第二十一章一元二次方程(壓軸題專練)(原卷版+解析)

第二十一章一元二次方程（壓軸題專練）一、填空題1．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)是6，則一次項(xiàng)是（）A． B． C．x D．12．（2023春·福建南平·九年級(jí)專題練習(xí)）兩個(gè)關(guān)于的一元二次方程和，其中，，是常數(shù)，且，如果是方程的一個(gè)根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（

）A．2020 B． C．-2020 D．3．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）根據(jù)絕對(duì)值的定義可知，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（

）①化簡(jiǎn)一共有8種不同的結(jié)果；②的最大值是5；③若，（為正整數(shù)），則當(dāng)時(shí)，；④若關(guān)于的方程有2個(gè)不同的解，其中為常數(shù)，則或A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)4．（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）已知兩個(gè)多項(xiàng)式，，x為實(shí)數(shù)，將A、B進(jìn)行加減乘除運(yùn)算：①若A+B=10，則；②，則x需要滿足的條件是；③，則關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)根；④若x為正整數(shù)()，且為整數(shù)，則1，2，4，5．上面說法正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于x的一元二次方程（ab≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列選項(xiàng)成立的是（

）A．若﹣1＜a＜0，則 B．若，則0＜a＜1C．若0＜a＜1，則 D．若，則-1＜a＜06．（2023春·安徽·八年級(jí)期中）對(duì)于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若是方程的一個(gè)根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則其中正確的：（

）A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④7．（2023春·安徽滁州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）對(duì)于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若c是方程的一個(gè)根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則其中正確的（

）A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②8．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）若方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根滿足，則實(shí)數(shù)p的所有值之和為（

）A．0 B． C． D．9．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)校考期中）空地上有一段長(zhǎng)為a米的舊墻，利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園（如圖1或圖2），已知木欄總長(zhǎng)為40米，所圍成的菜園面積為S．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．若，則有一種圍法B．若，則有一種圍法C．若，則有兩種圍法D．若，則有一種圍法二、填空題10．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）將關(guān)于x的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且．則的值為．11．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一塊矩形菜地，面積為．現(xiàn)將邊增加．

（1）如圖1，若，邊減少，得到的矩形面積不變，則的值是．（2）如圖2，若邊增加，有且只有一個(gè)的值，使得到的矩形面積為，則的值是．12．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）六張完全相同的小矩形紙片C與A，B兩張矩形紙片恰好能拼成一個(gè)相鄰邊長(zhǎng)為m，50的大矩形，部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示．（1）若，則矩形A的水平邊長(zhǎng)為；（2）請(qǐng)用含m，n的代數(shù)式表示矩形A的周長(zhǎng)：；（3）若矩形A，B的面積相等，則．13．（2023春·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)矩形內(nèi)放入兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為和的小正方形紙片，按照?qǐng)D①放置，矩形紙片沒有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為；按照?qǐng)D②放置矩形紙片沒有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分的面積為，若把兩張正方形紙片按圖③放置時(shí)，矩形紙片沒有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分的面積為．14．（2023春·浙江·七年級(jí)期末）已知在長(zhǎng)方形紙片中，，，現(xiàn)將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為和的正方形紙片按圖1、圖2兩種方式放置（圖1、圖2中兩張正方形紙片中均有部分重疊），長(zhǎng)方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為；若時(shí)，則；若再在邊長(zhǎng)為大正方形的左上角擺放一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形（如圖3），當(dāng)時(shí)，則圖3中陰影部分的面積．三、解答題15．（2023春·福建福州·八年級(jí)福州日升中學(xué)校考期末）閱讀材料．材料：若一元二次方程的兩個(gè)根為，，則，．(1)材料理解：一元二次方程的兩個(gè)根為，，則，．(2)類比探究：已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)，分別滿足，，且，求的值．16．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得；化簡(jiǎn)，得；故所求方程為．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”；請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)；(2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．17．（2023春·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于x的方程．求證：不論為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程有固定的自然數(shù)解，并求這自然數(shù)；設(shè)方程另外的兩個(gè)根為、，求、的關(guān)系式；若方程的三個(gè)根均為自然數(shù)，求的值．18．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：選取二次三項(xiàng)式中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過程叫配方．例如①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：；②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：，或③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)比照上面的例子，寫出三種不同形式的配方；(2)已知，求的值(3)當(dāng)，為何值時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？19．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀如下材料，完成下列問題：材料一：對(duì)于二次三項(xiàng)式求最值問題，有如下示例：．因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，原式的最小值為2．材料二：對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，若，則．完成問題：（1）求的最小值；（2）求的最大值；（3）若實(shí)數(shù)m，n滿足．求的最大值．20．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)，如果滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的平均數(shù)，那么稱這個(gè)數(shù)為“快樂數(shù)”．例如：，因?yàn)?，所以是“快樂?shù)”．(1)請(qǐng)通過計(jì)算判斷是不是“快樂數(shù)”，并直接寫出最大的“快樂數(shù)”；(2)已知一個(gè)“快樂數(shù)”（、、，、、為自然數(shù)），且使關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，求滿足條件的所有的值．21．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）對(duì)于任意一個(gè)三位數(shù)k，如果k滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個(gè)數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因?yàn)?2＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．(1)已知一個(gè)“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請(qǐng)直接寫出a，b，c所滿足的關(guān)系式；判斷241

“喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”），并寫出一個(gè)“喜鵲數(shù)”；(2)利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個(gè)一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個(gè)根，x＝n是方程②的一個(gè)根，求m與n滿足的關(guān)系式；(3)在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有k的值．22．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知關(guān)于x的方程，其中p，q都是實(shí)數(shù)．(1)若時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，且，求實(shí)數(shù)p的值．(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，且，求實(shí)數(shù)p和q的值．(3)是否同時(shí)存在質(zhì)數(shù)p和整數(shù)q使得方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，且？若存在，求出所有滿足條件的p，q．若不存在，說明理由．23．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）閱讀材料，解答問題：【材料1】為了解方程，如果我們把看作一個(gè)整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．【材料2】已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，顯然，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為；(2)間接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)，滿足：，且，求的值．24．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)《完全平方公式》時(shí)，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)：已知，，可以在不求、的值的情況下，求出的值．具體做法如下：．(1)若，則______；(2)若滿足，求的值，同樣可以應(yīng)用上述方法解決問題．具體操作如下：解：設(shè)，，則，，所以．請(qǐng)參照上述方法解決下列問題：若，求的值；(3)如圖，某校“園藝”社團(tuán)在三面靠墻的空地上，用長(zhǎng)12米的籬笆（不含墻）圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花圃ABCD，花圃ABCD的面積為20平方米，其中墻AD足夠長(zhǎng)，墻墻AD，墻墻AD，米．隨著學(xué)?！皥@藝”社團(tuán)成員的增加，學(xué)校在花圃旁分別以邊向外各擴(kuò)建兩個(gè)正方形花圃，以邊向外擴(kuò)建一個(gè)正方形花圃（如圖所示虛線區(qū)域部分），請(qǐng)問新擴(kuò)建花圃的總面積為______平方米．

25．（2023·浙江溫州·?？家荒＃┠晨蒲袉挝粶?zhǔn)備將院內(nèi)一塊長(zhǎng)30m，寬20m的矩形空地，建成一個(gè)矩形花園，要求在花園內(nèi)修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道（小道進(jìn)出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形），剩余的地方種植花草．(1)如圖1，要使種植花草的面積為，求小道進(jìn)出口的寬度為多少米；(2)現(xiàn)將矩形花園的四個(gè)角建成休閑活動(dòng)區(qū)，如圖2所示，均為全等的直角三角形，其中，設(shè)米，豎向道路出口和橫向彎折道路出口的寬度都為2m，且豎向道路出口位于和之間，橫向彎折道路出口位于和之間．①求剩余的種植花草區(qū)域的面積（用含有a的代數(shù)式表示）；②如果種植花草區(qū)域的建造成本是100元/米2、建造花草區(qū)域的總成本為42000元，求a的值．26．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）有一塊長(zhǎng)為米，寬為米的矩形場(chǎng)地，計(jì)劃在該場(chǎng)地上修筑互相垂直的寬都為米的縱橫小路（陰影部分），余下的場(chǎng)地建成草坪．(1)如圖，在矩形場(chǎng)地上修筑兩條的縱橫小路．請(qǐng)寫出兩條小路的面積之和______（用含、的代數(shù)式表示）；若，且草坪的總面積為，求原來矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)與寬各為多少米？(2)如圖，在矩形場(chǎng)地上修筑多條的縱橫小路，其中條水平方向的小路，條豎直方向的小路（為常數(shù)），若，且草坪的總面積為平方米，求的值．27．（2023春·廣東佛山·九年級(jí)校考開學(xué)考試）已知矩形中，，P是邊上一點(diǎn)，連接，將沿著直線折疊得到．(1)若；①如圖1，若點(diǎn)E在邊上，的長(zhǎng)為；②P、E、C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E落在矩形內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，若點(diǎn)F是的三等分點(diǎn)，求的長(zhǎng)．28．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，直線經(jīng)過點(diǎn)B，與x軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)b的值是______；(2)如圖1，過點(diǎn)D作BC的平行線與直線相交于點(diǎn)P，直線與直線AB相交于點(diǎn)Q．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)D坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)D在移動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．29．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以，的速度從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，沿規(guī)定路線移動(dòng)．

(1)若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q隨點(diǎn)P的停止而停止移動(dòng)，問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間P，Q兩點(diǎn)之間的距離是？(2)若點(diǎn)P沿著移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D停止時(shí)，點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動(dòng)，試探求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間的面積為？30．（2023秋·貴州安順·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．當(dāng)其中一點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)P，Q兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為，求：(1)當(dāng)x為何值時(shí)，為等腰三角形；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，的面積為；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，為等腰三角形．31．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）已知正方形，為上動(dòng)點(diǎn)，，于，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，；(2)如圖2，，求；(3)如圖3，若，直線寫出的值______．32．（2023春·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線的方向以每秒的速度運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)返回，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段上以每秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t（秒）．(1)求、的代數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形；(3)當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足要求的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．33．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)即停止）；點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD?DA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也即停止），設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)并運(yùn)動(dòng)了t秒．(1)求梯形ABCD的高和∠A的度數(shù)；(2)當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，求t的值；(3)試問是否存在這樣的t的值，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．34．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計(jì)劃在元宵節(jié)前用21天的時(shí)間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時(shí)加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？(2)為保證手工湯圓的最佳風(fēng)味，湯圓店計(jì)劃把達(dá)21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每袋手工湯圓的成本為13元，售價(jià)為25元時(shí)每天可售出225袋，售價(jià)每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價(jià)25元銷售2天后，余下8天進(jìn)行降價(jià)促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價(jià)格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)多少元？35．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）2022年某地桑葚節(jié)于4月5日到4月20舉行，熱情的當(dāng)?shù)鼐用駷橛慰蜏?zhǔn)備了桑葚茶、桑葚酒、桑葚醬、桑葚膏等等，在當(dāng)?shù)嘏e行的“桑葚會(huì)”上，游客不僅可以品嘗純正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚醬、桑葚音，而且還能體驗(yàn)制作它們的過程．各類桑葚產(chǎn)品均對(duì)外銷售，游客們可以買一些送給親朋好友．已知桑葚酒是桑葚醬單價(jià)的，預(yù)計(jì)桑葚節(jié)期間全鎮(zhèn)銷售桑葚酒和桑葚醬共7500千克，桑葚酒銷售額為200000元，桑葚醬銷售額為125000元．(1)求本次桑葚節(jié)預(yù)計(jì)銷售桑葚酒和桑葚醬的單價(jià)；(2)今年因受“新冠”疫情的影響，前來參加桑葚節(jié)的游客量比預(yù)計(jì)有所減少，當(dāng)?shù)劓?zhèn)府為了刺激經(jīng)濟(jì)，減少庫存，將桑葚酒和桑葚醬降價(jià)促銷．桑葚醬在預(yù)計(jì)單價(jià)的基礎(chǔ)上降低銷售，桑葚酒比預(yù)計(jì)單價(jià)降低元銷售，這樣桑葚醬的銷量跟預(yù)計(jì)一樣，桑葚酒的銷量比預(yù)計(jì)減少了a%，桑葚酒和桑葚醬的銷售總額比預(yù)計(jì)減少了3500a元．求a的值36．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）葡萄不僅味美可口，營養(yǎng)價(jià)值很高，而且用途廣泛，堪稱“果中珍品”，它既可鮮食又可加工成各種產(chǎn)品，如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等．當(dāng)下正值食用葡萄的好時(shí)節(jié)，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研顧客最喜歡“黑珍珠”、“仙粉黛”兩個(gè)品種，某商店老板看準(zhǔn)商機(jī)，決定購進(jìn)這兩種葡萄銷售，商店原計(jì)劃在6月購進(jìn)“黑珍珠”、“仙粉黛”兩種葡萄共200千克，其中“仙粉黛”的質(zhì)量至少是“黑珍珠”質(zhì)量的3倍．（1）那么原計(jì)劃今年6月至少購進(jìn)“仙粉黛”多少千克？（2）今年6月商店按照原計(jì)劃購進(jìn)并售完“黑珍珠”、“仙粉黛”兩種葡萄，且“仙粉黛”的質(zhì)量恰好是原計(jì)劃的最小值．今年7月商店按照“黑珍珠”與“仙粉黛”的質(zhì)量比為1∶3購進(jìn)兩種葡萄一共160千克，按照單價(jià)4∶3售出，共得銷售額1040元．通過7月對(duì)市場(chǎng)的觀察，商店老板決定增加兩種葡萄的進(jìn)貨量，同時(shí)降價(jià)促銷；8月商店購進(jìn)“黑珍珠”、“仙粉黛”的質(zhì)量在6月的基礎(chǔ)上分別增加了，同時(shí)為了盡快全部售出，每千克售價(jià)在今年7月份的基礎(chǔ)上分別降價(jià)（降價(jià)幅度不超過50%），最終8月的銷售額比7月的銷售額增加了535元．求的值．37．（2023秋·重慶北碚·九年級(jí)重慶市朝陽中學(xué)?？计谀┠撤康禺a(chǎn)商決定將一片小型公寓作為精裝房出售，每套公寓面積均為32平方米，現(xiàn)計(jì)劃為100套公寓地面鋪地磚，根據(jù)用途的不同選用了A、B兩種地磚，其中50套公寓全用A種地磚鋪滿，另外50套公寓全用B種地磚鋪滿，A種地磚是每塊面積為0.64平方米的正方形，B種地磚是每塊而積為0.16平方米的正方形，且A種地磚每塊的進(jìn)價(jià)比B種地磚每塊的進(jìn)價(jià)高40元，購進(jìn)A、B兩種地磚共花費(fèi)350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均鋪滿地磚且地磚無剩余）（1）求A、B兩種地磚每塊的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）實(shí)際施工時(shí)，房地產(chǎn)商增加了精裝的公寓套數(shù)，結(jié)果實(shí)際鋪滿A種地磚的公寓套數(shù)增加了，鋪滿B種地磚的公寓套數(shù)增加了，由于地磚的購進(jìn)量增加．B種地磚每塊進(jìn)價(jià)在（1）問的基礎(chǔ)上降低了，但A種地磚每塊進(jìn)價(jià)保持不變，最后購進(jìn)A、B兩種地磚的總花費(fèi)比原計(jì)劃增加了，求a的值．38．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┬鹿谝咔槁尤?，口罩成了人們的生活必須品，某藥店銷售普通口罩和N95口罩，今年8月份的進(jìn)價(jià)如下表：普通口罩N95口罩進(jìn)價(jià)（元/包）820（1）計(jì)劃N95口罩每包售價(jià)比普通口罩貴16元，7包普通口罩和3包N95口罩總售價(jià)相同，求普通口罩和N95口罩每包售價(jià)；（2）按（1）中售價(jià)銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)普通口罩的日均銷售量為120包，當(dāng)每包售價(jià)降價(jià)1元時(shí)，日均銷售量增加20包，該藥店秉承讓利于民的原則，對(duì)普通口罩進(jìn)行降價(jià)銷售，但要保證當(dāng)天的利潤(rùn)為320元，求此時(shí)普通口罩每包售價(jià)；（3）疫情期間，該藥店進(jìn)貨2萬包N95口罩，進(jìn)價(jià)不變，店長(zhǎng)向當(dāng)?shù)蒯t(yī)院捐贈(zèng)了a包，該款口罩，剩余的N95口罩向市民銷售，若這2萬包口罩的利潤(rùn)等于，則N95口罩每包售價(jià)是________元．（直接寫出答案，售價(jià)為整數(shù)元）39．（2023春·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）健康食品越來越受到人們的青睞，某公司在2016年推出兩種健康食品套餐，到年底共賣出萬份，其中套餐賣出萬份，兩種套餐共獲利潤(rùn)萬元、已知銷售一份套餐可獲利潤(rùn)元，銷售一份套餐可獲利潤(rùn)元．（1）用含的代數(shù)式表示；（2）隨著市場(chǎng)需求不斷變化，經(jīng)營策略也隨之調(diào)整．2017年，該公司將每份套餐的利潤(rùn)增加到元，每份套餐的利潤(rùn)不變．經(jīng)核算，兩種套餐在這一年的銷售總量與2016年相同，其中套餐的銷售量增加，兩種套餐的總利潤(rùn)增加萬元．①求2017年每種套餐的銷售量；②由于套餐的需求量逐年上漲，而原材料供應(yīng)不足，因此，2018年該公司將每份套餐的利潤(rùn)在2017年的基礎(chǔ)上增加，2019年在2018年的基礎(chǔ)上又增加、若套餐在近三年銷售量不變的情況下，僅2019年一年就獲利萬元，求的值．40．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）某文明小區(qū)50平方米和80平方米兩種戶型的住宅，50平方米住宅套數(shù)是80平方米住宅套數(shù)的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取當(dāng)月物管費(fèi)，該小區(qū)全部住宅都人住且每戶均按時(shí)全額繳納物管費(fèi)．（1）該小區(qū)每月可收取物管費(fèi)90000元，問該小區(qū)共有多少套80平方米的住宅？（2）為建設(shè)“資源節(jié)約型社會(huì)”，該小區(qū)物管公司5月初推出活動(dòng)一：“垃圾分類送禮物”，50平方米和80平方米的住戶分別有40%和20%參加了此次活動(dòng)．為提離大家的積極性，6月份準(zhǔn)備把活動(dòng)一升級(jí)為活動(dòng)二：“拉圾分類抵扣物管費(fèi)”，同時(shí)終止活動(dòng)一．經(jīng)調(diào)查與測(cè)算，參加活動(dòng)一的住戶會(huì)全部參加活動(dòng)二，參加活動(dòng)二的住戶會(huì)大幅增加，這樣，6月份參加活動(dòng)的50平方米的總戶數(shù)在5月份參加活動(dòng)的同戶型戶數(shù)的基礎(chǔ)上將增加，每戶物管費(fèi)將會(huì)減少；6月份參加活動(dòng)的80平方米的總戶數(shù)在5月份參加活動(dòng)的同戶型戶數(shù)的基礎(chǔ)上將增加，每戶物管費(fèi)將會(huì)減少．這樣，參加活動(dòng)的這部分住戶6月份總共繳納的物管費(fèi)比他們按原方式共繳納的物管費(fèi)將減少，求的值．

第二十一章一元二次方程（壓軸題專練）一、填空題1．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)是6，則一次項(xiàng)是（）A． B． C．x D．1【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程定義可得，，可得的值，再代入原方程，由此即可得結(jié)果．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)是6，∴，，解得：，把代入原方程可得，∴一次項(xiàng)是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是，其中，是二次項(xiàng)，是一次項(xiàng)，是常數(shù)項(xiàng)．2．（2023春·福建南平·九年級(jí)專題練習(xí)）兩個(gè)關(guān)于的一元二次方程和，其中，，是常數(shù)，且，如果是方程的一個(gè)根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（

）A．2020 B． C．-2020 D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及一元二次方程的解法即可求出答案．【詳解】∵，，a+c=0∴，∵ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，∴，，∴，，∵是方程的一個(gè)根，∴是方程的一個(gè)根，∴是方程的一個(gè)根，即是方程的一個(gè)根故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的定義以及方程的解的概念．3．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）根據(jù)絕對(duì)值的定義可知，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（

）①化簡(jiǎn)一共有8種不同的結(jié)果；②的最大值是5；③若，（為正整數(shù)），則當(dāng)時(shí)，；④若關(guān)于的方程有2個(gè)不同的解，其中為常數(shù)，則或A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】由、、的結(jié)果分別有2種，則的結(jié)果共有種，可判斷①；根據(jù)的取值，化簡(jiǎn)運(yùn)算即可判斷②；根據(jù)【詳解】解：、、的結(jié)果分別有2種，的結(jié)果共有種，故①正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故②錯(cuò)誤；是正整數(shù)，，，，，當(dāng)時(shí)，，故③正確；，當(dāng)或時(shí)，，，方程有2個(gè)不同的解，，解得：，當(dāng)時(shí)，，，方程有2個(gè)不同的解，，解得：，故④錯(cuò)誤；綜上，正確的有①③，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，絕對(duì)值的性質(zhì)，一元二次方程的判別式，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）已知兩個(gè)多項(xiàng)式，，x為實(shí)數(shù)，將A、B進(jìn)行加減乘除運(yùn)算：①若A+B=10，則；②，則x需要滿足的條件是；③，則關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)根；④若x為正整數(shù)()，且為整數(shù)，則1，2，4，5．上面說法正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用可求出，故①錯(cuò)誤；對(duì)分情況討論可知②正確；若，則或，利用根的判別式可知，時(shí)，方程無解，故③正確；由為整數(shù)，可得是整數(shù)，可求出，2，4，5，故④正確．【詳解】解：∵，，∴①當(dāng)時(shí)，則，解得：，故①錯(cuò)誤；②當(dāng)，則，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)，，解得：；當(dāng)，，解得：（舍去）；綜上所述：，故②正確；③若，則或，當(dāng)時(shí)，，，無解；當(dāng)時(shí)，，，無解；∴，關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)根；故③正確；④∵，若為整數(shù)，則是整數(shù)，∵x為正整數(shù)()，解得：，2，4，5，故④正確；∴正確的有②③④故選：C【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)，含絕對(duì)值的一元一次方程的求解，根的判別式，能夠正確解方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）關(guān)于x的一元二次方程（ab≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列選項(xiàng)成立的是（

）A．若﹣1＜a＜0，則 B．若，則0＜a＜1C．若0＜a＜1，則 D．若，則-1＜a＜0【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的根的情況利用判別式求得a與b的數(shù)量關(guān)系，再代入方程求k的值，然后結(jié)合a的取值范圍和分式加減法運(yùn)算法則計(jì)算求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（ab≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根k，∴，，又∵，∴a-b-1=0，即a=b+1，∴ax2-2ax+a=0，解得：x1=x2=1，∴k=1，當(dāng)時(shí)，即，即，∴a（a-1）<0，即或解得0<a<1當(dāng)時(shí)，即，即，∴a（a-1）>0，即或解得：a>1或a<0．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的情況求得a與b之間的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．（2023春·安徽·八年級(jí)期中）對(duì)于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若是方程的一個(gè)根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則其中正確的：（

）A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程解的含義、一元二次方程根的判別式等知識(shí)逐個(gè)分析即可．【詳解】由，表明方程有實(shí)數(shù)根﹣1，表明一元二次方程有實(shí)數(shù)解，則，故①正確；∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即a與c異號(hào)．∴-ac>0，∴，∴方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；故②正確；∵是方程的一個(gè)根，∴，即當(dāng)時(shí)，一定有成立；當(dāng)c=0時(shí)，則不一定成立，例如：方程，則；故③錯(cuò)誤；∵是一元二次方程的根，∴，∴，∴，故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023春·安徽滁州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）對(duì)于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若c是方程的一個(gè)根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則其中正確的（

）A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)解決此題．【詳解】①當(dāng)x=1時(shí)，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)b2-4ac≥0成立，那么①一定正確．②方程ax2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，進(jìn)而推斷出②正確．③由c是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，得ac2+bc+c=0．當(dāng)c≠0，則ac+b+1=0；當(dāng)c=0，則ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正確．④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，則ax02+bx0+c＝0成立，那么④正確．綜上：正確的有①②④，共3個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．8．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）若方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根滿足，則實(shí)數(shù)p的所有值之和為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得到，，進(jìn)而推出，則，，即可推出，然后代入，得到，再根據(jù)判別式求出符號(hào)題意的值即可得到答案．【詳解】解：∵是方程的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，，∴，∴，∴，∴，同理得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∴，∴不符合題意，∴∴符合題意，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┛盏厣嫌幸欢伍L(zhǎng)為a米的舊墻，利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園（如圖1或圖2），已知木欄總長(zhǎng)為40米，所圍成的菜園面積為S．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．若，則有一種圍法B．若，則有一種圍法C．若，則有兩種圍法D．若，則有一種圍法【答案】A【分析】分兩種情況討論：，圖2圍法，設(shè)矩形菜園垂直于墻的邊為x米，分別表示矩形的長(zhǎng)，再利用矩形面積列方程，解方程，注意檢驗(yàn)x的范圍，從而可得答案．【詳解】解：設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長(zhǎng)為米，∴當(dāng)時(shí)，采用圖1圍法，則此時(shí)當(dāng)時(shí)，解得：此時(shí)都不符合題意，采用圖2圍法，如圖，此時(shí)矩形菜園的寬為x米，即則則所以長(zhǎng)為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意，綜上：若，，則沒有圍法，故A符合題意；設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長(zhǎng)為米，∴當(dāng)時(shí)，采用圖1圍法，則此時(shí)當(dāng)時(shí)，解得：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；采用圖2圍法，如圖，此時(shí)矩形菜園的寬為x米，即則則所以長(zhǎng)為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，綜上：若，則有兩種圍法，故B不符合題意；設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長(zhǎng)為米，∴當(dāng)時(shí)，采用圖1圍法，則此時(shí)當(dāng)時(shí)，解得：經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意；采用圖2圍法，如圖，此時(shí)矩形菜園的寬為x米，即則則所以長(zhǎng)為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗(yàn)都不符合題意，若，則有兩種圍法，C不符合題意，設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長(zhǎng)為米，∴當(dāng)時(shí)，采用圖1圍法，則此時(shí)當(dāng)時(shí)，解得：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；采用圖2圍法，如圖，此時(shí)矩形菜園的寬為x米，即則則所以長(zhǎng)為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗(yàn)都不符合題意，綜上所述，若，則有一種圍法，D不符合題意；故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，表示圖2中矩形的長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵．二、填空題10．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）將關(guān)于x的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且．則的值為．【答案】【分析】先將變形為，再利用“降次法”將轉(zhuǎn)化為，然后解一元二次方程，求出，再代入求值即可．【詳解】解：，∴．∴，，，，，，．∵，，∴∴，∵，；∴原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值和解一元二次方程．理解并掌握“降次法”，是解題的關(guān)鍵．11．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一塊矩形菜地，面積為．現(xiàn)將邊增加．

（1）如圖1，若，邊減少，得到的矩形面積不變，則的值是．（2）如圖2，若邊增加，有且只有一個(gè)的值，使得到的矩形面積為，則的值是．【答案】6/【分析】（1）根據(jù)面積的不變性，列式計(jì)算即可．（2）根據(jù)面積，建立分式方程，轉(zhuǎn)化為a一元二次方程，判別式為零計(jì)算即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，得，起始長(zhǎng)方形的面積為，變化后長(zhǎng)方形的面積為，∵，邊減少，得到的矩形面積不變，∴，解得，故答案為：6．（2）根據(jù)題意，得，起始長(zhǎng)方形的面積為，變化后長(zhǎng)方形的面積為，∴，，∴，∴，∴，∵有且只有一個(gè)的值，∴，∴，解得（舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的面積變化，一元二次方程的應(yīng)用，正確轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）六張完全相同的小矩形紙片C與A，B兩張矩形紙片恰好能拼成一個(gè)相鄰邊長(zhǎng)為m，50的大矩形，部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示．（1）若，則矩形A的水平邊長(zhǎng)為；（2）請(qǐng)用含m，n的代數(shù)式表示矩形A的周長(zhǎng)：；（3）若矩形A，B的面積相等，則．【答案】【分析】（1）根據(jù)圖可得矩形A的長(zhǎng)個(gè)小矩形寬，即可得到矩形A的水平邊長(zhǎng)；（2）根據(jù)圖可得矩形A的寬個(gè)小矩形寬，進(jìn)而得到矩形A的豎直邊長(zhǎng)，即可得到答案；（3）分別表示出矩形A，B的面積，根據(jù)矩形A，B的面積相等即可得到答案．【詳解】解：設(shè)矩形A的水平邊長(zhǎng)為，矩形A的豎直邊長(zhǎng)，（1）由圖可知，；（2）由（1）可知，由圖可知矩形A的周長(zhǎng)；（3）由題知，矩形A的面積；由圖知，矩形B的面積矩形A，B的面積相等,①小矩形紙片長(zhǎng)，矩形A的水平邊長(zhǎng)為由圖可知小矩形紙片長(zhǎng)矩形A的水平邊長(zhǎng)②聯(lián)立①②解得，（舍去）．故答案為：；；．【點(diǎn)睛】本題主要考查列多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的值，一元二次方程，掌握解題的方法以及解方程的方法是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)矩形內(nèi)放入兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為和的小正方形紙片，按照?qǐng)D①放置，矩形紙片沒有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為；按照?qǐng)D②放置矩形紙片沒有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分的面積為，若把兩張正方形紙片按圖③放置時(shí)，矩形紙片沒有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分的面積為．【答案】/8平方厘米【分析】設(shè)矩形的長(zhǎng)為，寬為，根據(jù)圖①和圖②的陰影面積列出方程組，求出的值，再求圖③的面積求解即可．【詳解】解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為，寬為，由題意，得：，整理，得：，把②代入①得：③，把③代入①得：，整理，得：，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（不合題意，舍去）；∴長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為cm，寬為cm，∴圖③中的陰影面積為：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．正確的識(shí)圖，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程，是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·浙江·七年級(jí)期末）已知在長(zhǎng)方形紙片中，，，現(xiàn)將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為和的正方形紙片按圖1、圖2兩種方式放置（圖1、圖2中兩張正方形紙片中均有部分重疊），長(zhǎng)方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為；若時(shí)，則；若再在邊長(zhǎng)為大正方形的左上角擺放一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形（如圖3），當(dāng)時(shí)，則圖3中陰影部分的面積．【答案】36.5/【分析】先將，，用用a，b表示，再分別根據(jù)與，計(jì)算即可．【詳解】解：在圖1中，根據(jù)題意得：，∴，同理在圖2中，，∴∴，又∵，∴．又∵，即，將代入方程中得：解得：（舍去），∴．在圖3中，∴故答案為：3；．【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，整式的混合運(yùn)算，解一元二次方程，掌握相關(guān)知識(shí)和技巧是解題的關(guān)鍵．本題難度較大，所列式子較復(fù)雜，需要較強(qiáng)的閱讀理解能力和對(duì)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力．三、解答題15．（2023春·福建福州·八年級(jí)福州日升中學(xué)校考期末）閱讀材料．材料：若一元二次方程的兩個(gè)根為，，則，．(1)材料理解：一元二次方程的兩個(gè)根為，，則，．(2)類比探究：已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)，分別滿足，，且，求的值．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）直接根據(jù)閱讀材料可得答案；（2）由題意得出，可看作方程的兩個(gè)根，據(jù)此知，，將其代入計(jì)算可得；（3）把變形為，據(jù)此可得實(shí)數(shù)和可看作方程的兩根，繼而知，，進(jìn)一步代入計(jì)算可得．【詳解】（1）解：，，故答案為：；；（2）∵，，且，∴，可看作方程的兩個(gè)根，∴，，∴，∴的值為；（3）∵，分別滿足，，且，∴，∴和可看作方程的兩根，∴，，∴，∴的值為．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，因式分解的應(yīng)用，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立合適的方程及分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．16．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得；化簡(jiǎn)，得；故所求方程為．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”；請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)；(2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)所求方程的根為，則，將代入已知方程，化簡(jiǎn)即可得到答案；（2）設(shè)所求方程的根為，則，將其代入已知方程，然后化為一般形式即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)所求方程的根為，則，，把代入已知方程，得，化簡(jiǎn)得，，這個(gè)一元二次方程為：；（2）解：設(shè)所求方程的根為，則，，把代入已知方程，得，去分母得，，若，則，于是方程有一根為0，不符合題意，，所求方程為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解答該題的關(guān)鍵是弄清楚“換根法”的具體解題方法．17．（2023春·廣東梅州·九年級(jí)校考開學(xué)考試）已知關(guān)于x的方程．求證：不論為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程有固定的自然數(shù)解，并求這自然數(shù)；設(shè)方程另外的兩個(gè)根為、，求、的關(guān)系式；若方程的三個(gè)根均為自然數(shù)，求的值．【答案】證明見解析，所求自然數(shù)為；；．【分析】把方程整理，使含的項(xiàng)“系數(shù)”為，求的值，再代入不含的項(xiàng)檢驗(yàn)，可求這個(gè)自然數(shù)；由所求自然數(shù)值可知方程的一個(gè)因式，代入方程，再將方程分解因式，由兩根關(guān)系解題；在(2)的條件下，根據(jù)解為自然數(shù)，求的值．【詳解】原方程整理得：，解方程，得，，當(dāng)時(shí)，，故所求自然數(shù)為；∵是方程的固定解，∴是方程的一個(gè)因式，原方程分解為:，∴、是方程的兩根，∴，，∴；由可知，，，設(shè)，則，由題意可知，，，，均為自然數(shù)，則的個(gè)位數(shù)字必須為，∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程三個(gè)根均為自然數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查了求高次方程固定根的方法，方程的根與系數(shù)關(guān)系，自然數(shù)解的問題，解題的關(guān)鍵是對(duì)高次方程進(jìn)行降次及熟練掌握根與系數(shù)之間的關(guān)系．18．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：選取二次三項(xiàng)式中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過程叫配方．例如①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：；②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：，或③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)比照上面的例子，寫出三種不同形式的配方；(2)已知，求的值(3)當(dāng)，為何值時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？【答案】(1)見解析(2)(3)當(dāng)，時(shí)，取得最小值，最小值為【分析】（1）根據(jù)配方的定義，分別選取二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)中的兩項(xiàng)，進(jìn)行配方即可得出三種形式；（2）首先根據(jù)配方法把變形為，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性，得出，，解出、的值，然后將、的值代入代數(shù)式，計(jì)算即可得出結(jié)果；（3）首先根據(jù)配方法把代數(shù)式變形為，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性，得出，進(jìn)而得出當(dāng)，時(shí)，取得最小值，再進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：第一種形式：選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方，；第二種形式：選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方，；或；第三種形式：選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方，；（2）解：，配方，得：，即，∵，，∴，，解得：，，∴；（3）解：，∵，∴，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，即當(dāng)，時(shí)，取得最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)配方法的步驟和完全平方公式進(jìn)行配方是解本題的關(guān)鍵．19．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀如下材料，完成下列問題：材料一：對(duì)于二次三項(xiàng)式求最值問題，有如下示例：．因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，原式的最小值為2．材料二：對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，若，則．完成問題：（1）求的最小值；（2）求的最大值；（3）若實(shí)數(shù)m，n滿足．求的最大值．【答案】（1）-5；（2）（3）【分析】（1）按照材料一配方即可求最值；（2）把原式化成，求最小值即可；（3）根據(jù)已知得到，即或，代入求最值即可．【詳解】解：（1），因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，原式的最小值為-5．（2），當(dāng)取最小值時(shí)，原式最大，由（1）可知，最小值為2，此時(shí)的最大值為；（3）∵，∴，，或，或，=，最大值是，的最大值為；或=，最大值是，的最大值為；綜上，的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了配方法求最值，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用配方法求代數(shù)式的最值．20．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)，如果滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的平均數(shù)，那么稱這個(gè)數(shù)為“快樂數(shù)”．例如：，因?yàn)椋允恰翱鞓窋?shù)”．(1)請(qǐng)通過計(jì)算判斷是不是“快樂數(shù)”，并直接寫出最大的“快樂數(shù)”；(2)已知一個(gè)“快樂數(shù)”（、、，、、為自然數(shù)），且使關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，求滿足條件的所有的值．【答案】(1)不是“快樂數(shù)”；最大的“快樂數(shù)”為(2)【分析】（1）根據(jù)“快樂數(shù)”的定義解答即可；（2）根據(jù)“快樂數(shù)”可得出，根據(jù)一元二次方程根的情況可得，再結(jié)合及、、，、、為自然數(shù)可得出、、的值，最后結(jié)合“快樂數(shù)”的定義即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，∴不是“快樂數(shù)”，∵各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的平均數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字最大為，又∵，∴最大的“快樂數(shù)”為．（2）∵為“快樂數(shù)”，∴，∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，∴，解得：，，，∴，綜上所述，滿足條件的所有的值為．∴滿足條件的所有的值為．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，不等式組應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是理解“快樂數(shù)”的定義．21．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）對(duì)于任意一個(gè)三位數(shù)k，如果k滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個(gè)數(shù)為“喜鵲數(shù)”．例如：k＝169，因?yàn)?2＝4×1×9，所以169是“喜鵲數(shù)”．(1)已知一個(gè)“喜鵲數(shù)”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數(shù)），請(qǐng)直接寫出a，b，c所滿足的關(guān)系式；判斷241

“喜鵲數(shù)”（填“是”或“不是”），并寫出一個(gè)“喜鵲數(shù)”；(2)利用（1）中“喜鵲數(shù)”k中的a，b，c構(gòu)造兩個(gè)一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個(gè)根，x＝n是方程②的一個(gè)根，求m與n滿足的關(guān)系式；(3)在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有k的值．【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121(2)mn＝1(3)121，242，363，484【分析】（1）根據(jù)喜鵲數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式解答即可；（3）求出m與n互為倒數(shù)，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，結(jié)合喜鵲數(shù)的定義即可得出答案．【詳解】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鵲數(shù)，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，∴241不是喜鵲數(shù)；∵各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，∴十位上的數(shù)字的平方最小為4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鵲數(shù)”是121．故答案為：b2﹣4ac＝0；不是；121．（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一個(gè)根，∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，將cn2+bn+a＝0兩邊同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，∴將m、看成是方程ax2+bx+c的兩個(gè)根，∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2+bx+c有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴m＝，即mn＝1；故答案為：mn＝1．（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∵b2＝4ac，∴（a+c）2＝4ac，解得：a＝c，∴滿足條件的所有k的值為121，242，363，484．故答案為：121，242，363，484．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是弄清喜鵲數(shù)的定義．22．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知關(guān)于x的方程，其中p，q都是實(shí)數(shù)．(1)若時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，且，求實(shí)數(shù)p的值．(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，且，求實(shí)數(shù)p和q的值．(3)是否同時(shí)存在質(zhì)數(shù)p和整數(shù)q使得方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，且？若存在，求出所有滿足條件的p，q．若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)或，(3)存在，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，代入可得關(guān)于的方程，解方程即可；（2）由方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、、，可得，、是方程的兩根；由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，．，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，解出即可求出的值；（3）方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，，由（2）知，不妨設(shè)，是方程的兩根，，是方程的兩根，可得，進(jìn)行討論即可求解．【詳解】（1）解：若，則方程為．因該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)、，可得，，，解得；由，得，解得或．（注意因?yàn)椋裕?）顯然．方程可寫成．因該方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可得：，，即，因?yàn)?、是方程的兩根，即．則，，．，解得．由，得，解得，∴或，．（3）存在．方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，，由（2）知，不妨設(shè)，是方程的兩根，，是方程的兩根，則，，，，則，，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭琴|(zhì)數(shù)，，，所以，，則，則無解，則，則無解，則，則，解得，則，則，解得，2，5，則，則，解得．故，5，所以存在滿足條件的，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根，根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之和等于、兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．23．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）閱讀材料，解答問題：【材料1】為了解方程，如果我們把看作一個(gè)整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．【材料2】已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，顯然，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為；(2)間接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)，滿足：，且，求的值．【答案】(1)，，，(2)或或【分析】（1）利用換元法解方程，設(shè)，則原方程可化為，解關(guān)于的方程得到，，則或，然后分別解兩個(gè)元二次方程即可；（2）根據(jù)已知條件，當(dāng)時(shí)，，解關(guān)于的一元二次方程得，則；當(dāng)時(shí)，把、看作方程的兩不相等的實(shí)數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再變形得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】（1）解：，設(shè)，則原方程可化為，解得：，，當(dāng)時(shí)，，解得：，，當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴原方程的解為，，，，故答案為：，，，；（2）解：∵實(shí)數(shù)，滿足：，且，當(dāng)時(shí)，，解關(guān)于的一元二次方程，得：，∴；當(dāng)時(shí)，則、是方程的兩不相等的實(shí)數(shù)根，∴，，∴；∴的值為或或．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，；也考查了換元法，解一元二次方程，求代數(shù)式的值，運(yùn)用了恒等變換的思想．掌握查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．24．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)《完全平方公式》時(shí)，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)：已知，，可以在不求、的值的情況下，求出的值．具體做法如下：．(1)若，則______；(2)若滿足，求的值，同樣可以應(yīng)用上述方法解決問題．具體操作如下：解：設(shè)，，則，，所以．請(qǐng)參照上述方法解決下列問題：若，求的值；(3)如圖，某?！皥@藝”社團(tuán)在三面靠墻的空地上，用長(zhǎng)12米的籬笆（不含墻）圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花圃ABCD，花圃ABCD的面積為20平方米，其中墻AD足夠長(zhǎng)，墻墻AD，墻墻AD，米．隨著學(xué)?！皥@藝”社團(tuán)成員的增加，學(xué)校在花圃旁分別以邊向外各擴(kuò)建兩個(gè)正方形花圃，以邊向外擴(kuò)建一個(gè)正方形花圃（如圖所示虛線區(qū)域部分），請(qǐng)問新擴(kuò)建花圃的總面積為______平方米．

【答案】(1)37(2)52(3)116【分析】（1）根據(jù)材料介紹方法解答即可；（2）仿照操作方法解答即可；（3）先說明，設(shè)米，則米，然后根據(jù)“花圃ABCD的面積為20平方米”列方程求得x，然后再列式求得擴(kuò)建花圃的面積即可．【詳解】（1）解：．（2）解：設(shè)，，則，，所以．（3）解：∵四邊形長(zhǎng)方形，∴，∵，∴，設(shè)米，則米由題意知，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意①當(dāng)時(shí)，∴新擴(kuò)建花圃的總面積為:(平方米)；②當(dāng)時(shí)，，新擴(kuò)建花圃的總面積為:(平方米)．綜上，新擴(kuò)建花圃的總面積為116平方米．故答案為116．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，審清題意、靈活利用完全平方公式成為解答本題的關(guān)鍵．25．（2023·浙江溫州·?？家荒＃┠晨蒲袉挝粶?zhǔn)備將院內(nèi)一塊長(zhǎng)30m，寬20m的矩形空地，建成一個(gè)矩形花園，要求在花園內(nèi)修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道（小道進(jìn)出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形），剩余的地方種植花草．(1)如圖1，要使種植花草的面積為，求小道進(jìn)出口的寬度為多少米；(2)現(xiàn)將矩形花園的四個(gè)角建成休閑活動(dòng)區(qū)，如圖2所示，均為全等的直角三角形，其中，設(shè)米，豎向道路出口和橫向彎折道路出口的寬度都為2m，且豎向道路出口位于和之間，橫向彎折道路出口位于和之間．①求剩余的種植花草區(qū)域的面積（用含有a的代數(shù)式表示）；②如果種植花草區(qū)域的建造成本是100元/米2、建造花草區(qū)域的總成本為42000元，求a的值．【答案】(1)1米；(2)①；②．【分析】（1）設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為米，然后利用其種植花草的面積為532平方米列出方程求解即可；（2）①先用a表示出四個(gè)直角三角形的面積，從而表示出剩余花草區(qū)域的面積；②由①和題目意思列出方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為米，依題意得．整理，得．解得，，．（不合題意，舍去），；答：小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為1米；（2）解：①剩余的種植花草區(qū)域的面積為：②由，得：，解得：（舍去）．故．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，面積的表示，解題的關(guān)鍵是找到正確的等量關(guān)系并列出方程，注意根據(jù)實(shí)際意義舍根．26．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）有一塊長(zhǎng)為米，寬為米的矩形場(chǎng)地，計(jì)劃在該場(chǎng)地上修筑互相垂直的寬都為米的縱橫小路（陰影部分），余下的場(chǎng)地建成草坪．(1)如圖，在矩形場(chǎng)地上修筑兩條的縱橫小路．請(qǐng)寫出兩條小路的面積之和______（用含、的代數(shù)式表示）；若，且草坪的總面積為，求原來矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)與寬各為多少米？(2)如圖，在矩形場(chǎng)地上修筑多條的縱橫小路，其中條水平方向的小路，條豎直方向的小路（為常數(shù)），若，且草坪的總面積為平方米，求的值．【答案】(1)①②長(zhǎng)為米，寬為米(2)或【分析】（1）①②根據(jù)兩條小路的面積之和兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積重疊的正方形的面積表示即可；②根據(jù)草坪的總面積為，列一元二次方程，求解即可；（2）根據(jù)草坪的總面積為平方米，列方程求解，再進(jìn)一步求出符合條件的和的值，即可求出的值．【詳解】（1）解：①根據(jù)題意，兩條小路的面積之和平方米，故答案為：平方米；②根據(jù)題意，得，又∵，，原方程化為，解得（不符合題意，舍去），，（米），答：原來矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為米，寬為米；（2）解：根據(jù)題意，得，整理得，，為正整數(shù)，是正整數(shù)且是的約數(shù)，是正整數(shù)且是的約數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，；當(dāng)時(shí)，，，，；當(dāng)時(shí)，，，，，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．27．（2023春·廣東佛山·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）已知矩形中，，P是邊上一點(diǎn)，連接，將沿著直線折疊得到．(1)若；①如圖1，若點(diǎn)E在邊上，的長(zhǎng)為；②P、E、C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E落在矩形內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，若點(diǎn)F是的三等分點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)①6；②2(2)【分析】（1）①點(diǎn)E在邊上，由折疊得，則，所以；②由平分，得，則，得，再由勾股定理求得，則；（2）連接，先證明，再設(shè)，則，，即可根據(jù)勾股定理列方程得，因?yàn)閤是正數(shù)，所以，則．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，①如圖1，點(diǎn)E在邊上，由折疊得，∴，∴，故答案為：6．②如圖2，由折疊得，∴平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)為2．（2）如圖3，連接，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，由折疊得，∴，在和中，，∴，設(shè)，∵點(diǎn)F是的三等分點(diǎn)，∴，∵，∴，解得，（不符合題意，舍去），∴，∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、一元二次方程的解法等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．28．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，直線經(jīng)過點(diǎn)B，與x軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)b的值是______；(2)如圖1，過點(diǎn)D作BC的平行線與直線相交于點(diǎn)P，直線與直線AB相交于點(diǎn)Q．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)D坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)D在移動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)－3(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3)存在點(diǎn)E，以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為；或【分析】（1）根據(jù)題意，先求出點(diǎn)B坐標(biāo)，進(jìn)一步可求出b的值；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，?m?3），根據(jù)兩直線平行可設(shè)直線DP的解析式為y＝3x＋n，將點(diǎn)D坐標(biāo)代入求出直線DP的解析式，然后分情況表示出PQ的長(zhǎng)，根據(jù)，列方程求出m，即可求出點(diǎn)D坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，?m?3），表示出，，，由以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，分三種情況討論：當(dāng)BD＝BC時(shí)，當(dāng)CD＝CB時(shí)，當(dāng)DC＝DB時(shí)，分別列方程求出點(diǎn)D坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：∵直線y＝?x?3與y軸相交于點(diǎn)B，∴B（0，?3），∵直線y＝3x＋b經(jīng)過點(diǎn)B，∴b＝?3，故答案為：?3；（2）解：當(dāng)時(shí)，解得：，∴，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由（1）知，直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，∵，∴設(shè)直線DP的解析式為，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，，∴，，當(dāng)點(diǎn)D在線段AQ上時(shí)，，∵，∴，解得：或（舍去），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)D在線段BQ上時(shí)，，∵，∴，整理得：，解得：（舍去）或（舍去），綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，解得，，∴，∵，∴，，，∵以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，故分三種情況：如圖2，當(dāng)時(shí)，∴，∴，解得：，（舍去），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵，，∴點(diǎn)D向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，向上移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)E，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；如圖3，當(dāng)時(shí)，∴，∴，解得：，（舍去），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵，，∴點(diǎn)D向左移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，向下移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)E，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；如圖4，當(dāng)時(shí)，∴，∴，解得：，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)，∴點(diǎn)C向右移動(dòng)2.5個(gè)單位長(zhǎng)度，向下移動(dòng)2.5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)E，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；綜上，存在點(diǎn)E，以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩直線平行的位置關(guān)系，菱形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，解一元二次方程，勾股定理和平移的性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟練掌握分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．29．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以，的速度從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，沿規(guī)定路線移動(dòng)．

(1)若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q隨點(diǎn)P的停止而停止移動(dòng)，問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間P，Q兩點(diǎn)之間的距離是？(2)若點(diǎn)P沿著移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D停止時(shí)，點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動(dòng)，試探求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間的面積為？【答案】(1)或；(2)4秒或6秒．【分析】（1）過點(diǎn)P作于E，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可求得；（2）根據(jù)點(diǎn)P的三個(gè)位置進(jìn)行分類討論，表示出的底和高，代入面積公式即可求得；【詳解】（1）解：過點(diǎn)P作于E，設(shè)x秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是．，∴，；∴經(jīng)過或，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是；（2）解：連接．設(shè)經(jīng)過后△PBQ的面積為．①當(dāng)時(shí)，，∴，即，解得；②當(dāng)時(shí)，，則，解得（舍去）；③時(shí)，，則，解得（舍去）．綜上所述，經(jīng)過4秒或6秒，的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：勾股定理求長(zhǎng)度，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，分類討論是本題的解題關(guān)鍵．30．（2023秋·貴州安順·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．當(dāng)其中一點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)P，Q兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為，求：(1)當(dāng)x為何值時(shí)，為等腰三角形；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，的面積為；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，為等腰三角形．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，是等腰三角形(2)x為1或5時(shí)，的面積為(3)x為或時(shí)，是等腰三角形【分析】（1）由題意得，得，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，，得出方程，解方程即可；（2）由三角形面積公式列出一元二次方程，解方程即可；（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②當(dāng)時(shí)，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，根據(jù)題意得：，∴，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，，∴，解得：，即當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；（2）解：由題意得：，整理得：，解得：，答：當(dāng)x為1或5時(shí)，的面積為；（3）解：根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖1所示：在和中，由勾股定理得：，，∴，解得：或（不合題意舍去），∴；②當(dāng)時(shí)，如圖2所示：在和中，，，∴，解得：或（不合題意舍去），∴．綜上所述，當(dāng)x為或時(shí)，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形面積公式、一元二次方程的解法、勾股定理、分類討論等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．31．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）已知正方形，為上動(dòng)點(diǎn)，，于，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，；(2)如圖2，，求；(3)如圖3，若，直線寫出的值______．【答案】(1)4(2)(3)【分析】（1）設(shè)AM=a，則AD=AB=2a，利用勾股定理求出BM的長(zhǎng)，利用三角形面積法求出AE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出ME的長(zhǎng)，即可求出BE的長(zhǎng)，由此即可得到答案；（2）如圖所示，連接BD，設(shè)AD=5b，則AM=2b，同（1）求出，，得到，設(shè)，則，求出，證明即可得到答案；（3）同（2）求解即可．【詳解】（1）解：由題意得AD=2AM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，設(shè)AM=a，則AD=AB=2a，∴，∵AE⊥BM，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，連接BD，由題意得，∴，∴設(shè)AD=5b，則AM=2b，∴，同理可得：，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：連接BD，設(shè)AM=c，則，，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵∴，同（2）可得，∴，∴，解得（負(fù)值已舍去），經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積，解一元二次方程等等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．32．（2023春·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線的方向以每秒的速度運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)返回，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段上以每秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t（秒）．(1)求、的代數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形；(3)當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足要求的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，或(2)當(dāng)或秒時(shí)，四邊形是平行四邊形(3)存在這樣的P,使是等腰三角形,當(dāng)秒或秒時(shí)，是等腰三角形【分析】（1）根據(jù)題意，寫出代數(shù)表達(dá)式即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，分當(dāng)P從B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，當(dāng)P從C運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，兩種情況進(jìn)行求解即可；（3）分、、三種情況討論求出t值即可；【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，當(dāng)點(diǎn)P未到點(diǎn)C時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C返回時(shí)，；（2）∵四邊形是平行四邊形，，當(dāng)P從B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，，，，解得：，當(dāng)P從C運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，，，，解得：，∴當(dāng)或秒時(shí)，四邊形是平行四邊形；（3）當(dāng)時(shí)，作于H，則，，，，（秒）；當(dāng)時(shí)，，，，，解得（秒）；當(dāng)時(shí)，，，，即，，∴方程無實(shí)根，綜上可知，當(dāng)秒或秒時(shí)，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問題，一元二次方程的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．33．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)即停止）；點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD?DA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也即停止），設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)并運(yùn)動(dòng)了t秒．(1)求梯形ABCD的高和∠A的度數(shù)；(2)當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，求t的值；(3)試問是否存在這樣的t的值，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)梯形ABCD的高為cm，∠A=60°(2)(3)存在為時(shí)，使四邊形的面積是梯形面積的一半【分析】（1）過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，證Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），得AE=BF=3（cm），再證∠ADE=30°，則∠A=60°，然后由勾股定理求出DE即可；（2）過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，四邊形APQD是直角梯形，則四邊形DEPQ為矩形，得DQ=EP=2-t，再由AP=AE+EP，得2t=3+2-t，即可求解；（3）求出S梯形ABCD=15（cm2），分兩種情況：①若點(diǎn)Q在CD上，即0≤t≤2；②若點(diǎn)Q在AD上，即2＜t≤4；分別由面積關(guān)系得出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，如圖1所示：∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，AB∥CD，∴DE⊥CD，CF⊥CD，∴∠DEF=∠CFE=∠CDE=90°，∴四邊形CDEF是矩形，∴DE=CF，DC=EF=2cm，在Rt△ADE和Rt△BCF中，，∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），∴AE=BF，∴AE=BF=（AB-EF）=×（8-2）=3（cm），∵AD=6cm，∴AE=AD，∴∠ADE=30°，∴∠A=60°，DE=（cm），∴梯形ABCD的高為cm；（2）解：過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，如圖2所示：同（1）得：四邊形CDEF是矩形，當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，四邊形APQD是直角梯形，則四邊形DEPQ為矩形，∵CQ=t，∴DQ=EP=2-t，∵AP=AE+EP，∴2t=3+2-t，解得：t=；（3）解：存在這樣的t的值，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半，理由如下：∵S梯形ABCD=（8+2）×3=15（cm2），當(dāng)S四邊形PBCQ=S梯形ABCD時(shí)，①若點(diǎn)Q在CD上，即0≤t≤2，如圖3所示：則CQ=t，BP=8-2t，S四邊形PBCQ=（t+8-2t）×3=，解得：t=3（不合題意舍去）；②若點(diǎn)Q在AD上，即2＜t≤4，過點(diǎn)Q作HG⊥AB于G，交CD的延長(zhǎng)線于H，如圖4所示：則AQ=AD+DC-t=6+2-t=8-t，在Rt△AGQ中，∠A=60°，∴∠AQG=90°-60°=30°，∴AG=AQ，∴QG=，同理：QH=DQ=（8-8+t-2）=（t-2），∵S四邊形PBCQ=S梯形ABCD，∴S△APQ+S△CDQ=S四邊形PBCQ，∴×2t×（8-t）+×2×（t-2）=，整理得：t2-9t+17=0，解得：t1=（不合題意舍去），t2=，綜上所述，存在t為s時(shí)，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了等腰梯形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的判定、勾股定理、一元二次方程等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)和勾股定理，證明Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．34．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計(jì)劃在元宵節(jié)前用21天的時(shí)間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時(shí)加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？(2)為保證手工湯圓的最佳風(fēng)味，湯圓店計(jì)劃把達(dá)21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每袋手工湯圓的成本為13元，售價(jià)為25元時(shí)每天可售出225袋，售價(jià)每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價(jià)25元銷售2天后，余下8天進(jìn)行降價(jià)促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價(jià)格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】(1)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓(2)促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)3元【分析】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，利用這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套做等量關(guān)系列出方程即可；（2）設(shè)促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)元，利用最終獲利40500元做等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，依題意得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，答：總共生產(chǎn)了袋手工湯圓（2）設(shè)促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)元，當(dāng)剛好10天全部賣完時(shí)，依題意得，整理得：，∴方程無解∴10天不能全部賣完∴第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價(jià)格全部賣給古城小吃店的利潤(rùn)為∴依題意得，解得∵要促銷∴即促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)3元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程，需要注意分情況討論．35．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）2022年某地桑葚節(jié)于4月5日到4