2023年考研數學二真題及答案解析

2023年數學（二）考研真題及解答一、填空題（1）曲線的水平漸近線方程為.（2）設函數在處連續(xù)，則.（3）廣義積分.（4）微分方程的通解是.（5）設函數由方程擬定，則=.（6）設矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則=.二、選擇題（7）設函數具有二階導數，且，為自變量在處的增量，與分別為在點處相應的增量與微分，若，則 （A） （B） （C） （D） 【】（8）設是奇函數，除外處處連續(xù)，是其第一類間斷點，則是（A）連續(xù)的奇函數. （B）連續(xù)的偶函數（C）在間斷的奇函數 （D）在間斷的偶函數. 【】（9）設函數可微，，則等于 （A）. （B） （C） （D） 【】（10）函數滿足一個微分方程是 （A） （B） （C） （D）（11）設為連續(xù)函數，則等于 （A） （B） （C） （D） 【】（12）設與均為可微函數，且.已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項對的的是（A）若，則.（B）若，則.（C）若，則.（D）若，則. 【】（13）設均為維列向量，是矩陣，下列選項對的的是 （A）若線性相關，則線性相關. （B）若線性相關，則線性無關. （C）若線性無關，則線性相關.（D）若線性無關，則線性無關. 【】（14）設為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的-1倍加到第2列得，記，則（A） （B） （C） （D）三解答題15．試擬定A，B，C的常數值，使得，其中是當。16．17．18．19．20設函數滿足等式(Ⅰ)驗證.(Ⅱ)若.21已知曲線的方程為（Ⅰ）討論的凹凸性；（Ⅱ）過點（-1，0）引的切線，求切點，并寫出切線的方程；（Ⅲ）求此切線與（相應于的部分）及軸所圍成的平面圖形的面積。22已知非齊次線性方程組Ⅰ證明方程組系數矩陣A的秩Ⅱ求的值及方程組的通解23設3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量是線性方程組A=0的兩個解,(Ⅰ)求A的特性值與特性向量(Ⅱ)求正交矩陣Q和對角矩陣A,使得.

真題答案解析一、填空題（1）曲線的水平漸近線方程為（2）設函數在x=0處連續(xù)，則a=（3）廣義積分（4）微分方程的通解是（5）設函數擬定，則 當x=0時，y=1， 又把方程每一項對x求導， 二、選擇題（7）設函數具有二階導數，且為自變量x在點x0處的增量，，則[A] （A） （B） （C） （D） 由嚴格單調增長 是凹的 即知（8）設是奇函數，除外處處連續(xù)，是其第一類間斷點，則 是[B] （A）連續(xù)的奇函數 （B）連續(xù)的偶函數 （C）在x=0間斷的奇函數 （D）在x=0間斷的偶函數（9）設函數則g(1)等于[C] （A） （B） （C） （D）∵，（10）函數滿足的一個微分方程是[D] （A） （B） （C） （D） ∵特性根為1和-2，故特性方程為（11）設為連續(xù)函數，則等于[C] （A） （B） （C） （D）（12）設均為可微函數，且在約束條件下的一個極值點，下列選項對的的是[D] （A）若 （B）若 （C）若 （D）若今代入(1)得今故選[D]三、解答題（15）試擬定A，B，C的常數值，使其中是當. 解：泰勒公式代入已知等式得 整理得 比較兩邊同次冪函數得 B+1=A ①C+B+=0 ② ③式②-③得 代入①得 代入②得 （16）求 解：原式= （17）設區(qū)域 計算二重積分 解：用極坐標系 （18）設數列滿足， 證明：（1）存在，并求極限 （2）計算 證：（1） 單調減少有下界 根據準則1，存在 在兩邊取極限得 因此 （2）原式 離散散不能直接用洛必達法則 先考慮 用洛必達法則 （19）證明：當時，證：令 只需證明單調增長（嚴格） 單調減少（嚴格）又故單調增長（嚴格） 得證（20）設函數內具有二階導數，且滿足等式（I）驗證 （II）若求函數證：（I） （II）令 （21）已知曲線L的方程（I）討論L的凹凸性（II）過點引L的切線，求切點，并寫出切線的方程（III）求此切線與L（相應部分）及x軸所圍的平面圖形的面積解：（I） （II）切線方程為，設，， 則 得 點為（2，3），切線方程為 （III）設L的方程則由于（2，3）在L上，由線代(6)設A=21,2階矩陣B滿足BA=B+2E,則|B|=.-12解:由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,兩邊取行列式,得|B||A-E|=|2E|=4,計算出|A-E|=2,因此|B|=2.(13)設1,2,…,s都是n維向量，A是mn矩陣，則（）成立.(A)若1,2,…,s線性相關,則A1,A2,…,As線性相關.(B)若1,2,…,s線性相關,則A1,A2,…,As線性無關.(C)若1,2,…,s線性無關,則A1,A2,…,As線性相關.(D)若1,2,…,s線性無關,則A1,A2,…,As線性無關.解:(A)本題考的是線性相關性的判斷問題,可以用定義解.若1,2,…,s線性相關,則存在不全為0的數c1,c2,…,cs使得c11+c22+…+css=0,用A左乘等式兩邊,得c1A1+c2A2+…+csA于是A1,A2,…,As線性相關.假如用秩來解,則更加簡樸明了.只要熟悉兩個基本性質,它們是:1.1,2,…,s線性無關r(1,2,…,s)=s.2.r(AB)r(B).矩陣(A1,A2,…,As)=A(1,2,…,s),因此r(A1,A2,…,As)r(1,2,…,s).由此立即可判斷答案應當為(A).(14)設A是3階矩陣,將A的第2列加到第1列上得B,將B的第1列的-1倍加到第2列上得C.記110P=010,則001(A)C=P-1AP.(B)C=PAP-1.(C)C=PTAP.(D)C=PAPT.解:(B)用初等矩陣在乘法中的作用得出B=PA,1-10C=B010=BP-1=PAP-1.001(22)已知非齊次線性方程組x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1，ax1+x2+3x3+bx4=1有3個線性無關的解.=1\*GB3①證明此方程組的系數矩陣A的秩為2.=2\*GB3②求a,b的值和方程組的通解.解:=1\*GB3①設1,2,3是方程組的3個線性無關的解,則2-1,3-1是AX=0的兩個線性無關的解.于是AX=0的基礎解系中解的個數不少于2,即4-r(A)2,從而r(A)2.又由于A的行向量是兩兩線性無關的,所以r(A)2.兩個不等式說明r(A)=2.=2\*GB3②對方程組的增廣矩陣作初等行變換:1111-11111-1(A|)=435-1-10–11–53,a13b1004-2a4a+b-54-2a由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后繼續(xù)作初等行變換:102-4201-15-3.00000得同解方程組x1=2-2x3+4x4，x2=-3+x3-5x4，求出一個特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基礎解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程組的通解:(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,c1,c2任意.(23)設3階實對稱矩陣A的各行元素之和都為3,向量1=(-1,2,-1)T,2=(0,-1,1)T都是齊次線性方程組AX=0的解.=1\*GB3①求A的特性值和特性向量.=2\*GB3②求作正交矩陣Q和對角矩陣,使得QTAQ=.解:=1\*GB3①條件說明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即0=(1,1,1)T是A的特性向量,特性值為3.又1,2都是AX=0的解說明它們也都是A的特性向量,特性值為0.由于1,2線性無關,特性值0的重數大于1.于是A的特性值為3,0,0.屬