江西省師大附中2025屆高三數(shù)學三?？荚囋囶}文含解析

PAGE22-江西省師大附中2025屆高三數(shù)學三模考試試題文（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先化簡集合，，再求即可.【詳解】解：，故選：C【點睛】本題主要考查集合的交集運算，同時考查了函數(shù)的定義域求法，屬于簡潔題.2.設(shè)復數(shù)，則的共軛復數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化成復數(shù)代數(shù)形式，再依據(jù)共軛復數(shù)定義選擇.【詳解】解：因為，所以，故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)除法法則以及共軛復數(shù)定義，考查基本分析求解實力，屬基礎(chǔ)題.3.的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導公式先進行化簡，然后利用特別角的三角函數(shù)值進行求解.【詳解】.故選：A.【點睛】本題主要考查利用誘導公式求值，熟記特別角的三角函數(shù)值是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).4.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得，從而可求出的值.【詳解】解：因為向量，，所以，所以，故選：D【點睛】此題考查平面對量的坐標運算，向量的模，向量的減法運算，屬于基礎(chǔ)題.5.已知、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，則．其中全部正確命題的序號是（）A.①② B.②③ C.②④ D.①④【答案】D【解析】【分析】利用線面平行和線面垂直的性質(zhì)可推斷①的正誤；利用線面的位置關(guān)系可推斷②③的正誤；利用線面平行的性質(zhì)和面面垂直的判定定理可推斷④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于命題①，若，過直線的平面與的交線滿意，則，，，，則，命題①正確；對于命題②，若，，則或，命題②錯誤；對于命題③，若，，，則與平行、相交或異面，命題③錯誤；對于命題④，若，過直線的平面與的交線滿意，且，，則，，命題④正確.故選：D.【點睛】本題考查線面、面面位置關(guān)系有關(guān)命題的推斷，考查推理實力，屬于中等題.6.若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象的一個對稱中心為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由的圖象向右平移個單位長度后，求得對稱中心即可.【詳解】解：的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為.令，則.所以，所得圖象的對稱中心為.當時，所得圖象的一個對稱中心為.故選：D.【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的平移變換及對稱中心，屬于基礎(chǔ)題.7.已知數(shù)列的前項和，則“”是“是等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】分析】先令，求出，再由時，依據(jù)，求出，結(jié)合充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】解：當時，，當時，若，則，，當時，，數(shù)列是等比數(shù)列；若數(shù)列是等比數(shù)列，，，，所以，是充分必要條件．故選：C【點睛】本題主要考查充分必要條件的判定，熟記概念，以及數(shù)列的遞推公式即可求解，屬于?？碱}型.8.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性解除C，當時利用基本不等式和三角函數(shù)的有界性可以得到，從而解除BD，進而得到答案.【詳解】記為，，∴是奇函數(shù)，解除C;當時，,故B、D錯誤，故選：A.【點睛】本題考查已知函數(shù)的解析式，判定圖象，涉及函數(shù)的奇偶性，三角函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬小綜合，難度一般.9.在《周髀算經(jīng)》中，把圓及其內(nèi)接正方形稱為圓方圖，把正方形及其內(nèi)切圓稱為方圓圖.圓方圖和方圓圖在我國古代的設(shè)計和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應用.山西應縣木塔是我國現(xiàn)存最古老、最高大的純木結(jié)構(gòu)樓閣式建筑，它的正面圖如下圖所示.以該木塔底層的邊作正方形，以點或點為圓心，以這個正方形的對角線為半徑作圓，會發(fā)覺塔的高度正好跟此對角線長度相等.以該木塔底層的邊作正方形，會發(fā)覺該正方形與其內(nèi)切圓的一個切點正好位于塔身和塔頂?shù)姆纸缇€上.經(jīng)測量發(fā)覺，木塔底層的邊不少于47.5米，塔頂?shù)近c的距離不超過19.9米，則該木塔的高度可能是（參考數(shù)據(jù)：）（）A.66.1米 B.67.3米 C.68.5米 D.69.0米【答案】B【解析】【分析】高度和木塔高度之比應為，再依據(jù)木塔底層的邊不少于47.5米，即可求解.【詳解】解：設(shè)木塔的高度為，有圖可知，（米），同時，（米），即木塔的高度應在67.165米至67.918米之間，只有B符合.故選：B.【點睛】依據(jù)給定圖形視察出待求線段與已知線段之間的比例關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵，同時考查運算求解實力；屬于基礎(chǔ)題.10.已知圓的圓心到直線的距離為，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.相離【答案】B【解析】【分析】依據(jù)圓的方程求得圓心為，半徑為，利用點到直線的距離公式得到，求得圓心距，依據(jù)圓與圓的位置關(guān)系進行判定.【詳解】圓的圓心為，半徑為.圓心到直線的距離為，解得.∴圓的圓心為，半徑為2，圓的標準方程為：，圓心坐標為，半徑，圓心距，∴兩圓相內(nèi)切，故選：B.【點睛】本題考查圓與圓位置關(guān)系的判定，涉及點到直線的距離公式，圓的一般方程和標準方程，屬中檔題.11.設(shè)，已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，，若點滿意，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得兩條漸近線的方程為，聯(lián)立方程組求得的坐標，再由，得到,結(jié)合斜率公式，求得，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】由題意，雙曲線的兩條漸近線的方程為，聯(lián)立，解得，同理可得，所以的中點坐標為，因點滿意，則,可得，整理得，又由，所以，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：D.【點睛】本題主要考查了雙曲線的離心率的求解，以及兩直線的位置關(guān)系的應用，著重考查推理與運算實力，屬于中檔試題.12.如圖，在棱長為的正方體中，點是棱的中點，，若過點，，的平面分別交棱、于點，，則線段的長度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在的延長線上取點，使，通過證明確定出點；直線與交于點，連結(jié)，則和的交點就是過點，，的平面與棱的交點，然后依據(jù)三角形相像，進一步可求線段的長度.【詳解】解：由知，,取的中點，在線段上取點，使，則由，所以四邊形為平行四邊形，，由，所以四邊形為平行四邊形，，所以，所以四邊形為平行四邊形，，在的延長線上取點，使，連結(jié)則是線段的中點，所以，所以，所以過點，，的平面與棱的交點就是線段與線段的交點，設(shè)直線與交于點，連結(jié)，則和的交點就是過點，，的平面與棱的交點，由和相像，易求，由和相像，易求，由和相像，易求，所以，故選：B【點睛】考查幾何體中不共線三點確定平面的方法以及求線段的長度的方法，中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若數(shù)列的前項和，則______________．【答案】17【解析】【分析】由可求得結(jié)果.【詳解】解：因為數(shù)列的前項和，所以，故答案為：17【點睛】此題考查數(shù)列前項和與通項的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.14.已知過拋物線的焦點的直線交于，兩點，若點的橫坐標為，則點到的準線的距離為____________．【答案】10【解析】【分析】由已知求出點，的坐標，則可得直線的方程，再與拋物線方程聯(lián)立成方程組，求出點的坐標，然后由拋物線的定義可求出點到的準線的距離.【詳解】解：由已知得，準線方程為因為點的橫坐標為，所以點的縱坐標為，即，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，由，得，解得或，所以點的縱坐標為8所以點到的準線的距離為，故答案為：10【點睛】此題考查拋物線的定義和性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.15.已知變量，滿意，若的最小值為，則實數(shù)等于____________．【答案】3【解析】【分析】先作出不等式組對應的可行域，由得，它表示斜率為，縱截距為的直線系，再利用數(shù)形結(jié)合分析即得解.【詳解】不等式組對應的可行域為如圖所示的平面區(qū)域，由得，它表示斜率為，縱截距為的直線系，當直線經(jīng)過點A時，直線的縱截距最小，最小.聯(lián)立得，所以所以.故答案為：3【點睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃的最值求參數(shù)的值，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平和數(shù)形結(jié)合分析推理實力.16.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．若函數(shù)有個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是__________________．【答案】【解析】【分析】函數(shù)有三個零點，可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有三個不同的交點問題，求導分析函數(shù)單調(diào)性，畫出圖像，視察求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，在時取得微小值也即最小值；當時，，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，在時取得極大值也即最大值；把函數(shù)有個不同的零點轉(zhuǎn)化為有三個不同的交點問題；當與相切時，兩函數(shù)圖形恰好有兩個交點，設(shè)切點坐標為，則，整理得，，由圖像視察得：.故答案為：.【點睛】本題主要考查了已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)問題，考查了函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化思想.屬于較難題.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22題、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，．（1）求的值；（2）若的面積為，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)正弦定理把邊化角得到，利用為銳角三角形得出，進而得出結(jié)論；（2）利用三角形的面積公式得到，再利用余弦定理和基本不等式得出結(jié)論.【詳解】（1）由，得，，因為為銳角三角形，所以，，所以，從而，所以．（2）因，所以，又，當且僅當時取等號，所以的最小值為．【點睛】本題主要考查正余弦定理和基本不等式.屬于中檔題.18.2024年起，全國地級及以上城市全面啟動生活垃圾分類工作，垃圾分類投放逐步成為居民的新時尚．為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四類，并分別設(shè)置了相應的垃圾箱．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放狀況，現(xiàn)隨機抽取了某市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）：“廚余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾300703080可回收垃圾302103030有害垃圾20206020其他垃圾10201060（1）分別估計廚余垃圾和有害垃圾投放正確的概率；（2）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為，，，，其中，．當數(shù)據(jù)，，，的方差最大時，寫出，，，的值（結(jié)論不要求證明），并求此時的值．【答案】（1）；（2），；．【解析】【分析】（1）用廚余垃圾投放正確的數(shù)量比上廚余垃圾總量可得“廚余垃圾”投放正確的概率，同理可求出有害垃圾投放正確的概率；（2）當，時，數(shù)據(jù)，，，的方差最大，求出平均值依據(jù)方差計算公式求解即可.【詳解】（1）估計“廚余垃圾”投放正確的概率為；估計“有害垃圾”投放正確的概率為．（2）當，時，數(shù)據(jù)，，，的方差最大．因為，所以此時方差．【點睛】本題考查頻率估計概率、樣本數(shù)據(jù)的方差，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在四棱臺中，底面是菱形，平面平面，，．（1）求證：；（2）求四棱臺的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）延長，，，可相交于一點S，取的中點M，連接交于點N，連接．可證，，然后利用線面垂直的判定定理證明平面，進而依據(jù)線面垂直的定義得到；（2）由（1）的中間結(jié)論，利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，進而計算得到所求體積.【詳解】（1）在四棱臺中，延長，，，可相交于一點S，如圖所示．取的中點M，連接交于點N，連接．因為，所以，從而．因為底面是菱形，，所以為正三角形，所以．又因為，所以平面．所以，即．（2）因為平面平面，所以由（1）可知，平面．因為，，，所以．又．所以．所以四棱臺的體積為．【點睛】本題考查棱臺的結(jié)構(gòu)特征，線面垂直的判定與性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)，棱臺的體積計算，屬中檔題.留意棱臺的側(cè)棱延長后交于同一點.20.已知橢圓的離心率為，其上頂點為，左焦點為，原點到直線的距離等于．（1）求橢圓的方程；（2）若過點的直線與橢圓相交于，兩點，且，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）由題意可得，而，可求出，再結(jié)合求出，從而可得到橢圓的標準方程；（2）先推斷直線的斜率存在，然后設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立成方程組，消元后得到，再用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合列方程可求出的值，從而可得到直線方程.【詳解】（1）由已知，，，所以，所以，即，所以，．又，所以．所以橢圓C的方程為．（2）將代入得，，，此時，因此，直線的斜率必定存在．設(shè)直線的方程為，即，，，聯(lián)立得，，所以，，．所以，．解得，所以．所以直線的方程為或．【點睛】此題考查了求橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了運算實力，屬于中檔題.21.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先求導數(shù)可得切線的斜率，結(jié)合切點坐標可求切線方程；（2）把目標不等式進行化簡，分出參數(shù)，結(jié)合導數(shù)求解新函數(shù)的最小值，然后可得結(jié)果.【詳解】（1）由已知，，從而，．所以，，所以曲線在處的切線方程為，即．（2）當時，可化為，即．令，，則依題設(shè)，只需．，因為，所以當時，；當時，．從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)a的取值范圍是．【點睛】本題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)求解切線問題的關(guān)鍵是求解切線的斜率，恒成立問題一般利用分別參數(shù)進行求解，結(jié)合函數(shù)的最值可求參數(shù)范圍，側(cè)重考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計分．22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的一般方程和直線的直角坐標方程；（2）設(shè)，若直線與曲線相交于，兩點，求的值．【答案】（1）曲線C的一般方程為；