2020-2021學年河北省滄州市高二上學期期末數(shù)學試題解析版

2020-2021學年河北省滄州市高二上學期期末數(shù)學試題一、單選題1．命題“”的否定是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由特稱命題否定知改為全稱命題即可.【詳解】命題“”的否定是：“”.故選：D2．已知復(fù)數(shù)滿足，則其共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則計算，即可寫出共軛復(fù)數(shù).【詳解】因為，所以，其共軛復(fù)數(shù)為.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算法則，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．設(shè)，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和充分必要條件的概念可得選項.【詳解】當時，且，所以復(fù)數(shù)為純虛數(shù)；當復(fù)數(shù)為純虛數(shù)時，且，所以，所以“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的充分必要條件，故選：C.4．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)雙曲線的方程可得，，∴由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，其漸近線方程為，即，故選：C．5．某奶制品工廠某天甲、乙、丙、丁四類奶制品的產(chǎn)量分別為2000盒、1250盒、1250盒、500盒.若按產(chǎn)量比例用分層隨機抽樣的方法抽取一個樣本量為60的樣本，則樣本中乙類奶制品的數(shù)量為（）A．6盒 B．15盒 C．20盒 D．24盒【答案】B【分析】由題意，先確定抽樣比，再由題中數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)果.【詳解】樣本中乙類奶制品的數(shù)量為：（盒）.故選：B.【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用，熟記分層抽樣的概念即可.屬于容易題.6．某位居民在銀行換取了五張連號的人民幣，編號的尾號分別為71，72，73，74，75，他隨機抽取三張作為兒子的壓歲錢，則這三張人民幣的尾號相連的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】采用列舉計數(shù)，得到隨機抽取3張可能的情況數(shù)，抽取的三張人民幣的尾號相連的情況數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式計算.【詳解】隨機抽取3張，可能的情況有：71,72,73；71,72,74；71,72,75；71,73,74；71,73,75；71,74,75；72,73,74；72,73,75；72,74,75；73,74,75.共10種不同情況，每種情況都是等可能的，所抽取的三張人民幣的尾號相連的情況有：71,72,73；72,73,74；73,74,75，共3種情況，∴所求概率為.故選：B.【點睛】本題考查古典概型的計算與應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.7．已知點，過直線上一動點P作與y軸垂直的直線，與線段的中垂線交于點Q，則Q點的軌跡方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)中垂線性質(zhì)得到，結(jié)合拋物線的定義判斷出點的軌跡是拋物線，由此求解出軌跡方程.【詳解】設(shè)，因為的中垂線經(jīng)過點，所以，又因為軸，所以表示到直線的距離，且表示點到點的距離，點不在直線上，由拋物線的定義可知：點的軌跡是以為焦點，以直線為準線的拋物線，設(shè)軌跡方程為，所以，所以，所以軌跡方程為.故選：D.【點睛】方法點睛：求解動點的軌跡方程的常見方法：（1）定義法：如果動點的運動規(guī)律符合我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件待定方程中的參數(shù)，即可求得軌跡方程；（2）直接法：如果動點的運動規(guī)律滿足的等量關(guān)系容易建立，則可用點的坐標表示該等量關(guān)系，即可得軌跡方程；（3）相關(guān)點法：如果動點的運動是由另外一點的運動引發(fā)的，而點的運動規(guī)律已知（坐標滿足某已知的曲線方程），則用點的坐標表示出相關(guān)點的坐標，然后將點的坐標代入已知曲線方程，即可得到點的軌跡方程；（4）交軌消參法：在求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題通常通過解方程組得出交點（含參數(shù)）的坐標，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程.8．設(shè)函數(shù)是定義在R上的函數(shù)，是的導函數(shù)，若且，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，利用導數(shù)判斷出在R上單增，由，得到時，，從而得到的解集.【詳解】記，則，因為，所以，所以在R上單增.又，所以，所以當時，，因為恒成立，所以.即不等式的解集是.故選：A二、多選題9．已知復(fù)數(shù)則（）A．是純虛數(shù) B．對應(yīng)的點位于第二象限C． D．【答案】AD【分析】利用復(fù)數(shù)的概念及幾何有意義判斷A、B選項是否正確，利用利用復(fù)數(shù)的四則運算法則計算及，并計算出模長，判斷C、D是否正確.【詳解】利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念可判斷A正確；對于B選項，對應(yīng)的點位于第四象限，故B錯；對于C選項，，則，故C錯；對于D選項，，則，故D正確.故選：AD【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的計算，較簡單.10．某品牌手機2019年1月到12月期間的月銷量（單位：百萬臺）數(shù)據(jù)的折線圖如下，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A．上半年的月銷售量逐月增加B．與前一個月相比，銷售量增加最多的是11月C．全年的平均月銷售量為2.9百萬臺D．四個季度中，第三個季度的月銷售量波動最小【答案】BD【分析】根據(jù)折線圖，逐個分析，計算選項，即可判斷出結(jié)果．【詳解】對A，1月銷售量為2.4百萬臺，2月銷售量為1.8百萬臺，顯然是下降了，故選項A錯誤；對于選項B：與前一個月相比，11月銷售量增加量為1.9百萬臺，是最多的，故選項B正確；對C，全年的平均月銷售量為百萬臺，故選項C錯誤；對D，從折線圖觀察可得四個季度中，第三季度的折線最平緩，所以第三季度的月銷售量波動最小，故選項D正確，故選：BD．【點睛】本題考查利用圖表分析數(shù)據(jù)，考查簡單的合情推理，是基礎(chǔ)題．11．已知橢圓的焦距為4，則（）A．橢圓C的焦點在x軸上 B．橢圓C的長軸長是短軸長的倍C．橢圓C的離心率為 D．橢圓C上的點到其一個焦點的最大距離為【答案】BC【分析】根據(jù)條件先求解出的值，然后逐項判斷焦點位置、長軸長和短軸長的數(shù)量關(guān)系、離心率以及橢圓上的點到焦點的最大距離.【詳解】因為，所以，所以焦點在軸上，故A錯誤；又因為焦距為，所以，所以，所以，所以長軸長，短軸長，所以，故B正確；因為，所以離心率，故C正確；因為橢圓方程，取一個焦點，設(shè)橢圓上的點，所以，又因為，當時取最大值，所以，故D錯誤；故選：BC.【點睛】結(jié)論點睛：橢圓上的點到焦點的距離的最大值和最小值：（1）最大值：，此時為長軸的端點且與在坐標原點兩側(cè)；（2）最小值：，此時為長軸的端點且與在坐標原點同側(cè).(可利用點到點的距離公式結(jié)合橢圓方程進行證明)12．如圖，在長方體中，，，是側(cè)面的中心，是底面的中心，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則（）A．是單位向量B．是平面的一個法向量C．直線與所成角的余弦值為D．點到平面的距離為【答案】ABD【分析】根據(jù)向量模長的坐標運算可求得，知A正確；利用向量數(shù)量積的坐標運算可證得，，由此可知B正確；利用異面直線所成角的向量求法可求得所求余弦值為，知C錯誤；利用點到面距離的向量求法可求得所求距離，知D正確.【詳解】對于A，，，，，為單位向量，A正確；對于B，，，，，，，即，，平面，是平面的一個法向量，B正確；對于C，，，，即異面直線與所成角的余弦值為，C錯誤；對于D，，，，由B知：為平面的一個法向量，點到平面的距離，D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：向量法求解點到平面的距離的步驟如下：（1）求解得到平面的法向量；（2）在平面內(nèi)任取一點，得到；（3）利用公式即可求得點到平面的距離.三、填空題13．已知拋物線的焦點到其準線的距離為，則該拋物線的方程為__________．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義即可求出答案．【詳解】解：∵已知拋物線的焦點到其準線的距離為，∴該拋物線的方程為，故答案為：．14．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為________.【答案】【分析】求出和的值，利用點斜式可得出所求切線的方程，化為一般式即可.【詳解】由題知，，又，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為,即.故答案為：.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的切線方程，考查導數(shù)幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15．一組樣本數(shù)據(jù)，4，5，6，的平均數(shù)為，標準差為4，則_______________.【答案】128.【分析】先根據(jù)題意建立方程組，再根據(jù)方程組化簡整理得即可解題.【詳解】解：根據(jù)題意：，化簡整理得：故答案為：128.【點睛】本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)與標準差，是基礎(chǔ)題.16．雙曲線的左、右焦點分別為和，若雙曲線上存在一點M，使得是等腰三角形也是鈍角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)已知條件先分析出相等的兩條邊以及哪個角為鈍角，根據(jù)雙曲線定義則三條邊都可知，利用鈍角的余弦值小于得到關(guān)于的齊次不等式，由此求解出離心率的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)在雙曲線的右支上，因為是等腰三角形，所以或，當時，因為，所以，所以，所以不是鈍角三角形，故不符合；當時，因為是等腰三角形也是鈍角三角形，所以，所以，所以，所以，所以且，所以，所以離心率的取值范圍是，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵在于對等腰的邊和角的分析并通過分類討論的方法確定出，然后再結(jié)合雙曲線的定義以及鈍角余弦值的特點，通過構(gòu)造關(guān)于的齊次不等式去求解問題.四、解答題17．為了方便市民出行，某城市推出共享電動單車租賃服務(wù)，收費標準是：騎行時間不超過30分鐘收費3元，超過30分鐘的部分每30分鐘收費2元（不足30分鐘的部分按30分鐘計算）．甲、乙兩人租用電動單車出行，由于城市區(qū)域限制，他們使用電動單車的時間都不超過2小時．（Ⅰ）若甲騎行時間不超過30分鐘的概率為，超過1小時的概率為，求甲租車費用恰好為5元的概率；（Ⅱ）若每人的騎行時間為2小時以內(nèi)的任意時長的可能性相同，求甲、乙兩人租車費用之和為10元的概率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）騎行時間為超過30分鐘不超過60分鐘的租車費用恰好為5元，根據(jù)對立事件的概率性質(zhì)即可求解；（Ⅱ）設(shè)甲租車費用為a元，乙租車費用為b元，列舉出所有的基本事件沒，根據(jù)古典概型求解即可．【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)“甲租車費用恰為5元”為事件A，則，∴甲租車費用恰好為5元的概率是；（Ⅱ）設(shè)甲租車費用為a元，乙租車費用為b元，其中，則甲、乙兩人的租車費用構(gòu)成的樣本點有（3，3），（3，5），（3，7），（3，9），（5，3），（5，5），（5.7），（5，9），（7，3），（7，5），（7，7），（7，9），（9，3），（9，5），（9，7），（9，9），共16種情形，其中（3，7），（7，3），（5，5）這3種情形符合條件，故甲、乙兩人租車費用之和為10元的概率．18．如圖所示，在三棱錐中，，，兩兩互相垂直，，.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由線面垂直判定和性質(zhì)可證得，結(jié)合可證得平面，由線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論；（Ⅱ）以為坐標原點可建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ），，，平面，平面，又平面，，又，，平面，平面，平面，.（Ⅱ）以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系．設(shè)，則，．則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得：，，；設(shè)直線與平面所成的角為，則.【點睛】方法點睛：利用空間向量法求解直線與平面所成角的基本步驟為：（1）建立空間直角坐標系，利用坐標表示出所需的點和向量；（2）求得平面的法向量，設(shè)所求角為，則.（3）根據(jù)可求得線面所成角的大小.19．已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上的最大值為2，求實數(shù)的值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）由得導函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）由（1）的單調(diào)性，可得最大值，從而得參數(shù)值．【詳解】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì).解析（1），令得或，當或時，，當時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，，所以，解得.20．某機構(gòu)為了研究中學生的視力與體育活動的關(guān)系，隨機調(diào)查了幾名中學生，得到了他們每周體育活動的時間（單位：）和視力的一組數(shù)據(jù)：每周體育活動時間246810視力4.04.24.65.05.2（Ⅰ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，在下面的坐標系中畫出散點圖；（Ⅱ）用最小二乘法求與之間的線性回歸方程．參考公式：，．【答案】（Ⅰ）散點圖見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由表格中的數(shù)據(jù)，以每周體育活動時間為橫坐標，以視力為縱坐標，即可求得散點圖；（Ⅱ）由表格中的數(shù)據(jù)，分別求得，，代入公式，分別求得，即可求得與之間的線性回歸方程．【詳解】（Ⅰ）由表格中的數(shù)據(jù)，以每周體育活動時間為橫坐標，以視力為縱坐標，可得點，則散點圖如圖所示：（Ⅱ）由表格中的數(shù)據(jù)，可得，，，，所以，．所以與之間的線性回歸方程為．【點睛】本題主要考查了回歸直線方程的求解，其中解答中根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合公式準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解能力.21．已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求的極值；（Ⅱ）若在上有兩個不同的零點，求a的取值