2024-2025學年重慶市南開中學高三（上）第三次質(zhì)檢數(shù)學試卷（8月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年重慶市南開中學高三（上）第三次質(zhì)檢數(shù)學試卷（8月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知全集U=R，集合A={x|y=2x?x2},B={y|y=2x+1,x∈R}A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P(cosπ3,sinA.0 B.12 C.223.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，其圖像在點(1,f(1))處的切線方程為x?2y+1=0，記f(x)的導函數(shù)為f′(x)，則f′(?1)=(

)A.?12 B.12 C.?24.設(shè)函數(shù)f(x)=log2|x|?x?2，則不等式A.[?4,0] B.[?4,0)

C.[?4,?1)∪(?1,0] D.[?4,?1)∪(?1,0)5.已知函數(shù)f(x)=x2+2x+aln?x，若函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是A.a≥0 B.a<?4 C.a≥0或a≤?4 D.a>0或a<?46.設(shè)方程3x?|log3x|=1的兩根為x1A.0<x1<1，x2>3 B.x17.若a=0.001+sin0.001，b=ln1.001，c=A.b>c>a B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b8.已知可導函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x2?1)為奇函數(shù)，設(shè)g(x)是f(x)的導函數(shù)，若g(2x+1)為奇函數(shù)，且g(0)=12A.132 B.?132 C.11二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸方程為x=3，則函數(shù)f(x)的解析式可以是(

)A.f(x)=x+1x+3 B.f(x)=ex?3+e10.已知函數(shù)f(x)=(2sinx+2)(cosx+1)sinx+cosx+1，則(

)A.f(x)的值域為[?2,2]

B.f(x)是周期函數(shù)

C.f(x)在(π4+2kπ,π+2kπ),k∈Z11.已知函數(shù)y=f(x)在R上可導且f(0)=?2，其導函數(shù)f′(x)滿足：f′(x)?2f(x)e2x=2x?1，則下列結(jié)論正確的是A.函數(shù)f(x)有且僅有兩個零點

B.函數(shù)g(x)=f(x)+2e2有且僅有三個零點

C.當0≤x≤2時，不等式f(x)≥3e4(x?2)恒成立

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=lnx+(x?b)22在[1213.max{x1,x2,x314.已知函數(shù)f(x)=(x+1)ex,x≤0lnxx,x>0，函數(shù)g(x)=四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

求下列函數(shù)的導數(shù)．

(1)y=excosx?t2(t為常數(shù)16.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=axlnx?32x?12x+2．

(1)當a=1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)對?x∈[1,+∞)17.(本小題12分)

為落實《關(guān)于全面加強和改進新時代學校體育工作的意見》，完善學校體育“健康知識+基本運動技能+專項運動技能”教學模式，建立“校內(nèi)競賽?校際聯(lián)賽?選拔性競賽?國際交流比賽”為一體的競賽體系，構(gòu)建校、縣(區(qū))地(市)、省、國家五級學校體育競賽制度.某校開展“陽光體育節(jié)”活動，其中傳統(tǒng)項目“定點踢足球”深受同學們喜愛.其間甲、乙兩人輪流進行足球定點踢球比賽(每人各踢一次為一輪)，在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得?1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分設(shè)甲每次踢球命中的概率為12，乙每次踢球命中的概率為23，且各次踢球互不影響．

(1)經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為X，求X的數(shù)學期望；

(2)若經(jīng)過n輪踢球，用pi表示經(jīng)過第i輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的概率．

①求p1，p2，p3；

②規(guī)定p0=0，且有pi=Api+1+Bpi?1，請根據(jù)①18.(本小題12分)函數(shù)f(x)=ln(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2，曲線y=f(x)上兩點(x1,f(x(3)盒子中有編號為1～100的100個小球(除編號外無區(qū)別)，有放回的隨機抽取20個小球，記抽取的20個小球編號各不相同的概率為p，求證：p<1e19.(本小題12分)已知動點P與定點A(m,0)的距離和P到定直線x=n2m的距離的比為常數(shù)mn，其中m>0，n>0，且m≠n，記點(1)求C的方程，并說明軌跡的形狀;(2)設(shè)點B(?m,0)，若曲線C上兩動點M，N均在x軸上方，AM/?/BN，且AN與BM相交于點Q．(ⅰ)當m=22，n=4時，求證：1|AM|+(ⅱ)當m>n時，記△ABQ的面積為S，其內(nèi)切圓半徑為r，試探究是否存在常數(shù)λ，使得S=λr恒成立?若存在，求λ(用m，n表示);若不存在，請說明理由．

參考答案1.C

2.D

3.A

4.C

5.C

6.C

7.D

8.D

9.BD

10.BCD

11.AC

12.(?∞,913.2

14.(?115.解：(1)解：由函數(shù)y=excosx?t2，

可得y′=(excosx)′?(t2)′=(16.解：(1)當a=1時，f(x)=xlnx?32x?12x+2，x>0，

f′(x)=lnx+x?1x?32+12?1x2=lnx?12+12?1x2，

令g(x)=lnx?12+12x2，x>0，

g′(x)=1x?1x3=x2?1x3，

令g′(x)=0得x=1，

所以在(0,1)上g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

在(1,+∞)上g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)min=g(1)=0，

所以g(x)≥0，即f′(x)≥0，

所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間．

(2)f′(x)=alnx+12x2+a?32，

令?(x)=alnx+12x2+a?32，

?′(x)=ax?1x17.解：(1)甲命中為事件A，乙命中為事件B，A，B相互獨立，P(A)=12，P(B)=23，甲的得分X的可能取值為?1，0，1，

P(X=?1)=P(A?B)=P(A?)P(B)=(1?X?101P111所以E(X)=?1×13+0×12+1×16=?16，

(2)①由(1)知p1=16，p2=P(X=0)P(X=1)+P(X=1)[P(X=0)+P(X=1)]=12×16+16×(12+16)=736，

經(jīng)過三輪踢球，甲的累計得分高于乙有四種情況：

一是三輪甲各得1分，二是三輪中有兩輪甲各得1分，一輪得0分，三是三輪中有一輪甲得1分，兩輪各得0分，四是兩輪各得1分，1輪得?1分，

18.解：(1)f(x)的定義域為(0,+∞)，f′(x)=1x?a(x+1)?a(x?1)(x+1)2=x2+(2?2a)x+1x(x+1)2，

對于方程x2+(2?2a)x+1=0，△=(2?2a)2?4=4(a2?2a)，

當Δ≤0，即0≤a≤2時，x2+(2?2a)x+1≥0，f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當△>0，即a<0或a>2時，方程x2+(2?2a)x+1=0有兩個不等根，

x1=a?1?a2?2a，x2=a?1+a2?2a，而x1+x2=2(a?1)，x1x2=1，

所以當a<0時，x1<x2<0，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

當a>2時，0<x1<x2，x∈(0,x1)或x∈(x2,+∞)時，f′(x)>0，x∈(x1,x2)時，f′(x)<0，

所以f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)遞增，在(x1,x2)上單調(diào)遞減，

綜上，當a≤2時，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

當a>2時，f(x)在(0,a?1?a2?2a)和(a?1+a2?2a19.解：(1)設(shè)點P(x,y)，由題意可知(x?m即(x?m)經(jīng)化簡，得C的方程為x2當m<n時，曲線C是焦點在x軸上的橢圓;當m>n時，曲線C是焦點在x軸上的雙曲線．(2)設(shè)點M(x1,y1)，N(x2,y2(ⅰ)由(1)可知C的方程為x216+y2因為AM/?/BN，所以y1因此，M，A，M′三點共線，且|BN|=(法一)設(shè)直線MM′的方程為x=ty+22，聯(lián)立C的方程，得則y1+y由(1)可知|AM|=22所以1|AM|+=4?2(法二)設(shè)∠MAx=θ，則有|AM|22同理由|AM′|22所以1|AM|+1由橢圓定義|BQ|+|QM|+|MA|=8，得|QM|=8?|BQ|?|AM|，∵AM//BN，∴|AM|解得|BQ|=(8?|AM|)?|BN|同理可得|AQ|=(8?|BN|)?|AM|所以|AQ|+|BQ|=(8?|BN|)|?|AM||AM|+|BN|=8?2因為|AB|=42，所以△ABQ的周長為6+4(ⅱ)當m>n時，曲線C的方程為x2根據(jù)(i)的證明，同理可得M，A，M′三點共線，且|BN|=|AM′|，(法一)設(shè)直線MM′的方程為x=sy+m，聯(lián)立C的方程，得[(m∴y1+y因為|AM|=mn(所以1=(m=sm將(?)代入上式，化簡得1|AM