安徽省蚌埠市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGEPAGE17安徽省蚌埠市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、選擇題（共12小題）.1．已知實(shí)數(shù)a，b滿意a＜b，則下列不等式肯定成立的是（）A．＞ B．a(chǎn)2＜b2 C．a(chǎn)c＜bc D．a(chǎn)﹣c＜b﹣c2．求值：cos75°cos45°﹣sin75°sin45°＝（）A． B． C．﹣ D．﹣3．某校高一年級共有800名學(xué)生，隨機(jī)編號為001，002，003，……，800，現(xiàn)擬對他們高二文理分科的意向進(jìn)行調(diào)查，抽取編號尾數(shù)為3的80名學(xué)生作為樣本．這種抽樣方法是（）A．分層抽樣 B．系統(tǒng)抽樣 C．隨機(jī)數(shù)法 D．抽簽法4．七巧板是古代中國勞動人民的獨(dú)創(chuàng)，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì)，到了明代基本定型，明、清兩代在中國民間廣泛流傳．如圖，在七巧板拼成的正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．5．甲、乙兩名籃球運(yùn)動員在8場競賽中的單場得分用莖葉圖表示（如圖一），莖葉圖中甲的得分有部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但甲得分的折線圖（如圖二）完好，則下列結(jié)論正確的是（）A．甲得分的極差是11 B．乙得分的中位數(shù)是18.5 C．甲有3場競賽的單場得分超過20 D．甲的單場平均得分比乙高6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊長分別為a，b，c，假如acosB＝bcosA，那么△ABC肯定是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果是（）A．4 B．7 C．10 D．138．設(shè)x，y滿意約束條件，則z＝2x+y的最大值是（）A．10 B．5 C．4 D．29．某工廠的每月各項(xiàng)開支x與毛利潤y（單位：萬元）之間有如表關(guān)系，y與x的線性回來方程，則a＝（）x24568y3040605070A．17.5 B．17 C．15 D．15.510．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若＝，則＝（）A． B． C． D．11．從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，記“3件產(chǎn)品都是次品”為事務(wù)A．“3件產(chǎn)品都不是次品”為事務(wù)B，“3件產(chǎn)品不都是次品”為事務(wù)C，則下列說法正確的是（）A．隨意兩個事務(wù)均互斥 B．隨意兩個事務(wù)均不互斥 C．事務(wù)A與事務(wù)C對立 D．事務(wù)A與事務(wù)B對立12．已知x+1＞y＞0，則x++的最小值為（）A．﹣1 B． C．2﹣1 D．3﹣1二、填空題（共4小題）.13．在等比數(shù)列{an}中，a2＝4，a5＝，則公比q＝．14．已知tanα＝2，則cos2α+sin2α＝．15．不等式＞0的解集為．16．△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c．若a，b，c成等差數(shù)列，則+的最小值為．三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知＜β＜α＜，cos（α﹣β）＝，sin（α+β）＝﹣．（1）求sin（α﹣β）和cos（α+β）；（2）求角α．18．已知袋中裝有5個小球，其中3個黑球記為A，B，C，2個紅球記為a，b，現(xiàn)從中隨機(jī)摸出兩個球．（1）寫出全部的基本領(lǐng)件；（2）求兩個球中恰有一個黑球的概率；（3）求兩個球中至少有一個黑球的概率．19．已知函數(shù)f（x）＝x2﹣（a+b）x+a．（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜2}，求a，b的值；（2）當(dāng)b＝1時，解關(guān)于x的不等式f（x）＞0．20．如圖，在平面四邊形ABCD中，若∠ADC＝90°，sinA＝，AB＝8，BD＝6．（1）求∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．21．某校為了解高一年級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展?fàn)顩r，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，列出他們的高一其次學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成果的頻率分布直方圖如圖，其中成果的分組區(qū)間為：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求圖中a的值；（2）利用樣本估計(jì)總體的方法，估計(jì)該校高一年級此次期中考試的平均分（同一分組的成果用該組區(qū)間的中點(diǎn)值做代表）；（3）若將分?jǐn)?shù)從高分到低分排列，取前20%的同學(xué)評定為“優(yōu)秀”檔次，用樣本估計(jì)總體的方法，估計(jì)本次期中考試“優(yōu)秀”檔次的分?jǐn)?shù)線．22．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿意an2+an﹣2Sn＝0（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若bn＝（2an﹣7）?2n，求Tn；（3）求數(shù)列{Tn}的最小項(xiàng)．

參考答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的A.B，C，D的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案的字母代號涂到答題卡上.1．已知實(shí)數(shù)a，b滿意a＜b，則下列不等式肯定成立的是（）A．＞ B．a(chǎn)2＜b2 C．a(chǎn)c＜bc D．a(chǎn)﹣c＜b﹣c【分析】依據(jù)條件，取a＝﹣1，b＝0，c＝0，則可解除錯誤選項(xiàng)．解：由實(shí)數(shù)a，b滿意a＜b，取a＝﹣1，b＝0，c＝0，則ABC不成立．故選：D．2．求值：cos75°cos45°﹣sin75°sin45°＝（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】逆用兩角和的余弦公式，即可求解．解：cos75°cos45°﹣sin75°sin45°＝cos（75°+45°）＝cos120°＝﹣cos60°＝﹣．故選：C．3．某校高一年級共有800名學(xué)生，隨機(jī)編號為001，002，003，……，800，現(xiàn)擬對他們高二文理分科的意向進(jìn)行調(diào)查，抽取編號尾數(shù)為3的80名學(xué)生作為樣本．這種抽樣方法是（）A．分層抽樣 B．系統(tǒng)抽樣 C．隨機(jī)數(shù)法 D．抽簽法【分析】依據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義可得到結(jié)論．解：高一年級共有800名學(xué)生，隨機(jī)編號為001，002，003，……，800，抽取編號尾數(shù)為3的80名學(xué)生作為樣本．則分成80組，間距10，每組10人，抽取編號尾數(shù)為3的學(xué)生即003，013，023，033，043……，依據(jù)間距抽取滿意系統(tǒng)抽樣的定義，故選：B．4．七巧板是古代中國勞動人民的獨(dú)創(chuàng)，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì)，到了明代基本定型，明、清兩代在中國民間廣泛流傳．如圖，在七巧板拼成的正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．【分析】依據(jù)幾何概型的概率公式求出對應(yīng)區(qū)域的面積，即可得到結(jié)論．解：設(shè)正方形的邊長為2，則陰影部分由2個小等腰直角三角形構(gòu)成，則正方形的對角線長為2，則等腰直角三角形的邊長為＝，對應(yīng)每個小等腰三角形的面積S＝××＝．則陰影部分的面積為2×＝，又正方形的面積為4，∴該點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率是＝．故選：A．5．甲、乙兩名籃球運(yùn)動員在8場競賽中的單場得分用莖葉圖表示（如圖一），莖葉圖中甲的得分有部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但甲得分的折線圖（如圖二）完好，則下列結(jié)論正確的是（）A．甲得分的極差是11 B．乙得分的中位數(shù)是18.5 C．甲有3場競賽的單場得分超過20 D．甲的單場平均得分比乙高【分析】依據(jù)莖葉圖，折線圖整合數(shù)據(jù)，推斷選項(xiàng)．解：甲的極差為28﹣9＝19，故A選項(xiàng)不符合題意．乙的中位數(shù)為＝16.5，故選項(xiàng)B不符合題意．甲得分的折線圖可知甲運(yùn)動員得分有2次超過20，故選項(xiàng)C不符合題意．故選：D．6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊長分別為a，b，c，假如acosB＝bcosA，那么△ABC肯定是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形【分析】依據(jù)圖形得，在直角△ACD和直角△BCD中，兩次利用正弦定理得到bsinA＝asinB，又因?yàn)閎cosA＝acosB，所以得到tanA＝tanB，而∠A和∠B為銳角，所以∠A＝∠B，所以三角形為等腰三角形．【解答】解法1：過C作CD⊥AB，垂足為D，在直角△ACD中，依據(jù)正弦定理得：＝，解得CD＝bsinA，在直角△BCD中，依據(jù)正弦定理得：＝，解得CD＝asinB，所以bsinA＝asinB，又因?yàn)閎cosA＝acosB兩個等式聯(lián)立得：tanA＝tanB，而∠A和∠B為銳角，所以∠A＝∠B，所以三角形為等腰三角形；解法2：∵acosB＝bcosA，∴＝，又依據(jù)正弦定理＝，∴＝，即sinBcosA﹣sinAcosB＝0，∴sin（B﹣A）＝0，又A和B都為三角形的內(nèi)角，∴A＝B，即三角形為等腰三角形．故選：D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果是（）A．4 B．7 C．10 D．13【分析】執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的x的值，滿意條件x≤9，退出循環(huán)，輸出x的值為10．解：初始x＝1，執(zhí)行程序框圖，第一次循環(huán)得到x＝x+3＝1+3＝4其次次循環(huán)得到x＝x+3＝4+3＝7第三次循環(huán)得到x＝x+3＝7+3＝1010≤9不成立，故輸出結(jié)果為10，故選：C．8．設(shè)x，y滿意約束條件，則z＝2x+y的最大值是（）A．10 B．5 C．4 D．2【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（3，4），化為z＝2x+y為y＝﹣2x+z，由圖可知，當(dāng)直線y＝﹣2x+z過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為2×3+4＝10．故選：A．9．某工廠的每月各項(xiàng)開支x與毛利潤y（單位：萬元）之間有如表關(guān)系，y與x的線性回來方程，則a＝（）x24568y3040605070A．17.5 B．17 C．15 D．15.5【分析】求出對稱中心，代入回來直線方程，得到a，即可．解：，＝50．因?yàn)閥與x的線性回來方程為，代入（5，50），得a＝17.5．故選：A．10．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若＝，則＝（）A． B． C． D．【分析】依據(jù)題意，分析可得，又由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)可得＝；即可得答案．解：依據(jù)題意，等差數(shù)列{an}和{bn}中，若＝，則有＝＝，又由＝＝＝＝；故＝；故選：B．11．從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，記“3件產(chǎn)品都是次品”為事務(wù)A．“3件產(chǎn)品都不是次品”為事務(wù)B，“3件產(chǎn)品不都是次品”為事務(wù)C，則下列說法正確的是（）A．隨意兩個事務(wù)均互斥 B．隨意兩個事務(wù)均不互斥 C．事務(wù)A與事務(wù)C對立 D．事務(wù)A與事務(wù)B對立【分析】利用互斥事務(wù)、對立事務(wù)的定義干脆求解．解：從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，記“3件產(chǎn)品都是次品”為事務(wù)A．“3件產(chǎn)品都不是次品”為事務(wù)B，“3件產(chǎn)品不都是次品”為事務(wù)C，對于A，事務(wù)B和事務(wù)C能同時發(fā)生，不是互斥事務(wù)，故A錯誤；對于B，事務(wù)A和事務(wù)C不能同時發(fā)生，是互斥事務(wù)，故B錯誤；對于C，事務(wù)A和事務(wù)C不能同時發(fā)生，也不能同時不發(fā)生，是對立事務(wù)，故C正確；對于D，事務(wù)A與事務(wù)B事務(wù)A和事務(wù)C不能同時發(fā)生，能同時不發(fā)生，是互斥但不對立事務(wù)，故D錯誤．故選：C．12．已知x+1＞y＞0，則x++的最小值為（）A．﹣1 B． C．2﹣1 D．3﹣1【分析】依據(jù)題意，可得x++＝（+）+（+）﹣1，然后基本不等式求出（+）和（+）的最小值即可．解：依據(jù)題意，x++＝+++﹣1＝（+）+（+）﹣1，又x+1＞y＞0，則+≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x+y+1＝2時等號成立，+≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)x﹣y+1＝時等號成立，故x++＝（+）+（+）﹣1≥3﹣1，當(dāng)且僅當(dāng)x+1＝，y＝時等號成立．故選：D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案干脆填在答題卡上．13．在等比數(shù)列{an}中，a2＝4，a5＝，則公比q＝．【分析】依據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解．解：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知，a5＝a2?q5﹣2，即，所以q＝．故答案為：．14．已知tanα＝2，則cos2α+sin2α＝1．【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，求得要求式子的值．解：∵tanα＝2，∴cos2α+sin2α＝＝＝＝1．故答案為：1．15．不等式＞0的解集為（﹣1，2）∪（3，+∞）．【分析】先把分式不等式轉(zhuǎn)化為高次不等式，從而可求．解：由＞0可得（x﹣2）（x﹣3）（x+1）＞0，解可得，﹣1＜x＜2或x＞3．故答案為：（﹣1，2）∪（3，+∞）16．△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c．若a，b，c成等差數(shù)列，則+的最小值為．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a+c＝2b，則sinA+sinC＝2sinB＝2sin（A+C），利用和差化積與倍角公式變形，求得．再利用二倍角正切變形，通分后整理，利用基本不等式求+的最小值．解：a，b，c成等差數(shù)列，∴a+c＝2b．則sinA+sinC＝2sinB＝2sin（A+C），∴，∵0＜A+C＜π，∴0＜＜，則sin，即＝2cos，∴coscos+sinsin＝2coscos﹣2sin．即．+＝＝＝＝＝＝．當(dāng)且僅當(dāng)＝時，上式等號成立．∴+的最小值為．故答案為：．三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知＜β＜α＜，cos（α﹣β）＝，sin（α+β）＝﹣．（1）求sin（α﹣β）和cos（α+β）；（2）求角α．【分析】（1）依據(jù)角的范圍，利用平方關(guān)系求出sin（α﹣β）和cos（α+β）；（2）可以將2α看成（α+β）+（α﹣β），利用兩角和的正弦公式，求出sin2α，然后依據(jù)角的范圍，求出α．解：（1）由＜β＜α＜得，sin（α﹣β）＜0，又cos（α﹣β）＝，∴．又，cos（α+β）＜0，又因?yàn)閟in（α+β）＝﹣，∴．（2）sin2α＝sin[（α+β）+（α﹣β）]＝sin（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β）sin（α﹣β）＝．∵，∴，∴．18．已知袋中裝有5個小球，其中3個黑球記為A，B，C，2個紅球記為a，b，現(xiàn)從中隨機(jī)摸出兩個球．（1）寫出全部的基本領(lǐng)件；（2）求兩個球中恰有一個黑球的概率；（3）求兩個球中至少有一個黑球的概率．【分析】（1）袋中裝有5個小球，其中3個黑球記為A，B，C，2個紅球記為a，b，利用列舉法能求出全部的基本領(lǐng)件．（2）記“兩個球中恰有一個黑球”為事務(wù)M，利用列舉法求出事務(wù)M包含的基本領(lǐng)件有6個，由此能求出兩個球中恰有一個黑球的概率．（3）設(shè)“兩個球中至少有一個黑球”為事務(wù)N，則事務(wù)N的對立事務(wù)為“兩個球中沒有黑球”，利用列舉法求出事務(wù)包含的基本領(lǐng)件只有1個，由此能求出兩個球中至少有一個黑球的概率．解：（1）袋中裝有5個小球，其中3個黑球記為A，B，C，2個紅球記為a，b，現(xiàn)從中隨機(jī)摸出兩個球．以有序?qū)崝?shù)對表示摸球的結(jié)果，全部的基本領(lǐng)件有10個，分別為：（A，B），（A，C），（A，a），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）．（2）記“兩個球中恰有一個黑球”為事務(wù)M，則事務(wù)M包含的基本領(lǐng)件有6個，分別為：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），∴兩個球中恰有一個黑球的概率P（M）＝＝．（3）設(shè)“兩個球中至少有一個黑球”為事務(wù)N，則事務(wù)N的對立事務(wù)為“兩個球中沒有黑球”，事務(wù)包含的基本領(lǐng)件有：（a，b），只有1個，∴兩個球中至少有一個黑球的概率P（N）＝1﹣P（）＝1﹣＝．19．已知函數(shù)f（x）＝x2﹣（a+b）x+a．（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜2}，求a，b的值；（2）當(dāng)b＝1時，解關(guān)于x的不等式f（x）＞0．【分析】（1）由題意可得，1，2是x2﹣（a+b）x+a＝0的兩根，然后結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求；（2）當(dāng)b＝1時由已知可得（x﹣a）（x﹣1）＞0，然后對a與1的大小進(jìn)行探討即可求解．解：（1）由題意可得，1，2是x2﹣（a+b）x+a＝0的兩根，所以，所以a＝2，b＝1，（2）當(dāng)b＝1時，f（x）＝x2﹣（a+1）x+a＞0可得（x﹣a）（x﹣1）＞0，當(dāng)a＜1時，解可得x＜a或x＞1，當(dāng)a＝1時，解可得，x≠1，當(dāng)a＞1時，解可得x＜1或x＞a綜上可得，當(dāng)a＜1時，{x|x＜a或x＞1}，當(dāng)a＝1時，{x|x≠1}，當(dāng)a＞1時，{x|x＜1或x＞a}20．如圖，在平面四邊形ABCD中，若∠ADC＝90°，sinA＝，AB＝8，BD＝6．（1）求∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【分析】（1）在△ABD中，運(yùn)用正弦定理，計(jì)算可得所求角；（2）在△BCD中，運(yùn)用余弦定理計(jì)算可得所求值．解：（1）在△ABD中，sinA＝，AB＝8，BD＝6，可得＝，即有sin∠ADB＝＝＝，可得銳角ADB為60°；（2）在△BCD中，BD＝6，CD＝2，∠CDB＝90°﹣60°＝30°，可得BC2＝DB2+DC2﹣2DC?DBcos∠CDB＝36+12﹣2?2?6?＝12，可得BC＝2．21．某校為了解高一年級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展?fàn)顩r，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，列出他們的高一其次學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)成果的頻率分布直方圖如圖，其中成果的分組區(qū)間為：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[9