b是線段a和c的比例中項.

【詳解】???線段b是線段a和c的比例中項，

.".a:b=b:c,即=ac=3x12,

.'.b—6（cm）,

故答案為：6.

題型02圖上距離與實際距離

【例2】（2023?江蘇常州?常州市第二十四中學(xué)校考模擬預(yù)測）在比例尺是1:8000的地圖上，延陵西路的長

度約為25cm,該路段的實際長度約為（）

A.3200mB.3000mC.2400mD.2000m

【答案】D

【分析】首先設(shè)它的實際長度是xcm然后根據(jù)比例尺的定義，即可得方程1:8000=25:%,解此方程即可求

得答案，注意統(tǒng)一單位.

【詳解】解：設(shè)它的實際長度為xcm,

根據(jù)題意得：1:8000=25:%

解得：x=200000,

,-,200000cm=2000m

該路段實際長度約為2000m

故選：D.

【點睛】此題考查了比例線段.此題難度不大，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)比例尺的定義列方程，注意

統(tǒng)一單位.

【變式2-1］（2023?上海嘉定?校考一模）甲、乙兩地的實際距離為250km,如果畫在比例尺為1:5000000

的地圖上，那么甲、乙兩地的圖上距離是cm.

【答案】5

【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離?實際距離進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意得甲、乙兩地的圖上距離是250x1000x100嬴=5cm,

故答案為：5.

【點睛】本題主要考查了比例尺，熟知比例尺的定義是解題的關(guān)鍵.

題型03利用比例的性質(zhì)判斷式子變形是否正確

【例3】（2023?安徽合肥??？家荒＃┮阎?x=3y（x0,y^O）,則下列比例式成立的是（）

A.—B.占C.占D.」

322y23y3

【答案】A

【分析】根據(jù)若（=5（b力0,&豐0）,貝Uad=be,進(jìn)行逐一判斷即可求解.

【詳解】解：A.可化為2x=3y,故此項符合題意；

B.可化為xy=6,故此項不符合題意；

C.可化為3x=2y,故此項不符合題意；

D.可化為3x=2y,故此項不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題考查了比例是性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023?上海寶山?一模）已知線段°、6,如果a:6=2:3,那么下列各式中一定正確的是（）

A.2a=36B.a+b=5C.手=|D,=1—

【答案】C

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、由a:b=2:3,得3a=2b,故本選項錯誤，不符合題意；

B、當(dāng)a=4,b=6時，a:h=2:3,但是Q+5=10,故本選項錯誤，不符合題意;

C、由a:b=2:3,得竺2=3故本選項正確，符合題意；

a2

D、當(dāng)。=4,b=6時，a:b=2:3,但是^=Z,故本選項錯誤，不符合題意.

o+28

故選：C.

【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)及式子的變形，用到的知識點：在比例里，兩外項的積等于兩內(nèi)項的積，

比較簡單.

題型04利用比例的性質(zhì)求未知數(shù)的值

【例4】（2023?湖南郴州?模擬預(yù)測）若（5-%）:%=2:3,貝阮=.

【答案】3

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到方程3（5-%）=2%,再解方程即可求解.

【詳解】解：???（5-x）:x=2:3,

.*.3（5—x）=2xf

15—3%=2x,

解得％=3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查比例性質(zhì)，熟練掌握內(nèi)項之積等于外項之積是解題關(guān)鍵.

【變式4-1］（2023?四川成都?統(tǒng)考二模）若合京且a+b=7,則a的值為.

【答案】3

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到3b=4a,結(jié)合a+b=7求得a的值即可.

【詳解】解：由a：b=3：4知3b=4a,

所以6=（a.

所以由a+b=7得到：a+（a=7,

解得：a=3,

故答案為：3.

【點睛】考查了比例的性質(zhì)，內(nèi)項之積等于外項之積.若￡=:，貝Uad=bc.

題型05利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值

【例5】（2023?浙江?模擬預(yù)測）用“▲:“?”，“，吩別表示三種物體的重量，若?=等=上，則上，?，

回團(tuán)團(tuán)+團(tuán)

?這三種物體的重量比為（）

A.2:3:4B.2:4:3C.3:4:5D.3:5:4

【答案】B

【分析】可設(shè)［=誓=3=k,利用等比性質(zhì)可得k的值，設(shè)▲為x,?為y,?為z,得至歸個等式，聯(lián)立

LuLLIL^J十Lu

可得用x表示y、z,相比即可.

【詳解】解：設(shè)《=等=9=k,▲為x,?為y,?為z,

0肉團(tuán)+團(tuán)J

?._x+y-z+z_x+y_1

??K———■7——f

y+x+y+x2(x+y)2

,久=\y,y-z=拉z=+y),

???Oy=2x,z=3-x,

AA,?,?這三種物體的重量比為2:4:3.

故選：B.

【點睛】考查比例性質(zhì)的應(yīng)用；利用等比性質(zhì)得到所給比值的確定值是解決本題的關(guān)鍵.

【變式5T】(2023?上海虹口?統(tǒng)考一模)己知x:y=3:2,那么(％-丫):久=—.

【答案】1:3

【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，表示出y是解題的關(guān)鍵.先用尤表示出》再代入比例式進(jìn)行計算即可得

解.

【詳解】解：..“：、=3:2,

..y=-2%,

J3

(x—y):x=(久一|久):x=|x:x=1:3,

故答案為：1:3.

【變式5-2](2023?寧夏銀川??？家荒?若2=@=-aKc),則歲=

ac22a-c

【答案】1/0.5

【分析】根據(jù)等比性質(zhì)、合比性質(zhì)轉(zhuǎn)換即可.

【詳解】解：?d=@=：(aKc),

ac2

故答案為也

【點睛】本題考查了比例線段，比例的性質(zhì)，正確理解等比性質(zhì)、合比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3](2023?江西撫州?校聯(lián)考一模)解方程：

(l)x(x—3)=2%—6；

(2)已知a:b:c=2-.3:4,且2a+3b—2c=15,求a—2b+3c的值.

【答案]⑴%i=3,&=2;

(2)24

【分析】(1)先移項，再利用因式分解法解一元二次方程，此題得解；

(2)由a:拄c=2:3:4,可設(shè)Q=2/c,貝ijb=3/c,c=4k,根據(jù)2a+3b—2c=15可得出關(guān)于上的一元一*次

方程，解之即可得出左值，進(jìn)而可得出。、b、C的值，將其代入a-2b+3c中即可求出結(jié)論.

【詳解】(1)解：移項得，%(x-3)-2(x-3)=0,

即(x-3)(x-2)=0,

即x-3=0或％-2=0,

解得：%!=3,x2=2；

(2)解：\'a:b:c=2:3:4,

...設(shè)a=2k,則b=3k,c=4k.

V2a+3b—2c=15,

.\4fc+9k-8k=15,

解得：k=3,

a=6,b=9,c=12,

：.a-2b+3c=6-18+36=24.

【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程、解一元一次方程以及比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1)

熟練掌握因式分解法解一元二次方程的解法；(2)根據(jù)比例關(guān)系結(jié)合2a+3b-2c=15列出關(guān)于左的一元

一次方程.

【變式5⑷(2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知母=高=嬴-^—=k,求k2-3k-4的值.

a+b+c

【答案】或6.

【分析】當(dāng)a+b+c+d邦時，依據(jù)等比性質(zhì)可得|g察舞=k,當(dāng)a+b+c+d=°時，得b+c+d=-a,代入即可計

算出k的值.

2d[

【詳解】：康=熹=嬴-------二k

a+b+c

...當(dāng)a+b+c+d邦時，由等比性質(zhì)可得，翳震拼k

k_2(a+b+c+d)_2

3(a+b+c+d)3

當(dāng)a+b+c+d=0時，b+c+d=-a,

2a2a.

??k=^^=『2；

當(dāng)k*時，k2-3k-4=(-f-3x--4=--；

3\3/39

當(dāng)k=一2時，k2-3k-4=(-2)2-3x(-2)-4=6.

【點睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì).

題型06理解黃金分割的概念

【例6】(2023?上海楊浦?統(tǒng)考一模)已知P是線段4B的黃金分割點，且力P>BP,那么下列等式能成立的是

AABAPnABBP

A.A—P=—BPB.—BP=—AP

-APV5-1cABV5-1

C.—=-----D.——=-----

BP2AP2

【答案】A

【分析】本題考查黃金分割點，根據(jù)黃金分割點的定義得出線段比例關(guān)系，選出正確選項，解題的關(guān)鍵是

掌握黃金分割點的性質(zhì).

【詳解】解：如圖，

P

A1---------------1---------哈

??,點P是線段的黃金分割點，且

.AP_PB_4T

AB~AP~2'

故選：A.

【變式6-1]（2023?河南鄭州?統(tǒng)考二模）神奇的自然界中處處蘊含著數(shù)學(xué)知識.如圖是古希臘時期的帕提農(nóng)

神廟（ParthenonTemple）,我們把圖中的虛線表示為矩形4BCD,并發(fā)現(xiàn)2。:DC《0.618,這體現(xiàn)了數(shù)

學(xué)中的（）

A.平移B.旋轉(zhuǎn)C.軸對稱D.黃金分割

【答案】D

【分析】根據(jù)黃金分割比可得答案.

【詳解】解："."ADiDC?0.618,

.?.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割；

故選D

【點睛】本題考查的是黃金分割比的含義，熟記黃金分割比為與0.618是解本題的關(guān)鍵.

【變式6-2]（2023?四川成都??？既＃┘褐cC為線段48的黃金分割點，AC>BC.若AC=6cm,則4B的

長為cm.

【答案】3V5+3/3+3V5

【分析】利用黃金比例列出方程解答即可.

【詳解】解：?.?點C為線段AB的黃金分割點，

.AC__用C

AB2

.6_V5-1

AB2

AB—3V5+3.

故答案為：3而+3.

【點睛】本題考查了黃金分割點的應(yīng)用，正確應(yīng)用黃金比是解答本題的關(guān)鍵.

題型07黃金分割的實際應(yīng)用

【例7】（2023?云南昆明?統(tǒng)考二模）如果矩形4BCD滿足若=空，那么矩形叫做“黃金矩形”，如圖，

BC2

已知矩形2BCD是黃金矩形，對角線AC,BD相交于。且BC=2,則關(guān)于黃金矩形4BCD,下列結(jié)論不正確的

是（）

C.AC=8-2V5D.矩形48CD的周長C=2逐+2

【答案】C

【分析】計算得出48=6-1,根據(jù)矩形的性質(zhì)求得各項，即可判斷.

【詳解】解：???絲=更二，且BC=2,

BC2

：.AB=V5-1,

???四邊形ABC。是矩形，

??AC=BD,故選項A正確，不符合題意；

「?S—OB=矩形4BCO=2X（西一1）=與士故選項B正確,不符合題意；

：.AC=J（V5-l）2+22=V10-2V5彳8-2瓜故選項C錯誤，符合題意；

...矩形43。。的周長。=2（4一1+2）=2遙+2,故選項D正確，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1］（2023?陜西西安?陜西師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，點C是線段4B的黃金分割點，即能=*，

若S1表示以ca為一邊的正方形的面積，52表示長為AB,寬為CB的矩形的面積，則S1與S2的大小關(guān)系是（）

Si,

L

A.>S2B.Si<S2C.Si=52D.無法確定

【答案】C

【分析】根據(jù)歐=.得出4c2=BC,根據(jù)S[=4C2,S2=ABBC,得出a=52.

【詳解】解：...點C是線段4B的黃金分割點,即冷條

：.AC2=AB-BC,

2

?.§=AC,S2=AB-BC,

；.S1=52，故C正確.

故選：c.

【點睛】本題主要考查了黃金分割，解題的關(guān)鍵是根據(jù)靠=斛出"2=AB-BC.

【變式7-2]（2023?陜西渭南?統(tǒng)考一模）在設(shè)計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）

的高度比，等于下部與全部的高度比（即笠=%），可以增加視覺美感.如圖，按此比例設(shè)計一座高度2B為

2m的雕像，則該雕像的下部高度8c應(yīng)設(shè)計為—m.（結(jié)果保留根號）

【答案】（4一1）

【分析】雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比（即?=4B=2,

設(shè)ac=x,根據(jù)比例即可求解.

【詳解】解：?.?雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比等于下部與全部的高度比，

.?.設(shè)4C=x,則BC=2-x,

.x_2-x

-2-x-2

解分式方程得，x=3+V5>2(舍去)或％=3—V5,

檢驗，當(dāng)x=3-芯時，原分式方程有意義，

：.x=3-后即4。=3一遍，

：.BC=2-(3-A/5)=V5-1,

.?.該雕像的下部設(shè)計高度為(瓶-l)m,

故答案為：(病―1).

【點睛】本題主要考查比例，解比例方程，理解題意，掌握比例的性質(zhì)，解比例方程是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3](2023?江西鷹潭?統(tǒng)考二模)【課本再現(xiàn)】黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴(yán)格

的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學(xué)價值、我們知道：如圖1,如果器=2那么稱點C為線

段A8的黃金分割點.

ACB

圖1圖2

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,請直接寫出CB與2C的比值是；

(2)【尺規(guī)作黃金分割點】如圖2,在RtAABC中，ZC=90°,BC=1,AC=2,在BA上截取BD=BC,在

AC上截取4E=4。，求靠勺值；

(3)【問題解決】如圖3,用邊長為4的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形4BDE得折痕MN,連接EN,

點A對應(yīng)點”，得折痕CE,試說明：C是AB的黃金分割點.

【答案】(1)等

⑵誓

(3)見解析

2

【分析】⑴由%=會得到=4。2,由as=4C+CB,代入后整理得至!J?)+吟—1=0,解方

ACAB\ACJAC

程即可得到答案；

(2)在RtAABC中，ZC=90°,BC=1,AC=2,由勾股定理得，AB=V5,由BD=BC=1得到4。=AB-

BD=近一1,貝iME=AD=V^-l,即可得到茶的值；

(3)設(shè)EC與MN相交于點P,作PQ1EN于點Q,由MN||AB,MN=4B,且M為2E的中點得到彤=器=；，

ACAE2

EM=^AE=2,可得到PQ=MP=^AC,設(shè)PQ=MP=^AC=%,貝iJPN=4-x,由勾股定理得到EN=2A/5,

由sinZ^NM="=空得到/-=解得％=遍—1,貝!!/。=2西—2,求出生=出'，—=1,即可

PNEN4-x2V5AB2AC2

得到結(jié)論.

【詳解】⑴解：?.與=暖,

ACAB

：.CB-AB=AC2,

"：AB=AC+CB,

：.CB■(AC+CB)=AC2,

整理得，CB2+CB-AC-AC2=0,

兩邊同除以a。?得，像y+,-i=o,

解得嶗=亨，招=年(不合題意，舍去)，

AC*/jriC?乙

：.CB與力C的比值是年，

故答案為：誓

(2)在RtAABC中，ZC=90°,BC=1,AC=2,

由勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=V22+I2=V5,

,:BD=BC=1,

：.AD=4B—B0=遙一1,

：.AE=AD=V5-1,

?AEV5-1

??——,

AC2

即胎的值為亨;

(3)設(shè)EC與MN相交于點P,作PQLEN于點。

'：MN||AB,MN=AB,且M為4E的中點,

.MPEM_1I

'*ACAE~29

：.PQ=MP=^AC,

設(shè)PQ=MP=^AC=x,

則PN=MN-PM=4—x,

,:EN=VEM24-MN2=V22+42=2后

..j-KTiijfPQEM

..sin乙ENM=—=—

PNEN

X2

**4-x-2忖

解得％=V5-1,

經(jīng)檢驗％=V5-1是分式方程的根，

：.AC=2x=2y/5-2,

?AC2-75-2V5-1

??——,

AB42

BC_4(2%2)_西T

AC-2V5-2-2'

.BC_AC_VS-l

**AC~AB~2'

；.C是AB的黃金分割點.

【點睛】此題考查了平行線分線段成比例定理、銳角三角函數(shù)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、

解方程等知識，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式7-4](2023.湖北孝感.校考模擬預(yù)測)閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，

即：點P是線段4B上一點Q4P>BP),若滿足第=黑，則稱點P是4B的黃金分割點.黃金分割在我們的數(shù)學(xué)

學(xué)習(xí)中也處處可見，比如我們把有一個內(nèi)角為36。的等腰三角形稱為“黃金三角形”.

ACB

圖1圖2圖3

(1)應(yīng)用：如圖1,若點C是線段的黃金分割點Q4C>BC),若4B=1,貝必C的長為.

(2)運用：如圖2,己知等腰三角形48c為“黃金三角形"，AB=AC,〃=36。，BO為乙4BC的平分線.求證:

點。是4C的黃金分割點.

(3)如圖3中，AB=AC,NA=36。，BF平分N2BC交4C于R取4B的中點E,連接EF并延長交BC的延長線

于BC=1,請你直接寫出CM的長為

【答案】⑴七1

(2)證明見解析

⑶CM=雪

【分析】⑴設(shè)2C=a,則8c=l-a,根據(jù)黃金分割的含義可得：*笫即心=山?他再解方程

即可;

(2)證明ACBD“△C4B,推出與=登，推出:=黑，可得結(jié)論.

(3)如圖，連接AM,同理可得：AABC=乙4cB=72°,zl=Z2=36°=乙BAC,可得AF=BF=BC=1,

證明MEIAB,MB=MA,^CAM=72°-36°=36°=ABAC,可得C是BM的黃金分割點，且BC<CM,

可得告=黑，設(shè)CM=K,再解方程可得答案.

CMBM

【詳解】(1)解：?..點C是線段4B的黃金分割點Q4C>BC),AB=1,

設(shè)AC=a,則BC=l-a,

即4C2=BCMB,

ACAB

??a2=1—a,

CL^+CL—1—0,

解得：a=3二(負(fù)根舍去)，

???ac=第；

(2)證明：'：AB=AC,NA=36。，

：.AABC=ZC=72°,

又平分NABC,

1

：.^ABD=乙CBD=-/.ABC=36°,

2

;?乙BDC=36°+36°=72°,

：.AD=BD,BC=BD,即AD=BD=BC,

XVzC=ZC,(CBD=CA,

△CBDs匕CAB,

.CD_BC

??—，

BCAC

.CD_AD

**AD~AC'

.?.A點是AC的黃金分割點.

(3)如圖，連接AM,

同理可得：AABC=AACB=72°,41=42=36°=ABAC,

：.AF=BF=BC=1,

為48的中點，AF=BF,

：.ME1AB,

：.MB=MA,

A

圖3

J.^LABM=Z.BAM=72°,LAMB=36°,

：.^CAM=72°-36°=36°=ABAC,

同理可得C是BM的黃金分割點，且

設(shè)CM=x,

CMBM

???一1=——,

X1+x

整理得：%2-%-1-0,

解得：工=雪（負(fù)根舍去），

：,CM=—.

2

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，黃金分割點的含義，相似三角形的

判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟記黃金分割的含義是解本題的關(guān)鍵.

【變式7-5］（2023?江蘇南京?統(tǒng)考二模）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.如

圖①，點C把線段4B分成兩部分，如果%=啰，那么稱線段48被點C黃金分割，點C為線段4B的黃金分

ACAB

割點.4C與4B的比稱為黃金比，它們的比值為等.請完成下面的問題：

111

ACB