復合函數(shù)知識總結(jié)及例題

復合函數(shù)問題一、復合函數(shù)定義：設(shè)(u)的定義域為A，(x)的值域為B，若AB，則y關(guān)于x函數(shù)的［g(x)］叫做函數(shù)f和g的復合函數(shù)，u叫中間量.二、復合函數(shù)定義域問題：(1)、已知的定義域，求的定義域思路：設(shè)函數(shù)的定義域為D，即，所以的作用范圍為D，又f對作用，作用范圍不變，所以，解得，E為的定義域。例1.設(shè)函數(shù)的定義域為（0，1），則函數(shù)的定義域為。解析：函數(shù)的定義域為（0，1）即，所以的作用范圍為（0，1）又f對作用，作用范圍不變，所以解得，故函數(shù)的定義域為（1，e）例2.若函數(shù)，則函數(shù)的定義域為。解析：先求f的作用范圍，由，知即f的作用范圍為，又f對f(x)作用所以，即中x應滿足即，解得故函數(shù)的定義域為（2）、已知的定義域，求的定義域思路：設(shè)的定義域為D，即，由此得，所以f的作用范圍為E，又f對x作用，作用范圍不變，所以為的定義域。例3.已知的定義域為，則函數(shù)的定義域為。解析：的定義域為，即，由此得所以f的作用范圍為，又f對x作用，作用范圍不變，所以即函數(shù)的定義域為例4.已知，則函數(shù)的定義域為解析：先求f的作用范圍，由，知解得，f的作用范圍為，又f對x作用，作用范圍不變，所以，即的定義域為（3）、已知的定義域，求的定義域思路：設(shè)的定義域為D，即，由此得，的作用范圍為E，又f對作用，作用范圍不變，所以，解得，F(xiàn)為的定義域。例5.若函數(shù)的定義域為，則的定義域為。解析：的定義域為，即，由此得的作用范圍為，又f對作用，所以，解得即的定義域為評注：函數(shù)定義域是自變量x的取值范圍（用集合或區(qū)間表示）f對誰作用，則誰的范圍是f的作用范圍，f的作用對象可以變，但f的作用范圍不會變。利用這種理念求此類定義域問題會有“得來全不費功夫”的感覺，值得大家探討。三、復合函數(shù)單調(diào)性問題（1）引理證明已知函數(shù).若在區(qū)間）上是減函數(shù)，其值域為(c，d)，又函數(shù)在區(qū)間()上是減函數(shù)，則，原復合函數(shù)在區(qū)間）上是增函數(shù).證明：在區(qū)間）內(nèi)任取兩個數(shù)，使因為在區(qū)間）上是減函數(shù)，所以,記,即因為函數(shù)在區(qū)間()上是減函數(shù)，所以,即，故函數(shù)在區(qū)間）上是增函數(shù).（2）．復合函數(shù)單調(diào)性的判斷復合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結(jié)成一個圖表：增↗減↘增↗減↘增↗減↘增↗減↘減↘增↗以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.（3）、復合函數(shù)的單調(diào)性判斷步驟：ⅰ確定函數(shù)的定義域；ⅱ將復合函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù)：和。ⅲ分別確定分解成的兩個函數(shù)的單調(diào)性；ⅳ若兩個函數(shù)在對應的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復合后的函數(shù)為增函數(shù)；若兩個函數(shù)在對應的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個是增函數(shù)，而另一個是減函數(shù)），則復合后的函數(shù)為減函數(shù)。（4）例題演練例1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明解：定義域單調(diào)減區(qū)間是設(shè)則=∵∴∴>又底數(shù)∴即∴在上是減函數(shù)同理可證：在上是增函數(shù)［例］2、討論函數(shù)的單調(diào)性.［解］由得函數(shù)的定義域為則當時，若，∵為增函數(shù)，∴為增函數(shù).若，∵為減函數(shù).∴為減函數(shù)。當時，若，則為減函數(shù)，若，則為增函數(shù).例3、.已知(2-)在［0，1］上是x的減函數(shù)，求a的取值范圍.解：∵a＞0且a≠1當a＞1時，函數(shù)2->0是減函數(shù)由(2-)在［0，1］上x的減函數(shù)，知是增函數(shù)，∴a＞1由x［0，1］時，2-2＞0,得a＜2,∴1＜a＜2當0<a<1時，函數(shù)2->0是增函數(shù)由(2-)在［0，1］上x的減函數(shù)，知是減函數(shù)，∴0<a<1由x［0，1］時，2-2-1＞0,∴0<a<1綜上述，0<a<1或1＜a＜2例4、已知函數(shù)（為負整數(shù)）的圖象經(jīng)過點，設(shè).問是否存在實數(shù)使得在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論。［解析］由已知，得，其中∴即，解得∵為負整數(shù)，∴∴，即，∴假設(shè)存在實數(shù)，使得滿足條件，設(shè)，∴∵，當時，為減函數(shù)，∴，∴∵,∴,∴,∴①當時,增函數(shù),∴∵,∴,∴. ②由①、②可知，故存在一．指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)．同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；（二）主要方法：1．解決和對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題，要特別重視定義域；2．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于底數(shù)大于1還是小于1，要注意對底數(shù)的討論；3．比較幾個數(shù)的大小的常用方法有：①以和為橋梁；②利用函數(shù)的單調(diào)性；③作差．（三）例題分析：例1．（1）若，則，，從小到大依次為；（2）若，且，，都是正數(shù)，則，，從小到大依次為；（3）設(shè)，且（，），則和的大小關(guān)系是（）（）（）（）（）解：（1）由得，故．（2）令，則，，，，∴，∴；同理可得：，∴，∴．（3）取，知選（）．例2．已知函數(shù)，求證：（1）函數(shù)在上為增函數(shù)；（2）方程沒有負數(shù)根．證明：（1）設(shè)，則，∵，∴，，，∴；∵，且，∴，∴，∴，即，∴函數(shù)在上為增函數(shù)；（2）假設(shè)是方程的負數(shù)根，且，則，即，①當時，，∴，∴，而由知，∴①式不成立；當時，，∴，∴，而，∴①式不成立．綜上所述，方程沒有負數(shù)根．例3．已知函數(shù)（且）．求證：（1）函數(shù)的圖象在軸的一側(cè)；（2）函數(shù)圖象上任意兩點連線的斜率都大于．證明：（1）由得：，∴當時，，即函數(shù)的定義域為，此時函數(shù)的圖象在軸的右側(cè)；當時，，即函數(shù)的定義域為，此時函數(shù)的圖象在軸的左側(cè)．∴函數(shù)的圖象在軸的一側(cè)；（2）設(shè)、是函數(shù)圖象上任意兩點，且，則直線的斜率，，當時，由（1）知，∴，∴，∴，∴，又，∴；當時，由（1）知，∴，∴，∴，∴，又，∴．∴函數(shù)圖象上任意兩點連線的斜率都大于．同步練習（二）同步練習：1、已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域。答案：2、已知函數(shù)的定義域為，求的定義域。答案：3、已知函數(shù)的定義域為，求的定義域。答案：4、設(shè)，則的定義域為（）A.B.C.D.解：選C.由得，的定義域為。故，解得。故的定義域為5、已知函數(shù)的定義域為，求的定義域。［解析］由已知，有（1）當時，定義域為；（2）當，即時，有，定義域為；（3）當，即時，有，定義域為.故當時，定義域為；當時，定義域為［點評］對于含有參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，必須對字母進行討論，要注意思考討論字母的方法。練習二（5）同步練習：1．函數(shù)y＝（x2－3x＋2）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．（－∞，1）B．（2，＋∞）C．（－∞，）D．（，＋∞）解析：先求函數(shù)定義域為（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函數(shù)t（x）在（－∞，1）上單調(diào)遞減，在（2，＋∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)同增異減的原則，函數(shù)y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上單調(diào)遞減．答案：B2找出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（1）；（2）答案：(1)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。（2）單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是。3、討論的單調(diào)性。答案：時為增函數(shù)，時，為增函數(shù)。4．求函數(shù)y＝（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），當x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函數(shù)的值域是R＋．因為函數(shù)y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）和（x）＝x2－5x＋4復合而成，函數(shù)y＝（x）在其定義域上是單調(diào)遞減的，函數(shù)（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上為減函數(shù)，在［，＋∞］上為增函數(shù)．考慮到函數(shù)的定義域及復合函數(shù)單調(diào)性，y＝（x2－5x＋4）的增區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝（x）為減函數(shù)、（x）＝x2－5x＋4也為減函數(shù)的區(qū)間，即（－∞，1）；y＝（x2－5x＋4）的減區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝（x）為減函數(shù)、（x）＝x2－5x＋4為增函數(shù)的區(qū)間，即（4，＋∞）．變式練習一、選擇題1．函數(shù)f（x）＝的定義域是（）A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，2）D．解析：要保證真數(shù)大于0，還要保證偶次根式下的式子大于等于0，所以解得1＜x≤2．答案：D2．函數(shù)y＝（x2－3x＋2）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．（－∞，1）B．（2，＋∞）C．（－∞，）D．（，＋∞）解析：先求函數(shù)定義域為（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函數(shù)t（x）在（－∞，1）上單調(diào)遞減，在（2，＋∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)同增異減的原則，函數(shù)y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上單調(diào)遞減．答案：B3．若2（x－2y）＝x＋y，則的值為（）A．4B．1或C．1或4D．錯解：由2（x－2y）＝x＋y，得（x－2y）2＝，解得x＝4y或x＝y(tǒng)，則有＝或＝1．答案：選B正解：上述解法忽略了真數(shù)大于0這個條件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y(tǒng)舍掉．只有x＝4y．答案：D4．若定義在區(qū)間（－1，0）內(nèi)的函數(shù)f（x）＝（x＋1）滿足f（x）＞0，則a的取值范圍為（）A．（0，）B．（0，1）C．（，＋∞）D．（0，＋∞）解析：因為x∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．當f（x）＞0時，根據(jù)圖象只有0＜2a＜l，解得0＜a＜（根據(jù)本節(jié)思維過程中第四條提到的性質(zhì)）．答案：A5．函數(shù)y＝（－1）的圖象關(guān)于（）A．y軸對稱B．x軸對稱C．原點對稱D．直線y＝x對稱解析：y＝（－1）＝，所以為奇函數(shù)．形如y＝或y＝的函數(shù)都為奇函數(shù)．答案：C二、填空題已知y＝（2－）在［0，1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是．解析：a＞0且a≠1（x）＝2－是減函數(shù)，要使y＝（2－）是減函數(shù)，則a＞1，又2－＞0a＜（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）．答案：a∈（1，2）7．函數(shù)f（x）的圖象和g（x）＝（）x的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則f（2x－x2）的單調(diào)遞減區(qū)間為．解析：因為f（x）和g（x）互為反函數(shù)，所以f（x）＝x則f（2x－x2）＝（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．（x）＝2x－x2在（0，1）上單調(diào)遞增，則f［（x）］在（0，1）上單調(diào)遞減；（x）＝2x－x2在（1，2）上單調(diào)遞減，則f［（x）］在［1，2）上單調(diào)遞增．所以f（2x－x2）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）．答案：（0，1）8．已知定義域為R的偶函數(shù)f（x）在［0，＋∞］上是增函數(shù)，且f（）＝0，則不等式f（4x）＞0的解集是．解析：因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（－）＝f（）＝0．又f（x）在［0，＋∞］上是增函數(shù)，所以f（x）在（－∞，0）上是減函數(shù)．所以f（4x）＞04x＞或4x＜－．解得x＞2或0＜x＜．答案：x＞2或0＜x＜三、解答題9．求函數(shù)y＝（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），當x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函數(shù)的值域是R＋．因為函數(shù)y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）和（x）＝x2－5x＋4復合而成，函數(shù)y＝（x）在其定義域上是單調(diào)遞減的，函數(shù)（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上為減函數(shù)，在［，＋∞］上為增函數(shù)．考慮到函數(shù)的定義域及復合函數(shù)單調(diào)性，y＝（x2－5x＋4）的增區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝（x）為減函數(shù)、（x）＝x2－5x＋4也為減函數(shù)的區(qū)間，即（－∞，1）；y＝（x2－5x＋4）的減區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝（x）為減函數(shù)、（x）＝x2－5x＋4為增函數(shù)的區(qū)間，即（4，＋∞）．10．設(shè)函數(shù)f（x）＝＋，（1）求函數(shù)f（x）的定義域；（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給出證明；（3）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)f－1（x），問函數(shù)y＝f－1（x）的圖象和x軸有交點嗎若有，求出交點坐標；若無交點，說明理由．解：（1）由3x＋5≠0且＞0，解得x≠－且－＜x＜．取交集得－＜x＜．（2）令（x）＝，隨著x增大，函數(shù)值減小，所以