專題22任意角與弧度制8種常見考法歸類（75題）

專題22任意角與弧度制8種常見考法歸類（75題）考點(diǎn)一任意角的概念考點(diǎn)二終邊相同的角找終邊相同的角終邊在某條直線上的角的集合考點(diǎn)三象限角及區(qū)域角的表示（一）確定角所在的象限（二）區(qū)域角考點(diǎn)四弧度制的概念考點(diǎn)五角度制與弧度制的互化考點(diǎn)六用弧度制表示有關(guān)的角考點(diǎn)七扇形的弧長、面積考點(diǎn)八扇形中的最值問題知識點(diǎn)1：任意角1、任意角(1)角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．(2)角的表示：如圖所示：角α可記為“α”或“∠α”或“∠AOB”，始邊：OA，終邊：OB，頂點(diǎn)O.(3)角的分類：名稱定義圖示正角一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的加法與減法設(shè)α，β是任意兩個(gè)角，－α為角α的相反角．(1)α＋β：把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．知識點(diǎn)2：象限角1、定義：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.注：“銳角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？銳角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是銳角，也可以是大于360°的角，還可以是負(fù)角，小于90°的角可以是銳角，也可以是零角或負(fù)角．2、象限角的常用表示：第一象限角第二象限角第三象限角或第四象限角或知識點(diǎn)3：軸線角1、定義：軸線角是指以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為始邊，終邊落在坐標(biāo)軸上的角.2、軸線角的表示：①終邊落在軸非負(fù)半軸②終邊落在軸非負(fù)半軸③終邊落在軸非正半軸或④終邊落在軸非正半軸或⑤終邊落在軸⑥終邊落在軸或⑦終邊落在坐標(biāo)軸知識點(diǎn)4：終邊相同的角的集合所有與角終邊相同的角為知識點(diǎn)5：角度制與弧度制的概念1、弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫).2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：，3、常用的角度與弧度對應(yīng)表角度制弧制度知識點(diǎn)6：扇形中的弧長公式和面積公式弧長公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.解題策略12、理解與角的概念有關(guān)問題的關(guān)鍵正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小．另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可．2、終邊相同的角的表示(1)終邊相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式．(2)終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍．3、象限角的判定方法①根據(jù)圖象判定．利用圖象實(shí)際操作時(shí)，依據(jù)是終邊相同的角的思想，因?yàn)?°～360°之間的角與坐標(biāo)系中的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系．②將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在0°～360°之間沒有兩個(gè)角終邊是相同的．4、表示區(qū)域角的三個(gè)步驟第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界．第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、終止邊界對應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合．5、確定nα及eq\f(α,n)所在的象限分類討論時(shí)要對k的取值分以下幾種情況進(jìn)行討論：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下結(jié)論．幾何法依據(jù)數(shù)形結(jié)合，簡單直觀．通過該類問題，提升邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng)．6、角度與弧度互化技巧在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，抓住關(guān)系式πrad＝180°是關(guān)鍵，由它可以得到：度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)，弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)．7、用弧度制表示終邊相同角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)用弧度制表示終邊相同的角2kπ＋α(k∈Z)時(shí)，其中2kπ是π的偶數(shù)倍，而不是整數(shù)倍．(2)注意角度制與弧度制不能混用．8、扇形的弧長和面積的求解策略(1)記公式：弧度制下扇形的面積公式是S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2(其中l(wèi)是扇形的弧長，R是扇形的半徑，α是扇形圓心角的弧度數(shù)，0<α<2π)．(2)找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計(jì)算問題，關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解．考點(diǎn)一任意角的概念1.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）【多選】下列說法錯(cuò)誤的是（）A．鈍角是第二象限角B．第二象限角比第一象限角大C．大于的角是鈍角D．是第二象限角【答案】BCD【解析】對于A選項(xiàng)，鈍角的范圍是，第二象限角的取值范圍是，因?yàn)?，所以，鈍角是第二象限角，A對；對于B選項(xiàng)，是第二象限角，是第一象限角，但，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，，但不是鈍角，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，，且，故是第三象限角，D錯(cuò).故選：BCD.2．（2024·福建南平·高一武夷山一中?？计谥校┌逊轴槗芸?5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度為.【答案】【分析】分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度為，計(jì)算得到答案.【詳解】分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度為.故答案為：.3.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）時(shí)鐘走了3小時(shí)20分，則時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過的角的度數(shù)為，分針轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為．【答案】【詳解】因?yàn)闀r(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)，分針每小時(shí)轉(zhuǎn)，又因?yàn)闀r(shí)針、分針都按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度數(shù)為，分針轉(zhuǎn)過的角度數(shù)為．故答案為：；4．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，射線繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，并在此基礎(chǔ)上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120到達(dá)位置，則．【答案】．【分析】由角的定義即可求解.【詳解】由角的定義可得．故答案為：5．（2024·湖南·高一南縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）第24屆冬季奧運(yùn)會于2023年2月4日至2月20日在北京舉行，中國運(yùn)動員通過頑強(qiáng)拼搏，共獲得9枚金牌，列金牌榜第三名，創(chuàng)造了冬奧會上新的輝煌.在冬奧會的比賽中有一位滑地運(yùn)動員做了一個(gè)空中翻騰五周的高難度動作，那么“空中翻騰五周”等于度（不考慮符號）.【答案】1800【分析】由任意角的概念求解.【詳解】“空中翻騰五周”等于5×360°=1800°，故答案為：18006．（2024·高一校考課時(shí)練習(xí)）已知集合A={|為銳角}，B={|為小于的角}，C={|為第一象限角}，D={|為小于的正角}，則下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D【答案】D【分析】根據(jù)題意，將各個(gè)集合化簡，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)锳={|為銳角}，D={|為小于的正角}，對于集合，小于的角包括零角與負(fù)角，對于集合，C={|為第一象限角}，所以A=D，故選：D7．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）求下列各式的值，并作圖說明運(yùn)算的幾何意義．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)30°，圖像和幾何意義見解析；(2)－120°，圖像和幾何意義見解析；(3)210°，圖像和幾何意義見解析；【分析】在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸非負(fù)半軸作始邊，沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角，加上一個(gè)角為終邊沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，減去一個(gè)角為終邊沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn).【詳解】（1），在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸非負(fù)半軸作始邊，沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角，表示90°角的終邊沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°：（2），在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸非負(fù)半軸作始邊，沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角，表示60°角的終邊沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°：（3），在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸非負(fù)半軸作始邊，沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角，表示－60°角的終邊沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°：8．（2024·全國·高一課堂例題）下列所示圖形中，的是；的是．

【答案】①④②③【分析】根據(jù)角的終邊與始邊的位置依次去判斷即可.【詳解】在①中，與的始邊相同，的終邊為的始邊，與的終邊相同，所以；在②中，與的始邊相同，的終邊為的始邊，與的終邊相同，所以；在③中，與的始邊相同，的終邊為的始邊，與的終邊相同，所以；在④中，與的始邊相同，的終邊為的始邊，與的終邊相同，所以.的是①④；的是②③.故答案為：①④；②③.考點(diǎn)二終邊相同的角（一）找終邊相同的角9.【多選】（2023·全國·高一課堂例題）與角終邊相同的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】與終邊相同的角可寫為：，，，，與角終邊相同的角的集合為：，A正確；，C正確.故選：AC.10．（2024·安徽·高二校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，下列與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用終邊相同的角的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，所以與終邊相同.故選：B11．（2024·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校?？计谀┫铝懈鹘侵校c角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)即可得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤.對選項(xiàng)B，因?yàn)椋蔅正確.對選項(xiàng)C，，故C錯(cuò)誤.對選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤.故選：B12.（2023春·廣西北海·高一統(tǒng)考期末）下列各角中，與角終邊相同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于B，因?yàn)椋越桥c角的終邊相同，B正確；對于A，因?yàn)椴皇堑恼麛?shù)倍，所以它們的終邊不同，A錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)椴皇堑恼麛?shù)倍，所以它們的終邊不同，C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)椴皇堑恼麛?shù)倍，所以它們的終邊不同，D錯(cuò)誤.故選：B.13．（2024·廣東東莞·高一?？计谥校┱垖懗雠c終邊相同的最小正角：.【答案】【分析】利用終邊相同的角的定義可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故與終邊相同的最小正角為.故答案為：.14.（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α與120°角終邊相同，則α=．【答案】﹣960°．【詳解】試題分析：α與120°角終邊相同，可表示為α=k?360°+120°，k∈Z，結(jié)合角的范圍，可得結(jié)論．解：α與120°角終邊相同，∴α=k?360°+120°，k∈Z．∵﹣990°＜k?360°+120°＜﹣630°，∴﹣1110°＜k?360°＜﹣750°．又k∈Z，∴k=﹣3，此時(shí)α=（﹣3）×360°+120°=﹣960°．故答案為﹣960°．15．（2024·全國·高一課堂例題）在區(qū)間內(nèi)找出與下列各角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)280°，第四象限角(2)160°，第二象限角(3)，第三象限角【分析】通過角的終邊所成角為，分別對各個(gè)小問進(jìn)行化簡，并在區(qū)間內(nèi)找出與之終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．【詳解】（1）因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)，與角終邊相同的角是280°，它是第四象限角．（2）因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)，與1600°角終邊相同的角是160°，它是第二象限角．（3）因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)，與角終邊相同的角是，它是第三象限角．16．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式的元素寫出來：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)終邊相同角的定義可寫出滿足條件的角的集合，然后解不等式，求出滿足條件的整數(shù)的值，即可得出滿足條件的元素.【詳解】（1）解：與終邊相同的角的集合為，由，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，適合不等式的元素為、、.（2）解：因?yàn)?，所以，與終邊相同的角的集合為，由，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，適合不等式的元素為、、.（3）解：因?yàn)椋?，與終邊相同的角的集合為，由，可得、、，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，適合不等式的元素為、、.（4）解：因?yàn)椋?，與終邊相同的角的集合為，由，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，適合不等式的元素為、、.17.（2023春·山東威海·高一統(tǒng)考期末）下列角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知，與角的終邊關(guān)于軸對稱的角為當(dāng)時(shí)，，正確.經(jīng)驗(yàn)證，其他三項(xiàng)均不符合要求.故選：.（二）終邊在某條直線上的角的集合18.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若角的終邊在函數(shù)的圖象上，試寫出角的集合為．【答案】【詳解】解：函數(shù)的圖象是第二、四象限的平分線，在～范圍內(nèi)，以第二象限射線為終邊的角為，以第四象限射線為終邊的角為，∴的集合為或．故答案為：．19.（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中寫出下列角的集合：(1)終邊在軸的非負(fù)半軸上；(2)終邊在上．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在x軸的非負(fù)半軸上的角有一個(gè)，它是0°，所以終邊落在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合為.（2）在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在y=x(x≥0)上的角有一個(gè)，它是45°，所以終邊在y=x(x≥0)上的角的集合為.20.（2023·全國·高一假期作業(yè)）寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．

【答案】答案見解析【詳解】（1）在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝0上的角有兩個(gè)，即0°和180°，又所有與0°角終邊相同的角的集合為，所有與180°角終邊相同的角的集合為，于是，終邊在直線y＝0上的角的集合為．（2）由圖形易知，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝－x上的角有兩個(gè)，即135°和315°，因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合為．（3）結(jié)合（2）知所求角的集合為同理可得終邊在直線y＝x、y=x上的角的集合為，．考點(diǎn)三象限角及區(qū)域角的表示（一）確定角所在的象限21．（2024·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)?？计谥校┑慕K邊在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】應(yīng)用終邊相同的角即可求解.【詳解】的終邊與相同，則終邊在第一象限.故選：A．22.（2024·全國·高一專題練習(xí)）角是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B【解析】因?yàn)?，根?jù)終邊相同角的集合知，與終邊相同，又是第二象限角.故選：B.23．（2024·全國·高一專題練習(xí)）若，，則所在象限是（

）A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限【答案】A【分析】對進(jìn)行賦值即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，為第一象限角，當(dāng)時(shí)，為第三象限角，故選：A.24．【多選】（2024·湖南株洲·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】CD【分析】求出給定的各個(gè)角與到間終邊相同的角，即可作答.【詳解】對于①，，而是第三象限角，①不是；對于②，角的終邊為x軸非正半軸，②不是；對于③，，是第二象限角，③是；對于④，，是第二象限角，④是.故選：CD25．（2024·全國·隨堂練習(xí)）如果角α為銳角，那么，所在的象限是．【答案】一或三【分析】已知α為銳角，要確定，所在的象限，只需對分類討論即可.【詳解】因?yàn)榻铅翞殇J角，所以角α為第一象限角，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，為第一象限角，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，為第三象限角，綜上所述：，所在的象限是一或三.故答案為：一或三.26.（2024·全國·高一專題練習(xí)）若角是第二象限角，則角的終邊所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】C【解析】角是第二象限角，則,所以，故角的終邊在第三象限，故選：C27．（2024·天津河?xùn)|·高三?？茧A段練習(xí)）若是第二象限角，則是象限【答案】第一或第三【分析】先求出在第二象限時(shí)的表示，再求出的表示，最后討論偶數(shù)和奇數(shù)的情況，即可得出結(jié)論.【詳解】由題可知，第二象限角，所以，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在第一象限；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在第三象限.故答案為：第一或第三28.（2023春·江西撫州·高一資溪縣第一中學(xué)校考期中）已知是第一象限角，那么（

）A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角【答案】B【詳解】因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，所以，，所以，，?dāng)為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角，綜上所述，第一、三象限角.故選：B.29.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知角第二象限角，且，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【詳解】因?yàn)榻堑诙笙藿?，所以，所以，?dāng)是偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)為第一象限角；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)為第三象限角.；綜上所述：為第一象限角或第三象限角，因?yàn)?，所以，所以為第三象限角．故選：C．30.【多選】（2023春·江西宜春·高一?？茧A段練習(xí)）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪個(gè)象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ACD【詳解】是第三象限的角，則，，所以，；當(dāng)，，在第一象限；當(dāng)，，在第三象限；當(dāng)，，在第四象限；所以可以是第一、第三、或第四象限角．故選：ACD31．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知角α的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)的終邊在第二或第四象限(2)的終邊在第三或第四象限，也可在軸的負(fù)半軸上(3)的終邊在第二?第三或第四象限(4)的終邊在第二或三或第四象限，也可在軸的負(fù)半軸上【分析】由為第四象限角可知，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，，，角終邊所在區(qū)域，對分類討論可得角終邊所在的位置.【詳解】（1）由于為第四象限角，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，終邊在第二象限，當(dāng)時(shí)，，終邊在第四象限，所以的終邊在第二或第四象限；（2）由（1）得，所以的終邊在第三或第四象限，也可在軸的負(fù)半軸上.（3）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，終邊在第二象限，當(dāng)時(shí)，，終邊在第三象限，當(dāng)時(shí)，，終邊在第四象限，所以的終邊在第二?第三或第四象限；（4）由（1）得，即，所以的終邊在第二或三或第四象限，也可在軸的負(fù)半軸上.（二）區(qū)域角32．（2024·四川眉山·高一?？计谥校?）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合．

（2）已知角，將改寫成的形式，并指出是第幾象限角．【答案】（1）答案見解析；（2）；是第一象限角．【分析】（1）根據(jù)終邊相同的角及角的概念求解即可得；（2）根據(jù)弧度制與角度概念轉(zhuǎn)化書寫即可.【詳解】（1）①；②．（2）∵，∴．又，所以與終邊相同，是第一象限角．33．（2024·江西上饒·高一上饒市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為．

【答案】．【分析】寫出陰影部分邊界處終邊相同的角，再表示出陰影部分角的集合.【詳解】由圖，陰影部分下側(cè)終邊相同的角為，上側(cè)終邊相同的角為且，所以陰影部分（包括邊界）的角的集合為.故答案為：34．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)圖形先求出終邊在角的終邊所在直線上的角的集合和終邊在角的終邊所在直線上的角的集合，從而可求出角的取值范圍，進(jìn)而可求得的取值范圍【詳解】終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，因此終邊在題圖中的陰影區(qū)域內(nèi)的角的取值范圍是，所以角的取值范圍是，故答案為：35.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．(1)

(2)

【答案】(1)(2)【詳解】（1）在范圍內(nèi)，圖中終邊在第二象限的區(qū)域邊界線所對應(yīng)的角為，終邊在第四象限的區(qū)域邊界線所對應(yīng)的角為，因此，陰影部分區(qū)域所表示的集合為；（2）圖中從第四象限到第一象限陰影部分區(qū)域表示的角的集合為，圖中從第二象限到第三象限陰影部分區(qū)域所表示的角的集合為，因此，陰影部分區(qū)域所表示角的集合為.36.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角的取值范圍是．【答案】【詳解】終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，因此終邊在題圖中的陰影區(qū)域內(nèi)的角的取值范圍是，所以角的取值范圍是，故答案為：考點(diǎn)四弧度制的概念37.（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（）A．弧度的圓心角所對的弧長等于半徑B．大圓中弧度的圓心角比小圓中弧度的圓心角大C．所有圓心角為弧度的角所對的弧長都相等D．用弧度表示的角都是正角【答案】A【詳解】對于A，根據(jù)弧度的定義知，“1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑”，故A正確；對于B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等，故B錯(cuò)誤；對于C，不在同圓或等圓中，1弧度的圓心角所對的弧長是不等的，故C錯(cuò)誤；對于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D錯(cuò)誤．考點(diǎn)：弧度制的概念.38.（2023春·湖北荊州·高一沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）自行車的大鏈輪有88齒，小鏈輪有20齒，當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一周時(shí)，小鏈輪轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一周時(shí)，小鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過周，小鏈輪轉(zhuǎn)過的弧度是.故選B.39.（2023·全國·高一專題練習(xí)）親愛的考生，我們數(shù)學(xué)考試完整的時(shí)間是2小時(shí)，則從考試開始到結(jié)束，鐘表的分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.【答案】【詳解】因?yàn)殓姳淼姆轴樲D(zhuǎn)了兩圈，且是按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所以鐘表的分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.故答案為：.40.【多選】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）鐘表在我們的生活中隨處可見，高一某班的同學(xué)們在學(xué)習(xí)了“任意角和弧度制”后，對鐘表的運(yùn)行產(chǎn)生了濃厚的興趣，并展開了激烈的討論，若將時(shí)針與分針視為兩條線段，則下列說法正確的是（

）A．小趙同學(xué)說：“經(jīng)過了5h，時(shí)針轉(zhuǎn)了．”B．小錢同學(xué)說：“經(jīng)過了40min，分針轉(zhuǎn)了．”C．小孫同學(xué)說：“當(dāng)時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為12:35時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的鈍角為．”D．小李同學(xué)說：“時(shí)鐘的時(shí)針與分針一天之內(nèi)會重合22次．”【答案】ACD【詳解】解：經(jīng)過了5h，時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度對應(yīng)的弧度數(shù)為，故A正確．經(jīng)過了40min，分針轉(zhuǎn)過的角度對應(yīng)的弧度數(shù)為，故B錯(cuò)誤．時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為12:35，該時(shí)刻的時(shí)針與分針?biāo)鶌A的鈍角為，故C正確．分針比時(shí)針多走一圈便會重合一次，設(shè)分針走了tmin，第n次和時(shí)針重合，則，得，故，故D正確．故選：ACD41.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】由于，故角的終邊在第一象限，故選：A考點(diǎn)五角度制與弧度制的互化42.（2023·全國·高一課堂例題）把下列各角從度化為弧度：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）；（2）．43．（2024·全國·高一專題練習(xí)）把下列角度與弧度進(jìn)行互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的轉(zhuǎn)化公式解即可得出答案.【詳解】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）（10）.44.（2023秋·天津武清·高三?？茧A段練習(xí)）化為角度是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B45．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）將下列各弧度化成角度.(1)(2)(3)(4)3【答案】(1)15°(2)135°(3)210°(4)171°54′【分析】根據(jù)弧度制的定義，可得答案.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）.46．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）把下列各角化成的形式，并指出它們是哪個(gè)象限的角：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，是第四象限角；(2)，是第二象限角；(3)，是第三象限角；(4)，是第一象限角.【分析】根據(jù)弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化和終邊相同角的定義即可得到答案.【詳解】（1），是第四象限角；（2），是第二象限角；（3），是第三象限角；（4），是第一象限角.47．（2024·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）已知.(1)將寫成的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求與終邊相同的角，滿足．【答案】(1)，是第四象限角；(2)或.【分析】（1）利用，將角度值化為弧度制，并得到所在象限；（2）由，根據(jù)的范圍求出的值，從而可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以.因?yàn)?，所以是第四象限?（2），所以與終邊相同的角可表示為,令，解得，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以或.考點(diǎn)六用弧度制表示有關(guān)的角48.（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列與終邊相同角的集合中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榻嵌戎岛突《戎撇荒芑煊?，故A、B錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔆正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則與終邊不相同，故D錯(cuò)誤；故選：C.49．（2024·全國·高三專題練習(xí)）與終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角度的表示方法分析判斷AB，根據(jù)終邊相同的角的定義分析判斷CD.【詳解】在同一個(gè)表達(dá)式中，角度制與弧度制不能混用，所以A，B錯(cuò)誤．與終邊相同的角可以寫成的形式，時(shí)，，315°換算成弧度制為，所以C錯(cuò)誤，D正確．故選：D．50．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）用弧度制表示與角的終邊相同的角的集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將化為弧度，利用終邊相同的角的定義可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋逝c角的終邊相同的角的集合為.故選：D.51.（2023·全國·高一專題練習(xí)）將－1485°化成的形式是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，所以?485°可化成．故選：D．52.（2023·全國·高一專題練習(xí)）寫出一個(gè)與角終邊相同的正角：（用弧度數(shù)表示）.【答案】（答案不唯一，符合，即可）【詳解】與角終邊相同的角：又題目要求正角，可取，化為弧度數(shù)為.答案不唯一故答案為：（答案不唯一，符合，即可）53.（2023春·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）已知.(1)將寫成的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求與終邊相同的角，滿足．【答案】(1)，是第四象限角；(2)或.【詳解】（1）因?yàn)?，所以.因?yàn)?，所以是第四象限?（2），所以與終邊相同的角可表示為,令，解得，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以或.54．（2024·全國·高三專題練習(xí)）終邊在直線上的角的集合為．【答案】【分析】由任意角與弧度制的定義求解，【詳解】由題意得與軸的夾角為，故終邊在直線上的角的集合為，故答案為：55．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）用弧度制寫出終邊在陰影部分的角的集合：(1)

(2)

【答案】(1)(2)【分析】首先找到對應(yīng)邊界的終邊表示的角，再寫成集合形式.【詳解】（1）邊界對應(yīng)射線所在終邊的角分別為，，所以終邊在陰影部分的角的集合為.（2）邊界對應(yīng)射線所在終邊的角分別為，，，，所以終邊在陰影部分的角的集合為56.（2023·全國·高一課堂例題）用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合．（如無特別說明，邊界線為實(shí)線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）

【答案】圖1；圖2【詳解】（1）角的終邊可以看作是角的終邊，化為弧度，即，角的終邊即的終邊，所以終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為．（2）與（1）類似可寫出終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為．57.（2023·全國·高三專題練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣，故選：C．考點(diǎn)七扇形的弧長、面積58.（2023秋·江西撫州·高二江西省樂安縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若扇形的圓心角為，半徑.則它的弧長為.【答案】【詳解】因?yàn)?，又扇形的圓心角為，半徑為，所以它的弧長為，故答案為：59．（2024·上海松江·高三?？计谥校┤粢簧刃蔚膱A心角為，半徑為2，則扇形的弧長為.【答案】/【分析】直接根據(jù)扇形的弧長公式求解即可．【詳解】，，故答案為：.60．（2024·山東淄博·高一校聯(lián)考期中）已知扇形面積，半徑是1，則扇形的周長是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由扇形的面積公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)扇形的弧長為，由扇形的面積公式可得，，即，所以，則扇形的周長為.故選：C61.（2023春·江西吉安·高一校聯(lián)考期中）已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的周長為.【答案】【詳解】設(shè)扇形的半徑為，由題意可得，解得，所以扇形的周長為.故答案為：.62．（2024·重慶·高三西南大學(xué)附中?？计谥校┮阎刃蔚膱A心角是，半徑為，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用扇形的面積公式可求得該扇形的面積.【詳解】因?yàn)樯刃蔚膱A心角是，半徑為，則該扇形的面積為.故選：D.63．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知扇形的圓心角為，其弧長為，則這個(gè)扇形的面積為．【答案】【分析】結(jié)合弧長求出扇形的半徑，利用扇形的面積公式，即可求解．【詳解】設(shè)扇形的半徑為r，扇形的圓心角為，即，則，解得，故這個(gè)扇形的面積為．故答案為：．64.（2023·全國·高一課堂例題）若扇形的面積是，它的周長是，則扇形圓心角（正角）的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，由題意，得，由得，，代入，得，解得或（舍去）．故扇形圓心角的弧度數(shù)為．故選：A65．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知扇形AOB的面積為，圓心角為120°，則該扇形的半徑為，弧長為.【答案】/1.5【分析】根據(jù)扇形的面積公式和弧長公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，因?yàn)樯刃蜛OB的面積為，圓心角為，由扇形的面積，可得：，解得：，可得扇形的弧長.故答案為：；．66．（2024·遼寧錦州·高三渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？计谥校┮阎硶r(shí)鐘的分針長，時(shí)間經(jīng)過5分鐘，則時(shí)針轉(zhuǎn)過的角為弧度，分針掃過的扇形的面積為【答案】【分析】根據(jù)一周為12小時(shí)，圓周角為，進(jìn)而求得時(shí)針轉(zhuǎn)過的角，再由求扇形面積.【詳解】解；由題意得時(shí)針轉(zhuǎn)過的角為，分針轉(zhuǎn)過面積為．故答案為：；67．（2024·上?！じ呷虾Ｊ羞M(jìn)才中學(xué)校考期中）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計(jì)算問題，如圖所示，弧田是由弧和弦所圍成的圖中陰影部分．若弧田所在扇形的圓心角為，扇形的面積為，則此弧田的面積為．

【答案】【分析】設(shè)扇形的半徑為，利用扇形的面積公式求出的值，然后利用扇形的面積減去三角形的面積可得出弧田的面積.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則扇形的面積為，解得，取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：

因?yàn)?，則，又因?yàn)椋瑒t，所以，，，則，所以，，因此，弧田的面積為.故答案為：.68.（2023春·上海松江·高一統(tǒng)考期中）建于明朝的杜氏雕花樓被譽(yù)為“松江最美的一座樓”，該建筑內(nèi)有很多精美的磚雕，磚雕是我國古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚墻精致細(xì)膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，則此扇環(huán)形磚雕的面積為．

【答案】【