數(shù)字信號處理（第3版）課件 第06章 離散傅里葉變換DFT

第6章離散傅里葉變換（DFT）

6.1DFT的定義6.2DFT與DFS的關(guān)系6.3頻域取樣6.4DFT的性質(zhì)6.5用DFT實(shí)現(xiàn)信號譜分析6.1DFT的定義長度為N的因果序列傅里葉變換是：在區(qū)間，等間隔地取N個(gè)頻率其傅里葉變換的取值是：采用簡寫符號N點(diǎn)離散傅里葉變換（DFT）

N點(diǎn)DFT是對長度為N的因果序列的傅里葉變換的N點(diǎn)等間隔取樣

DFT和IDFT變換對特殊變換對證明正反變換互逆證明5點(diǎn)DFT是FT的5等分取樣舉例盡管取樣點(diǎn)數(shù)很少，也能通過IDFT重構(gòu)時(shí)域信號舉例將W右上角的自變量全部化成正整數(shù)舉例0515k6.2DFT與DFS的關(guān)系將序列以N為周期延拓成周期序列0n808n-12N=12......舉例后兩種表示只適用于無混疊的周期性延拓x[n]的N點(diǎn)DFT可以表示成：DFT反變換可以表示成：DFT和IDFT具有固有的周期性（指數(shù)學(xué)計(jì)算上的周期性）有限長信號的DFT是其無混疊的周期性延拓信號的DFS的主周期，IDFT是IDFS的主周期舉例強(qiáng)調(diào)DFT定義的特點(diǎn)DFT點(diǎn)數(shù)大于等于x[n]的長度DFT點(diǎn)數(shù)、求和項(xiàng)數(shù)、FT的取樣點(diǎn)數(shù)、周期信號的周期四者全部一致6.3頻域取樣討論當(dāng)頻域取樣點(diǎn)數(shù)不等于信號長度時(shí)：（1）是否能重構(gòu)時(shí)域信號；（2）是否能內(nèi)插出連續(xù)的傅里葉變換函數(shù)；（3）是否能采用DFT計(jì)算。設(shè)序列x[n]長度為M（M可以是無窮大），已知其N點(diǎn)頻域取樣

取樣點(diǎn)數(shù)N可以是大于等于或小于M的整數(shù)，則利用IDFS可以重構(gòu)一個(gè)周期信號：

利用N點(diǎn)IDFT可以重構(gòu)一個(gè)有限長信號：時(shí)域取樣

頻域周期性延拓頻域取樣

時(shí)域周期性延拓1.采用頻域取樣重構(gòu)時(shí)域信號將上面的離散的頻域取樣值當(dāng)成某信號的頻域，則該信號是周期的，通過IDFS計(jì)算:設(shè)x[n]任意長，頻域取樣點(diǎn)數(shù)N證明頻域取樣后重構(gòu)的時(shí)域信號x1[n]與原信號x[n]

的時(shí)域關(guān)系示意圖（x[n]長度M，頻域取樣N點(diǎn)）頻域取樣點(diǎn)數(shù)N≥信號的時(shí)域長度M頻域取樣點(diǎn)數(shù)N<信號的時(shí)域長度M原信號的尾部混疊到了頭部只有當(dāng)序列長度有限，并且頻域取樣點(diǎn)數(shù)大于或等于序列的長度時(shí)（此時(shí)N點(diǎn)頻域取樣就是N點(diǎn)DFT），才能夠由頻域取樣無失真地重構(gòu)原始時(shí)域信號（否則重構(gòu)的時(shí)域信號是原信號的混疊），并且也才能夠通過如下的理想內(nèi)插得到無失真的傅里葉變換：

2.頻域取樣定理證明3.利用DFT求信號的傅里葉變換的取樣（1）頻域取樣點(diǎn)數(shù)N大于信號長度M：時(shí)域補(bǔ)零到N后作N點(diǎn)的DFT，得到對其FT的N點(diǎn)取樣。（2）頻域取樣點(diǎn)數(shù)N小于信號長度M：將時(shí)域以N為周期延拓（有混疊），取主周期得到長度為N的信號，再作N點(diǎn)DFT，得到對其FT的N點(diǎn)取樣。10點(diǎn)DFT比5點(diǎn)DFT更真實(shí)地反映信號頻譜舉例1.DFT的時(shí)域頻域信號都是相同長度的因果有限長信號，

DFT點(diǎn)數(shù)必須大于等于信號長度。2.DFT的時(shí)域和頻域都是對應(yīng)的周期信號（原有限長信號的無混

疊的周期性延拓）的時(shí)域和頻域的主周期。3.N點(diǎn)DFT是DTFT的N等分取樣，N越大取樣越密，線性內(nèi)插越

接近DTFT，通常選取N遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于信號長度；

反過來信號的DTFT的N等分取樣不一定是信號的N點(diǎn)DFT，也不

一定能重構(gòu)原始時(shí)域信號，只有N大于信號長度時(shí)前述2條才成立

，這就是頻域取樣定理。M點(diǎn)x[n]的DTFT的N點(diǎn)取樣，通過N點(diǎn)IDFT重構(gòu)的時(shí)域信號：（1）N=M，x[n]（2）N>M，x[n]的補(bǔ)零（3）N<M，x[n]的混疊

反過來，用N點(diǎn)DFT求M點(diǎn)序列x[n]的DTFT的N點(diǎn)取樣的方法：（1）N=M，直接作x[n]的N點(diǎn)DFT（2）N>M，x[n]補(bǔ)零到N點(diǎn)，再作N點(diǎn)DFT（3）N<M，將x[n]混疊成N點(diǎn)序列，再作N點(diǎn)DFT6.1-6.3小結(jié)6.4DFT的性質(zhì)2.循環(huán)（圓周）移位性質(zhì)1.線性性質(zhì)

定義序列x[n]在區(qū)間上以N為模的循環(huán)移位為

舉例(1)(2)兩邊取主周期兩邊取主周期證明解:例題3.對偶性是x[n]以N為模的循環(huán)翻折舉例4.對稱性質(zhì)

定義::圓周（周期）共軛對稱分量

:圓周（周期）共軛反對稱分量任意序列可以表示成周期性共軛對稱信號：周期性延拓后相對原點(diǎn)共軛對稱周期性共軛反對稱信號：周期性延拓后相對原點(diǎn)共軛反對稱舉例5.實(shí)序列的DFT

N=10Real{X[k]}Imag{X[k]}|X[k]|arg{X[k]}舉例N=9（奇數(shù)點(diǎn)）|X[k]|Arg{X[k]}6.帕斯瓦爾定理

證明定義兩個(gè)長度為N的序列的N點(diǎn)循環(huán)卷積為

7.循環(huán)卷積性質(zhì)*圖解法求循環(huán)卷積：循環(huán)翻折；循環(huán)移位；矢乘；累加。55730123n4舉例NN證明循環(huán)卷積與線性卷積的關(guān)系

當(dāng)循環(huán)卷積的點(diǎn)數(shù)N大于等于線性卷積的長度時(shí)，循環(huán)卷積等于線性卷積；否則，循環(huán)卷積是有混疊的線性卷積。N點(diǎn)取樣N點(diǎn)IDFT根據(jù)循環(huán)卷積性質(zhì)根據(jù)頻域取樣FT頻域取樣關(guān)系利用頻域取樣的概念證明線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系：循環(huán)卷積與線性卷積在頻域是取樣關(guān)系，所以時(shí)域是周期性延拓取主周期的關(guān)系。N>=max{N1,N2}證明線性卷積6點(diǎn)循環(huán)卷積=線性卷積混迭加12點(diǎn)循環(huán)卷積=線性卷積舉例（1）取DFT點(diǎn)數(shù)N大于等于線性卷積信號的長度

（2）對x[n]和h[n]分別補(bǔ)零到N點(diǎn)長度，分別作N點(diǎn)

DFT得到X[k]和H[k]

利用DFT計(jì)算線性卷積

（3）計(jì)算Y[k]=X[k]H[k]（4）計(jì)算Y[k]的DFT反變換得到N點(diǎn)循環(huán)卷積，即線性卷積

y[n]=x[n]*h[n]6.4小結(jié)(定義x[N]=x[0],X[N]=X[0])6.5用DFT實(shí)現(xiàn)信號譜分析

6.5.1短時(shí)傅里葉變換舉例常用的窗函數(shù)：布萊克曼窗族（三角形窗除外）

布萊克曼窗族(三角形窗除外，M=20)6.5.2用DFT實(shí)現(xiàn)短時(shí)傅里葉分析時(shí)域加窗和頻域取樣導(dǎo)致用V[k]估計(jì)有誤差。C/DDFTxc(t)Tx[n]w[n]v[n]V[k]V(ejω),V[k]-π0π

ω-N/20N/2k-π/T0π/TΩ

Xc(jΩ)X(ejω)假設(shè)C/D無混疊和量化誤差-π0π

ω

W(ejω)-π0π

ω

用V[k]推斷Xc(jΩ)的步驟:(1)V[k]線性內(nèi)插成V(ejω)≈

X(ejω)

k

ω(2)ω

Ω，幅度T倍，得到Xc(jΩ)TT時(shí)域加窗和頻域取樣引入誤差舉例1．時(shí)域加窗的影響

加窗前加窗后加窗前加窗后（1）譜線展寬成窗頻譜的主瓣寬，導(dǎo)致：難以確定頻率的位置和幅度（譜泄露）；降低頻率分辨率。（2）產(chǎn)生旁瓣，衰減等于窗頻譜的旁瓣衰減，

導(dǎo)致：產(chǎn)生假信號；淹沒小信號。定義頻率分辨率（能分辨的最小頻率間隔

）=窗頻譜的主瓣寬，即舉例能分辨的最小頻率間隔=主瓣寬舉例ω(х

πrad)布萊克曼窗族的傅里葉變換(M=20)常用窗函數(shù)的主瓣寬和旁瓣相對幅度

主瓣寬與窗形狀及窗長有關(guān)。增加窗長，能減小主瓣寬，從而提高頻率分辨率。同樣的窗長，矩形窗的主瓣寬最小，即頻率分辨率最高。另外，窗越長則時(shí)間分辨率越低。2.頻域取樣的影響

傅里葉變換

沒有取樣到峰值的DFT

只取樣到峰值和零值的DFT增加DFT的點(diǎn)數(shù)N能夠取樣到更多的細(xì)節(jié)，因此常常使用時(shí)域補(bǔ)