湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)2023屆高三下學(xué)期月考(七)數(shù)學(xué)試題含答案

第1頁(yè)/共1頁(yè)長(zhǎng)郡中學(xué)2023屆高三月考試卷（七）數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A.A=B B. C. D.2.設(shè)、，若（為虛數(shù)單位）是一元二次方程一個(gè)虛根，則（）A.， B.，C.， D.，3.圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.4.如圖，用4種不同的顏色，對(duì)四邊形中的四個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法有（）A.72 B.56 C.48 D.365.已知數(shù)列滿足：.則的前60項(xiàng)的和為（）A.1240 B.1830 C.2520 D.27606.已知，函數(shù)，存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則可能的值為（）A. B. C. D.7.已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，若的離心率為，則的值為（）A.3 B. C.2 D.8.若，，，，則a，b，c，d中最大的是（）A.a B.b C.c D.d二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中，真命題有（）A.數(shù)據(jù)6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位數(shù)是8.5B.若隨機(jī)變量，則C.若事件A，B滿足且，則A與B獨(dú)立D若隨機(jī)變量，則10.已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（）A.在區(qū)間單調(diào)遞減B.在區(qū)間只有一個(gè)極值點(diǎn)C.直線是曲線的對(duì)稱軸D.直線是曲線的切線11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（）A.直線的斜率為 B.C. D.12.如圖，在棱長(zhǎng)為1正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，則下列說(shuō)法中正確的是()A.若平面，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段B.存在Q點(diǎn)，使得平面C.當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大D.若，那么Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為________．14.若，則__________，_________．15.已知是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，以為直徑作圓N，直線與圓N交于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q不在橢圓內(nèi)部），則___________.16.在數(shù)列中給定，且函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，函數(shù)且.則______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.17.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若，求的周長(zhǎng)．18.設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19.如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)面積最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．20.浙江省東魁楊梅是現(xiàn)在世界上最大果形楊梅，有“乒乓楊梅”、“楊梅之皇”的美譽(yù).東魁楊梅始于浙江黃巖區(qū)江口街道東岙村一棵樹齡約120多年的野楊梅樹，經(jīng)過東岙村和白龍岙村村民不斷改良，形成了今天東魁楊梅的品種.栽培東魁楊梅一舉多得，對(duì)開發(fā)山區(qū)資源，綠化荒山，保持水土，增加山區(qū)經(jīng)濟(jì)收入具有積極意義.根據(jù)多年的經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為東魁楊梅果實(shí)的果徑（單位：mm），但因氣候、施肥和技術(shù)的不同，每年的和都有些變化.現(xiàn)某農(nóng)場(chǎng)為了了解今年的果實(shí)情況，從摘下的楊梅果實(shí)中隨機(jī)取出1000顆，并測(cè)量這1000顆果實(shí)的果徑，得到如下頻率分布直方圖.（1）用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)近似代替，標(biāo)準(zhǔn)差s近似代替，已知.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，把果徑與的差的絕對(duì)值在內(nèi)的果實(shí)稱為“標(biāo)準(zhǔn)果”.現(xiàn)從農(nóng)場(chǎng)中摘取20顆果，請(qǐng)問這20顆果恰好有一顆不是“標(biāo)準(zhǔn)果”的概率；（結(jié)果精確到0.01）（2）隨著直播帶貨的發(fā)展，該農(nóng)場(chǎng)也及時(shí)跟進(jìn).網(wǎng)絡(luò)銷售在大大提升銷量的同時(shí)，也增加了壞果賠付的成本.現(xiàn)該農(nóng)場(chǎng)有一款“”的主打產(chǎn)品，該產(chǎn)品按盒銷售，每盒20顆，售價(jià)80元，客戶在收到貨時(shí)如果有壞果，每一個(gè)壞果該農(nóng)場(chǎng)要賠付4元.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，知若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個(gè)數(shù)滿足，若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個(gè)數(shù)滿足，（為常數(shù)），請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析，選擇哪款包裝盒可以獲得更大利潤(rùn)?參考數(shù)據(jù)：；；；；；.21.已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．（1）求；（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．22.已知，函數(shù)，記為的從小到大的第個(gè)極值點(diǎn)，證明：（1）數(shù)列是等比數(shù)列（2）若，則對(duì)一切，恒成立.長(zhǎng)郡中學(xué)2023屆高三月考試卷（七）數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A.A=B B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，再判斷各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).【詳解】因?yàn)?，，所以且，所以A錯(cuò)，B錯(cuò)，，C錯(cuò)，，D對(duì)，故選：D.2.設(shè)、，若（為虛數(shù)單位）是一元二次方程的一個(gè)虛根，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】分析可知實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根分別為、，利用韋達(dá)定理可求得、的值，即可得解.【詳解】因?yàn)槭菍?shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，則該方程的另一個(gè)虛根為，由韋達(dá)定理可得，所以.故選：C.3.圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得圓臺(tái)的高，然后根據(jù)圓臺(tái)的體積公式求得正確答案.【詳解】求得直徑為，半徑為，圓臺(tái)的下底面半徑為，所以圓臺(tái)的高為，所以圓臺(tái)的體積為.故選：A4.如圖，用4種不同的顏色，對(duì)四邊形中的四個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法有（）A.72 B.56 C.48 D.36【答案】C【解析】【分析】先給四個(gè)區(qū)域標(biāo)記，然后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解出著色的方法數(shù).【詳解】將四個(gè)區(qū)域標(biāo)記為，如下圖所示：第一步涂：種涂法，第二步涂：種涂法，第三步涂：種涂法，第四步涂：種涂法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，一共有種著色方法，故選：.5.已知數(shù)列滿足：.則的前60項(xiàng)的和為（）A1240 B.1830 C.2520 D.2760【答案】D【解析】【分析】由遞推關(guān)系可得：從第一項(xiàng)開始，依次取2個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于3；從第二項(xiàng)開始，依次取2個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以13為首項(xiàng)，以24為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求解.【詳解】由，故，，，，….故，，，….從第一項(xiàng)開始，依次取2個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于3；，，，….從第二項(xiàng)開始，依次取2個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以13為首項(xiàng)，以24為公差的等差數(shù)列.故.故選：D6.已知，函數(shù)，存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則可能的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】解：由函數(shù)，存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故，所以，當(dāng)時(shí)，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，若的離心率為，則的值為（）A.3 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即,解得或,又因?yàn)?即.故選：A8.若，，，，則a，b，c，d中最大的是（）A.a B.b C.c D.d【答案】C【解析】【分析】先將，，，變換為：，，，，得到，構(gòu)造函數(shù)，，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和作差法得到，，從而得出，，，中最大值.【詳解】因?yàn)?，，，，所以；，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以，即；，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以，即；綜上：，，即，，，中最大的是.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中，真命題有（）A.數(shù)據(jù)6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位數(shù)是8.5B.若隨機(jī)變量，則C.若事件A，B滿足且，則A與B獨(dú)立D.若隨機(jī)變量，則【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算并判斷A，由二項(xiàng)分布的方差公式判斷B，再根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式判斷C，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性判斷D.【詳解】對(duì)于A，對(duì)數(shù)據(jù)排序得到1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，由，所以70%分位數(shù)是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由知，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，又，即，所以，故A與B獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D，由題設(shè)，對(duì)應(yīng)正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，所以，故D正確.故選：CD10.已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（）A.在區(qū)間單調(diào)遞減B.在區(qū)間只有一個(gè)極值點(diǎn)C.直線是曲線的對(duì)稱軸D.直線是曲線的切線【答案】ABD【解析】【分析】先利用函數(shù)的零點(diǎn)解出，再根據(jù)整體代換思想結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷ABC，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題意得，所以，，即，，又，所以時(shí)，，故，選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象可得在上單調(diào)遞減，正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象可得只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)，正確；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，，故直線不是對(duì)稱軸，錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由得，所以或，，解得或，，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為即，正確；故選：ABD11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（）A.直線的斜率為 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對(duì)于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由拋物線定義知：，C正確；對(duì)于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，則下列說(shuō)法中正確的是()A.若平面，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段B.存在Q點(diǎn)，使得平面C.當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大D.若，那么Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】【分析】A：取、中點(diǎn)，連接、、PF，證明平面∥平面，則點(diǎn)的軌跡為線段；B：以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量，根據(jù)求出x、z即可判斷；C：的面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)狡矫娴木嚯x最大時(shí)，三棱錐的體積最大；D：可求為定值，即可判斷Q的軌跡，從而求其長(zhǎng)度.【詳解】取、中點(diǎn)，連接、、PF，由PF∥∥且PF＝知是平行四邊形，∴∥，∵平面，平面，∥平面，同理可得EF∥平面，∵EF∩＝F，∴平面∥平面，則點(diǎn)的軌跡為線段，A選項(xiàng)正確；如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即得取，則.若平面，則∥，即存在，使得，則，解得，故不存在點(diǎn)使得平面，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；的面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)狡矫娴木嚯xd最大時(shí)，三棱錐的體積最大.，，，則當(dāng)時(shí)，d有最大值1；②，，則當(dāng)時(shí)，d有最大值；綜上，當(dāng)，即和重合時(shí)，三棱錐的體積最大，C選項(xiàng)正確；平面，，，，Q點(diǎn)的軌跡是半徑為，圓心角為的圓弧，軌跡長(zhǎng)度為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題綜合考察空間里面的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用，需熟練運(yùn)用線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)，需掌握運(yùn)用空間直角坐標(biāo)系和空間向量來(lái)解決垂直問題，掌握利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離，利用幾何關(guān)系判斷空間里面的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，考察知識(shí)點(diǎn)較多，計(jì)算量較大，屬于難題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為________．【答案】【解析】【分析】先寫出的展開式的通項(xiàng)，然后利用前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列來(lái)列方程求得，再令通項(xiàng)中的的次數(shù)為1可求得，進(jìn)而可求出展開式中含x項(xiàng)的系數(shù).【詳解】的展開式通項(xiàng)為，根據(jù)前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列得，解得或（舍去）令，得，展開式中含x項(xiàng)的系數(shù).故答案為：.14.若，則__________，_________．【答案】①.②.【解析】【分析】先通過誘導(dǎo)公式變形，得到的同角等式關(guān)系，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來(lái)再求．【詳解】[方法一]：利用輔助角公式處理∵，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則.故答案為：；.[方法二]：直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程∵，∴，即，又，將代入得，解得，則.故答案為：；.15.已知是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，以為直徑作圓N，直線與圓N交于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q不在橢圓內(nèi)部），則___________.【答案】【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，利用，進(jìn)一步利用橢圓的定義可轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得解.【詳解】連接,設(shè)橢圓的基本量為，,故答案為：3.16.在數(shù)列中給定，且函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，函數(shù)且.則______.【答案】##0.25【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義和對(duì)稱性可得，利用輔助角公式對(duì)化簡(jiǎn)，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合夾逼原理即可求解.【詳解】因?yàn)橛形ㄒ坏牧泓c(diǎn)，為偶函數(shù)，所以，即，，所以數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，又因?yàn)?，令，則為奇函數(shù)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，由題意得，因?yàn)閿?shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其中，則，假設(shè)，，因?yàn)樗?，假設(shè)，同理可得，綜上，，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.17.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）14【解析】【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.【小問1詳解】證明：因?yàn)椋?，所以，即，所以；【小?詳解】解：因?yàn)?，由?）得，

由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長(zhǎng)為.18.設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合等差中項(xiàng)關(guān)系，建立公比的方程，求解即可得出結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合條件得出的通項(xiàng)，根據(jù)的通項(xiàng)公式特征，用錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明過程見解析（2）與平面所成的角的正弦值為【解析】【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)椋珽為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【小問2詳解】連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋允堑冗吶切危驗(yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.20.浙江省東魁楊梅是現(xiàn)在世界上最大果形的楊梅，有“乒乓楊梅”、“楊梅之皇”的美譽(yù).東魁楊梅始于浙江黃巖區(qū)江口街道東岙村一棵樹齡約120多年的野楊梅樹，經(jīng)過東岙村和白龍岙村村民不斷改良，形成了今天東魁楊梅的品種.栽培東魁楊梅一舉多得，對(duì)開發(fā)山區(qū)資源，綠化荒山，保持水土，增加山區(qū)經(jīng)濟(jì)收入具有積極意義.根據(jù)多年的經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為東魁楊梅果實(shí)的果徑（單位：mm），但因氣候、施肥和技術(shù)的不同，每年的和都有些變化.現(xiàn)某農(nóng)場(chǎng)為了了解今年的果實(shí)情況，從摘下的楊梅果實(shí)中隨機(jī)取出1000顆，并測(cè)量這1000顆果實(shí)的果徑，得到如下頻率分布直方圖.（1）用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)近似代替，標(biāo)準(zhǔn)差s近似代替，已知.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，把果徑與的差的絕對(duì)值在內(nèi)的果實(shí)稱為“標(biāo)準(zhǔn)果”.現(xiàn)從農(nóng)場(chǎng)中摘取20顆果，請(qǐng)問這20顆果恰好有一顆不是“標(biāo)準(zhǔn)果”的概率；（結(jié)果精確到0.01）（2）隨著直播帶貨的發(fā)展，該農(nóng)場(chǎng)也及時(shí)跟進(jìn).網(wǎng)絡(luò)銷售在大大提升銷量的同時(shí)，也增加了壞果賠付的成本.現(xiàn)該農(nóng)場(chǎng)有一款“”的主打產(chǎn)品，該產(chǎn)品按盒銷售，每盒20顆，售價(jià)80元，客戶在收到貨時(shí)如果有壞果，每一個(gè)壞果該農(nóng)場(chǎng)要賠付4元.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，知若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個(gè)數(shù)滿足，若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個(gè)數(shù)滿足，（為常數(shù)），請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析，選擇哪款包裝盒可以獲得更大利潤(rùn)?參考數(shù)據(jù)：；；；；；.【答案】（1）0.38（2）當(dāng)時(shí)，采用兩種包裝利潤(rùn)一樣，當(dāng)時(shí)，采用B款包裝盒，當(dāng)時(shí)，采用A款包裝盒.【解析】【分析】（1）利用二項(xiàng)分布求出相應(yīng)概率；（2）分別求出采用A，B款包裝盒獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，通過比較大小，得到相應(yīng)結(jié)論.【小問1詳解】由題意得：，所以，，則，，所以，設(shè)從農(nóng)場(chǎng)中摘取20顆果，這20顆果恰好有一顆不是“標(biāo)準(zhǔn)果”為事件A，則【小問2詳解】由，解得：，所以，采用A款包裝盒獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，采用B款包裝盒獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，令，解得：a=，由于，令，解得：，令，解得：，故當(dāng)時(shí)，采用兩種包裝利潤(rùn)一樣，當(dāng)時(shí)，采用B款包裝盒，當(dāng)時(shí)，采用A款包裝盒.21.已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．（1）求；（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值；（2）設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、，進(jìn)一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.【詳解】（1）[方法一]：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值由題意知，，設(shè)圓M上的點(diǎn)，則．所以．從而有．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，．又，解之得，因此．[方法二]【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值拋物線焦點(diǎn)為，，所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；（2）[方法一]：切點(diǎn)弦方程+韋達(dá)定義判別式求弦長(zhǎng)求面積法拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點(diǎn)、、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)A、的坐標(biāo)滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.[方法二]【最優(yōu)解】：切點(diǎn)弦法+分割轉(zhuǎn)化求面積+三角換元求最值同方法一得到．過P作y軸的平行線交于Q，則．．P點(diǎn)在圓M上，則．故當(dāng)時(shí)的面積最大，最大值為．[方法三]：直接設(shè)直線AB方程法設(shè)切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，．設(shè)，聯(lián)立和拋物線C的方程得整理得．判別式，即，且．拋物線C的方程為，即，有．則，整理得，同理可得．聯(lián)立方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即．將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓M的方程，得，整理得．由弦長(zhǎng)公式得．點(diǎn)P到直線的距離為．所以，其中，即．當(dāng)時(shí)，．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用兩點(diǎn)間距離公式求得關(guān)于圓M上的點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到最小值，進(jìn)而求得的值；方法二，利用圓的性質(zhì)，與圓上點(diǎn)的距離的最小值，簡(jiǎn)潔明快，為最優(yōu)解；（2）方法一設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，由切點(diǎn)弦