廣東省廣州深圳市學調聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學下學期第二次調研試題文含解析

PAGE27-廣東省廣州、深圳市學調聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學下學期其次次調研試題文（含解析）一、選擇題：本題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得集合，依據(jù)并集的概念即可得結果.【詳解】由，，則故選B.【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合并集的運算，屬于基礎題.2.設復數(shù)的共軛復數(shù)是，且，又復數(shù)對應的點為，與為定點，則函數(shù)取最大值時在復平面上以，，三點為頂點的圖形是（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形【答案】D【解析】分析】假設，依據(jù)模長公式構造關于的函數(shù)，從而可確定當取最大值時，的取值，從而求得；利用兩點間距離公式表示出所構成三角形的三邊長，從而可確定三角形形態(tài).【詳解】可設當時，取最大值即當，即時，取最大值此時，；；，且該圖形為等腰三角形本題正確選項：【點睛】本題考查復數(shù)模長的應用和求解、復數(shù)的幾何意義.關鍵在于能夠依據(jù)的模長將假設為，從而可利用三角函數(shù)的學問確定的最大值，依據(jù)復數(shù)幾何意義可確定對應的點的坐標，進而可求得三角形的各個邊長.3.已知函數(shù)的圖象過兩點，在內(nèi)有且只有兩個極值點，且極大值點小于微小值點，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由在內(nèi)有且只有兩個極值點可得，再由，，得到或，分別對進行探討即可.【詳解】在內(nèi)有且只有兩個極值點，則，，又，，所以或；當時，，解得，若時，在內(nèi)極大值點為，微小值點為，滿意題意；當時，，解得，若時，在內(nèi)微小值點為，極大值點為，不符合題意.故選：C【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的圖象與性質，考查學生的邏輯推理實力，數(shù)形結合思想，是一道中檔題.4.在同一平面內(nèi)，已知A為動點，B，C為定點，且∠BAC=，，BC=1，P為BC中點．過點P作PQ⊥BC交AC所在直線于Q，則在方向上投影的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先建系，由三點共圓得點A的軌跡方程為，則，則，再由在方向上投影的幾何意義可得解．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則B（-，0），C（，0），P（0，0），由可知，ABC三點在一個定圓上，且弦BC所對的圓周角為，所以圓心角為.圓心在BC的中垂線即軸上，且圓心到直線BC的距離為，即圓心為，半徑為.所以點A的軌跡方程為：，則，則，由在方向上投影幾何意義可得：在方向上投影為|DP|=|x|，則在方向上投影的最大值是，故選C．【點睛】本題考查了軌跡問題及平面對量數(shù)量積的運算，屬中檔題．5.若深圳人民醫(yī)院有5名醫(yī)護人員，其中有男性2名，女性3名．現(xiàn)要抽調兩人前往湖北進行支援，則抽調的兩人剛好為一男一女的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】采納列舉法，將從5人中抽調2人的基本領件總數(shù)求出，再找到抽調的兩人剛好為一男一女所包含的基本領件個數(shù)，結合古典概型的概率計算公式即可得到答案.【詳解】記兩名男性為，三名女性為，則從5人中抽調2人有，，，，，，，，，共10種不同結果，抽調的兩人剛好為一男一女有，，，，，共6種不同結果，由古典概型的概率計算公式可得所求事務的概率為.故選：C【點睛】本題考查古典概型的概率計算問題，采納列舉法，留意要做到不重不漏，是一道簡單題.6.若是數(shù)列的前項和，若，則是（）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 D.既非等比數(shù)列，也非等差數(shù)列【答案】B【解析】【分析】當時，；當時，.【詳解】當時，;當時，又時，，滿意通項公式，所以此數(shù)列為等差數(shù)列.故選B.【點睛】本題考查依據(jù)數(shù)列前n項和求數(shù)列通項，留意檢驗時的公式對是否適用.7.已知函數(shù)的定義域為，當時，且對隨意的實數(shù)，等式成立，若數(shù)列滿意，且，則下列結論成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通過賦值可求得且當時，；利用單調性的定義可推斷出函數(shù)單調遞減；依據(jù)可得；利用遞推關系式可知數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，進而可得各個自變量的詳細取值，依據(jù)函數(shù)單調性推斷出結果.【詳解】由，令，，則時，當時，令，則，即又當時，令，則，即在上單調遞減又令，；令，；令，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，，，，在上單調遞減，，，本題正確選項：【點睛】本題考查抽象函數(shù)性質的應用、依據(jù)遞推關系式確定數(shù)列的周期問題.關鍵是能夠通過賦值法求得特殊值，利用單調性的定義求得函數(shù)單調性并得到遞推關系式，通過遞推關系式得到數(shù)列的周期性，難度較大.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值，利用等比數(shù)列的求和公式即可計算得解．【詳解】模擬程序的運行，可得該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值，由于．故選C．【點睛】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是基礎題．9.已知F為雙曲線的右焦點，過F做C的漸近線的垂線FD，垂足為D，且滿意（O為坐標原點），則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題中條件求出雙曲線基本量的比例關系，然后即可求出離心率的值.【詳解】由題知，又因為焦點到雙曲線漸近線的距離為，所以，整理得.故選：A.【點睛】本題主要考查了雙曲線離心率的求解，屬于基礎題.10.如圖，斜滿意，，，其中表示a，b中較大的數(shù)（時定義）．線段AC的中垂線上有一點D，過點D作于點E，滿意，則點D到外接圓上一點的距離最大值為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】由，知為銳角，設的中垂線交于，過作的垂線，垂足為，由得到，，再由得到，所以，再利用幾何意義即可得點D到外接圓上一點的距離最大.【詳解】由，知為銳角，設的中垂線交于，過作的垂線，垂足為，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以，又，，所以，即，又易得，所以，由正弦定理可得，，故點D到外接圓上一點的距離最大為.故選：C【點睛】本題考查動點到圓上一點距離的最值問題，涉及到正弦定理與三角恒等變換，考查學生邏輯推理與數(shù)學運算實力，是一道中檔題.11.記不等式組，表示的平面區(qū)域為.下面給出的四個命題：；；；其中真命題的是：A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由約束條件作出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求解z=x+y，z1＝2x﹣y，z2，z3＝x2+y2，的范圍，推斷命題的真假即可．【詳解】實數(shù)x，y滿意，由約束條件作出可行域為D，如圖陰影部分，A（﹣2，0），B（0，2），C（﹣1，3），z=x+y經(jīng)過可行域的點A及直線BC時分別取得最值，可得：z∈[﹣2，2]，所以錯誤；z1＝2x﹣y經(jīng)過可行域的B、C時分別取得最值，可得：z1∈[﹣5，﹣2]，所以正確；z2，它的幾何意義是可行域內(nèi)的點與（1，﹣1）連線的斜率，可得：DA的斜率是最大值為：；BD的斜率取得最小值為：；z2∈[，]；所以錯誤；z3＝x2+y2，它的幾何意義是可行域內(nèi)的點與（0，0）連線的距離的平方，最小值為原點到直線y=x+2的距離的平方：（）2，最大值為OC的平方：（﹣1﹣0）2+（3﹣0）2＝10，z3∈[，10]．所以正確；故選C．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結合是解決本題的關鍵．12.已知函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，若方程在區(qū)間(其中為自然對數(shù)的底)上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由導函數(shù)為偶函數(shù)，得出，由，得出，將問題轉化為當直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖像有兩個交點時，求實數(shù)的取值范圍，然后作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，利用數(shù)形結合思想求出實數(shù)的取值范圍．【詳解】，，導函數(shù)對稱軸為直線，由于該函數(shù)為偶函數(shù)，則，，令，即，得.問題轉化為當直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖像有兩個交點時，求實數(shù)的取值范圍．，令，得，列表如下：極大值所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，，又，，明顯，，如下圖所示：結合圖象可知，當時，即當時，直線與函數(shù)在區(qū)間上有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是．故選B．【點睛】本題考查利用導數(shù)探討函數(shù)的零點個數(shù)問題，本題的關鍵在于利用參變量分別的方法，將問題轉化為直線與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，在畫函數(shù)的圖象中，須要用到導數(shù)探討函數(shù)的單調性、極值以及端點值，通過這些來確定函數(shù)圖象，考查數(shù)形結合思想，屬于中等題．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.對于實數(shù)x，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，已知正數(shù)列{an}滿意Sn=（an），n∈N*，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項的和，則[]=______．【答案】20【解析】【分析】先由數(shù)列的關系求出，再利用放縮法和裂項相消求得前n項和S的值，可得答案.【詳解】由題可知，當時，化簡可得，當所以數(shù)列是以首項和公差都是1的等差數(shù)列，即又時，記一方面另一方面所以即故答案為20【點睛】本題考查了新定義、數(shù)列通項與求和、不等式學問點，構造新的等差數(shù)列以及用放縮法求數(shù)列的和是解答本題的關鍵，留意常見的裂項相消法求和的模型，屬于難題.14.方程在區(qū)間上的解為_______________．【答案】或.【解析】【分析】，即，原方程等價于，再解方程即可.【詳解】由題意，，即，原方程等價于，解得或（舍），故或.故答案為：或.【點睛】本題考查解三角函數(shù)方程，涉及到二倍角公式，考查學生的等價轉化思想，留意要先求x的有意義的范圍.15.已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左、右頂點分別為．直線l：交橢圓于P，Q兩點，直線和直線相交于橢圓外一點R，則點R的軌跡方程為_______________．【答案】【解析】【分析】由已知，可得直線l恒過，由題意知，直線斜率不為0，設的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，解得，再由由三點共線可得，由三點共線可得，兩式相除可得，再將代入化簡即可.【詳解】因為，所以，由得，故直線l恒過，由題意知，直線斜率不為0，設的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，得，則，，，由三點共線可得，由三點共線可得，兩式相除可得，解得，所以點在定直線上，故點R的軌跡方程為.故答案為：【點睛】本題考查直線與橢圓位置關系中的定值問題，考查學生的邏輯推理與數(shù)學運算實力，是一道中檔題.16.在棱長為4的密封正方體容器內(nèi)有一個半徑為1的小球，晃動此正方體，則小球可以經(jīng)過的空間的體積為__________．【答案】【解析】依題意所求體積為．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知是等差數(shù)列，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，.（Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式；（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和.【答案】（Ⅰ），;（Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）依據(jù)條件列出關于公差與公比的方程組,解方程組可得，，再代入等差與等比數(shù)列通項公式,（2）利用錯位相減法求和,留意相減時項的符號改變，中間部分利用等比數(shù)列求和時留意項數(shù)，最終要除以試題解析：（Ⅰ）設數(shù)列的公差為，的公比為，依題意得解得，，所以，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，則①②①-②得：所以.點睛：用錯位相減法求和應留意的問題(1)要擅長識別題目類型，特殊是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達式時應特殊留意將兩式“錯項對齊”以便下一步精確寫出“”的表達式；(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種狀況求解.18.如圖，在多面體中，，四邊形和四邊形是兩個全等的等腰梯形.（1）求證：四邊形為矩形；（2）若平面平面，，，，求多面體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)全等的等腰梯形和已知條件得到且，由此證得四邊形為平行四邊形.分別取，的中點，，連接，通過證明四點共面，且，且相交，由此證得平面，從而證得,由此證得四邊形為矩形.（2）連結，，作，垂足為，則.先證明平面，然后證明平面，由此求得點到平面的距離、點到平面的距離，分別求得和的體積，由此求得多面體的體積.【詳解】（1）∵四邊形和四邊形是兩個全等的等腰梯形，∴且，∴四邊形為平行四邊形.分別取，的中點，.∵，為的中點，∴，同理，∴.∵為的中點，為的中點，∵，且.∴，，，四點共面，且四邊形是以，為底的梯形.∵，，且，是平面內(nèi)的相交線，∴平面.∵平面，∴，又，∴.∴四邊形為矩形.（2）連結，，作，垂足為，則.∵，，∴.在中，.∵，平面，平面，∴平面.∵平面平面，，平面平面，平面，∴平面，∴點到平面距離為2，同理，點到平面的距離為2，則，；，.故多面體的體積為.【點睛】本小題主要考查證明一個四邊形為矩形的方法，考查四點共面的證明，考查線面平行的證明，考查面面垂直的性質定理，考查分割法求幾何體的體積，考查空間想象實力和邏輯推理實力，綜合性較強，屬于中檔題.19.某省的一個氣象站觀測點在連續(xù)4天里記錄的AQI指數(shù)M與當天的空氣水平可見度y（單位：cm）的狀況如下表：M900700300100y0.53.56.59.5該省某市2024年12月份AQI指數(shù)M的頻數(shù)分布表如下：M頻數(shù)361263（1）設，若x與y之間具有線性關系，試依據(jù)上述數(shù)據(jù)求出y關于x的線性回來方程；（2）王先生在該市開了一家洗車店，洗車店每天的平均收入與AQI指數(shù)的相關關系如下表：M日均收入（元）-2000-1000200060008000估計王先生的洗車店2024年12月份每天的平均收入．附參考公式：，其中【答案】（1）；（2）2400元【解析】【分析】（1）分別計算出，，，再利用公式計算即可；（2）由平均數(shù)的計算公式計算即可得到答案.【詳解】（1），，，，所以，，所以；（2）由題可知該月30天中有3天每天虧損2000元，有6天每天虧損1000元，有12天每天收入2000元，有6天每天收入6000元，有3天每天收入8000元，故估計王先生的洗車店2024年12月份每天的平均收入為元.【點睛】本題考查線性回來方程的應用，涉及到估算平均數(shù)，考查學生的數(shù)學運算實力，是一道簡單題.20.已知直線過橢圓的右焦點，且交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點是，（1）求橢圓的方程；（2）過原點的直線l與線段AB相交（不含端點）且交橢圓于C，D兩點，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由直線可得橢圓右焦點的坐標為,由中點可得,且由斜率公式可得,由點在橢圓上,則,二者作差,進而代入整理可得,即可求解；（2）設直線,點到直線的距離為,則四邊形的面積為,將代入橢圓方程,再利用弦長公式求得,利用點到直線距離求得,依據(jù)直線l與線段AB（不含端點）相交,可得,即,進而整理換元,由二次函數(shù)性質求解最值即可.【詳解】（1）直線與x軸交于點,所以橢圓右焦點的坐標為,故,因為線段AB的中點是,設,則,且,又,作差可得,則,得又,所以,因此橢圓的方程為.（2）由（1）聯(lián)立,解得或,不妨令,易知直線l的斜率存在,設直線,代入,得,解得或,設,則,則,因為到直線的距離分別是,由于直線l與線段AB（不含端點）相交,所以,即,所以,四邊形的面積,令,,則,所以,當,即時,，因此四邊形面積的最大值為.【點睛】本題考查求橢圓的標準方程,考查橢圓中的四邊形面積問題,考查直線與橢圓的位置關系的應用,考查運算實力.21.已知函數(shù).（1）探討函數(shù)的單調性；（2）若對，，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先求得函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導，對分成四種狀況，探討函數(shù)的單調性.（2）依據(jù)（1）中所求函數(shù)的單調區(qū)間，對四種狀況分別探討函數(shù)的函數(shù)值，結合來求得的取值范圍.【詳解】解：（1）由題意知，的定義域為，由，得.①當時，令，可得，，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；②當時，，令，可得，，得或，故的增區(qū)間為，減區(qū)間為、；③當時，，故函數(shù)的減區(qū)間為；④當時，，令，可得，，得，或，故的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.綜上所述：當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；當時，在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；當時，在為減函數(shù)；當時，在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).（2）由（1）可知：①當時，，此時；②當時，，當時，有，，可得，不符合題意；③當時，，由函數(shù)的單調性可知，當時，不符合題意；④當時，，由函數(shù)的單調性可知，當時，不符合題意.綜上可知，所求實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間，考查利用導數(shù)探討函數(shù)值恒大于零的問題，考查分類探討的數(shù)學思想方法，綜合性較強，屬于難題.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23兩題中任選一題作答．留意：只能做所選定的題目．假如多做，則按所做的第一題計分．22.在極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρcosθ＝4，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cosθ+2sinθ，以極點為坐標原點O，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，射線l'：y＝kx（x≥0，0＜k＜1）與曲線C交于O，M兩點．（Ⅰ）寫出直線l的直角坐標方程以及曲線C的參數(shù)方程；（Ⅱ）若射線l′與直線l交于點N，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）直線l的直角坐標方程，曲線C的參數(shù)方程.【解析】【分析】（Ⅰ）由直線l的極坐標方程能求出直線l的