福建省廈門市2025屆高三數(shù)學畢業(yè)班第二次質量檢查試題文含解析

PAGE24-福建省廈門市2025屆高三數(shù)學畢業(yè)班其次次質量檢查試題文（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題所給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】，則，又，因此，.故選：A.【點睛】本題考查交集和補集的混合運算，考查計算實力，屬于基礎題.2.已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意可求得，進而求得，得到答案.【詳解】,所以，，故選：D.【點睛】該題考查的是有關復數(shù)的問題，涉及到的學問點有復數(shù)的模，共軛復數(shù)，屬于基礎題目.3.已知向量，，且，則()A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】由向量垂直的坐標表示求得，由此可求出答案．【詳解】解：∵，，且，∴，則，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查平面對量垂直的坐標運算，考查向量的模，屬于基礎題．4.已知橢圓：的一個焦點為，則()A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解方程即得解.【詳解】由題得，所以.因為，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查橢圓的簡潔幾何性質，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平，屬于基礎題目.5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到，，再依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性即可得到答案.【詳解】，.因為在上為增函數(shù)，所以.即.故選：A【點睛】本題主要考查指數(shù)式比較大小，同時考查了指數(shù)函數(shù)的單調性，屬于簡潔題.6.內角，，的對邊分別是，，，已知，，，則()A. B.2 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)正弦定理邊化角公式得到，再利用余弦定理即可得到答案.【詳解】因為，所以.因為，所以.所以，即.整理得，解得.故選：B【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，熟記公式為解題的關鍵，屬于中檔題.7.在數(shù)列中，，，，則()A.-4 B.-2 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】首先依據(jù)題意分別求出，，，，從而得到數(shù)列的周期為，再利用周期計算即可.【詳解】由題知：當時，，所以，當時，，所以，當時，，所以，當時，，所以，.所以得到，，，，，，……，即數(shù)列的周期為.所以.故選：D【點睛】本題主要考查數(shù)列的遞推公式，通過遞推公式得到數(shù)列的周期為解題的關鍵，屬于中檔題.8.如圖，圓柱中，，，，則與下底面所成角的正切值為()A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作垂直于底面，連接、，可知即為與下底面所成角，結合線段長即可得解.【詳解】由題意，作垂直于底面，連接，如下圖所示：圓柱中，，，，則即為與下底面所成角，而，所以，所以，故選：B.【點睛】本題考查了直線與平面夾角的求法，圓柱結構特征及性質的應用，屬于基礎題.9.已知函數(shù)的圖象如圖，則()A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】由圖可知，，當時，，再結合解析式即可求出答案．【詳解】解：∵，由圖可知，；當時，，，但，則；故選：D．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的應用，考查數(shù)形結合思想，屬于基礎題．10.我國古代重要建筑室內上方，通常會在正中部位做出向上凸起的窟窿狀裝飾，這種裝飾稱為藻井.北京故宮博物院內的太和殿上方即有藻井（圖1），全稱為龍風角蟬云龍隨瓣枋套方八角深金龍藻井.它展示出精致的裝飾空間和造型藝術，是我國古代豐富文化的體現(xiàn)，從分層構造上來看，太和殿藻井由三層組成：最下層為方井，中為八角井，上為圓井.圖2是由圖1抽象出的平面圖形，若在圖2中隨機取一點，則此點取自圓內的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)圖（2）正方形中各邊中點分別為，可得四邊形為正方形，圖中的圓為該正方形的內切圓，即可得出該圓半徑與正方形的邊長關系，即可求出結論.【詳解】設圖（2）正方形邊長為，分別為各邊的中點，則四邊形是邊長為的正方形，圓為正方形的內切圓，其半徑為，所以在圖2中隨機取一點，則此點取自圓內的概率為.故選：A.【點睛】本題以數(shù)學文化為背景，考查面積型幾何概型，留意圖形的對稱關系，屬于基礎題.11.已知函數(shù)在區(qū)間單調遞增，下述三個結論：①的取值范圍是；②在存在零點；③在至多有4個極值點.其中全部正確結論的編號是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意分析出，再由函數(shù)為增函數(shù)知，即可求出，推斷①；作出取兩個端點時和圖象，數(shù)形結合即可推斷②③.【詳解】當時，，∵在區(qū)間上單調遞增，∴，∴，故①正確；作出和在的圖象如下：由圖可知②③正確故選：D【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的單調性，零點，極值點，數(shù)形結合的思想，屬于中檔題.12.已知雙曲線的左、右焦點分別、，過的直線交雙曲線右支于，兩點.的平分線交于，若，則雙曲線的離心率為()A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先取中點，連接，，利用平面對量加法的幾何意義得到軸，，再依據(jù)勾股定理列出等式，計算離心率即可.【詳解】取中點，連接，，如圖所示：由，可知四邊形為平行四邊形.又∵為的平分線，∴四邊形為菱形.∵，∴為中點，∵，∴為中點，由雙曲線的對稱性可知：軸，點在軸上.∴，由雙曲線定義得：，所以，∴，即，整理得，所以故選：A【點睛】本題主要考查雙曲線離心率的求法，同時考查了平面對量加法的幾何意義，屬于中檔題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知角的頂點與直角坐標系的原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點,則=______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的定義，求出sinα，利用二倍角公式可得cos2α的值．【詳解】由三角函數(shù)的定義，r，可得：sinα，可得：cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（）2．故答案為．【點睛】本題考查隨意角的三角函數(shù)的定義，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，屬于基礎題．14.某地區(qū)中小微企業(yè)中，員工人數(shù)50人以下的企業(yè)占總數(shù)的，員工人數(shù)50～100人的企業(yè)占總數(shù)的，員工人數(shù)100～500人的企業(yè)占總數(shù)的，員工人數(shù)500人及以上的企業(yè)占總數(shù)的，現(xiàn)在用分層抽樣的方式從中抽取40個企業(yè)調查生產狀況，員工人數(shù)100～500人的企業(yè)應抽取的個數(shù)為______.【答案】6【解析】【分析】首先設某地區(qū)中小微企業(yè)共有個，從而得到抽樣比，再利用分層抽樣抽取員工人數(shù)100～500人的企業(yè)即可得到答案.【詳解】由題知：設某地區(qū)中小微企業(yè)共有個，則抽樣比為.因為員工人數(shù)100～500人的企業(yè)占總數(shù)的，所以員工人數(shù)100～500人的企業(yè)共有個，故員工人數(shù)100～500人的企業(yè)應抽取個.故答案為：【點睛】本題主要考查分層抽樣，依據(jù)條件求出抽樣比為解題的關鍵，屬于簡潔題.15.曲線在處的切線過原點，則實數(shù)_________.【答案】2【解析】【分析】首先對函數(shù)求導，分別求得，，依據(jù)曲線在處的切線過原點，列出等量關系式，求得結果.【詳解】因為，所以，所以，，依據(jù)題意，有，解得，故答案為：2.【點睛】該題考查的是有關導數(shù)的問題，涉及到的學問點有導數(shù)的幾何意義，依據(jù)曲線在某個點處的切線過某點求參數(shù)的值，屬于基礎題目.16.已知四面體的全部頂點在球的表面上，平面，，，則球的表面積為_________.【答案】【解析】【分析】將四面體補成直三棱柱，依據(jù)題意畫出圖象，設，的外心分別為，，則點為線段的中點，求出，在依據(jù)正弦定理，求出，依據(jù)勾股定理和球的表面積公式，即可求得答案.【詳解】四面體的全部頂點在球的表面上，且平面，將四面體補成直三棱柱，設，的外心分別為，，則點為線段的中點，依據(jù)直棱柱特征可得：面依據(jù)題意畫出圖象，如圖：可得：，在依據(jù)正弦定理：(為三角形外接圓半徑)依據(jù)為的外心，可得為外接圓半徑即，面，面故為直角三角形在中，依據(jù)勾股定理可得：，.故答案為：.【點睛】本題主要考查了求四面體外接球表面積問題，解題關鍵是駕馭將四面體補成直三棱柱求外接球半徑的方法和球的表面積公式，數(shù)形結合，考查了分析實力和空間想象實力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（一）必考題：共60分.17.已知等差數(shù)列的前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，其前項和為，證明.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意可得關于首項和公差的方程組，解之代入通項公式可得；（2）由（1）可知，由裂項相消法可得其和．【詳解】解：（1）設數(shù)列的公差為，依題意得，∴，∴，∴.（2）由（1）得，∴，∴，∵，∴，∴.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，涉及裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題．18.如圖，四棱錐中，四邊形為正方形，，分別為，中點.（1）證明：平面；（2）已知，，，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點，連接，，可證明四邊形為平行四邊形，得，即可證明；（2）依據(jù)等體積法可知，轉化為計算，求底面積及高即可求解.【詳解】（1）證明：取中點，連接，，∵為中點，∴∥，，又為中點，∴∥，∴∥，，∴四邊形為平行四邊形.∴，∵平面，平面，∴平面.（2）在正方形中，，又∵，∴，又，∴平面，∵，平面，平面，∴平面，∴到平面的距離等于到平面的距離，即為.∵，，∴，即，又為中點，∴.∴.【點睛】本題主要考查了線面平行的判定，三棱錐的體積，轉化的思想，考查了運算實力，屬于中檔題.19.年是打贏藍天保衛(wèi)戰(zhàn)三年行動安排的決勝之年，近年來，在各地各部門共同努力下，藍天保衛(wèi)戰(zhàn)各項任務措施穩(wěn)步推動，取得了主動成效，某學生隨機收集了甲城市近兩年上半年中各天的空氣量指數(shù)，得到頻數(shù)分布表如下：年上半年中天的頻數(shù)分布表的分組天數(shù)年上半年中天的頻數(shù)分布表的分組天數(shù)（1）估計年上半年甲城市空氣質量優(yōu)良天數(shù)的比例；（2）求年上半年甲城市的平均數(shù)和標準差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（精確到）（3）用所學的統(tǒng)計學問，比較年上半年與年上半年甲城市的空氣質量狀況.附：的分組空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴峻污染.【答案】（1）；（2）平均數(shù)為，標準差為；（3）年上半年空氣質量優(yōu)于年上半年.【解析】【分析】（1）依據(jù)城市空氣質量優(yōu)良的值的范圍可得出年上半年甲城市空氣質量優(yōu)良天數(shù)，進而可計算出甲城市空氣質量優(yōu)良天數(shù)的比例；（2）將每組的中點值乘以對應組的頻率，相加可得出平均數(shù)，然后利用標準差公式可求得年上半年甲城市的標準差；（3）依據(jù)年上半年和年上半年天中空氣質量優(yōu)良天數(shù)的比例的大小關系或的平均數(shù)的估計值的大小關系或未達到空氣質量優(yōu)良天數(shù)的比例的估計值的大小關系來比較年上半年與年上半年甲城市的空氣質量狀況.【詳解】（1）依題可知，所調查的年上半年中的天里，甲城市空氣質量優(yōu)的天數(shù)為，空氣質量良的天數(shù)為，甲城市空氣質量優(yōu)良天數(shù)的頻率為.用樣本頻率估計總體得，年上半年甲城市空氣質量優(yōu)良大數(shù)的比例為；（2）年上半年甲城市的平均數(shù)的估計值為.年上半年甲城市的標準差的估計值為.所以，年上半年甲城市的平均數(shù)和標準差的估計值分別為、；（3）能從統(tǒng)計學問的角度分析問題，參考示例，酌情給分.示例1：年上半年空氣質量優(yōu)良天數(shù)的比例的估計值為，年上半年空氣質量優(yōu)良天數(shù)的比例的估計值為，故年上半年空氣質量優(yōu)于年上半年.示例2：年上半年甲城市的平均數(shù)的估計值為，年上半年甲城市的平均數(shù)的估計值為，越小，空氣質量越好，故年上半年空氣質量優(yōu)于年上半年.示例3：年上半年未達到空氣質量優(yōu)良天數(shù)的比例的估計值為，年上半年未達到空氣質量優(yōu)良天數(shù)的比例的估計值為，故年上半年空氣質量優(yōu)于年上半年.【點睛】本題考查利用頻率分布表計算平均數(shù)、標準差以及頻率，同時也考查了利用樣本的數(shù)字特征來分析實際問題，考查計算實力與數(shù)據(jù)分析實力，屬于中等題.20.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求，并求的單調區(qū)間；（2）證明：當，時，.【答案】（1），在上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明見解析.【解析】【分析】

（1）依據(jù)極值點可求出，依據(jù)導函數(shù)的正負求出單調區(qū)間；

（2）法一，由函數(shù)單調性可得變形可得，利用不等式的性質可放縮得到，構造函數(shù)可利用導數(shù)求最小值為0，即可得證；法二由函數(shù)單調性可得變形可得，由不等式性質可得，令，由導數(shù)可求出即可得證.【詳解】（1），由是極值點得，∴，∴，∴，由得，∴單調遞增區(qū)間為；由得，∴的單調遞減區(qū)間為.（2）法一：由（1）可知在上單調遞增，在上單調遞減，故，即，故.∴，當且僅當時取等號，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，令，∴，由得，∴在上單調遞增；由得，∴在上單調遞減，∴，即在處取等號，∴，由于取等條件不同，∴.法二：由（1）可知在上單調遞增，在上單調遞減，故，即，∴，當且僅當時取等號，∵，，∴，令，，由得，∴在上單調遞增；由得，∴在上單調遞減，∴，∴，由于取等條件不同，故，整理得.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，極值，最值，利用導數(shù)證明不等式，不等式的性質，考查了邏輯推理實力、運算實力，屬于難題.21.已知拋物線：的焦點為，過作斜率為的直線交于，兩點，以線段為直徑的圓.當時，圓的半徑為2.（1）求的方程；（2）已知點，對隨意的斜率，圓上是否總存在點滿意，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）依題意，不妨設在第一象限，當時，，，由圓的直徑可求得，可得拋物線方程.（2）設直線：，，，聯(lián)立得，可得出圓的方程，假設存在點滿意，則在以為直徑的圓上.由圓與圓的位置關系可得解.【詳解】（1）依題意，不妨設在第一象限，當時，，，∴，∴，∴拋物線方程為.（2）設直線：，，，由得，∴，，∴，∴圓的半徑.又，，∴.∴圓的方程為.即，假設存在點滿意，則在以為直徑的圓上.∴，圓的半徑.法一：（i）若，圓心距，∵，∴圓與圓內切，有一個交點；（ii）當時，，重合，，所以對隨意的，圓上存在點，使得.法二：（i）當時，圓：，即.聯(lián)立，①-②得：即，代入②得：.，所以兩圓相切，有一個交點.（ii）當時，，重合，，即對隨意的，圓上存在點，使得.【點睛】本題考查求拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，圓與圓的位置關系，圓的性質，屬于難度題.（二）選考題：共10分，請考生在22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標系中，的方程為，的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正