專題12二次函數(shù)與幾何圖形的綜合問題(原卷版+解析)

專題12：二次函數(shù)與幾何圖形的綜合問題目錄一、熱點題型歸納【題型一】二次函數(shù)與圖像面積的數(shù)量關(guān)系及最值問題【題型二】二次函數(shù)與角度數(shù)量關(guān)系問題【題型三】二次函數(shù)與線段長度數(shù)量關(guān)系及線段長度最值問題【題型四】二次函數(shù)與特殊三角形問題【題型五】二次函數(shù)與相似三角形存在性問題【題型六】二次函數(shù)與特殊四邊形存在性問題【題型七】二次函數(shù)與代數(shù)或幾何綜合問題二、最新?？碱}組練【題型一】二次函數(shù)與圖像面積的數(shù)量關(guān)系及最值問題【典例分析】1．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，點為二次函數(shù)的圖象與軸的交點．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若點為二次函數(shù)圖象上的一點，且，求點的坐標．【提分秘籍】對于圖形的運動產(chǎn)生的相等關(guān)系問題，解答時應(yīng)認真審題，仔細研究圖形，分析動點的運動狀態(tài)及運動過程，解題過程的一般步驟是：①弄清其取值范圍，畫出符合條件的圖形；②確定其存在的情況有幾種，然后分別求解，在求解計算中一般由函數(shù)關(guān)系式設(shè)出圖形的動點坐標并結(jié)合圖形作輔助線，畫出所求面積為定值的三角形；③過動點作有關(guān)三角形的高或平行于y軸、x軸的輔助線，利用面積公式或三角形相似求出有關(guān)線段長度或面積的代數(shù)式，列方程求解，再根據(jù)實際問題確定方程的解是否符合題意，從而證得面積等量關(guān)系的存在性.④對于面積的最值問題選擇合適的自變量，建立面積關(guān)于自變量的函數(shù)，并求出自變量的取值范圍，用二次函數(shù)或一次函數(shù)的性質(zhì)來解決.【變式演練】1．如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點為直線上方拋物線上的動點，連接，直線與拋物線的對稱軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)求直線的解析式；(3)求的面積最大值．2．如圖，拋物線與x軸交于兩點．(1)求該拋物線的解析式；(2)觀察函數(shù)圖象，直接寫出當x取何值時，？(3)設(shè)（1）題中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得的周長最??？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．3．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋4（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸l與x軸交于點M．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式．（2）設(shè)點P是直線l上的一個動點，求△PAC周長的最小值．【題型二】二次函數(shù)與角度數(shù)量關(guān)系問題【典例分析】1．如圖，拋物線與x軸交于點A（-1，0）和B（3，0），與y軸交于點C．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，若點M為直線BC上方拋物線一動點（與點B、C不重合），作MN平行于y軸，交直線BC于點N，當線段MN的長最大時，請求出點M的坐標；(3)如圖2，若P為拋物線的頂點，動點Q在拋物線上，當時，請求出點Q的坐標．【提分秘籍】探究兩個角相等的方法：①可轉(zhuǎn)換為滿足此三角形是等腰三角形時的點，一般是通過此動點作已知兩點連線的中垂線，再通過三角形相似以及中垂線的性質(zhì)求出中垂線所在直線的解析式，最后通過直線解析式和拋物線解析式聯(lián)立方程組求得動點的坐標；②通過構(gòu)造兩個三角形相似，再通過三角形相似的性質(zhì)建立等式關(guān)系，再通過直線解析式和拋物線解析式聯(lián)立方程組求得動點的坐標.【變式演練】1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，x軸上有一動點，過點P且垂直于x軸的直線與直線BC及拋物線分別交于點D，E．連接．(1)求拋物線的解析式．(2)點P在線段上運動時（不與點O，B重合）當時，求t的值．(3)當點P在x軸上自由運動時，是否存在點P，使？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．2．如圖，拋物線與軸相交于點，且經(jīng)過，兩點，連接．(1)求拋物線的表達式；(2)設(shè)為軸下方拋物線上一點，為對稱軸上一點，為該拋物線對稱軸與軸交點，若，求點的坐標．【題型三】二次函數(shù)與線段長度數(shù)量關(guān)系及線段長度最值問題【典例分析】1．如圖，已知經(jīng)過，兩點的拋物線與軸交于點．(1)求此拋物線的解析式及點的坐標；(2)若線段上有一動點不與、重合，過點作軸交拋物線于點．求當線段的長度最大時點M的坐標；【提分秘籍】探究平面直角坐標系中線段的數(shù)量關(guān)系的方法：①先設(shè)點的坐標，再用點的坐標表示線段的長度，然后分析表示線段長度的代數(shù)式，得出線段之間的數(shù)量關(guān)系；②函數(shù)圖象上點的坐標的表示方法：直線y=kx+b上點的坐標為(x，kx+b);拋物線y=ax2+bx+c上點的坐標為(x，ax2+bx+c)；雙曲線y=kx上的點的坐標為y=（x，k③已知點A(x,y),B(m,n),若AB與x軸平行，則AB=|x-m|;若AB與y軸平行，則AB=|y-n|;若AB既不與x軸平行又不與y軸平行，則AB=（x?m④求線段的數(shù)量關(guān)系時(或者求線段的最值時),可用三角形全等、相似或勾股定理等求線段的長，然后直接判斷兩條線段是否相等或者利用求出的線段長度進一步計算得出其他的結(jié)論(或者利用二次函數(shù)的性質(zhì)進一步求出線段的最值).【變式演練】1．如圖，在直角坐標平面中，直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點，拋物線經(jīng)過A、B兩點，點D是拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；(2)拋物線與x軸的另一個交點為C，點在拋物線對稱軸左側(cè)的圖象上，將拋物線向上平移m個單位（），使點M落在內(nèi)，求m的取值范圍；(3)對稱軸與直線交于點E，P是線段AB上的一個動點（P不與E重合），過P作y軸的平行線交原拋物線于點Q，當時，求點Q的坐標．2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y交y軸于點C，交x軸于A、B兩點，，，點M是拋物線上的動點，點M在頂點和B點之間運動（不包括頂點和B點），軸，交直線于點E．(1)求拋物線的解析式；(2)求線段的最大值；【題型四】二次函數(shù)與特殊三角形問題【典例分析】1．如圖，在平面直角坐標系中，直線l：與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線經(jīng)過點B，且與直線l的另一個交點為．(1)求n的值和拋物線的解析式．(2)已知P是拋物線上位于直線下方的一動點（不與點B，C重合），設(shè)點P的橫坐標為a．當a為何值時，的面積最大，并求出其最大值．(3)在拋物線上是否存在點M，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【提分秘籍】在解答直角三角形的存在性問題時，具體方法如下：(1)先假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角頂點的確定性，分情況討論.(2)找點：當所給定長未說明是直角三角形的斜邊還是直角邊時，需分情況討論，具體方法如下：①當定長為直角三角形的直角邊時，分別以定長的某一端點作定長的垂線，與坐標軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點.②當定長為直角三角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與所求點滿足條件的坐標軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點.(3)計算：把圖形中點的坐標用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從而表示出三角形的各邊(表示線段時，還要注意代數(shù)式的符號),再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，或者利用勾股定理進行計算，或者利用三角函數(shù)建立方程求點的坐標.【變式演練】1．拋物線經(jīng)過A、、三點．點D為拋物線的頂點，連接、、、．(1)求拋物線的解析式；(2)在y軸上是否存在一點E，使為直角三角形？若存在，請你直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線，是常數(shù)經(jīng)過點，點，點在此拋物線上，其橫坐標為．(1)求此拋物線的函數(shù)表達式．(2)當點在軸上方時，結(jié)合圖象，求的取值范圍．(3)若此拋物線在點左側(cè)部分包括點的最低點的縱坐標為．①求的值；②以為邊作等腰直角三角形，當點在此拋物線的對稱軸上時，求點的坐標．3．如圖，拋物線過點A、B，拋物線的對稱軸交x軸于點D，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，且．(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上是否存在點P，使得為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【題型五】二次函數(shù)與相似三角形存在性問題【典例分析】1．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，拋物線的對稱軸l與x軸交于M點．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點P是直線l上的一個動點，當PA+PC的值最小時，求PA+PC長；(3)已知點N（0，﹣1），在y軸上是否存在點Q，使以M、N、Q為頂點的三角形與△BCM相似？若存在；若不存在，請說明理由．【提分秘籍】解答三角形相似的問題時，要具備分類討論的思想及數(shù)形結(jié)合的思想，具體如下：①分情況討論，剔除不符合的情況：探究三角形相似時，往往沒有明確指出兩個三角形的對應(yīng)角、對應(yīng)邊，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)關(guān)系，可以確定出三種不同的對應(yīng)形式，根據(jù)題意或?qū)嶋H情況，剔除不符合的對應(yīng)形式；②設(shè)未知量，求邊長：在這種情況下，直接或間接設(shè)出所求點的坐標，并用所設(shè)點的坐標表示出所求三角形的邊長；③建立關(guān)系式，并計算：由相似三角形的性質(zhì)列出相應(yīng)的比例式，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過計算得出相應(yīng)的點坐標.【變式演練】1．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過點A（2，0）和點，頂點為點D．(1)求直線AB的表達式；(2)求tan∠ABD的值；(3)設(shè)線段BD與軸交于點P，如果點C在軸上，且與相似，求點C的坐標．2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點和點，與y軸交于點C，頂點為點D．(1)；；(2)連結(jié)，與相似嗎？說明理由；(3)若點P為射線上一點，當與相似時，直接寫出點P的坐標．3．如圖1，平面直角坐標系中，拋物線交軸于，兩點，交軸于點，點是線段上一個動點，過點作軸的垂線，交直線于點，交拋物線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)當面積最大時，求點的坐標；(3)如圖2，是否存在以點、、為頂點的三角形與相似，若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．【題型六】二次函數(shù)與特殊四邊形存在性問題【典例分析】1．如圖，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點C，P是拋物線上一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)當點P在直線上方的拋物線上時，求的最大面積，并直接寫出此時P點坐標；(3)若點M在拋物線的對稱軸上，以B，C，P，M為頂點、為邊的四邊形能否是平行四邊形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由．【提分秘籍】對于特殊四邊形的探究問題，也會以探究菱形、矩形、正方形來命題，解題方法步驟如下：(1)先假設(shè)結(jié)論成立；(2)設(shè)出點坐標，求邊長；(3)建立關(guān)系式，并計算.若四邊形的四個頂點位置已經(jīng)確定，則直接利用四邊形的性質(zhì)進行計算；若四邊形的四個頂點位置不確定，需分情況討論探究平行四邊形：①以已知邊為平行四邊形的某條邊，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形的對邊相等進行計算；②以已知邊為平行四邊形的對角線，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)進行計算；③若平行四邊形的各頂點位置不確定，需分情況討論，常以已知的一邊作為一邊或?qū)蔷€分情況討論.探究菱形：①已知三個定點去求未知點坐標；②已知兩個定點去求未知點坐標.一般會用到菱形的對角線互相垂直平分、四邊相等等性質(zhì)列關(guān)系式.探究正方形：利用正方形對角線互相平分且相等的性質(zhì)進行計算，一般是分別計算出兩條對角線的長度，令其相等，得到方程再求解.探究矩形：利用矩形對邊相等、對角線相等列等量關(guān)系式求解；或根據(jù)鄰邊垂直，利用勾股定理列關(guān)系式求解.【變式演練】1．在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點．為第一象限的拋物線上一點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)求面積的最大值；(3)過點作，垂足為點，求線段長的取值范圍；(4)若點、分別為線段、上一點，且四邊形是菱形，直接寫出的坐標．2．如圖，拋物線與坐標軸相交于，兩點，點D為直線下方拋物線上一動點，過點D作x軸的垂線，垂足為G；交直線于點E．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)求的最大值；(3)過點B的直線交y軸于點C，交直線于點F，H是y軸上一點，當四邊形是矩形時，求點H的坐標．3．如圖所示，在平面直角坐標系中，直線交坐標軸于B、C兩點，拋物線經(jīng)過B、C兩點，且交x軸于另一點．點D為拋物線在第一象限內(nèi)的一點，過點D作，交于點P，交x軸于點Q．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點P的橫坐標為m，在點D的移動過程中，存在，求出m值；(3)在拋物線上取點E，在平面直角坐標系內(nèi)取點F，問是否存在以C、B、E、F為頂點且以為邊的矩形？如果存在，請求出點F的坐標；如果不存在，請說明理由．4．如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+m與x軸的一個交點為A(4，0)，另一交點為B，且與y軸交于點C，連接AC．(1)求m的值及該拋物線的對稱軸；(2)若點P在直線AC上，點Q是平面內(nèi)一點，是否存在點Q，使以點A、點B、點P、點Q為頂點的四邊形為正方形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．1．（2023·湖北黃岡·?？级＃┤鐖D，已知拋物線與x軸負半軸交于點A，與x軸正半軸交于點B，與y軸交于點C，點P拋物線上一動點（P與C不重合）．(1)求點A、C的坐標；(2)當時，拋物線上是否存在點P（C點除外）使？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；(3)當時，過點P作軸于點Q，求的長．2．（2023·江西上饒·統(tǒng)考模擬預(yù)測）二次函數(shù)的圖象與軸交于，，與軸交于點．(1)求該二次函數(shù)解析式；(2)如圖1，第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上有一動點，連接，求面積的最大值；(3)如圖2，將該二次函數(shù)圖象在軸上方的部分沿軸翻折后，所得新函數(shù)圖象如圖2所示，若直線與新函數(shù)圖象恰好有三個公共點時，則的值為______．3．（2023·山西呂梁·模擬預(yù)測）已知拋物線與x軸交于點，頂點為B．(1)時，時，求拋物線的頂點B的坐標；(2)求拋物線與軸的另一個公共點的坐標用含a，c的式子表示；(3)若直線經(jīng)過點B且與拋物線交于另一點，求當時，的取值范圍．4．（2023·河南許昌·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，已知L1：經(jīng)過點，點．(1)求的解析式．(2)將向左平移6個單位長度，再向上平移2個單位長度得到，求的解析式．(3)若點，，，在上，且，將上方拋物線沿翻折，翻折后得到一個新圖象．當這個新圖象與過點且平行于軸的直線恰好只有2個公共點時，請直接寫出的取值范圍．5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線關(guān)于直線對稱，且經(jīng)過x軸上的兩點A、B與y軸交于點C，直線的解析式為．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P為直線上方的拋物線上的一點，過點P作軸于M，交于Q，求的最大值；(3)當取最大值時，求的面積．6．（2023·海南省直轄縣級單位·嘉積中學?？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)經(jīng)過點，點是軸正半軸上一個動點，過點作垂直于軸的直線分別交拋物線和直線于點和點．設(shè)點的橫坐標為．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若、、三個點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外）時，求的值．(3)點在線段上時，①連接、，當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標；②若以、、為頂點的三角形與相似，求的值；7．（2023·山西忻州·統(tǒng)考一模）綜合與探究．如圖1，拋物線經(jīng)過，，且與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右側(cè)），與y軸交于點C，連接，．(1)求拋物線的表達式．(2)求證：．(3)如圖2，動點P從點B出發(fā)，沿著線段以每秒1個單位長度的速度向終點A運動；同時，動點Q從點A出發(fā)，以相同的速度沿著線段向終點C運動，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，連接，設(shè)P，Q運動的時間為t秒，在點P，Q運動的過程中，是否成為等腰三角形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由．8．（2023·湖北黃岡·?？家荒＃┤鐖D，拋物線與x軸交于兩點，且，與y軸交于點，其中是方程的兩個根．(1)求這條拋物線的解析式；(2)點M是線段上的一個動點，過點M作，交于點N，連接，當?shù)拿娣e最大時，求點M的坐標；(3)點在（1）中拋物線上，點E為拋物線上一動點，在x軸是否存在點F，使以A，D，E，F(xiàn)四點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的點F的坐標；如果不存在，請說明理由．9．（2023·廣東東莞·?？既＃┤鐖D，已知過坐標原點的拋物線經(jīng)過兩點，且是方程兩根（），拋物線頂點為C．(1)求拋物線的解析式；(2)若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點E的坐標；(3)P是拋物線上的動點，過點P作軸，垂足為M，是否存在點P使得以點P、M、O為頂點的三角形與相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．10．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線經(jīng)過點，與x軸交于點B、．(1)求拋物線的頂點M的坐標；(2)點E在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將沿直線BE翻折，如果點C的對應(yīng)點F恰好落在拋物線的對稱軸上，求點E的坐標；(3)點P在拋物線的對稱軸上，點Q是拋物線上位于第四象限內(nèi)的點，當為等邊三角形時，求直線的表達式．11．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，連接，．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在第四象限的拋物線上，若的面積為4時，求點P的坐標；(3)點M在拋物線上，當時，求點M的橫坐標．12．（2023·廣東東莞·虎門五中校聯(lián)考一模）如圖①，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線與y軸交于點，與x軸正半軸交于點，設(shè)M是點C，D間拋物線上的一點（包括端點），其橫坐標為m．(1)求拋物線的解析式：(2)當m為何值時，面積S取得最大值？請說明理由；(3)如圖②，連接，拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得，如果存在，請求出點Q的坐標，不存在，請說明理由．13．（2023·廣西南寧·廣西大學附屬中學校聯(lián)考二模）如圖所示拋物線與軸交于，A兩點，，其頂點與軸的距離是．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)頂點為，將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到的直線與拋物線交于點，求點的坐標；(3)點在拋物線上，過點的直線與拋物線的對稱軸交于點當與的面積之比為時，求的值．14．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與x軸相交于A，B兩點（點A位于點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，M是拋物線的頂點，直線是拋物線的對稱軸，且點C的坐標為．(1)求拋物線的關(guān)系式；(2)已知P為線段上一個動點，過點P作軸于點D．若，的面積為S．①求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．②當S取得最大值時，求點P的坐標．(3)在（2）的條件下，在線段上是否存在點P，使為等腰三角形？如果存在，直接寫出滿足條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由．15．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）如圖1，已知拋物線經(jīng)過點和點B，且與y軸交于點C，直線經(jīng)過B點和點C．(1)求直線和拋物線的解析式．(2)若點P為直線BC上方的拋物線上一點，過點P作于點E，作軸，交直線BC于點F，當?shù)闹荛L最大時，求點P的坐標．(3)在第（2）問的條件下，直線CP上有一動點Q，連接BQ，求的最小值．專題12：二次函數(shù)與幾何圖形的綜合問題目錄一、熱點題型歸納【題型一】二次函數(shù)與圖像面積的數(shù)量關(guān)系及最值問題【題型二】二次函數(shù)與角度數(shù)量關(guān)系問題【題型三】二次函數(shù)與線段長度數(shù)量關(guān)系及線段長度最值問題【題型四】二次函數(shù)與特殊三角形問題【題型五】二次函數(shù)與相似三角形存在性問題【題型六】二次函數(shù)與特殊四邊形存在性問題【題型七】二次函數(shù)與代數(shù)或幾何綜合問題二、最新?？碱}組練【題型一】二次函數(shù)與圖像面積的數(shù)量關(guān)系及最值問題【典例分析】1．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，點為二次函數(shù)的圖象與軸的交點．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若點為二次函數(shù)圖象上的一點，且，求點的坐標．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用函數(shù)軸的交點坐標即可求解；（2）先求出的面積，設(shè)點，再根據(jù)得到方程求出值，即可求出點的坐標．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與軸相交于，兩點，∴，二次函數(shù)的解析式為；（2）解：∵二次函數(shù)的解析式為，∴令，則，∴點的坐標為，∵，∴，∵，∴，∴設(shè)點，∴，即，∴解得：，∴或．【點睛】本題考查了利用軸交點坐標求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，三角形面積，求得函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】對于圖形的運動產(chǎn)生的相等關(guān)系問題，解答時應(yīng)認真審題，仔細研究圖形，分析動點的運動狀態(tài)及運動過程，解題過程的一般步驟是：①弄清其取值范圍，畫出符合條件的圖形；②確定其存在的情況有幾種，然后分別求解，在求解計算中一般由函數(shù)關(guān)系式設(shè)出圖形的動點坐標并結(jié)合圖形作輔助線，畫出所求面積為定值的三角形；③過動點作有關(guān)三角形的高或平行于y軸、x軸的輔助線，利用面積公式或三角形相似求出有關(guān)線段長度或面積的代數(shù)式，列方程求解，再根據(jù)實際問題確定方程的解是否符合題意，從而證得面積等量關(guān)系的存在性.④對于面積的最值問題選擇合適的自變量，建立面積關(guān)于自變量的函數(shù)，并求出自變量的取值范圍，用二次函數(shù)或一次函數(shù)的性質(zhì)來解決.【變式演練】1．如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點為直線上方拋物線上的動點，連接，直線與拋物線的對稱軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)求直線的解析式；(3)求的面積最大值．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)(3)的面積最大值為【分析】（1）把點，代入拋物線，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)拋物線的解析式，令，可求出拋物線與軸的交點，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（3）如圖所示，過點作軸交于，設(shè)，則，用含的式子表示的面積，根據(jù)拋物線的頂點式即可求出最大值．【詳解】（1）解：將，代入，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：令，則，解得，，∴，且，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為．（3）解：如圖所示，過點作軸交于，設(shè)，則，∴，∴，∴當時，的面積有最大值，最大值為，∴的面積最大值為．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)，一次函數(shù)的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，函數(shù)圖像的性質(zhì)特點及面積的計算方法是解題的關(guān)鍵．2．如圖，拋物線與x軸交于兩點．(1)求該拋物線的解析式；(2)觀察函數(shù)圖象，直接寫出當x取何值時，？(3)設(shè)（1）題中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為；(2)當或時，；(3)Q點坐標為．【分析】（1）已知了拋物線過A、B兩點，而拋物線的解析式中也只有兩個待定系數(shù)，因此可將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，也就得出了二次函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象即可解決問題；（3）本題的關(guān)鍵是找出Q點的位置，已知了B與A點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，因此只需連接，直線與對稱軸的交點即為Q點．可根據(jù)B、C兩點的坐標先求出直線的解析式，然后聯(lián)立拋物線對稱軸的解析式即可求出Q點的坐標．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸的兩個交點分別為，∴，解得，∴所求拋物線的解析式為；（2）解：觀察函數(shù)圖象，當或時，，故答案為或；（3）解：在拋物線對稱軸上存在點Q，使的周長最?。唛L為定值，∴要使的周長最小，只需最小，∵點A關(guān)于對稱軸直線的對稱點是，∴Q是直線與對稱軸直線的交點，設(shè)過點B，C的直線的解析式，把代入，∴，∴，∴直線的解析式為，把代入上式，∴，∴Q點坐標為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象的交點等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．3．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋4（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸l與x軸交于點M．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式．（2）設(shè)點P是直線l上的一個動點，求△PAC周長的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法即可得；（2）作點關(guān)于對稱軸對稱的點，連接，先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出點的坐標，從而可得點的坐標，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得，然后根據(jù)兩點之間線段最短可得當點共線時，周長最小，最后利用兩點之間的距離公式即可得．【詳解】解：（1）將點代入得：，解得，則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為；（2）二次函數(shù)的對稱軸為直線，當時，，即，，如圖，作點關(guān)于對稱軸對稱的點，連接，則，，周長為，當取得最小值時，周長最小，由兩點之間線段最短可知，當點共線時，最小，最小值為，由兩點之間的距離公式得：，則周長的最小值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、求二次函數(shù)的解析式等知識點，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【題型二】二次函數(shù)與角度數(shù)量關(guān)系問題【典例分析】1．如圖，拋物線與x軸交于點A（-1，0）和B（3，0），與y軸交于點C．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，若點M為直線BC上方拋物線一動點（與點B、C不重合），作MN平行于y軸，交直線BC于點N，當線段MN的長最大時，請求出點M的坐標；(3)如圖2，若P為拋物線的頂點，動點Q在拋物線上，當時，請求出點Q的坐標．【答案】(1)y＝﹣x2＋2x＋3(2)M（，）(3)Q（﹣1，0）或（5，﹣12）【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的交點式，即可求解；（2）先求出C（0，3），可得直線BC的解析式為y＝-x＋3，然后設(shè)M的坐標（m，-m2＋2m＋3），則N（m，-m＋3），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（3）過點Q作QH⊥y軸于點H，連接PC，先求出點P坐標（1，4），可得PC＝，PB＝，BC＝，從而得到△PBC為直角三角形，進而得到tan∠PBC＝，然后設(shè)點Q（x，﹣x2＋2x＋3），再由，列出等式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點A（-1，0）和B（3，0），∴函數(shù)的表達式為：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3；（2）解：當時，，∴C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為，把點B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝-x＋3，設(shè)M的坐標（m，-m2＋2m＋3），則N（m，-m＋3），∴MN＝-m2＋2m＋3-（-m＋3）＝-m2＋3m＝-（m-）2＋，當m＝時，MN的長度最大，此時M（，）；（3）如圖，過點Q作QH⊥y軸于點H，連接PC，∵，∴點P坐標（1，4），∵點B（3，0），C（0，3），∴PC＝，PB＝，BC＝，∴，∴△PBC為直角三角形，∴tan∠PBC＝，設(shè)點Q（x，﹣x2＋2x＋3），∵，則，解得：x＝0或5或﹣1（舍去0），故點Q（﹣1，0）或（5，﹣12）．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理逆定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理逆定理，銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】探究兩個角相等的方法：①可轉(zhuǎn)換為滿足此三角形是等腰三角形時的點，一般是通過此動點作已知兩點連線的中垂線，再通過三角形相似以及中垂線的性質(zhì)求出中垂線所在直線的解析式，最后通過直線解析式和拋物線解析式聯(lián)立方程組求得動點的坐標；②通過構(gòu)造兩個三角形相似，再通過三角形相似的性質(zhì)建立等式關(guān)系，再通過直線解析式和拋物線解析式聯(lián)立方程組求得動點的坐標.【變式演練】1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，x軸上有一動點，過點P且垂直于x軸的直線與直線BC及拋物線分別交于點D，E．連接．(1)求拋物線的解析式．(2)點P在線段上運動時（不與點O，B重合）當時，求t的值．(3)當點P在x軸上自由運動時，是否存在點P，使？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)2(3)）或．【分析】（1）將代入，即可求函數(shù)的解析式；（2）由題意可求，又由，可得，能求出點，即可求t的值；（3）由題意可得，從而能求出，再由，求出t即可求P點坐標．【詳解】（1）解：代入，∴，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：令，則，∴，∴，∴，∵軸，∴，∵，∴，∴，∴t的值為2；（3）解：存在點P，使，理由如下：設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，∵軸，∴，∴，∵，∴，∴，解得或，∴P點坐標為）或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，拋物線與軸相交于點，且經(jīng)過，兩點，連接．(1)求拋物線的表達式；(2)設(shè)為軸下方拋物線上一點，為對稱軸上一點，為該拋物線對稱軸與軸交點，若，求點的坐標．【答案】(1)(2)P的坐標為：或【分析】（1）把，代入，再建立方程組即可；（2）由拋物線為的對稱軸為直線，可得，當時，則，則，可得，設(shè)，如圖，過作軸交拋物線于，交拋物線的對稱軸于，則，，，再建立方程求解可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過，兩點，∴，解得：，∴拋物線為．（2）拋物線為的對稱軸為直線，∴，當時，則，則，∵，，∴，設(shè)，如圖，過作軸交拋物線于，交拋物線的對稱軸于，∴，，∴，∵，∴，解得：，（經(jīng)檢驗：負根不符合題意舍去），∴，∴，由對稱性可得：也符合題意；綜上：P的坐標為：或．【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，拋物線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，利用銳角相等得到同名三角函數(shù)值相等建立方程是解本題的關(guān)鍵．【題型三】二次函數(shù)與線段長度數(shù)量關(guān)系及線段長度最值問題【典例分析】1．如圖，已知經(jīng)過，兩點的拋物線與軸交于點．(1)求此拋物線的解析式及點的坐標；(2)若線段上有一動點不與、重合，過點作軸交拋物線于點．求當線段的長度最大時點M的坐標；【答案】(1)；(2)①；②不存在，理由見解析【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①先待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設(shè)M的坐標為，則，進而得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出線段的長度最大時，求得點的值，即可點M的坐標；【詳解】（1）解：將，代入，得，解得：，∴拋物線解析式為：，當時，，即；（2）解：設(shè)直線的解析式為，將點代入得，，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)M的坐標為，則，∴，∵，∴當時，取得最大值，∴；【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，線段最值問題，菱形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】探究平面直角坐標系中線段的數(shù)量關(guān)系的方法：①先設(shè)點的坐標，再用點的坐標表示線段的長度，然后分析表示線段長度的代數(shù)式，得出線段之間的數(shù)量關(guān)系；②函數(shù)圖象上點的坐標的表示方法：直線y=kx+b上點的坐標為(x，kx+b);拋物線y=ax2+bx+c上點的坐標為(x，ax2+bx+c)；雙曲線y=kx上的點的坐標為y=（x，k③已知點A(x,y),B(m,n),若AB與x軸平行，則AB=|x-m|;若AB與y軸平行，則AB=|y-n|;若AB既不與x軸平行又不與y軸平行，則AB=（x?m④求線段的數(shù)量關(guān)系時(或者求線段的最值時),可用三角形全等、相似或勾股定理等求線段的長，然后直接判斷兩條線段是否相等或者利用求出的線段長度進一步計算得出其他的結(jié)論(或者利用二次函數(shù)的性質(zhì)進一步求出線段的最值).【變式演練】1．如圖，在直角坐標平面中，直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點，拋物線經(jīng)過A、B兩點，點D是拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；(2)拋物線與x軸的另一個交點為C，點在拋物線對稱軸左側(cè)的圖象上，將拋物線向上平移m個單位（），使點M落在內(nèi)，求m的取值范圍；(3)對稱軸與直線交于點E，P是線段AB上的一個動點（P不與E重合），過P作y軸的平行線交原拋物線于點Q，當時，求點Q的坐標．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）先求出A、B的坐標，再把A、B坐標代入拋物線解析式中求出拋物線解析式，再把拋物線解析式化為頂點式求出點D的坐標即可；（2）先求出點M的坐標，進而求出在中，當時，y的值即可得到答案；（3）如圖1所示，當點P在點E左側(cè)時，設(shè)原拋物線對稱軸與x軸交于點H，過點Q作交于T，證明四邊形是平行四邊形，推出；再證明，推出此時不可能存在（當點T在點D下方時，同樣可證明不存在），則此時只有點T與點D重合，設(shè)，則，求出，由平行四邊形對角線中點坐標相同可知，解方程即可；如圖2所示，當點P在點E右側(cè)時，由對稱性可知當時符合題意．【詳解】（1）解：在中，令，則，令，則，∴，把代入中得：，∴，∴拋物線解析式為，∴頂點D的坐標為；（2）解：在中，當時，則，解得或，∵點在拋物線對稱軸左側(cè)的圖像上，∴，在中，當時，，∵將拋物線向上平移m個單位（），使點M落在內(nèi)，∴；（3）解：如圖1所示，當點P在點E左側(cè)時，設(shè)原拋物線對稱軸與x軸交于點H，過點Q作交于T，∵軸，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴；∵，∴，∴，∵，∴，∴此時不可能存在（當點T在點D下方時，同樣可證明不存在），則此時只有點T與點D重合，設(shè)，則，在中，當時，，∴，由平行四邊形對角線中點坐標相同可知，解得或（舍去），∴；如圖2所示，當點P在點E右側(cè)時，由對稱性可知當時符合題意，∴；綜上所述，點Q的坐標為或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移等等，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y交y軸于點C，交x軸于A、B兩點，，，點M是拋物線上的動點，點M在頂點和B點之間運動（不包括頂點和B點），軸，交直線于點E．(1)求拋物線的解析式；(2)求線段的最大值；【答案】(1)；(2)2．【分析】（1）代入法求解及可；（2）結(jié)合（1）求出直線的表達式為，設(shè)點，則點，則，即當時，的最大值為．【詳解】（1）解：將點A的坐標代入拋物線表達式，得：，則，解得：，故拋物線的表達式為：；（2）由（1）可知，對稱軸為：，令，解得，令，解得或，故點A、B、C的坐標分別為：、、，設(shè)直線的表達式為：，則，解得：，故直線的表達式為：，設(shè)點，則點，且，則，，∵，故有最大值，當時，的最大值為；【點睛】本題考查了代入法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)有關(guān)的線段問題；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．【題型四】二次函數(shù)與特殊三角形問題【典例分析】1．如圖，在平面直角坐標系中，直線l：與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線經(jīng)過點B，且與直線l的另一個交點為．(1)求n的值和拋物線的解析式．(2)已知P是拋物線上位于直線下方的一動點（不與點B，C重合），設(shè)點P的橫坐標為a．當a為何值時，的面積最大，并求出其最大值．(3)在拋物線上是否存在點M，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)當時，的面積最大，最大值為64；(3)存在點M，使是以為直角邊的直角三角形，此時點M的坐標為或【分析】（1）先求出，再把點B、C的坐標代入拋物線的表達式，即可求解；（2）過點P作y軸的平行線交于點H，連接，設(shè)點P的坐標為，則點，可得，再由的面積，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（3）分兩種情況討論：當點B為直角頂點時，當點C為直角頂點時，即可求解．【詳解】（1）解：對于，令，則，令，解得：，當時，，∴點A、B、C的坐標分別為；將點B、C的坐標代入拋物線的表達式得：，解得：，∴拋物線的表達式為；（2）解：如圖，過點P作y軸的平行線交于點H，連接，設(shè)點P的坐標為，則點，∴，∴的面積，∵，∴當時，的面積存在最大值，最大值為64；（3）解：存在，理由如下：①當點B為直角頂點時，如圖，此時，分別過點M和點C作y軸的垂線，垂足分別為N，D，∵，∴，∴，∵，∴，即是等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，∴，∵點M在拋物線上，∴，解得或0（舍），∴，∴；②當點C為直角頂點時，如圖，此時，過點作y軸的垂線，過點C作x軸的垂線，由①知，∴，∴，∴，設(shè)點的橫坐標為m，則，∴，∴，解得或8（舍），∴．綜上所述，存在點M，使是以為直角邊的直角三角形，此時點M的坐標為或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】在解答直角三角形的存在性問題時，具體方法如下：(1)先假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角頂點的確定性，分情況討論.(2)找點：當所給定長未說明是直角三角形的斜邊還是直角邊時，需分情況討論，具體方法如下：①當定長為直角三角形的直角邊時，分別以定長的某一端點作定長的垂線，與坐標軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點.②當定長為直角三角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與所求點滿足條件的坐標軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點.(3)計算：把圖形中點的坐標用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從而表示出三角形的各邊(表示線段時，還要注意代數(shù)式的符號),再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，或者利用勾股定理進行計算，或者利用三角函數(shù)建立方程求點的坐標.【變式演練】1．拋物線經(jīng)過A、、三點．點D為拋物線的頂點，連接、、、．(1)求拋物線的解析式；(2)在y軸上是否存在一點E，使為直角三角形？若存在，請你直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，符合題意的點E的坐標為或或或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分三種情況：，，討論即可．【詳解】（1）解：∵經(jīng)過、，∴，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）解：在y軸上存在點E，使為直角三角形，理由如下：∵拋物線的解析式為，∴，設(shè)E點坐標為，∴，，，當時，有，∴，解得，∴此時點E的坐標為；當時，，

，解得，∴此時點E的坐標為；當時，，，解得或，∴此時點E的坐標為或．綜上所述，符合題意的點E的坐標為或或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與特殊三角形，掌握待定系數(shù)法，勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線，是常數(shù)經(jīng)過點，點，點在此拋物線上，其橫坐標為．(1)求此拋物線的函數(shù)表達式．(2)當點在軸上方時，結(jié)合圖象，求的取值范圍．(3)若此拋物線在點左側(cè)部分包括點的最低點的縱坐標為．①求的值；②以為邊作等腰直角三角形，當點在此拋物線的對稱軸上時，求點的坐標．【答案】(1)(2)或(3)①，；②或或【分析】（1）把點A、B的坐標代入解析式進行求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖形及（1）可直接進行求解；（3）①由題意可得拋物線頂點坐標為，對稱軸為直線，然后可分當時和當時，進而分類求解即可；②由①可得，過點作軸，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即，當，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)直接求解即可．【詳解】（1）解：將，代入得：，解得，∴．（2）解：由（1）可令，解得，∴拋物線與x軸交點坐標為，，∵拋物線開口向上，∴根據(jù)圖象可知當或時，點P在x軸上方．（3）解：①∵，∴拋物線頂點坐標為，對稱軸為直線，當時，拋物線頂點為最低點，∴，解得，當時，點為最低點，將代入得，∴，解得（舍），，∴或．②∵由①可得如圖所示，時，過點作軸，，則，，∴，又∵，∴，∴，∴，即．當，則，則到的距離為，∴或．綜上所述，或或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，拋物線過點A、B，拋物線的對稱軸交x軸于點D，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，且．(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上是否存在點P，使得為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)在x軸上存在點P，使得為等腰三角形，滿足條件的點P的坐標為或或或．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點B、C的坐標，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分三種情況進行討論：①時；②；③．【詳解】（1）解：對于直線，令，即，解得：，令，得，∴，，∵A為x軸負半軸上一點，且，∴．將點A、B的坐標分別代入中，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：存在．如圖2，由得拋物線的對稱軸為直線，∴，∵點P在x軸上，∴設(shè)．∵，∴由勾股定理，得：，，，分為三種情況討論：①當時，，即，解得，，此時點P的坐標為或；②當時，，即，解得，（不符合題意，舍去），此時點P的坐標為；③當時，，即，解得，此時點P的坐標為．綜上所述，在x軸上存在點P，使得為等腰三角形，滿足條件的點P的坐標為或或或．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、等腰三角形的定義及兩點坐標距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【題型五】二次函數(shù)與相似三角形存在性問題【典例分析】1．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，拋物線的對稱軸l與x軸交于M點．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點P是直線l上的一個動點，當PA+PC的值最小時，求PA+PC長；(3)已知點N（0，﹣1），在y軸上是否存在點Q，使以M、N、Q為頂點的三角形與△BCM相似？若存在；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3(2)PA+PC的長為(3)存在，點Q的坐標為或，理由見解析【分析】（1）當x＝0時，y＝3，可得C（0，3）．再設(shè)設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），利用待定系數(shù)法，即可求解；（2）連接PA、PB、PC，根據(jù)軸對稱性可得PA＝PB．從而得到PA+PC＝PC+PB．進而得到當點P在線段BC上時，PC+AP有最小值．即可求解；（3）先求出拋物線的對稱軸，可得點，再由點N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．可得，可得∠CBM=∠MNO，然后分三種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：把x＝0代入得：y＝3，∴C（0，3）．設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），將點C的坐標代入上式得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1．∴拋物線的解析式為y＝-（x+1）（x-3）=﹣x2+2x+3．（2）解：如圖，連接PA、PB、PC，∵點A與點B關(guān)于直線l對稱，點P在直線l上，∴PA＝PB．∴PA+PC＝PC+PB．∵兩點之間線段最短，∴當點P在線段BC上時，PC+AP有最小值．∵OC＝3，OB＝3，∴BC＝．∴PA+PC的最小值＝．（3）解：存在，理由：拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1．∵拋物線的對稱軸l與x軸交于M點．∴點，∵點N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．∴OM=ON=1，OB=OC=3，∴，∴∠CBM=∠MNO，當點Q在點N下方時，∠MNQ=135°，不符合題意，∴點Q在點N上方，設(shè)點Q的坐標為（0，n）．則QN=n+1，∵以M、N、Q為頂點的三角形與△BCM相似，∴∠QMN=∠CMB或∠MQN=∠CMB，當時，，如圖（2），∴，∴，解得：，∴點；當時，，如圖（3），∴，∴，解得：，∴點，綜上所述，點Q的坐標為或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間，線段最短，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】解答三角形相似的問題時，要具備分類討論的思想及數(shù)形結(jié)合的思想，具體如下：①分情況討論，剔除不符合的情況：探究三角形相似時，往往沒有明確指出兩個三角形的對應(yīng)角、對應(yīng)邊，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)關(guān)系，可以確定出三種不同的對應(yīng)形式，根據(jù)題意或?qū)嶋H情況，剔除不符合的對應(yīng)形式；②設(shè)未知量，求邊長：在這種情況下，直接或間接設(shè)出所求點的坐標，并用所設(shè)點的坐標表示出所求三角形的邊長；③建立關(guān)系式，并計算：由相似三角形的性質(zhì)列出相應(yīng)的比例式，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過計算得出相應(yīng)的點坐標.【變式演練】1．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過點A（2，0）和點，頂點為點D．(1)求直線AB的表達式；(2)求tan∠ABD的值；(3)設(shè)線段BD與軸交于點P，如果點C在軸上，且與相似，求點C的坐標．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點A（2，0），可得拋物線解析式為，再求出點B的坐標，即可求解；（2）先求出點D的坐標為，然后利用勾股定理逆定理，可得△ABD為直角三角形，即可求解；（3）先求出直線BD的解析式，可得到點P的坐標為，然后分兩種情況討論即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點A（2，0），∴，解得：，∴拋物線解析式為，當時，，∴點B的坐標為，設(shè)直線AB的解析式為，把A（2，0），，代入得：，解得：，∴直線AB的解析式為；（2）如圖，連接BD，AD，∵，∴點D的坐標為，∵A（2，0），，∴，∴，∴△ABD為直角三角形，∴；（3）設(shè)直線BD的解析式為，把點，代入得：，解得：，∴直線BD的解析式為，當時，，∴點P的坐標為，當△ABP∽△ABC時，∠ABC=∠APB，如圖，過點B作BQ⊥x軸于點Q，則BQ=3，OQ=1，∵△ABP∽△ABC，∴∠ABD=∠BCQ，由（2）知，∴，∴，∴CQ=9，∴OC=OQ+CQ=10，∴點C的坐標為；當△ABP∽△ABC時，∠APB=∠ACB，此時點C與點P重合，∴點C的坐標為，綜上所述，點C的坐標為或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理逆定理，銳角三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點，并利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點和點，與y軸交于點C，頂點為點D．(1)；；(2)連結(jié)，與相似嗎？說明理由；(3)若點P為射線上一點，當與相似時，直接寫出點P的坐標．【答案】(1)，(2)相似，理由見解析(3)點P的坐標為或【分析】（1）把兩點坐標代入函數(shù)求出b，c的值；（2）先求，，，再根據(jù)三角形相似的判定定理證明即可；（3）當與相似時分兩種情況分別進行討論即可．【詳解】（1）把和點代入得∴，（2）；理由如下：∵，∴，，∴，，．∴．∴，在與中，，，∴；（3）∵，∴．∵，∴．∴．即：．∴當與相似時，有兩種對應(yīng)情況．當時，∴．∴．∴．當時，∴．∴．∴．綜上，點P的坐標為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．3．如圖1，平面直角坐標系中，拋物線交軸于，兩點，交軸于點，點是線段上一個動點，過點作軸的垂線，交直線于點，交拋物線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)當面積最大時，求點的坐標；(3)如圖2，是否存在以點、、為頂點的三角形與相似，若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，或．【分析】（1）將A，B，C三點的坐標代入，得到關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)，則，求得直線的解析式為，即可得到，根據(jù)三角形面積公式可得，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）分和兩種情況列式求解即可.【詳解】（1）∵拋物線過點，，，∴代入得，，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）設(shè)，則，設(shè)直線解析式為，∵直線經(jīng)過點，，∴，解得，∴直線的解析式為，∴，∵，∴當時，即當時，；（3）存在以點，，為頂點的三角形與相似，理由如下：設(shè)，則，.∴，如圖，過點作軸于點，則，由（1）可得：，，∴，∴是等腰直角三角形，∴.∴當以點，，為頂點的三角形與相似時，與為對應(yīng)頂點，①當時，，即，解得：或（舍去），∴；②當時，，即，解得：或（舍去），∴綜上所述，或【點睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)以及坐標系中面積的求法，其中第（3）小問，要注意分類求解，避免遺漏．．【題型六】二次函數(shù)與特殊四邊形存在性問題【典例分析】1．如圖，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點C，P是拋物線上一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)當點P在直線上方的拋物線上時，求的最大面積，并直接寫出此時P點坐標；(3)若點M在拋物線的對稱軸上，以B，C，P，M為頂點、為邊的四邊形能否是平行四邊形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)的最大面積為，點P的坐標為（﹣，）(3)能，點或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）求出直線的解析式，過點P作軸交于Q，設(shè)，則，根據(jù)求出函數(shù)關(guān)系式，即可得到答案；（3）先求出拋物線的對稱軸，設(shè)出點P的坐標，再分兩種情況，利用平行四邊形的對角線互相平分，建立方程求解，即可求出答案．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于兩點，∴，∴，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）知，拋物線的解析式為，令，則，∴，設(shè)直線的解析式為，∵點，∴，∴，∴直線的解析式為，過點P作軸交于Q，設(shè)，∴，∴，∴，∴當時，的最大面積為，此時，點P的坐標為；（3）能是平行四邊形；由(1)知，拋物線的解析式為，∴拋物線的對稱軸為，設(shè)點，假設(shè)存在以B，C，P，M為頂點、為邊的四邊形是平行四邊形，①當四邊形是平行四邊形時，∵點，∴，得，∴；①當四邊形是平行四邊形時，∵點，∴，∴，∴，即：滿足條件的點或．【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，坐標系中三角形面積的求法，平行四邊形的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】對于特殊四邊形的探究問題，也會以探究菱形、矩形、正方形來命題，解題方法步驟如下：(1)先假設(shè)結(jié)論成立；(2)設(shè)出點坐標，求邊長；(3)建立關(guān)系式，并計算.若四邊形的四個頂點位置已經(jīng)確定，則直接利用四邊形的性質(zhì)進行計算；若四邊形的四個頂點位置不確定，需分情況討論探究平行四邊形：①以已知邊為平行四邊形的某條邊，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形的對邊相等進行計算；②以已知邊為平行四邊形的對角線，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)進行計算；③若平行四邊形的各頂點位置不確定，需分情況討論，常以已知的一邊作為一邊或?qū)蔷€分情況討論.探究菱形：①已知三個定點去求未知點坐標；②已知兩個定點去求未知點坐標.一般會用到菱形的對角線互相垂直平分、四邊相等等性質(zhì)列關(guān)系式.探究正方形：利用正方形對角線互相平分且相等的性質(zhì)進行計算，一般是分別計算出兩條對角線的長度，令其相等，得到方程再求解.探究矩形：利用矩形對邊相等、對角線相等列等量關(guān)系式求解；或根據(jù)鄰邊垂直，利用勾股定理列關(guān)系式求解.【變式演練】1．在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點．為第一象限的拋物線上一點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)求面積的最大值；(3)過點作，垂足為點，求線段長的取值范圍；(4)若點、分別為線段、上一點，且四邊形是菱形，直接寫出的坐標．【答案】(1)(2)面積的最大值為(3)(4)【分析】（1）設(shè)，將點，代入，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）直線的解析式為，設(shè)點，則點，得出，進而根據(jù)三角形的面積公式，得出關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）同（2）得出，證明，得出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（4）設(shè)，，表示出，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）拋物線與軸交于點，，，，設(shè)，將點，代入，得：，解得：，；該拋物線的函數(shù)表達式為；（2）解：如圖所示，過點作軸于點，交于點，設(shè)直線的解析式為，，，，，解得：，直線的解析式為，設(shè)點，則點，∴，當時，面積的最大值為；（3）如圖，過點作軸于點，交于點，設(shè)直線的解析式為，，，，，解得：，直線的解析式為，設(shè)點，則點，在中，，，軸，，，，又，，，即，，當時，取得最大值為，；（4）設(shè)，，，四邊形是菱形，，，解得：，【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，拋物線與坐標軸相交于，兩點，點D為直線下方拋物線上一動點，過點D作x軸的垂線，垂足為G；交直線于點E．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)求的最大值；(3)過點B的直線交y軸于點C，交直線于點F，H是y軸上一點，當四邊形是矩形時，求點H的坐標．【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解拋物線的函數(shù)表達式；（2）利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，設(shè)點D的坐標是，則點E的坐標是，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到的最大值；（3）先求出，得到，根據(jù)四邊形是矩形，得到，，則，由軸得到，，則，，同理可得，，則，得到，得到點H的坐標．【詳解】（1）解：∵拋物線與坐標軸相交于，兩點，∴，解得，∴拋物線的函數(shù)表達式為；（2）設(shè)直線的解析式為，把，代入得，，解得，∴直線的解析式為，設(shè)點D的坐標是，則點E的坐標是，∴，∴當時，的最大值是2；（3）解：過點B的直線交y軸于點C，當時，，∴點C的坐標為，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵過點D作x軸的垂線，垂足為G，∴軸，∴，，∴，∴，∵，，

∴∴∴，∴,∴，∴點H的坐標是．【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合和準確計算是解題的關(guān)鍵．3．如圖所示，在平面直角坐標系中，直線交坐標軸于B、C兩點，拋物線經(jīng)過B、C兩點，且交x軸于另一點．點D為拋物線在第一象限內(nèi)的一點，過點D作，交于點P，交x軸于點Q．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點P的橫坐標為m，在點D的移動過程中，存在，求出m值；(3)在拋物線上取點E，在平面直角坐標系內(nèi)取點F，問是否存在以C、B、E、F為頂點且以為邊的矩形？如果存在，請求出點F的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，此時點的坐標為或【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出點的坐標，再利用待定系數(shù)法求解即可得；（2）先根據(jù)求出，從而可得，再根據(jù)平行線的判定可得，從而可得點的縱坐標與點的縱坐標相同，即為3，由此即可得；（3）設(shè)點的坐標為，分兩種情況：①四邊形是矩形，②四邊形是矩形，先聯(lián)立二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式求出點的坐標，再根據(jù)矩形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）解：一次函數(shù)，當時，，即，當時，，解得，即，把，代入得，解得，則拋物線的解析式為．（2）解：，，，，，，，點的縱坐標與點的縱坐標相同，即為3，當時，，解得或（舍去），則．（3）解：存在，求解如下：設(shè)點的坐標為，①當四邊形是矩形時，則，∵直線的解析式為，∴設(shè)直線的解析式為，把點代入得，直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（即為點，舍去），，四邊形是矩形，且，，，，解得，則此時點的坐標為；②當四邊形是矩形時，則，設(shè)直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（即為點，舍去），，四邊形是矩形，且，，，，解得，則此時點的坐標為，綜上，存在以、、、為頂點且以為邊的矩形，此時點的坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、矩形的性質(zhì)等知識點，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵4．如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+m與x軸的一個交點為A(4，0)，另一交點為B，且與y軸交于點C，連接AC．(1)求m的值及該拋物線的對稱軸；(2)若點P在直線AC上，點Q是平面內(nèi)一點，是否存在點Q，使以點A、點B、點P、點Q為頂點的四邊形為正方形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)m＝4，x=(2)存在，(4，5)或(，)【分析】（1）直接將點A的坐標代入到二次函數(shù)的解析式即可求出m的值，寫出二次函數(shù)的頂點式的即可得二次函數(shù)對稱軸；（2）分AB是正方形的邊、AB是正方形的對角線兩種情況，通過畫圖，利用正方形性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：把A（4，0）代入二次函數(shù)y＝﹣x2+3x+m得：∴﹣16+12+m＝0，解得：m＝4，∴二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴二次函數(shù)對稱軸為直線x＝；（2）解：存在，理由如下：令y=0，即y＝﹣x2+3x+4，解得x=4或x=-1，∴點B的坐標為（-1，0）①當AB是正方形的邊時，此時，對應(yīng)的正方形為ABP′Q′，∵A（4，0），AB＝5，∴點Q′的坐標為（4，5）；②當AB是正方形的對角線時，此時，對應(yīng)的矩形為APBQ，∵AB、PQ是正方形對角線，∴線段AB和線段PQ互相垂直平分，∴點Q在拋物線對稱軸上，且到x軸的距離為，∴點Q的坐標為（，﹣），故點Q的坐標為（4，5）或（，﹣）．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是注意正方形存在性問題得分類求解，避免遺漏．1．（2023·湖北黃岡·?？级＃┤鐖D，已知拋物線與x軸負半軸交于點A，與x軸正半軸交于點B，與y軸交于點C，點P拋物線上一動點（P與C不重合）．(1)求點A、C的坐標；(2)當時，拋物線上是否存在點P（C點除外）使？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；(3)當時，過點P作軸于點Q，求的長．【答案】(1)，(2)存在，(3)2【分析】（1）分別求出時，的值、以及時，的值即可得出答案；（2）先根據(jù)三角形的面積公式求出的值，再過點作軸于點，根據(jù)可得，利用正切的定義求解即可得；（3）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再設(shè)點的坐標為，則，根據(jù)正切的定義可得，從而可得，由此即可得．【詳解】（1）解：拋物線開口向上，，即，當時，，則點的坐標為，當時，，解得或，拋物線與軸負半軸交于點，點的坐標為．（2）解：由（1）可知，，，，，，，，解得，，由題意可知，點只能在軸的上方，如圖，過點作軸于點，設(shè)點的坐標為，則，，，，即，整理得：，解得或，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，不是所列方程的解，，則點的坐標為，所以拋物線上存在點（點除外）使，此時點的坐標為．（3）解：，，，，，設(shè)點的坐標為，則，，，解得，，又，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正切、一元二次方程的應(yīng)用等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和正切的定義是解題關(guān)鍵．2．（2023·江西上饒·統(tǒng)考模擬預(yù)測）二次函數(shù)的圖象與軸交于，，與軸交于點．(1)求該二次函數(shù)解析式；(2)如圖1，第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上有一動點，連接，求面積的最大值；(3)如圖2，將該二次函數(shù)圖象在軸上方的部分沿軸翻折后，所得新函數(shù)圖象如圖2所示，若直線與新函數(shù)圖象恰好有三個公共點時，則的值為______．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）將點，，代入，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）如圖所示，過點作軸于點，交于點，直線的解析式為：，設(shè)，則，然后根據(jù)三角形面積公式得出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出在時，函數(shù)解析式為，即，結(jié)合函數(shù)圖象，可知①當經(jīng)過點時，②當與只有個交點時，符合題意，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）將點，，代入得，解得：∴（2）解：如圖所示，過點作軸于點，交于點，由，當時，，∴，設(shè)直線的解析式為：，將點，代入得，，解得：，∴直線的解析式為：，設(shè)，則，∴∵，∴當時，取得最大值，最大值為，∵，∴取得最大值時，面積取得最大值，∴面積的最大值為（3）解：由與軸交于，，頂點坐標為將該二次函數(shù)圖象在軸上方的部分沿軸翻折后，頂點坐標為，開口向上，∴在時，函數(shù)解析式為，即，依題意，直線與新函數(shù)圖象恰好有三個公共點時，①當經(jīng)過點時，即，解得：，②當與只有個交點時，∴有個相等實數(shù)根即，∴，解得：，綜上所述，或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象確定方程的解，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山西呂梁·模擬預(yù)測）已知拋物線與x軸交于點，頂點為B．(1)時，時，求拋物線的頂點B的坐標；(2)求拋物線與軸的另一個公共點的坐標用含a，c的式子表示；(3)若直線經(jīng)過點B且與拋物線交于另一點，求當時，的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可．（2）把A點坐標代入拋物線可得，利用兩根之積即可求出答案．（3）根據(jù)點和都在拋物線上可求出b的值，從而得到和頂點B的坐標，再結(jié)合C點坐標可聯(lián)立方程求出函數(shù)解析式，即可求出答案．【詳解】（1）解：把，代入拋物線得：，∵拋物線與x軸交于點，∴，解得：，∴，∴拋物線頂點坐標為．（2）解：把代入拋物線得：，∴，則拋物線，∵兩根之積，∴，∵，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為．（3）解：∵點在拋物線上，由（2）得：，∴，∵，∴，由拋物線可得頂點B的坐標為，把C點坐標代入直線解析式得：，把B點坐標代入得：，聯(lián)立①、②并求解得：、或、，∵，∴，，∴拋物線解析式為，如圖所示A、B、C點的坐標分別為、、，∴當時，的最小值是，無最大值，∴的取值范圍為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及根與系數(shù)的關(guān)系和一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題，靈活運用數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．4．（2023·河南許昌·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，已知L1：經(jīng)過點，點．(1)求的解析式．(2)將向左平移6個單位長度，再向上平移2個單位長度得到，求的解析式．(3)若點，，，在上，且，將上方拋物線沿翻折，翻折后得到一個新圖象．當這個新圖象與過點且平行于軸的直線恰好只有2個公共點時，請直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）利用平移的規(guī)律即可求得；（3）根據(jù)二次函數(shù)的頂點求出翻折后新圖象的頂點坐標，結(jié)合圖象求解．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點，點，，解得，的解析式為；（2），將向左平移6個單位長度，再向上平移2個單位長度得到的解析式為，即；（3）點，，，，軸，所在直線為，拋物線，沿直線翻折后頂點坐標為，，，當時符合題意，解得，．當時，符合題意，綜上所述，或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線關(guān)于直線對稱，且經(jīng)過x軸上的兩點A、B與y軸交于點C，直線的解析式為．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P為直線上方的拋物線上的一點，過點P作軸于M，交于Q，求的最大值；(3)當取最大值時，求的面積．【答案】(1)(2)1(3)2【分析】（1）先求出A、C的坐標，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出點B的坐標，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)，則，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)，進行求解即可．【詳解】（1）解：在中，令，則，令，則，∴，∵拋物線關(guān)于直線對稱，且經(jīng)過x軸上的兩點A、B與y軸交于點C，∴，∴可設(shè)拋物線解析式為，把代入中得，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：設(shè)，則，∴，∵，∴當時，最大，最大值為1；（3）解：由（2）得當最大時，，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，求二次函數(shù)解析式等等；靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．6．（2023·海南省直轄縣級單位·嘉積中學?？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)經(jīng)過點，點是軸正半軸上一個動點，過點作垂直于軸的直線分別交拋物線和直線于點和點．設(shè)點的橫坐標為．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若、、三個點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外）時，求的值．(3)點在線段上時，①連接、，當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標；②若以、、為頂點的三角形與相似，求的值；【答案】(1)(2)(3)①E（2，5）；②m的值是或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得解；（2）先求得直線的解析式為，從而有，，根據(jù)為線段的中點時，得方程，解方程即可；（3）①設(shè)出，，列出與的函數(shù)關(guān)系式即可得解；②由，分當為直角時與為直角時兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：把（，）、（，）代入得，解得∴（2）解：∵（，）、（，）∴直線的解析式為∵，則，∴，當為線段的中點時，則有即：解得（三點重合，舍去）或∴（3）解：①∵（，），∴∵，∴∴∴當時，的最大值為，此時（，）②∵，，∴由（）可知：（，）、、∵∴以、、為頂點的三角形與相似，分兩種情況討論：①當為直角時，則∴，即：∴，即：解得：（舍去），②當為直角時，則∴，即：∴，即：解得，（舍去）綜上所述，的值是或．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求解二次函數(shù)與一次函數(shù)，二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形以及解一元二次方程，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·山西忻州·統(tǒng)考一模）綜合與探究．如圖1，拋物線經(jīng)過，，且與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右側(cè)），與y軸交于點C，連接，．(1)求拋物線的表達式．(2)求證：．(3)如圖2，動點P從點B出發(fā)，沿著線段以每秒1個單位長度的速度向終點A運動；同時，動點Q從點A出發(fā)，以相同的速度沿著線段向終點C運動，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，連接，設(shè)P，Q運動的時間為t秒，在點P，Q運動的過程中，是否成為等腰三角形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由．【答案】(1)；(2)見解析；(3)存在，或或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”進行證明；（3）分三種情況討論，分別根據(jù)利用平行線的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)分別求解．【詳解】（1）由題意得：，解得：，∴拋物線的表達式為：；（2）當時，，解得：或，∴，，當時，，，∴，，，∴，∵，∴；（3）∵，，，∴，當時，，解得：；當時，如圖1，過點Q作于點D，則，∵，∴，∴，即：，解得：，當時，如圖2，過點P作于點，則，∵，，∴，∴，即：，解得：，綜上，當或或時，是等腰三角形．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法和相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·湖北黃岡·校考一模）如圖，拋物線與x軸交于兩點，且，與y軸交于點，其中是方程的兩個根．(1)求這條拋物線的解析式；(2)點M是線段上的一個動點，過點M作，交于點N，連接，當?shù)拿娣e最大時，求點M的坐標；(3)點在（1）中拋物線上，點E為拋物線上一動點，在x軸是否存在點F，使以A，D，E，F(xiàn)四點為