吉林省吉林市2025屆高三數(shù)學(xué)第四次調(diào)研測試試題理含解析

PAGE26-吉林省吉林市2025屆高三數(shù)學(xué)第四次調(diào)研測試試題理（含解析）一?選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化簡集合A，再利用并集的定義求解.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及一元二次不等式的解法，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.復(fù)數(shù)滿意（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先化簡復(fù)數(shù)z，然后結(jié)合復(fù)數(shù)的定義確定其虛部即可.【詳解】由題意可得：，據(jù)此可知，復(fù)數(shù)z的虛部為.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除及求低次方根．除法事實(shí)上是分母實(shí)數(shù)化的過程．3.《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，它有如下問題：“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問積幾何？”意思是“今有圓柱體形的土筑小城堡，底面周長為4丈8尺，高1丈1尺，問它的體積是多少？”（注：1丈=10尺，?。ǎ〢.704立方尺 B.2112立方尺 C.2115立方尺 D.2118立方尺【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，由底面圓周長，得究竟面圓半徑，再由體積公式求出其體積.【詳解】設(shè)圓柱體底面圓半徑為，高為，周長為.因?yàn)?，所以，所以（立方尺?故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查圓柱底面圓半徑、體積等相關(guān)計(jì)算，屬于簡潔題.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為3，則輸出的值是()A.1 B.2 C.4 D.7【答案】C【解析】試題分析：第一次循環(huán)；其次次循環(huán)；第三次循環(huán)；結(jié)束循環(huán)，輸出選C.考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖【名師點(diǎn)睛】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖探討的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項(xiàng).5.在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得，然后利用正弦定理求得.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C點(diǎn)睛】本題考查解三角形，考查運(yùn)算求解實(shí)力.6.已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則曲線在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，，，所以曲線在處的切線方程為，即.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.7.某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該單位去年的水費(fèi)開支占總開支的百分比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計(jì)算出水費(fèi)開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費(fèi)開支占總開支的百分比.【詳解】水費(fèi)開支占總開支的百分比為.故選：A點(diǎn)睛】本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.8.已知正方體的棱長為2，點(diǎn)在線段上，且，平面經(jīng)過點(diǎn)，則正方體被平面截得的截面面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面，然后利用面面平行的性質(zhì)定理，得到截面的形態(tài)再求解.【詳解】如圖所示：確定一個平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，同理，所以四邊形是平行四邊?即正方體被平面截的截面.因?yàn)?，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì)，面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.9.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長線交軸于點(diǎn).若，則的值為（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可求出焦點(diǎn).由可知,從而,繼而可求出.【詳解】解:由拋物線的方程可得焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為:.作垂直于軸交于因?yàn)?所以可得為線段的三等分點(diǎn),即.由,所以,即,所以故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了拋物線的定義.對于拋物線中焦點(diǎn)弦問題,在求長時,首先考慮拋物線的定義,其次才是聯(lián)立拋物線與焦點(diǎn)弦直線方程,代入弦長公式進(jìn)行求解.本題的關(guān)鍵是長度的轉(zhuǎn)化.10.函數(shù)的一條對稱軸方程為，則（）A.1 B. C.2 D.3【答案】B【解析】【詳解】試題分析：的對稱軸是化簡得考點(diǎn)：三角函數(shù)性質(zhì)點(diǎn)評：利用對稱軸處取最值求解11.三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC邊上的一個動點(diǎn)，且直線PQ與面ABC所成角的最大值為則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出△ABC的外接圓圓心與三棱錐P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半徑，再計(jì)算它的表面積．【詳解】三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直線PQ與平面ABC所成角為θ，如圖所示；則sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距離為，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圓圓心為O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H為PA的中點(diǎn)，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積是S=4πR2=4×=57π．故答案為C【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和線面位置關(guān)系，考查了幾何體外接球的應(yīng)用問題，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的駕馭水平和分析推理實(shí)力.解題的關(guān)鍵求外接球的半徑．12.2024年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)覺的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確解除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的親密接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的親密接觸者”，這種狀況下醫(yī)護(hù)人員要對其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為（）且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當(dāng)時，最大，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意分別求出事務(wù)A：檢測5個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事務(wù)B：檢測6個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達(dá)式,再依據(jù)基本不等式即可求出.【詳解】設(shè)事務(wù)A：檢測5個人確定為“感染高危戶”,事務(wù)B：檢測6個人確定為“感染高危戶”,∴,.即設(shè),則∴當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,即.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的計(jì)算,涉及相互獨(dú)立事務(wù)同時發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,互斥事務(wù)概率加法公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是對題意的理解和事務(wù)的分解,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力和數(shù)學(xué)建模實(shí)力,屬于較難題.二?填空題13.已知隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布且，則_____________【答案】0.76【解析】【分析】由已知條件可知數(shù)據(jù)對應(yīng)的正態(tài)曲線的對稱軸，依據(jù)對稱性即可得到結(jié)果.【詳解】隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布,則曲線的對稱軸為，，由可得，則故答案為0.76．【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求在給定區(qū)間上的概率，求解的關(guān)鍵是把所求區(qū)間用已知區(qū)間表示；正態(tài)曲線的主要性質(zhì)是：（1）正態(tài)曲線關(guān)于對稱；（2）在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1.14.在數(shù)列中，，，則__________．【答案】2492【解析】【分析】依據(jù)累加法可得，代入即得結(jié)果.【詳解】令，則，，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查利用累加法求數(shù)列通項(xiàng)，考查基本運(yùn)算求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.15.已知雙曲線的一條漸近線為，圓與交于兩點(diǎn)，若是等腰直角三角形，且(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】求出雙曲線的漸近線方程，圓的圓心與半徑，在中，由余弦定理得：，利用距離推出關(guān)系式，然后求解離心率即可．【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，取的方程為：由是等腰直角三角形，則又，即，即所以，，在中，由余弦定理得：由是等腰直角三角形，可得邊上的高為2，即圓心到漸近線的距離為2.所以，即，所以則，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡潔性質(zhì)的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．16.若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）在和兩處取得極值，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】分析】先將函數(shù)在和兩處取得極值，轉(zhuǎn)化為方程有兩不等實(shí)根，且，再令，將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)滿意，用導(dǎo)數(shù)方法探討單調(diào)性，作出簡圖，求出時，的值，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)在和兩處取得極值，所以是方程的兩不等實(shí)根，且，即有兩不等實(shí)根，且，令，則直線與曲線有兩交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿意，又，由得，所以，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時，，即函數(shù)在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由得，此時，因此，由得.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，已知函數(shù)極值點(diǎn)間的關(guān)系求參數(shù)的問題，通常須要將函數(shù)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根，再轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)的問題來處理，屬于?？碱}型.三?解答題17.如圖,五邊形中,四邊形為長方形,為邊長為的正三角形,將沿折起,使得點(diǎn)在平面上的射影恰好在上.（Ⅰ）當(dāng)時,證明:平面平面；（Ⅱ）若,求平面與平面所成二面角的余弦值的肯定值.【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).【解析】【詳解】【分析】試題分析：（Ⅰ）作，垂足為，依題意得平面，則，平面，，結(jié)合勾股定理可得，則平面，平面平面.（Ⅱ）由幾何關(guān)系，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得平面的法向量，平面的法向量.計(jì)算可得平面與平面所成二面角的余弦值的肯定值為.試題解析：（Ⅰ）作，垂足為，

依題意得平面，，又，平面，利用勾股定理得，同理可得.在中，平面，又平面，所以平面平面（Ⅱ）連結(jié)，，，，又四邊形為長方形，.取中點(diǎn)為，得∥，連結(jié)，其中，，由以上證明可知相互垂直，不妨以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

，，設(shè)是平面的法向量，

則有即，令得設(shè)是平面的法向量，則有即令得.則所以平面與平面所成二面角的余弦值的肯定值為.18.已知數(shù)列為等差數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，數(shù)列滿意：，當(dāng)，時，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）令，證明：.【答案】（1）;;(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）用和將已知，表示出來即可求出首項(xiàng)公差,從而可求通項(xiàng)公式；由可得，兩式相減進(jìn)行整理可求出的通項(xiàng)公式.（2）用錯位相減法求出的前項(xiàng)和，即可證明不等式.【詳解】解：（1）數(shù)列為等差數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則：，解得：，所以.因?yàn)棰偎援?dāng)時，.②①﹣②得：，由于，整理得（常數(shù)）.所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以.證明：（2）由（1）得.所以①，故②①﹣②得：.所以.即.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式，考查了由遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，考查了錯位相減法.對于等差數(shù)列求通項(xiàng)公式時，常用的方法為基本量法，即用首項(xiàng)和公差表示出已知條件，從而求出首項(xiàng)和公差.本題的易錯在于錯位相減時的計(jì)算上，常算錯數(shù)，或者最終遺忘系數(shù)化1.19.體溫是人體健康狀況的干脆反應(yīng)，一般認(rèn)為成年人腋下溫度T（單位：）平均在之間即為正常體溫，超過即為發(fā)熱．發(fā)熱狀態(tài)下，不同體溫可分成以下三種發(fā)熱類型：低熱：；高熱：；超高熱（有生命危急）：．某位患者因患肺炎發(fā)熱，于12日至26日住院治療．醫(yī)生依據(jù)病情改變，從14日起先，以3天為一個療程，分別用三種不同的抗生素為該患者進(jìn)行消炎退熱．住院期間，患者每天上午8：00服藥，護(hù)士每天下午16：00為患者測量腋下體溫記錄如下：抗生素運(yùn)用狀況沒有運(yùn)用運(yùn)用“抗生素A”療運(yùn)用“抗生素B”治療日期12日13日14日15日16日17日18日19日體溫（）38.739.439.740.139.939.238.939.0抗生素運(yùn)用狀況運(yùn)用“抗生素C”治療沒有運(yùn)用日期20日21日22日23日24日25日26日體溫（）38.438.037.637.136.836.636.3（I）請你計(jì)算住院期間該患者體溫不低于的各天體溫平均值；（II）在19日—23日期間，醫(yī)生會隨機(jī)選取3天在測量體溫的同時為該患者進(jìn)行某一特別項(xiàng)目“a項(xiàng)目”的檢查，記X為高熱體溫下做“a項(xiàng)目”檢查的天數(shù)，試求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（III）抗生素治療一般在服藥后2-8個小時就能出現(xiàn)血液濃度的高峰，起先殺滅細(xì)菌，達(dá)到消炎退熱效果．假設(shè)三種抗生素治療效果相互獨(dú)立，請依據(jù)表中數(shù)據(jù)，推斷哪種抗生素治療效果最佳，并說明理由．【答案】（I）平均值為（II）分布列見解析，．（III）“抗生素C”治療效果最佳，理由見解析.【解析】【分析】（I）依據(jù)所給表格，可計(jì)算體溫不低于的各天體溫平均值；（II）由題意可知X的全部可能取值為0，1，2，分別求得各自的概率，即可得分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望；（III）依據(jù)三種抗生素治療后溫度的改變狀況，結(jié)合平均體溫柔體溫方差，即可做出推斷.【詳解】（I）由表可知，該患者共6天的體溫不低于，記平均體溫為，．所以，患者體溫不低于的各天體溫平均值為（Ⅱ）X的全部可能取值為0，1，2，，，則X的分布列為：X012所以．（Ⅲ）“抗生素C”治療效果最佳，理由如下：①“抗生素B”運(yùn)用期間先連續(xù)兩天降溫后又回升，“抗生素C”運(yùn)用期間持續(xù)降溫共計(jì)，說明“抗生素C”降溫效果最好，故“抗生素C”治療效果最佳②“抗生素B”治療期間平均體溫，方差約為0.0156：“抗生素C”平均體溫，方差約為0.1067，“抗生素C”治療期間體溫離散程度大，說明存在某個時間節(jié)點(diǎn)降溫效果明顯，故“抗生素C”治療效果最佳．【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)的求法，古典概型概率求法，離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，分析實(shí)際問題方案的解決方法，屬于中檔題.20.已知橢圓E：，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與E有兩個交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．若，點(diǎn)K在橢圓E上，、分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，求的范圍；證明：直線OM斜率與l的斜率的乘積為定值；若l過點(diǎn)，射線OM與橢圓E交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時直線l斜率；若不能，說明理由．【答案】（1）（2）見證明；（3）見解析【解析】【分析】，橢圓E：，兩個焦點(diǎn)，，設(shè)，求出的表達(dá)式，然后求解范圍即可．設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，，利用點(diǎn)差法轉(zhuǎn)化求解即可．直線l過點(diǎn)，直線l不過原點(diǎn)且與橢圓E有兩個交點(diǎn)的充要條件是且設(shè)，設(shè)直線，代入橢圓方程，通過四邊形OAPB為平行四邊形，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】，橢圓E：，兩個焦點(diǎn)，設(shè)，，，，，的范圍是設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，，則兩式相減，得，，即，故；設(shè)，設(shè)直線，即，由的結(jié)論可知，代入橢圓方程得，，由與，聯(lián)立得若四邊形OAPB為平行四邊形，那么M也是OP的中點(diǎn)，所以，即，整理得解得，．經(jīng)檢驗(yàn)滿意題意所以當(dāng)時，四邊形OAPB為平行四邊形【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，點(diǎn)差法，直線與橢圓的交點(diǎn)，考查分析問題解決問題的實(shí)力，精確轉(zhuǎn)化平行四邊形是關(guān)鍵，是中檔題21.已知，函數(shù).（1）推斷極值點(diǎn)的個數(shù)；（2）若是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，證明：.【答案】（1）個.（2）證明見解析【解析】【分析】(1)依據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，推斷出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而證得函數(shù)有兩個極值點(diǎn).(2)依據(jù)（1）的結(jié)論，得，且，化簡后可得，由此證得不等式成立.【詳解】（1）由題意得，，令，，則在上遞增，且，當(dāng)時，，遞減；當(dāng)，，遞增∴∵，，∴，.當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減，∴是的極大值點(diǎn)∵，，∴，.當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增，∴是的微小值點(diǎn).∴在上有兩個極值點(diǎn)（2）證明：是函數(shù)的兩個極值點(diǎn).由（1）得，且，即，所以.∴，，，由，則，即，所以∴設(shè)，則，∴在時單調(diào)遞減，則∴，則.∴【點(diǎn)睛】本題主要考查利用二次求導(dǎo)探討函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查了分析問題解決問題的實(shí)力，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，難度較大，屬于難題.22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)