第10講二次函數(shù)中菱形的存在性問題專題探究(原卷版+解析)

第10講二次函數(shù)中菱形的存在性問題專題探究【知識(shí)總結(jié)】方法策略：抓菱形兩大性質(zhì)鄰邊相等→轉(zhuǎn)化為等腰△存在性問題對角線垂直→轉(zhuǎn)化為直角△存在性問題，或“k型相似”問題【類題訓(xùn)練】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L：y＝ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（﹣1，0），與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式；（2）將拋物線L向右平移3個(gè)單位長度得到新的拋物線L′，點(diǎn)Q為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，試判斷在拋物線L′的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的菱形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，3），A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線BC的上方．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP'C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP'C為菱形？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使△BPC的面積最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BPC的面積最大值．3．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣4的圖象與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，連接CD．（1）求S△COD；（2）如圖1，點(diǎn)P在直線CD下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥CD交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PE∥x軸交CD于點(diǎn)E，求PE+PQ的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿著射線DC方向平移個(gè)單位長度得到新拋物線y1，點(diǎn)M在新拋物線對稱軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，若以B、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以BM為邊的菱形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并選擇其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出求解過程．?4．如圖，已知經(jīng)過A（1，0），B（4，0）兩點(diǎn)的拋物線y＝x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C．（1）求此拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若線段BC上有一動(dòng)點(diǎn)M（不與B、C重合），過點(diǎn)M作MN⊥x軸交拋物線于點(diǎn)N．①求當(dāng)線段MN的長度最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；②是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形OCMN為菱形？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的圖象與x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使四邊形ACPB的面積最大，求出此時(shí)四邊形ACPB的面積最大值和P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M在拋物線對稱軸上，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以點(diǎn)M、N、A、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（0，1），B（4，﹣1）．直線AB交x軸于點(diǎn)C，P是直線AB上方且在對稱軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PD⊥AB，垂足為D，E為點(diǎn)P關(guān)于拋物線的對稱軸的對應(yīng)點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）將拋物線y關(guān)于直線x＝3作對稱后得新拋物線y'，新拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)F，M是新拋物線對稱軸上一點(diǎn)，N是平面中任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得以C，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．

第10講二次函數(shù)中菱形的存在性問題專題探究【知識(shí)總結(jié)】方法策略：抓菱形兩大性質(zhì)鄰邊相等→轉(zhuǎn)化為等腰△存在性問題對角線垂直→轉(zhuǎn)化為直角△存在性問題，或“k型相似”問題【類題訓(xùn)練】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L：y＝ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（﹣1，0），與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式；（2）將拋物線L向右平移3個(gè)單位長度得到新的拋物線L′，點(diǎn)Q為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，試判斷在拋物線L′的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的菱形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設(shè)P（1，t），Q（x，y），根據(jù)題意分兩種情況討論：當(dāng)BP為菱形的對角線時(shí)，BC＝CP，P（1，0）或（1，6）；當(dāng)BQ為菱形的對角線時(shí)，BC＝BP，P（1，）或（1，﹣）．【解答】解：（1）∵拋物線L：y＝ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（﹣1，0），∴，解得，∴拋物線L的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2+4x+3；（2）存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的菱形，理由如下：∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，將拋物線L向右平移3個(gè)單位長度得到新的拋物線L′，∴拋物線L′的解析式為y＝（x+2﹣3）2﹣1，即拋物線L′的解析式為y＝x2﹣2x，對稱軸為直線x＝1，∵拋物線L：y＝ax2+bx+3與y軸相交于點(diǎn)C，∴C（0，3），∴BC＝＝，設(shè)P（1，t），Q（x，y），當(dāng)BP為菱形的對角線時(shí)，BC＝CP，∴，解得或，∴P（1，0）或（1，6）；當(dāng)BQ為菱形的對角線時(shí)，BC＝BP，∴，解得或，∴P（1，）或（1，﹣）；綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（1，6）或（1，）或（1，﹣）．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，3），A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線BC的上方．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP'C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP'C為菱形？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使△BPC的面積最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BPC的面積最大值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可直接求出二次函數(shù)的解析式；（2）先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出P'的坐標(biāo)，利用菱形的對角線互相垂直且鄰邊相等即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后作PQ平行y軸交BC與點(diǎn)Q，將三角形PCQ和三角形PBQ的面積表示出來，再求出最大值的條件和最大值．【解答】解：（1）把點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)代入解析式，得：，解得：，∴二次函數(shù)得表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；（2）存在點(diǎn)P，使四邊形POP'C為菱形，設(shè)P（x，﹣x2+2x+3），PP'交CO于點(diǎn)E，若四邊形POP'C是菱形，則PC＝PO，連接PP'，則PE⊥CO，OE＝CE＝，∴，解得，（不合題意，舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，設(shè)P（x，﹣x2+2x+3），易得直線BC的解析式為y＝﹣x+3，則Q（x，﹣x+3），∴S△CPB＝S△BPQ+S△CPQ＝QP?BO＝，當(dāng)x＝時(shí)，△CPB的面積最大，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），△CPB的面積的最大值為．3．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣4的圖象與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，連接CD．（1）求S△COD；（2）如圖1，點(diǎn)P在直線CD下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥CD交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PE∥x軸交CD于點(diǎn)E，求PE+PQ的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿著射線DC方向平移個(gè)單位長度得到新拋物線y1，點(diǎn)M在新拋物線對稱軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，若以B、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以BM為邊的菱形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并選擇其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出求解過程．?【分析】（1）已知函數(shù)解析式，分別令x＝0、y＝0，解方程即可求得B、C、D的坐標(biāo)，再運(yùn)用三角形面積公式即可求得答案．（2）利用待定系數(shù)法可得直線CD的解析式為y＝x﹣4，設(shè)P（t，t2﹣3t﹣4），可表示出PE，利用等腰直角三角形性質(zhì)可將PE表示PQ的長，進(jìn)而用點(diǎn)P坐標(biāo)將PE+PQ表示成函數(shù)，借助二次函數(shù)求最值的方法即可求得PE+PQ的最大值．（3）菱形的存在性問題先轉(zhuǎn)化為求以AC為邊的等腰三角形的存在性問題，然后根據(jù)平行四邊形存在性問題的處理方法寫出第四點(diǎn)N即可．【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣4，∴D（0，﹣4），∴OD＝4，當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣3x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B（﹣1，0），C（4，0），∴OC＝4，∴S△COD＝OC?OD＝×4×4＝8；（2）設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線CD的解析式為y＝x﹣4，設(shè)P（t，t2﹣3t﹣4），∵OC＝OD＝4，∠COD＝90°，∴△COD是等腰直角三角形，∴∠DCO＝45°，∵PE∥x軸，∴∠PEQ＝∠DCO＝45°，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相同，∴t2﹣3t﹣4＝x﹣4，∴x＝t2﹣3t，∴E（t2﹣3t，t2﹣3t﹣4），∴PE＝t﹣（t2﹣3t）＝﹣t2+4t，∵PQ⊥CD，∴△PEQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PE＝（﹣t2+4t），∴PE+PQ＝﹣t2+4t+（﹣t2+4t）＝﹣（t﹣2）2+2+4，∵﹣＜0，∴當(dāng)t＝2時(shí)，PE+PQ取得最大值，最大值為2+4，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣6）；（3）依題意，拋物線沿射線DC平移2個(gè)單位即拋物線向右平移2個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位．平移后拋物線解析式為：y1＝（x﹣）2﹣，對稱軸為直線x＝．故設(shè)點(diǎn)M（，m），又B（﹣1，0），P（2，﹣6）．∴BP＝＝3，BM＝＝，PM＝＝．由題意知，以BM為腰的等腰三角形△BPM有兩種情況：①如圖1，當(dāng)BP＝BM時(shí)，則3＝，解得：m1＝，m2＝﹣．M1（，），M2（，﹣）．由平行四邊形對角線互相平分可知：，∴N1（，﹣6+），N2（，﹣6﹣）；②如圖2，當(dāng)PM＝BM時(shí)，則＝，解得：m＝﹣，∴M3（，﹣），∴N3（﹣，﹣），綜上：使以BM為邊的菱形的N點(diǎn)有：N1（，﹣6+），N2（，﹣6﹣），N3（﹣，﹣）．4．如圖，已知經(jīng)過A（1，0），B（4，0）兩點(diǎn)的拋物線y＝x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C．（1）求此拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若線段BC上有一動(dòng)點(diǎn)M（不與B、C重合），過點(diǎn)M作MN⊥x軸交拋物線于點(diǎn)N．①求當(dāng)線段MN的長度最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；②是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形OCMN為菱形？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將A（1，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①先待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y＝﹣x+4，設(shè)M的坐標(biāo)為（m，﹣m+4），則N（m，m2﹣5m+4），進(jìn)而得出MN關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出線段MN的長度最大時(shí)，求得m點(diǎn)的值，即可點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出MN＝CO＝CM＝4，求得M（2，2），進(jìn)而計(jì)算MC，得出MC≠CO進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）將A（1，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得：，∴拋物線解析式為：y＝x2﹣5x+4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，即C（0，4）；（2）①設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+4，將點(diǎn)B（4，0）代入得，4k+4＝0，解得：k＝﹣1，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，設(shè)M的坐標(biāo)為（m，﹣m+4），則N（m，m2﹣5m+4），∴MN＝﹣m+4﹣（m2﹣5m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∵﹣1＜0，∴當(dāng)m＝2時(shí)，MN取得最大值，∴M（2，2）；②不存在，理由：∵四邊形OCMN是菱形，則MN＝CO＝CM＝4，∴﹣（m﹣2）2+4＝4，∴m＝2，此時(shí)M（2，2），C（0，4），∴≠CO，∴不存在點(diǎn)M使得四邊形OCMN為菱形．5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的圖象與x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使四邊形ACPB的面積最大，求出此時(shí)四邊形ACPB的面積最大值和P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M在拋物線對稱軸上，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以點(diǎn)M、N、A、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，直接利用待定系數(shù)法，即可求得這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），即可由S四邊形ACPB＝S△AOC+S△COP+S△BOP求得答案；（3）分別從當(dāng)AM＝AC，CM＝CA，AC為對角線，結(jié)合菱形的性質(zhì)去分析求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），S四邊形ACPB＝S△AOC+S△COP+S△BOP，＝＝＝，∵，∴當(dāng)時(shí)，四邊形ABCP的最大值是，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，t），則：AM2＝（﹣1﹣1）2+（0﹣t）2，AC2＝（﹣1﹣0）2+[0﹣（﹣3）]2，CM2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣t）2，設(shè)AC的中點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，即，∴，，當(dāng)AM＝AC時(shí)，則AM2＝AC2，∴（﹣1﹣1）2+（0﹣t）2＝（﹣1﹣0）2+[0﹣（﹣3）]2，解得，，∴、，；當(dāng)CM＝CA時(shí)，則CM2＝CA2，∴（0﹣1）2+（﹣3﹣t）2＝（﹣1﹣0）2+[0﹣（﹣3）]2，解得，t1＝0，t2＝﹣6，∴M3（1，0）、M4（1，﹣6）（舍去，此時(shí)M、A、C三點(diǎn)共線，無法構(gòu)成菱形）；當(dāng)AC為對角線時(shí)則有：AQ2+QM2＝AM2，∴＝（﹣1﹣1）2+（0﹣t）2，解得，t＝﹣1，∴M5（1，﹣1），∴存在這樣的點(diǎn)M、N能夠使得以點(diǎn)M、N、A、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：、、M3（1，0）、M5（1，﹣1）．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（0，1），B（4，﹣1）．直線AB交x軸于點(diǎn)C，P是直線AB上方且在對稱軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PD⊥AB，垂足為D，E為點(diǎn)P關(guān)于拋物線的對稱軸的對應(yīng)點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)