北京市石景山區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

石景山區(qū)2023—2024學(xué)年第二學(xué)期高一期末試卷數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，滿分為100分，考試時(shí)間為120分鐘，請(qǐng)務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效，考試結(jié)束后上交答題卡.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.與角終邊相同的角是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用終邊相同的角的集合，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋耘c角終邊相同的角是，故選：D2.若扇形的面積為1，且弧長(zhǎng)為其半徑的兩倍，則該扇形的半徑為（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】A【解析】【分析】由扇形面積及弧長(zhǎng)公式可得答案.【詳解】設(shè)扇形面積為S，半徑為r，對(duì)應(yīng)弧度為，弧長(zhǎng)為.由題可得：.故選：A3.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義直接求解．【詳解】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限．故選：A.4.已知向量滿足，則（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】首先計(jì)算出，，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)公式即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，兩式相加得，即，所以，故選：B.5.在中，已知，那么一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦的和差角公式化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，又為三角形的?nèi)角，所以，即是等腰三角形.故選：A6.古人把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)這八種三角函數(shù)的函數(shù)線合稱為八線.其中余切函數(shù)，正割函數(shù)，余割函數(shù)，正矢函數(shù)，余矢函數(shù).如圖角始邊為軸的非負(fù)半軸，其終邊與單位圓交點(diǎn)，、分別是單位圓與軸和軸正半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直軸，作垂直軸，垂足分別為、，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線分別交的終邊于、，其中、、、為有向線段，下列表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用單位圓以及三角函數(shù)的定義可知，，，然后結(jié)合新定義簡(jiǎn)單計(jì)算可判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意，易得，對(duì)于A，因?yàn)?，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題屬于新定義題，解題關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)新定義，利用三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比求解，注意有向線段.7.若，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：，且，故選D.【考點(diǎn)】三角恒等變換【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)的給值求值問(wèn)題，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：（1）已知角為兩個(gè)時(shí)，待求角一般表示為已知角的和或差．（2）已知角為一個(gè)時(shí)，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余、互補(bǔ)”關(guān)系．8.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則其解析式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知中函數(shù)的部分圖象，求出滿足條件的值，可得答案．【詳解】由圖可得：函數(shù)的最大值為2，最小值為，故，，故，解得，故.將代入可得：，則，解得.∵，∴，???????∴.?故選:B.9.已知為復(fù)數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C.若，則 D.若，則或【答案】C【解析】【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的意義計(jì)算判斷ABD；舉例說(shuō)明判斷C.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，，，，B正確；對(duì)于C，取，滿足，而，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，即，則，即，因此或，即或，D正確.故選：C10.八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列命題：①；②；③在上的投影向量為；④若點(diǎn)為正八邊形邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為4．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】正八邊形中，每個(gè)邊所對(duì)的角都是，中心到各頂點(diǎn)的距離為2，然后再由數(shù)量積的運(yùn)算判斷①②,由投影向量和投影數(shù)量判斷③④得答案．【詳解】由題意可知，正八邊形每個(gè)邊所對(duì)的角都是，中心到各頂點(diǎn)的距離為2，對(duì)于①，，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，則以，為鄰邊的對(duì)角線長(zhǎng)是的倍，可得，故②正確；對(duì)于③，在上的投影向量為，故③正確；對(duì)于④，設(shè)的夾角為，則，其中表示在上的投影數(shù)量，易知,延長(zhǎng)DC交AB延長(zhǎng)線于Q,當(dāng)P在線段DC上運(yùn)動(dòng)，投影數(shù)量最大，易知為等腰直角三角形，且,則在中，,在等腰三角形中，則.故④正確.則正確的個(gè)數(shù)共有3個(gè).故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題問(wèn)題④的關(guān)鍵是利用數(shù)量積的幾何意義確定在上的投影的最大值.第二部分（非選擇題共60分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．11.化簡(jiǎn)______【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】.故答案為：.12.若，則________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式得出，然后在代數(shù)式上除以化為有關(guān)角的弦的二次分式齊次式，并在分式的分子和分母中同時(shí)除以，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由題意可得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的余弦公式以及弦化切思想的應(yīng)用，弦化切思想主要應(yīng)用于以下兩個(gè)方面：（1）當(dāng)分式為關(guān)于角的次分式齊次式時(shí)，可在分子分母中同時(shí)除以，實(shí)現(xiàn)弦化切；（2）當(dāng)代數(shù)式是關(guān)于角的二次整式時(shí)，可先除以化為關(guān)于角的二次分式齊次式，然后分子分母中同時(shí)除以，可實(shí)現(xiàn)弦化切.13.在中，，，，則的外接圓半徑為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由正弦定理求解．【詳解】由已知，設(shè)三角形外接圓半徑為，則，所以．故答案為：1.14.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則______．【答案】【解析】【分析】建立如圖所示坐標(biāo)系，由圖可得及的坐標(biāo)表示，后由數(shù)量積的坐標(biāo)形式下的計(jì)算公式可得答案.【詳解】由圖及網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，可得.則.則.故答案為：.15.已知三角形是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．如圖，將三角形的頂點(diǎn)A與原點(diǎn)重合．在軸上，然后將三角形沿著軸順時(shí)針滾動(dòng)，每當(dāng)頂點(diǎn)A再次回落到軸上時(shí)，將相鄰兩個(gè)A之間的距離稱為“一個(gè)周期”，給出以下四個(gè)結(jié)論：①一個(gè)周期是6；②完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)A的軌跡是一個(gè)半圓；③完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)A的軌跡長(zhǎng)度是；④完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)A的軌跡與軸圍成的面積是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①③④【解析】【分析】①，畫(huà)出頂點(diǎn)A的軌跡，得到相鄰兩個(gè)A之間的距離為6，故①正確；②根據(jù)頂點(diǎn)A的軌跡得到②錯(cuò)誤；③利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行求解；④利用扇形面積公式和等邊三角形面積，得到答案.【詳解】①，如圖，將等邊三角形順時(shí)針滾動(dòng)兩次，A再次回落到軸上，故相鄰兩個(gè)A之間的距離為6，故一個(gè)周期為6，①正確；②，完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)A的軌跡如下：可以看出頂點(diǎn)A的軌跡不是一個(gè)半圓，是兩段圓心角為的弧長(zhǎng)，②錯(cuò)誤；③，完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)A的軌跡長(zhǎng)度是，③正確；④，完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)A的軌跡與軸圍成的面積是兩個(gè)圓心角為，半徑為2的扇形面積，加上一個(gè)半徑為2的等邊三角形，故面積為，④正確.故答案為：①③④三、解答題：本大題共5小題，共40分．應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16.如圖，以為始邊作角與，它們的終邊與單位圓分別交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由任意角三角函數(shù)定義結(jié)合題意可得答案.（2）由題結(jié)合二倍角正切公式可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題結(jié)合任意角三角函數(shù)定義可得：；【小問(wèn)2詳解】由題可得：，則.17.已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且．（1）求的值；（2）若，且的面積為，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為求解；（2）由三角形的面積可得，由余弦定理，可得，從而可得答案.【小問(wèn)1詳解】在中，由正弦定理得：，∴可等價(jià)轉(zhuǎn)化為，其中，故．∴，即，因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，由余弦定理可得即，所以，所?18.向量，設(shè)函數(shù)．（1）求的最小正周期并在右邊直角坐標(biāo)中畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的草圖；（2）若方程在上有兩個(gè)根，求的取值范圍及的值．【答案】（1）；草圖見(jiàn)解析；（2）；答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由題可得表達(dá)式，化簡(jiǎn)后結(jié)合周期計(jì)算公式可得周期，后由五點(diǎn)作圖法可得周期；（2）由（1）結(jié)合圖象可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題，.則周期為；又，可得相應(yīng)表格如下：得函數(shù)圖象如下：【小問(wèn)2詳解】方程在上根的個(gè)數(shù)，即在區(qū)間內(nèi)圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).由（1）可得，.又由（1）圖可得兩交點(diǎn)關(guān)于在區(qū)間內(nèi)圖象對(duì)稱軸對(duì)稱，又由（1）可得在區(qū)間內(nèi)圖象對(duì)稱軸為與.則時(shí)，；時(shí)，.19.如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)，．（1）求的值；（2）求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解；（2）由（1）可求出，再根據(jù)平分可得為等腰三角形，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】在中，由正弦定理得，所以，因，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，由題設(shè)，，即為等腰三