第24章相似三角形全章復(fù)習(xí)攻略(2個概念4個性質(zhì)及推論1個判定1個運算1個應(yīng)用1種思想)與檢測卷(原卷版+解析)

第24章相似三角形全章復(fù)習(xí)攻略與檢測卷【目錄】倍速學(xué)習(xí)六種方法【2個概念】1.比例線段2.相似圖形【4個性質(zhì)及推論】1.平行線分線段成比例性質(zhì)及推論2.三角形一邊平行線性質(zhì)及推論3.重心的性質(zhì)4.相似三角形的性質(zhì)【1個判定】1.相似三角形的判定【1個運算】1.平面向量的線性運算【1個應(yīng)用】1.相似三角形的應(yīng)用【1種思想】1.分類討論思想【檢測卷】【倍速學(xué)習(xí)六種方法】【2個概念】1.比例線段比例線段【例1】（2023?長寧區(qū)一模）已知線段a、b、c、d是成比例線段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．1【變式】（2023?奉賢區(qū)一模）已知線段a＝4，b＝16，如果線段c是a、b的比例中項，那么c的值是．【例2】（2022秋?金山區(qū)校級期末）根據(jù)4a＝5b，可以組成的比例有（）A． B． C． D．【變式】（2023?徐匯區(qū)一模）已知，則＝．【例3】．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代數(shù)式3x﹣2y+z的值．【變式】（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知實數(shù)a、b、c滿足，且a﹣3b+2c＝﹣8．求的值．【例4】（2023?長寧區(qū)一模）已知P是線段AB的黃金分割點，且AP＞BP，那么的值為（）A． B． C． D．【變式】（2023?金山區(qū)一模）如圖，已知上海東方明珠電視塔塔尖A到地地底部B的距離是468米，第二球體點P處恰好是整個塔高的一個黃金分割點（點A、B、P在同一條直線上），且BP＞AP，那么底部B到球體P之間的距離是米（結(jié)果保留根號）．2.相似圖形相似形【例5】（2022秋?浦東新區(qū)期中）下列各組中兩個圖形不相似的是（）A． B． C． D．【變式1】（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）下列說法中，正確的是（）A．兩個矩形必相似 B．兩個含45°角的等腰三角形必相似 C．兩個菱形必相似 D．兩個含45°角的直角三角形必相似【變式2】（2022秋?金山區(qū)校級期末）如果梯形的一條對角線把梯形分成的兩個三角形相似，那么我們稱該梯形為“優(yōu)美梯形”．如果一個直角梯形是“優(yōu)美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周長為．【4個性質(zhì)及推論】1.平行線分線段成比例性質(zhì)及推論平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例；平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等.【例6】（2021秋?寶山區(qū)校級月考）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點A、B、C，截直線l5于點D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長．【變式】（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的長；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的長．2.三角形一邊平行線性質(zhì)及推論三角形一邊的平行線【例7】（2023?寶山區(qū)一模）在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列條件中能判斷DE∥BC的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．【變式1】（2023?崇明區(qū)一模）四邊形ABCD中，點F在邊AD上，BF的延長線交CD的延長線于E點，下列式子中能判斷AD∥BC的式子是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【變式2】（2023?徐匯區(qū)模擬）如圖，AD是△ABC的中線，P為AD上任意一點，連接BP并延長，交AC于F，連接CP并延長，交AB于E，連接EF．求證：EF∥BC．【變式3】（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）如圖，已知點A、C、E和點B、F、D分別是∠O兩邊上的點，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于點M，CD、EF交于點N．（1）求證：AF∥CD；（2）若OA：AC：CE＝3：2：4，AM＝1，求線段DN的長．3.重心的性質(zhì)三角形的重心【例8】（2023?青浦區(qū)一模）三角形的重心是（）A．三角形三條角平分線的交點 B．三角形三條中線的交點 C．三角形三條邊的垂直平分線的交點 D．三角形三條高的交點【變式1】（2023?浦東新區(qū)二模）如圖4，AD過△ABC的重心G，設(shè)向量＝，＝，那么向量＝．（結(jié)果用、表示）【變式2】．（2023?松江區(qū)一模）已知△ABC，P是邊BC上一點，△PAB、△PAC的重心分別為G1、G2，那么的值為．4.相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)【例9】（2023?崇明區(qū)一模）如果兩個相似三角形的周長之比是4：9，那么它們的對應(yīng)角平分線的比為．【變式1】（2023?虹口區(qū)一模）已知△ABC∽△A1B1C1，頂點A、B、C分別與A1、B1、C1對應(yīng)，AC＝12，A1C1＝9，∠A1的平分線的長為6，那么∠A的平分線的長為．【變式2】（2023?寶山區(qū)一模）已知一個三角形的三邊之比為2：3：4，與它相似的另一個三角形ABC的最小邊長為4厘米，那么三角形ABC的周長為厘米．【變式3】（2023?徐匯區(qū)一模）兩個相似三角形的對應(yīng)邊上的中線之比4：5，則這兩個三角形面積之比為．【變式4】（2023?浦東新區(qū)二模）如圖，已知正方形DEFG的頂點D、E在△ABC的邊BC上，頂點G、F分別在邊AB、AC上，如果BC＝8，△ABC的面積是32，那么這個正方形的邊長是（）A．4 B．8 C． D．【1個判定】1.相似三角形的判定相似三角形的判定【例10】（2023?上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求證：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．【變式1】（2023?普陀區(qū)二模）已知：如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，對角線AC、BD相交于點O，點E在邊BC上，AE⊥BD，垂足為點F，AB?DC＝BF?BD．（1）求證：四邊形ABCD為矩形；（2）過點O作OG⊥AC交AD于點G，求證：EC＝2DG．【變式2】（2023?青浦區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，點E在邊BC上，連接AE交BD于點F，且AB2＝BF?BD．（1）求證：點F在邊AB的垂直平分線上；（2）求證：AD?AE＝BE?BD．【變式3】（2023?虹口區(qū)二模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，點E為BC延長線上一點，∠ADB＝∠CDE，點F在BD上，聯(lián)結(jié)CF．（1）求證：AD?DE＝AC?DC；（2）如果AD?CE＝DF?DB，求證：四邊形DFCE為梯形．【變式4】（2023?寶山區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點O，OB＝OC．（1）求證：AB＝CD；（2）E是邊BC上一點，聯(lián)結(jié)DE交AC于點F，如果AO2＝OF?OC，求證：四邊形ABED是平行四邊形．【變式5】（2023?崇明區(qū)二模）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于E，M是邊DC延長線上的一點，聯(lián)結(jié)AM，與邊BC交于F，與對角線BD交于點G．（1）求證：AG2＝GF?GM；（2）聯(lián)結(jié)CG，如果∠BAG＝∠BCG，求證：平行四邊形ABCD是菱形．【變式6】（2023?金山區(qū)二模）如圖，已知△ABC是等邊三角形，過點A作DE∥BC（DE＜BC），且DA＝EA，聯(lián)結(jié)BD、CE．（1）求證：四邊形DBCE是等腰梯形；（2）點F在腰CE上，聯(lián)結(jié)BF交AC于點G，若CF2＝GF?BF，求證：CG＝DE．【1個運算】1.平面向量的線性運算1.實數(shù)與向量相乘：設(shè)k是實數(shù)，是向量，那么k與相乘所得的積是一個向量，記作.若，則；若，則；2.運算律：（1）實數(shù)與向量相乘對于實數(shù)加法的分配律：；（2）實數(shù)與向量相乘對于向量加法的分配律：；（3）實數(shù)與向量相乘的結(jié)合律：.3.平行向量定理：如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數(shù)m，使.4.單位向量：長度為1的向量；設(shè)與非零向量方向相同的單位向量為，則：，.5.向量的線性運算：向量加法、減法、實數(shù)與向量相乘以及它們的混合運算.已知是兩個不平行的向量，向量可以用表示成（x，y是實數(shù)）的形式.那么：向量就是向量的合成（向量分解為兩個向量）；向量是向量分別在方向上的分向量，或者是向量關(guān)于的分解式.【例11】（2023?寶山區(qū)二模）已知點D、E分別在△ABC的邊CA、BA的延長線上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，設(shè)，那么用向量表示為（）A． B． C． D．【變式1】（2023?奉賢區(qū)一模）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，BD＝AB＝BC，E是BD的中點．（1）求證：∠BAE＝∠C；（2）設(shè)＝，＝，用向量、表示向量．【變式2】（2023?靜安區(qū)校級一模）如圖，已知在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且BD＝2AD，AE＝EC．（1）求證：DE∥BC；（2）設(shè)，，試用向量、表示向量．【變式3】（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知：如圖，已知兩個不平行的向量、．求作：﹣2（寫出結(jié)論，不要求寫作法）．【1個應(yīng)用】1.相似三角形的應(yīng)用【例12】（2023?徐匯區(qū)一模）小明和小杰去公園游玩，小明給站在觀景臺邊緣的小杰拍照時，發(fā)現(xiàn)他的眼睛、涼亭頂端、小杰的頭頂三點恰好在一條直線上（如圖所示）．已知小明的眼睛離地面的距離AB為1.6米，涼亭的高度CD為6.6米，小明到?jīng)鐾さ木嚯xBD為12米，涼亭與觀景臺底部的距離DF為42米，小杰身高為1.8米．那么觀景臺的高度為米．【變式】（2022秋?寶山區(qū)校級月考）現(xiàn)有不等臂蹺蹺板AB，當(dāng)AB的一端點A碰到地面時（如圖（1）），另一端點B到地面距離為3米；當(dāng)AB的另一端點B碰到地面時（如圖（2）），端點A到地面距離為2米，那么蹺曉板AB的支撐點O到地面的距離OH＝米．【1種思想】1.分類討論思想【例13】已知：如圖，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．點P在線段AB上，聯(lián)結(jié)PD，過點D作PD的垂線，與BC相交于點C．設(shè)線段AP的長為x．（1）當(dāng)AP=AD時，求線段PC的長；（2）設(shè)△PDC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)△APD∽△DPC時，求線段BC的長．ABABCDPABCD（備用圖）【變式1】【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．【變式2】如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，延長FE與直線CD相交于點G，連接FC（AB＞AE）．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；(3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請說明理由．【變式3】在中，，，點在所在的直線上運動，作（、、按逆時針方向）．（1）如圖，若點在線段上運動，交于．①求證：；②當(dāng)是等腰三角形時，求的長；（2）如圖，若點在的延長線上運動，的反向延長線與的延長線相交于點，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長度；若不存在，請簡要說明理由；（3）若點在的反向延長線上運動，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由．【檢測卷】一、單選題1．若2x＝3y，那么＝（

）A． B． C． D．2．已知C是AB的黃金分割點，若，則AC的長為（

）．A． B． C． D．3．如圖，，，則下列比例式中不正確的是（

）．A． B．C． D．4．如圖，點P是的邊AC上一點，如果添加一個條件后可以得到，那么以下添加的條件中不正確的是（

）A． B．C． D．5．已知在中，，是角平分線，點在邊上，設(shè)，，那么向量用向量、表示為（）A． B． C． D．6．下面命題中，假命題是（

）．A．有一個角是的兩個等腰三角形相似B．全等三角形都是相似三角形C．兩邊對應(yīng)成比例，且有一個角相等的兩個三角形相似D．兩條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似二、填空題7．如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．8．兩個相似三角形面積比為1：9，小三角形的周長為4cm，則另一個三角形的周長為cm．9．如圖，在中，點、分別在邊、上，平分，，如果，，那么．10．如圖，在平行四邊形中，為上任一點，連接并延長交延長線于點，則．11．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，將Rt△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到Rt△ADE，則CD=．12．點G是△ABC的重心，GD∥AB，交BC于點D，向量，向量，那么向量用向量、表示為．13．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5．EF是中位線，設(shè)，則．14．已知點C是AB的黃金分割點(AC<BC)，若AB=4cm，則AC的長為cm.15．在比例尺為的地圖上，上海與香港之間的距離為厘米，則上海與香港之間的實際距離為千米．16．如果，那么．17．如圖，面積為的正方形內(nèi)接于面積為1的正三角形，其中、、是整數(shù)，且不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，則的值等于．18．如圖，△ABC的兩條中線AD，BE交于點G，EF∥BC交AD于點F．若FG＝1，則AD＝．三、解答題19．如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點F、E在邊AC上，且DF∥BE，．求：的值．20．小玉和小武學(xué)習(xí)完第四章《圖形的相似》以后，根據(jù)所學(xué)知識利用陽光下的影子去測量我校附近一幢建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為30米，OA的影長OD為32米，若此時小武的影長為2.4米，其中O、C、D、F、G五點在同一直線上，A、B、O三點在同一直線上，且，．已知小武的身高EF為1.8米，求旗桿的高．21．如圖，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中點，連接AD與BE交于點F，求證：△AFE∽△BCE．22．如圖，已知兩個不平行的向量、．先化簡，再求作：．（不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量）23．如圖，已知是邊上一點，且，設(shè)，．(1)試用、表示；(2)直接在圖中作出向量分別在、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）24．（2022秋·上海奉賢·九年級校聯(lián)考期中）已知：，，求代數(shù)式的值．25．如圖，是的中線，為上任意一點，連接并延長，交于，連接并延長，交于，連接求證：．26．如圖，已知四邊形是菱形，兩對角線和相交于點O，過點D作，垂足為點H，和交于點E，聯(lián)結(jié)并延長交邊于點G．求證：

(1)；(2)．27．如圖：四邊形ABCD對角線AC與BD相交于點O，OD=2OA，OC=2OB．（1）求證：△AOB∽△DOC；（2）點E在線段OC上，若AB∥DE，求證：OD2=OE?OC．28．如圖，在矩形ABCD中，P是BC邊上一點，連結(jié)DP并延長，交AB的延長線于點Q．（1）求證：△DCP∽△QBP．（2）若，求的值．

第24章相似三角形全章復(fù)習(xí)攻略與檢測卷【目錄】倍速學(xué)習(xí)六種方法【2個概念】1.比例線段2.相似圖形【4個性質(zhì)及推論】1.平行線分線段成比例性質(zhì)及推論2.三角形一邊平行線性質(zhì)及推論3.重心的性質(zhì)4.相似三角形的性質(zhì)【1個判定】1.相似三角形的判定【1個運算】1.平面向量的線性運算【1個應(yīng)用】1.相似三角形的應(yīng)用【1種思想】1.分類討論思想【檢測卷】【倍速學(xué)習(xí)六種方法】【2個概念】1.比例線段比例線段【例1】（2023?長寧區(qū)一模）已知線段a、b、c、d是成比例線段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．1【解答】解：∵線段a、b、c、d是成比例線段，a＝1，b＝2，c＝3，∴a：b＝c：d，即1：2＝3：d，解得：d＝6．故選：B．【變式】（2023?奉賢區(qū)一模）已知線段a＝4，b＝16，如果線段c是a、b的比例中項，那么c的值是．【解答】解：∵線段c是a、b的比例中項，∴c2＝ab＝64，解得：c＝±8，又∵線段是正數(shù)，∴c＝8．故答案為：8．【例2】（2022秋?金山區(qū)校級期末）根據(jù)4a＝5b，可以組成的比例有（）A． B． C． D．【解答】解：A、∵＝，∴5a＝4b，故A不符合題意；B、∵＝，∴5a＝4b，故B不符合題意；C、∵＝，∴4a＝5b，故C符合題意；D、∵＝，∴ab＝20，故D不符合題意．故選：C．【變式】（2023?徐匯區(qū)一模）已知，則＝．【解答】解：∵，∴x＝y(tǒng)，∴＝＝＝．故答案為：．【例3】．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代數(shù)式3x﹣2y+z的值．【解答】解：設(shè)＝＝＝k，則x＝2k，y＝3k，z＝4k，∵2x﹣3y+4z＝33，∴4k﹣9k+16k＝33，解得k＝3，∴x＝6，y＝9，z＝12，∴3x﹣2y+z＝3×6﹣2×9+12＝18﹣18+12＝12．【變式】（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知實數(shù)a、b、c滿足，且a﹣3b+2c＝﹣8．求的值．【解答】解：∵，∴設(shè)a＝3k，b＝5k，c＝4k，∵a﹣3b+2c＝﹣8，∴3k﹣15k+8k＝﹣8，∴k＝2，∴a＝6，b＝10，c＝8，∴＝＝1．【例4】（2023?長寧區(qū)一模）已知P是線段AB的黃金分割點，且AP＞BP，那么的值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵P是線段AB的黃金分割點，且AP＞BP，∴＝，∴＝＝，∴＝﹣1＝﹣1＝＝，故選：C．【變式】（2023?金山區(qū)一模）如圖，已知上海東方明珠電視塔塔尖A到地地底部B的距離是468米，第二球體點P處恰好是整個塔高的一個黃金分割點（點A、B、P在同一條直線上），且BP＞AP，那么底部B到球體P之間的距離是米（結(jié)果保留根號）．【解答】解：由題意可得，底部B到球體P之間的距離是：468×＝（234﹣234）米，故答案為：（234﹣234）．2.相似圖形相似形【例5】（2022秋?浦東新區(qū)期中）下列各組中兩個圖形不相似的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、兩個三角形相似，相似比為4：3．本選項不符合題意；B、兩個圖形不相似，對應(yīng)邊不成比例．本選項符合題意．C、兩個矩形相似，相似比為3：2．本選項不符合題意；D、兩個正方形相似．本選項不符合題意；故選：B．【變式1】（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）下列說法中，正確的是（）A．兩個矩形必相似 B．兩個含45°角的等腰三角形必相似 C．兩個菱形必相似 D．兩個含45°角的直角三角形必相似【解答】解：A、兩個矩形對應(yīng)邊不一定成比例，故此選項不符合題意；B、兩個含45°角的等腰三角形，45°不一定是對應(yīng)角，故不一定相似，故此選項不符合題意；C、兩個菱形的對應(yīng)角不一定相等，不一定相似，故此選項不符合題意；D、兩個含45°角的直角三角形必相似，故此選項符合題意．故選：D．【變式2】（2022秋?金山區(qū)校級期末）如果梯形的一條對角線把梯形分成的兩個三角形相似，那么我們稱該梯形為“優(yōu)美梯形”．如果一個直角梯形是“優(yōu)美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周長為．【解答】解：如圖，過D作DE⊥BC于E，∵梯形是直角梯形，∴∠A＝∠ABC＝∠DEB＝90°，∴四邊形ABED是矩形，∴BE＝AD＝2，∵BC＝4，∴CE＝BE＝2，∴BD＝CD，∵梯形的一條對角線把梯形分成的兩個三角形相似，∴△ABD∽△DBC，∴＝，∴＝＝1，∴AB＝AD＝2，∴BD＝CD＝AD＝2，∴它的周長為2+2+4+2＝8+2，故答案為：8+2．【4個性質(zhì)及推論】1.平行線分線段成比例性質(zhì)及推論平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例；平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等.【例6】（2021秋?寶山區(qū)校級月考）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點A、B、C，截直線l5于點D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴＝＝，∴DE＝EF＝6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．【變式】（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的長；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的長．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），∴DF＝DE+EF＝4+＝（cm）．（2）如圖，過點A作AK∥DF交BE于點J，交CF于點K，則AD＝JE＝FK＝40cm．∴CK＝CF﹣FK＝40cm，∵BJ∥CK，∴＝，∴＝，∴BJ＝15cm，∴BE＝BJ+JE＝15+40＝55cm．2.三角形一邊平行線性質(zhì)及推論三角形一邊的平行線【例7】（2023?寶山區(qū)一模）在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列條件中能判斷DE∥BC的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．【解答】解：∵AD：BD＝1：3，∴，∴當(dāng)時，，∴DE∥BC，故A選項能夠判斷DE∥BC；而C，B，D選項不能判斷DE∥BC．故選：A．【變式1】（2023?崇明區(qū)一模）四邊形ABCD中，點F在邊AD上，BF的延長線交CD的延長線于E點，下列式子中能判斷AD∥BC的式子是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【解答】解：當(dāng)時，無法判斷AD∥BC，故選項A不符合題意；當(dāng)＝時，∠AFB＝∠DFE，則△AFB∽△DFE，故∠ABF＝∠DEF，AB∥CD，但無法判斷AD∥BC，故選項B不符合題意；當(dāng)時，無法判斷AD∥BC，故選項C不符合題意；當(dāng)時，∠FED＝∠BEC，則△FED∽△BEC，故∠EFD＝∠EBC，可以判斷判斷AD∥BC，故選項D符合題意；故選：D．【變式2】（2023?徐匯區(qū)模擬）如圖，AD是△ABC的中線，P為AD上任意一點，連接BP并延長，交AC于F，連接CP并延長，交AB于E，連接EF．求證：EF∥BC．【解答】證明：如圖，延長PD到M，使DM＝PD，連接BM、CM．∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∵DM＝PD，∴四邊形BPCM是平行四邊形，∴BP∥MC，即PF∥MC，∴AF：AC＝AP：AM，同理AE：AB＝AP：AM，∴AE：AB＝AF：AC，∴EF∥BC．【變式3】（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）如圖，已知點A、C、E和點B、F、D分別是∠O兩邊上的點，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于點M，CD、EF交于點N．（1）求證：AF∥CD；（2）若OA：AC：CE＝3：2：4，AM＝1，求線段DN的長．【解答】（1）證明：∵AB∥DE，∴＝，即OA?OD＝OE?OB，∵BC∥EF，∴＝，即OC?OF＝OE?OB，∴OA?OD＝OC?OF，即＝，∴AF∥CD；（2）解：∵OA：AC：CE＝3：2：4，∴OC：CE＝5：4，∵BC∥EF，∴＝＝，設(shè)OB＝5x，則BF＝4x，∵AF∥CD，∴＝＝，＝＝∴FD＝OF＝×9x＝6x，∵FN∥BC，∴＝＝＝，設(shè)DN＝3a，則CN＝2a，∵FN∥CM，MF∥CN，∴四邊形MFNC為平行四邊形，∴MF＝CN＝2a，∵＝，即＝，解得a＝1，∴DN＝3a＝3．3.重心的性質(zhì)三角形的重心【例8】（2023?青浦區(qū)一模）三角形的重心是（）A．三角形三條角平分線的交點 B．三角形三條中線的交點 C．三角形三條邊的垂直平分線的交點 D．三角形三條高的交點【解答】解：三角形的重心是三角形三條中線的交點．故選：B．【變式1】（2023?浦東新區(qū)二模）如圖4，AD過△ABC的重心G，設(shè)向量＝，＝，那么向量＝．（結(jié)果用、表示）【解答】解：∵AD過△ABC的重心G，∴AG＝AD，＝＝，∵＝+＝+，∴＝+．故答案為：+．【變式2】．（2023?松江區(qū)一模）已知△ABC，P是邊BC上一點，△PAB、△PAC的重心分別為G1、G2，那么的值為．【解答】解：延長AG1交PB于D，延長AG2交PC于E，∵△PAB、△PAC的重心分別為G1、G2，∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中點，E是PC中點，∵∠G1AG2＝∠DAE，∴△AG1G2∽△ADE，∴△AG1G2的面積：△ADE的面積＝4：9，∵D是PB中點，E是PC中點，∴△ADE的面積＝×△ABC的面積，∴的值為．故答案為：．4.相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)【例9】（2023?崇明區(qū)一模）如果兩個相似三角形的周長之比是4：9，那么它們的對應(yīng)角平分線的比為．【解答】解：∵兩個相似三角形的周長之比是4：9，∴兩個相似三角形的相似比為4：9，∴它們的對應(yīng)角平分線的比為4：9．故答案為：4：9．【變式1】（2023?虹口區(qū)一模）已知△ABC∽△A1B1C1，頂點A、B、C分別與A1、B1、C1對應(yīng)，AC＝12，A1C1＝9，∠A1的平分線的長為6，那么∠A的平分線的長為．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AC＝12、A1C1＝9，∴相似比為：＝，∵∠A1的平分線的長為6，設(shè)∠A的平分線的長為x，則＝，∴x＝8．故答案為：8．【變式2】（2023?寶山區(qū)一模）已知一個三角形的三邊之比為2：3：4，與它相似的另一個三角形ABC的最小邊長為4厘米，那么三角形ABC的周長為厘米．【解答】解：所求三角形的三邊的比是2：3：4，設(shè)最短邊是2x厘米，則2x＝4，解得x＝2，因而另外兩邊的長是3x＝6厘米，4x＝8厘米．則三角形的周長是6+8+4＝18（厘米）．故答案為：18．【變式3】（2023?徐匯區(qū)一模）兩個相似三角形的對應(yīng)邊上的中線之比4：5，則這兩個三角形面積之比為．【解答】解：∵兩個相似三角形的對應(yīng)邊上的中線之比4：5，則這兩個相似三角形的相似比是4：5，∴這兩個三角形面積之比為42：52＝16：25．故答案為：16：25．【變式4】（2023?浦東新區(qū)二模）如圖，已知正方形DEFG的頂點D、E在△ABC的邊BC上，頂點G、F分別在邊AB、AC上，如果BC＝8，△ABC的面積是32，那么這個正方形的邊長是（）A．4 B．8 C． D．【解答】解：過點A作AH⊥BC于點H，交FG于點K，如圖，∵四邊形DEFG為正方形，∴FG＝GD，F(xiàn)G∥BC，∵AH⊥BC，∴AK⊥GF，∴四邊形GDHK為矩形，∴GD＝KH，∴GF＝KH．∵FG∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴．∵BC＝8，△ABC的面積是32，∴BC?AH＝32，∴AH＝8．設(shè)GF＝KH＝x，∴，∴x＝4．∴這個正方形的邊長是4．故選：A．【1個判定】1.相似三角形的判定相似三角形的判定【例10】（2023?上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求證：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，∴△ACF≌△ADE（ASA），∴AF＝DE；（2）∵△ACF≌△ADE，∴∠AFC＝∠DEA，∴∠AFB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE，∴＝，∴AF?DE＝BF?CE，∵AF＝DE，∴AF2＝BF?CE．【變式1】（2023?普陀區(qū)二模）已知：如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，對角線AC、BD相交于點O，點E在邊BC上，AE⊥BD，垂足為點F，AB?DC＝BF?BD．（1）求證：四邊形ABCD為矩形；（2）過點O作OG⊥AC交AD于點G，求證：EC＝2DG．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDB，∵AB?DC＝BF?BD，∴△ABF∽△BCD，∴∠AFB＝∠BCD，∵AE⊥BD，∴∠AFB＝∠BCD＝90°∵AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠BAD＝90°，∴四邊形ABCD為矩形；（2）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB，∵OG⊥OA，AF⊥BF，∴∠GOA+∠OAG＝∠BFE+∠FBE，∴∠OGD＝∠AEC，∴△AEC∽△OGD，∴AC：OD＝EC：GD＝2：1，即EC＝2DG．【變式2】（2023?青浦區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，點E在邊BC上，連接AE交BD于點F，且AB2＝BF?BD．（1）求證：點F在邊AB的垂直平分線上；（2）求證：AD?AE＝BE?BD．【解答】證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∵AB2＝BF?BD，∴，又∵∠ABD＝∠FBA，∴△ABF∽△DBA，∴∠FAB＝∠ADB，∴∠FAB＝∠ABD，∴AF＝BF，∴即點F在邊AB的垂直平分線上；（2）由上題可知∠FAB＝∠CBD，又∠BEA＝∠FEB（公共角），∴△BEA∽△FEB，∴，∵，∴，∵∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴，即AD?AE＝BE?BD．【變式3】（2023?虹口區(qū)二模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，點E為BC延長線上一點，∠ADB＝∠CDE，點F在BD上，聯(lián)結(jié)CF．（1）求證：AD?DE＝AC?DC；（2）如果AD?CE＝DF?DB，求證：四邊形DFCE為梯形．【解答】證明：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ADC＝∠DAB．在△ABD和△DCA中，，∴△ABD≌△DCA（SAS），∴∠DAC＝∠ADB，∵∠ADB＝∠CDE，∴∠DAC＝∠CDE．∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCB，∴△ADC∽△DCE．∴，∴AD?DE＝AC?DC；（2））∵△ADC∽△DCE，∴，∴AD?CE＝DC2．∵AD?CE＝DF?DB，∴DC2＝DF?DB，∴，∵∠FDC＝∠CDB，∴△FDC∽△CDB，∴∠DCF＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∵∠ADB＝∠CDE，∴∠DCF＝∠CDE，∴CF∥DE．又∵DF與CE不平行，∴四邊形DFCE為梯形．【變式4】（2023?寶山區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點O，OB＝OC．（1）求證：AB＝CD；（2）E是邊BC上一點，聯(lián)結(jié)DE交AC于點F，如果AO2＝OF?OC，求證：四邊形ABED是平行四邊形．【解答】證明：（1）∵OB＝OC，∴∠DBC＝∠ACB．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC．∴∠DAC＝∠ADB．∴OA＝DO．在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS）．∴AB＝CD．（2）∵AO2＝OF?OC，OA＝OD，OC＝OB，∴AO?OD＝OF?OB，即．∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△FOD．∴∠BAO＝∠DFO．∴AB∥DE．又∵AD∥BC，∴四邊形ABED是平行四邊形．【變式5】（2023?崇明區(qū)二模）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于E，M是邊DC延長線上的一點，聯(lián)結(jié)AM，與邊BC交于F，與對角線BD交于點G．（1）求證：AG2＝GF?GM；（2）聯(lián)結(jié)CG，如果∠BAG＝∠BCG，求證：平行四邊形ABCD是菱形．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DM，AD∥BC．∴△ABG∽△MDG，△ADG∽△FBG．∴＝，＝．∴＝．∴AG2＝GF?GM．（2）∵AB∥DM，∴∠BAG＝∠M．∵∠BAG＝∠BCG，∴∠M＝∠BCG．∵∠MGC＝∠FGC，∴△GCF∽△GMC．∴＝，即CG2＝GF?GM．∵AG2＝GF?GM，∴CG2＝AG2．∴CG＝AG．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE＝CE．∴GE⊥AC，即BD⊥AC．∴平行四邊形ABCD是菱形．【變式6】（2023?金山區(qū)二模）如圖，已知△ABC是等邊三角形，過點A作DE∥BC（DE＜BC），且DA＝EA，聯(lián)結(jié)BD、CE．（1）求證：四邊形DBCE是等腰梯形；（2）點F在腰CE上，聯(lián)結(jié)BF交AC于點G，若CF2＝GF?BF，求證：CG＝DE．【解答】證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAB＝∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB＝EC，∵DE∥BC，∴四邊形DBCE是等腰梯形；（2）∵CF2＝GF?BF，∴＝，∵∠CFG＝∠BFC，∴△CFG∽△BFC，∴∠FCG＝∠FBC，∠CGF＝∠BCF，∵DE∥BC，∴∠AEC+∠BCF＝180°，∵∠CGF+∠CGB＝180°，∴∠AEC＝∠CGF，在△AEC和△CGB中，，∴△AEC≌△CGB（AAS），∴CG＝AE＝DE．【1個運算】1.平面向量的線性運算1.實數(shù)與向量相乘：設(shè)k是實數(shù)，是向量，那么k與相乘所得的積是一個向量，記作.若，則；若，則；2.運算律：（1）實數(shù)與向量相乘對于實數(shù)加法的分配律：；（2）實數(shù)與向量相乘對于向量加法的分配律：；（3）實數(shù)與向量相乘的結(jié)合律：.3.平行向量定理：如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數(shù)m，使.4.單位向量：長度為1的向量；設(shè)與非零向量方向相同的單位向量為，則：，.5.向量的線性運算：向量加法、減法、實數(shù)與向量相乘以及它們的混合運算.已知是兩個不平行的向量，向量可以用表示成（x，y是實數(shù)）的形式.那么：向量就是向量的合成（向量分解為兩個向量）；向量是向量分別在方向上的分向量，或者是向量關(guān)于的分解式.【例11】（2023?寶山區(qū)二模）已知點D、E分別在△ABC的邊CA、BA的延長線上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，設(shè)，那么用向量表示為（）A． B． C． D．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠D＝∠C，∠B＝∠E，∴△ADE∽△ACB，∴，∴AC＝3AD，∵，∴＝，∴＝＝﹣．故選：D．【變式1】（2023?奉賢區(qū)一模）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，BD＝AB＝BC，E是BD的中點．（1）求證：∠BAE＝∠C；（2）設(shè)＝，＝，用向量、表示向量．【解答】（1）證明：∵BD＝AB＝BC，E是BD的中點，∴BE＝BD，∴＝，＝＝，又∵∠ABE＝∠CBA，∴△ABE∽△CBA，∴∠BAE＝∠C；（2）解：∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣，∵BD＝AB＝BC，∴BD＝DC，∴＝＝﹣，∴＝+＝+﹣＝2﹣．【變式2】（2023?靜安區(qū)校級一模）如圖，已知在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且BD＝2AD，AE＝EC．（1）求證：DE∥BC；（2）設(shè)，，試用向量、表示向量．【解答】（1）證明：BD＝2AD，AE＝EC，∴＝＝．∴DE∥BC；（2）解：∵，，∴＝﹣＝﹣．∴＝﹣．【變式3】（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知：如圖，已知兩個不平行的向量、．求作：﹣2（寫出結(jié)論，不要求寫作法）．【解答】解：向量與向量的方向相同，且向量的模是向量的模的．向量2與向量的方向相同，且其模的長度為的模的2倍．其圖示如下：即為所求．【1個應(yīng)用】1.相似三角形的應(yīng)用【例12】（2023?徐匯區(qū)一模）小明和小杰去公園游玩，小明給站在觀景臺邊緣的小杰拍照時，發(fā)現(xiàn)他的眼睛、涼亭頂端、小杰的頭頂三點恰好在一條直線上（如圖所示）．已知小明的眼睛離地面的距離AB為1.6米，涼亭的高度CD為6.6米，小明到?jīng)鐾さ木嚯xBD為12米，涼亭與觀景臺底部的距離DF為42米，小杰身高為1.8米．那么觀景臺的高度為米．【解答】解：作AM⊥EF于M，交DC于N，∵CD＝6.6米，AB＝1.6米，∴CN＝CD﹣AB＝5米，F(xiàn)M＝AB＝1.6米，∵CN∥EM，∴△ACN∽△AEM，∴CN：EM＝AN：AM，∴5：EM＝12：54，∴EM＝22.5（米），∴EF＝EM+FM＝22.5+1.6＝24.1（米），∴觀景臺的高度為24.1﹣1.8＝22.3米．故答案為：22.3．【變式】（2022秋?寶山區(qū)校級月考）現(xiàn)有不等臂蹺蹺板AB，當(dāng)AB的一端點A碰到地面時（如圖（1）），另一端點B到地面距離為3米；當(dāng)AB的另一端點B碰到地面時（如圖（2）），端點A到地面距離為2米，那么蹺曉板AB的支撐點O到地面的距離OH＝米．【解答】解：如圖所示：過點B作BN⊥AH于點N，AM⊥BH于點M，∴HO∥BN，∴△AOH∽△ABN，∴，即①，同理可得：△BOH∽△BAM，∴，即②，①+②，得，∴OH＝1.2（米），故答案為：1.2．【1種思想】1.分類討論思想【例13】已知：如圖，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．點P在線段AB上，聯(lián)結(jié)PD，過點D作PD的垂線，與BC相交于點C．設(shè)線段AP的長為x．（1）當(dāng)AP=AD時，求線段PC的長；（2）設(shè)△PDC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)△APD∽△DPC時，求線段BC的長．ABABCDPABCD（備用圖）滿分解答：（1）過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E．∵AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD//BC，∴∠ABC=∠AEC=∠PDC=90°，CE=AB=3．∵AD//BC，∴∠A+∠ABC=180°．即得∠A=90°．又∵∠ADC=∠DCE+∠DEC，∠ADC=∠ADP+∠PDC，∴∠ADP=∠DCE．又由∠A=∠DEC=90°，得△APD∽△DCE．∴．于是，由AP=AD=2，得DE=CE=3．…………（2分）在Rt△APD和Rt△DCE中，得，．…………（1分）于是，在Rt△PDC中，得．（1分）（2）在Rt△APD中，由AD=2，AP=x，得．……………………（1分）∵△APD∽△DCE，∴．∴．…………（1分）在Rt△PCD中，．∴所求函數(shù)解析式為．…………………（2分）函數(shù)的定義域為0<x≤3．…………（1分）（3）當(dāng)△APD∽△DPC時，即得△APD∽△DPC∽△DCE．…………（1分）根據(jù)題意，當(dāng)△APD∽△DPC時，有下列兩種情況：（?。┊?dāng)點P與點B不重合時，可知∠APD=∠DPC．由△APD∽△DCE，得．即得．由△APD∽△DPC，得．∴．即得DE=AD=2．∴AE=4．易證得四邊形ABCE是矩形，∴BC=AE=4．…（2分）（ⅱ）當(dāng)點P與點B重合時，可知∠ABD=∠DBC．在Rt△ABD中，由AD=2，AB=3，得．由△ABD∽△DBC，得．即得．解得．………（2分）∴△APD∽△DPC時，線段BC的長分別為4或．【變式1】【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【詳解】探究：證明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，當(dāng)CP=CE時，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；當(dāng)PC=PE時，△ACP≌△BPE，則PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；當(dāng)EC=EP時，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，綜上所述：△CPE是等腰三角形時，AP的長為4或．【變式2】如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，延長FE與直線CD相交于點G，連接FC（AB＞AE）．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；(3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請說明理由．【詳解】（1）證明：∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△AEF∽△DCE；（2）解：△AEF∽△ECF．理由：∵E為AD的中點，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∴△AEF≌△DEG(ASA)，∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∵EF⊥CE，∴CE垂直平分FG，∴△CGF是等腰三角形．∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF；（3）解：存在使得△AEF與△BFC相似．理由：假設(shè)△AEF與△BFC相似，存在兩種情況：①當(dāng)∠AFE＝∠BCF，則有∠AFE與∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此種情況不成立；②當(dāng)∠AFE＝∠BFC，使得△AEF與△BFC相似，設(shè)BC＝a，則AB＝ka，∵△AEF∽△BCF，∴，∴AF＝，BF＝，∵△AEF∽△DCE，∴，即，解得，．∴存在使得△AEF與△BFC相似．【變式3】在中，，，點在所在的直線上運動，作（、、按逆時針方向）．（1）如圖，若點在線段上運動，交于．①求證：；②當(dāng)是等腰三角形時，求的長；（2）如圖，若點在的延長線上運動，的反向延長線與的延長線相交于點，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長度；若不存在，請簡要說明理由；（3）若點在的反向延長線上運動，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由．【詳解】（1）①證明：∵，，∴．∴．又∵，∴．∴；②解：分三種情況：（i）當(dāng)，時，得到，點分別與重合，∴．（ii）當(dāng)時，在△ABD和△DCE中，，∴，∴，∵BC=，∴，∴；（iii）當(dāng)時，有，∴，AD=CD，AE=CE=DE，∴．綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時，的長為2，或1．（2）解：存在．∵，∴．∵，∴．∴，∴，∴，當(dāng)，．（3）解：不存在．理由如下：如圖，∵和不重合，∴，又，，∴≠．【檢測卷】一、單選題1．若2x＝3y，那么＝（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：2x＝3y等式兩邊都除以2y得：，2．已知C是AB的黃金分割點，若，則AC的長為（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：點是線段的黃金分割點，且，，，3．如圖，，，則下列比例式中不正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：A.∵，∴，故選項正確；B.∵，∴，故選項正確；C.∵，∴，故選項正確；D.∵，∴，故本選項錯誤4．如圖，點P是的邊AC上一點，如果添加一個條件后可以得到，那么以下添加的條件中不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：A.當(dāng)∠ABP＝∠C時，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項不符合題意；B.當(dāng)∠APB＝∠ABC時，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項不符合題意；C.當(dāng)AB2＝AP?AC，即時，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項不符合題意；D.無法得到△ABP∽△ACB，故此選項符合題意．5．已知在中，，是角平分線，點在邊上，設(shè)，，那么向量用向量、表示為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：因為AB＝AC，AD為角平分線，所以，D為BC中點，＝．故選A．6．下面命題中，假命題是（

）．A．有一個角是的兩個等腰三角形相似B．全等三角形都是相似三角形C．兩邊對應(yīng)成比例，且有一個角相等的兩個三角形相似D．兩條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似【答案】C【詳解】A．有一個角是100°的兩個等腰三角形相似，是真命題，B．全等三角形都是相似三角形，是真命題，C．兩邊對應(yīng)成比例，且有一個角相等的兩個三角形相似，是假命題，D．兩條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似，是真命題，二、填空題7．如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．【答案】【詳解】∵AB∥CD∥EF，∴，8．兩個相似三角形面積比為1：9，小三角形的周長為4cm，則另一個三角形的周長為cm．【答案】12【詳解】試題分析：設(shè)另一個三角形的周長是xcm，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得：=，解得：x=12．9．如圖，在中，點、分別在邊、上，平分，，如果，，那么．【答案】15【詳解】解：根據(jù)，即BC=15.10．如圖，在平行四邊形中，為上任一點，連接并延長交延長線于點，則．【答案】1【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形∴AD=BC，AD∥BC∴△ADQ∽BPQ∴即∴11．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，將Rt△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到Rt△ADE，則CD=．【答案】2-2詳解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，所以，AC=,將Rt△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到Rt△ADE，所以，AD=AB=2,所以，CD=AC-AD=2-212．點G是△ABC的重心，GD∥AB，交BC于點D，向量，向量，那么向量用向量、表示為．【答案】．【詳解】如圖，連接AG交BC于T．∵G是△ABC的重心，∴BT＝CT，AG＝2GT，∴，∴，∵GD∥AB，∴，∴BD＝BT，∴．故答案為：．13．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5．EF是中位線，設(shè)，則．【答案】【詳解】∵EF是梯形ABCD的中位線，∴，∵和是平行向量，并且方向相反，又，AD=3∴，14．已知點C是AB的黃金分割點(AC<BC)，若AB=4cm，則AC的長為