湖北省隨州一中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

PAGE10-湖北省隨州一中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題考試時(shí)間：120分鐘分值：150分★?？荚図槷?dāng)★留意事項(xiàng):1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將答題卡交回。一．選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分。第1-8題是單選題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。第9-12題是多選題，多選不給分，漏選給3分。請(qǐng)將正確的答案填涂在答題卡上）1．設(shè)公比為3的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則()A．3 B．9 C．27 D．812．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則()A．9 B．8 C．7 D．63．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若,則數(shù)列的最小項(xiàng)是()A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng) C．第12項(xiàng) D．第13項(xiàng)4．直線與圓交于兩點(diǎn),則(是原點(diǎn))的面積為(

)A．B．C．D．5．已知P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是的兩條切線（為切點(diǎn)），則四邊形面積的最小值為（）A． B． C．2 D．6．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為,則直線的斜率為()A． B． C． D．7．已知直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．8．在正整數(shù)數(shù)列中,由1起先依次按如下規(guī)則,將某些數(shù)染成紅色．先染1;再染兩個(gè)偶數(shù)2,4;再染4后面最鄰近的3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5,7,9;再染9后面的最鄰近的4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10,12,14,16;再染此后最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17,19,21,23,25．按此規(guī)則始終染下去,得到一紅色數(shù)列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,…,則在這個(gè)紅色數(shù)列中,由1起先的第2024個(gè)數(shù)是(

)A．3971

B．3972

C．3973

D．39749．（多選題）設(shè)有一組圓,則下列為真命題的是()A．存在,使圓與軸相切 B．存在一條直線與全部的圓均相交C．存在一條直線與全部的圓均不相交 D．全部的圓均不經(jīng)過原點(diǎn)10．（多選題）已知函數(shù)，且，則等于()A． B． C． D．11．（多選題）下列命題是真命題的是()A．直線恒過定點(diǎn)B．圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1C．若圓與圓恰有三條公切線,則D．若直線相切，且為銳角，則該直線的斜率是12．（多選題）在數(shù)列中,,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則下列結(jié)論正確的是()A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．C． D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上）13．設(shè),則______________．14．過點(diǎn)的圓與直線相切于,則圓的方程為________．15．設(shè)點(diǎn),若在圓上存在點(diǎn),使得,則的取值范圍是__________．16．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：依據(jù)以上排列的規(guī)律，第5行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)為______．第行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)為______．三、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列滿意:．的前項(xiàng)和為（1）求及（2）令(),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:18．（本小題滿分12分）已知圓,直線．（1）求證:對(duì)隨意的,直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn);（2）設(shè)與圓相交于兩點(diǎn),求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．19．（本小題滿分12分）數(shù)列的前項(xiàng)和為,（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè),若數(shù)列是遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面底面，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）在棱上求作一點(diǎn)，使得，并說明理由．21．（本小題滿分12分）已知是函數(shù)圖象上的隨意兩點(diǎn),且角的終邊經(jīng)過點(diǎn),當(dāng)時(shí),的最小值為．

（1）求函數(shù)的解析式;

（2）當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（本小題滿分12分）已知圓C經(jīng)過點(diǎn)，且圓心C在直線上，又直線與圓C相交于兩點(diǎn)．（1）求圓C的方程；（2）若，求實(shí)數(shù)k的值；（3）過點(diǎn)作動(dòng)直線m交圓C于兩點(diǎn)．試問：在以EF為直徑的全部圓中，是否存在這樣的圓P，使得圓P經(jīng)過點(diǎn)？若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．隨州一中2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)參考答案1.答案：C2.答案：C 解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為,∵，解得.則. 故選：C.3.答案：B解析：由題意及,得,所以,且公差,所以,最小.故選B.4.答案：D解析：圓心到直線的距離為,所以,而到直線的距離為,所以.選D5.答案：B解析：圓的方程為:∴圓心、半徑r為1由于四邊形面積等于，而故而最小是，四邊形面積最小又的最小值等于圓心C到直線的距離d，而故而四邊形面積的最小值為6.答案：D解析：因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為,所以圓心到直線的距離,所以,解得,故選D.7.答案：B解析：由,得,如圖.當(dāng)直線與相切時(shí),,解得,又不合題意,故.結(jié)合圖像可知若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選B.8.答案：B解析：由題意可知,第一組有1個(gè)數(shù),其次組有2個(gè)數(shù),...,依據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可知前項(xiàng)共有個(gè)數(shù).由于,因此,第2024個(gè)數(shù)時(shí)第64組的第2個(gè)數(shù),由于第1組最終一個(gè)數(shù)時(shí)1,第2組最終一個(gè)數(shù)是4,第3組最終一個(gè)數(shù)是9,,第組最終一個(gè)數(shù)是,因此,第63組最終一個(gè)數(shù)是,第64組為偶函數(shù),其第一個(gè)數(shù)為3970,第2個(gè)數(shù)為3972,故選B.9.答案：ABD解析：依據(jù)題意得這組圓的圓心為,半徑為,選項(xiàng)A,當(dāng),即時(shí),圓的方程為,圓與軸相切,故A為真命題；選項(xiàng)B,直線過圓的圓心,所以直線與全部圓都相交,故B為真命題；選項(xiàng)C,若取無窮大,半徑也無窮大,則可以認(rèn)為全部直線都與圓相交,故C為假命題；選項(xiàng)D,將代入圓的方程,則有,不存在使此式成立,即全部圓不過原點(diǎn),故D為真命題.故選ABD.10.答案：AC11.答案：BCD解析：A中,直線可化為,由,得,則直線恒過定點(diǎn),故A為假命題；B中,圓心到直線的距離,圓的半徑,因此圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1,故B為真命題；C中,圓,即,圓,即,若與恰有三條公切線,則外切,則兩圓心的距離為,解得,故C為真命題；D中,圓心到直線的距離等于半徑，即有或（不符合題意，舍去）.由，得故該直線的斜率是.故選BCD.12.答案：BD解析：依題意得,當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),即數(shù)列中的偶函數(shù)構(gòu)成以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,所以,當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),,所以,兩式相減,得,即數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)從起先,每隔一項(xiàng)的兩項(xiàng)相等,即數(shù)列的奇數(shù)呈周期改變,所以,在中,令,得,因?yàn)?所以,對(duì)于數(shù)列的前31項(xiàng),奇數(shù)項(xiàng)滿意,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,所以,故選BD二、填空題13.答案：解析：數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為,項(xiàng)數(shù)為的等比數(shù)列,.14.答案：解析：設(shè)圓的方程為,

由題意知:點(diǎn)既在直線上,

又在的垂直平分線上,由,

得圓心坐標(biāo)為(3,0),,

所以圓的方程為.15.答案：[-1,1]解析：由題意,可知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),設(shè)直線與圓相切于點(diǎn).當(dāng),即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),明顯圓上存在點(diǎn)或符合要求;當(dāng)時(shí),過作圓的切線,切點(diǎn)之一為點(diǎn),此時(shí)對(duì)于圓上隨意一點(diǎn).都有,故要存在,只需.特殊地,當(dāng)時(shí),有.結(jié)合圖形可知,符合條件的取值范圍為.16.答案：解析：三、解答題17.答案：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)?所以有,所以;

（2）由1知,所以,所以,

又單調(diào)遞增,故.解析：18.答案：（1）由已知可得直線,所以直線恒過定點(diǎn).又所以點(diǎn)在圓內(nèi),所以對(duì)隨意的,直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn).（2）如圖所示,由1,知直線恒過定點(diǎn),且直線的斜率存在.又是的中點(diǎn),,所以點(diǎn)在以為直徑的圓上.又所以以為直徑的圓的方程為,又直線的斜率存在,,所以點(diǎn)的軌跡方程為.解析：19.答案：（1）由已知:即:,又由得:,所以

（2）由知:依題意:對(duì)恒成立.即:整理得:∵當(dāng)時(shí):取最大值故

解析：20.答案：（1）因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)槠矫娴酌?，，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，平面，平面，所以平?（3）取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求作的點(diǎn).理由：因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫娴酌?，所以平面，所?因?yàn)?，，所以平?因?yàn)槠矫?，所?解析：21.答案：（1）角的終邊經(jīng)過點(diǎn),∴.又,∴.∵當(dāng)時(shí),的最小值為,∴,即,∴,∴.

（2）當(dāng)時(shí),,于是,于是即為,由,得的最大值為.∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.解析：22.答案：（1）設(shè)圓心，半徑為r．因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，解得，所以圓C的方程是（2）因?yàn)椋遗c的夾角為，所以所以圓心C到直線的距