福建省廈門市2025屆高三數(shù)學(xué)畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢查試題文含解析

PAGE24-福建省廈門市2025屆高三數(shù)學(xué)畢業(yè)班其次次質(zhì)量檢查試題文（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題所給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】，則，又，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查交集和補(bǔ)集的混合運(yùn)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意可求得，進(jìn)而求得，得到答案.【詳解】,所以，，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題目.3.已知向量，，且，則()A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求得，由此可求出答案．【詳解】解：∵，，且，∴，則，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量的模，屬于基礎(chǔ)題．4.已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則()A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解方程即得解.【詳解】由題得，所以.因?yàn)?，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的簡潔幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題目.5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到，，再依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】，.因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以.即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)式比較大小，同時(shí)考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡潔題.6.內(nèi)角，，的對邊分別是，，，已知，，，則()A. B.2 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)正弦定理邊化角公式得到，再利用余弦定理即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?所以，即.整理得，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，熟記公式為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7.在數(shù)列中，，，，則()A.-4 B.-2 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】首先依據(jù)題意分別求出，，，，從而得到數(shù)列的周期為，再利用周期計(jì)算即可.【詳解】由題知：當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，.所以得到，，，，，，……，即數(shù)列的周期為.所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推公式，通過遞推公式得到數(shù)列的周期為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.8.如圖，圓柱中，，，，則與下底面所成角的正切值為()A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作垂直于底面，連接、，可知即為與下底面所成角，結(jié)合線段長即可得解.【詳解】由題意，作垂直于底面，連接，如下圖所示：圓柱中，，，，則即為與下底面所成角，而，所以，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面夾角的求法，圓柱結(jié)構(gòu)特征及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9.已知函數(shù)的圖象如圖，則()A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】由圖可知，，當(dāng)時(shí)，，再結(jié)合解析式即可求出答案．【詳解】解：∵，由圖可知，；當(dāng)時(shí)，，，但，則；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．10.我國古代重要建筑室內(nèi)上方，通常會在正中部位做出向上凸起的窟窿狀裝飾，這種裝飾稱為藻井.北京故宮博物院內(nèi)的太和殿上方即有藻井（圖1），全稱為龍風(fēng)角蟬云龍隨瓣枋套方八角深金龍?jiān)寰?它展示出精致的裝飾空間和造型藝術(shù)，是我國古代豐富文化的體現(xiàn)，從分層構(gòu)造上來看，太和殿藻井由三層組成：最下層為方井，中為八角井，上為圓井.圖2是由圖1抽象出的平面圖形，若在圖2中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自圓內(nèi)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)圖（2）正方形中各邊中點(diǎn)分別為，可得四邊形為正方形，圖中的圓為該正方形的內(nèi)切圓，即可得出該圓半徑與正方形的邊長關(guān)系，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)圖（2）正方形邊長為，分別為各邊的中點(diǎn)，則四邊形是邊長為的正方形，圓為正方形的內(nèi)切圓，其半徑為，所以在圖2中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自圓內(nèi)的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查面積型幾何概型，留意圖形的對稱關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.11.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，下述三個(gè)結(jié)論：①的取值范圍是；②在存在零點(diǎn)；③在至多有4個(gè)極值點(diǎn).其中全部正確結(jié)論的編號是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意分析出，再由函數(shù)為增函數(shù)知，即可求出，推斷①；作出取兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)和圖象，數(shù)形結(jié)合即可推斷②③.【詳解】當(dāng)時(shí)，，∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，故①正確；作出和在的圖象如下：由圖可知②③正確故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)，極值點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別、，過的直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn).的平分線交于，若，則雙曲線的離心率為()A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先取中點(diǎn)，連接，，利用平面對量加法的幾何意義得到軸，，再依據(jù)勾股定理列出等式，計(jì)算離心率即可.【詳解】取中點(diǎn)，連接，，如圖所示：由，可知四邊形為平行四邊形.又∵為的平分線，∴四邊形為菱形.∵，∴為中點(diǎn)，∵，∴為中點(diǎn)，由雙曲線的對稱性可知：軸，點(diǎn)在軸上.∴，由雙曲線定義得：，所以，∴，即，整理得，所以故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線離心率的求法，同時(shí)考查了平面對量加法的幾何意義，屬于中檔題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn),則=______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的定義，求出sinα，利用二倍角公式可得cos2α的值．【詳解】由三角函數(shù)的定義，r，可得：sinα，可得：cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（）2．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查隨意角的三角函數(shù)的定義，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.某地區(qū)中小微企業(yè)中，員工人數(shù)50人以下的企業(yè)占總數(shù)的，員工人數(shù)50～100人的企業(yè)占總數(shù)的，員工人數(shù)100～500人的企業(yè)占總數(shù)的，員工人數(shù)500人及以上的企業(yè)占總數(shù)的，現(xiàn)在用分層抽樣的方式從中抽取40個(gè)企業(yè)調(diào)查生產(chǎn)狀況，員工人數(shù)100～500人的企業(yè)應(yīng)抽取的個(gè)數(shù)為______.【答案】6【解析】【分析】首先設(shè)某地區(qū)中小微企業(yè)共有個(gè)，從而得到抽樣比，再利用分層抽樣抽取員工人數(shù)100～500人的企業(yè)即可得到答案.【詳解】由題知：設(shè)某地區(qū)中小微企業(yè)共有個(gè)，則抽樣比為.因?yàn)閱T工人數(shù)100～500人的企業(yè)占總數(shù)的，所以員工人數(shù)100～500人的企業(yè)共有個(gè)，故員工人數(shù)100～500人的企業(yè)應(yīng)抽取個(gè).故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣，依據(jù)條件求出抽樣比為解題的關(guān)鍵，屬于簡潔題.15.曲線在處的切線過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)_________.【答案】2【解析】【分析】首先對函數(shù)求導(dǎo)，分別求得，，依據(jù)曲線在處的切線過原點(diǎn)，列出等量關(guān)系式，求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，依?jù)題意，有，解得，故答案為：2.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，依據(jù)曲線在某個(gè)點(diǎn)處的切線過某點(diǎn)求參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題目.16.已知四面體的全部頂點(diǎn)在球的表面上，平面，，，則球的表面積為_________.【答案】【解析】【分析】將四面體補(bǔ)成直三棱柱，依據(jù)題意畫出圖象，設(shè)，的外心分別為，，則點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求出，在依據(jù)正弦定理，求出，依據(jù)勾股定理和球的表面積公式，即可求得答案.【詳解】四面體的全部頂點(diǎn)在球的表面上，且平面，將四面體補(bǔ)成直三棱柱，設(shè)，的外心分別為，，則點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，依據(jù)直棱柱特征可得：面依據(jù)題意畫出圖象，如圖：可得：，在依據(jù)正弦定理：(為三角形外接圓半徑)依據(jù)為的外心，可得為外接圓半徑即，面，面故為直角三角形在中，依據(jù)勾股定理可得：，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求四面體外接球表面積問題，解題關(guān)鍵是駕馭將四面體補(bǔ)成直三棱柱求外接球半徑的方法和球的表面積公式，數(shù)形結(jié)合，考查了分析實(shí)力和空間想象實(shí)力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（一）必考題：共60分.17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，其前項(xiàng)和為，證明.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解之代入通項(xiàng)公式可得；（2）由（1）可知，由裂項(xiàng)相消法可得其和．【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，依題意得，∴，∴，∴.（2）由（1）得，∴，∴，∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，涉及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題．18.如圖，四棱錐中，四邊形為正方形，，分別為，中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）已知，，，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，可證明四邊形為平行四邊形，得，即可證明；（2）依據(jù)等體積法可知，轉(zhuǎn)化為計(jì)算，求底面積及高即可求解.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，∵為中點(diǎn)，∴∥，，又為中點(diǎn)，∴∥，∴∥，，∴四邊形為平行四邊形.∴，∵平面，平面，∴平面.（2）在正方形中，，又∵，∴，又，∴平面，∵，平面，平面，∴平面，∴到平面的距離等于到平面的距離，即為.∵，，∴，即，又為中點(diǎn)，∴.∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定，三棱錐的體積，轉(zhuǎn)化的思想，考查了運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.19.年是打贏藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)三年行動安排的決勝之年，近年來，在各地各部門共同努力下，藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)各項(xiàng)任務(wù)措施穩(wěn)步推動，取得了主動成效，某學(xué)生隨機(jī)收集了甲城市近兩年上半年中各天的空氣量指數(shù)，得到頻數(shù)分布表如下：年上半年中天的頻數(shù)分布表的分組天數(shù)年上半年中天的頻數(shù)分布表的分組天數(shù)（1）估計(jì)年上半年甲城市空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的比例；（2）求年上半年甲城市的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（精確到）（3）用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)問，比較年上半年與年上半年甲城市的空氣質(zhì)量狀況.附：的分組空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)峻污染.【答案】（1）；（2）平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為；（3）年上半年空氣質(zhì)量優(yōu)于年上半年.【解析】【分析】（1）依據(jù)城市空氣質(zhì)量優(yōu)良的值的范圍可得出年上半年甲城市空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)，進(jìn)而可計(jì)算出甲城市空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的比例；（2）將每組的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)組的頻率，相加可得出平均數(shù)，然后利用標(biāo)準(zhǔn)差公式可求得年上半年甲城市的標(biāo)準(zhǔn)差；（3）依據(jù)年上半年和年上半年天中空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的比例的大小關(guān)系或的平均數(shù)的估計(jì)值的大小關(guān)系或未達(dá)到空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的比例的估計(jì)值的大小關(guān)系來比較年上半年與年上半年甲城市的空氣質(zhì)量狀況.【詳解】（1）依題可知，所調(diào)查的年上半年中的天里，甲城市空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為，甲城市空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的頻率為.用樣本頻率估計(jì)總體得，年上半年甲城市空氣質(zhì)量優(yōu)良大數(shù)的比例為；（2）年上半年甲城市的平均數(shù)的估計(jì)值為.年上半年甲城市的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為.所以，年上半年甲城市的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為、；（3）能從統(tǒng)計(jì)學(xué)問的角度分析問題，參考示例，酌情給分.示例1：年上半年空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的比例的估計(jì)值為，年上半年空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的比例的估計(jì)值為，故年上半年空氣質(zhì)量優(yōu)于年上半年.示例2：年上半年甲城市的平均數(shù)的估計(jì)值為，年上半年甲城市的平均數(shù)的估計(jì)值為，越小，空氣質(zhì)量越好，故年上半年空氣質(zhì)量優(yōu)于年上半年.示例3：年上半年未達(dá)到空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的比例的估計(jì)值為，年上半年未達(dá)到空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的比例的估計(jì)值為，故年上半年空氣質(zhì)量優(yōu)于年上半年.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布表計(jì)算平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及頻率，同時(shí)也考查了利用樣本的數(shù)字特征來分析實(shí)際問題，考查計(jì)算實(shí)力與數(shù)據(jù)分析實(shí)力，屬于中等題.20.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)，時(shí)，.【答案】（1），在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析.【解析】【分析】

（1）依據(jù)極值點(diǎn)可求出，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出單調(diào)區(qū)間；

（2）法一，由函數(shù)單調(diào)性可得變形可得，利用不等式的性質(zhì)可放縮得到，構(gòu)造函數(shù)可利用導(dǎo)數(shù)求最小值為0，即可得證；法二由函數(shù)單調(diào)性可得變形可得，由不等式性質(zhì)可得，令，由導(dǎo)數(shù)可求出即可得證.【詳解】（1），由是極值點(diǎn)得，∴，∴，∴，由得，∴單調(diào)遞增區(qū)間為；由得，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）法一：由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，故.∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，令，∴，由得，∴在上單調(diào)遞增；由得，∴在上單調(diào)遞減，∴，即在處取等號，∴，由于取等條件不同，∴.法二：由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，∵，，∴，令，，由得，∴在上單調(diào)遞增；由得，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴，由于取等條件不同，故，整理得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，不等式的性質(zhì)，考查了邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算實(shí)力，屬于難題.21.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過作斜率為的直線交于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓.當(dāng)時(shí)，圓的半徑為2.（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)，對隨意的斜率，圓上是否總存在點(diǎn)滿意，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）依題意，不妨設(shè)在第一象限，當(dāng)時(shí)，，，由圓的直徑可求得，可得拋物線方程.（2）設(shè)直線：，，，聯(lián)立得，可得出圓的方程，假設(shè)存在點(diǎn)滿意，則在以為直徑的圓上.由圓與圓的位置關(guān)系可得解.【詳解】（1）依題意，不妨設(shè)在第一象限，當(dāng)時(shí)，，，∴，∴，∴拋物線方程為.（2）設(shè)直線：，，，由得，∴，，∴，∴圓的半徑.又，，∴.∴圓的方程為.即，假設(shè)存在點(diǎn)滿意，則在以為直徑的圓上.∴，圓的半徑.法一：（i）若，圓心距，∵，∴圓與圓內(nèi)切，有一個(gè)交點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，，重合，，所以對隨意的，圓上存在點(diǎn)，使得.法二：（i）當(dāng)時(shí)，圓：，即.聯(lián)立，①-②得：即，代入②得：.，所以兩圓相切，有一個(gè)交點(diǎn).（ii）當(dāng)時(shí)，，重合，，即對隨意的，圓上存在點(diǎn)，使得.【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，圓的性質(zhì)，屬于難度題.（二）選考題：共10分，請考生在22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，的方程為，的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正