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文檔簡介
第7講代數(shù)方程的復習
本章學習了簡單的高次方程、分式方程、無理方程以及簡單的二次方程(組)的概念及
其解法,學習了列方程解應用題.到本章為止,可以說初等代數(shù)方程的基本知識內(nèi)容已經(jīng)大
體完整.
本講將代數(shù)方程的基本解法和常見題型做一總結(jié),幫助大家更好的復習.
有理方程
二元?次方
.程組.
代
數(shù)二元二次方
方程組
程
J無理方程]
列方程解應用題
一、選擇題
例1.下列方程中,是二項方程的是()
A.V+3x=0B.X4+2X2-3=0C.f=1D.x,+l)+8=0
【難度】★
【答案】C
【解析】如果一元"次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項,另一邊是零,那么
這樣的方程就叫做二項方程.A.左邊沒有非零常數(shù);B.左邊含有未知數(shù)的兩項;D.右邊不是
零.
【總結(jié)】考查二項方程的概念.
例2.(2019?上海八年級單元測試)下列方程中,是關(guān)于x的分式方程的是(
「X-1.x+21cnX-1x+21
C.----1--------=0D.----1---------=0n
32xmnnm
【答案】c
【分析】A、B選項分母上都沒有未知數(shù),所以不是分式方程;D選項是分式方程,但不是
關(guān)于x的分式方程,只有.C正確.
【詳解】根據(jù)分式方程的定義得:等-1=0是分式方程,
故選C.
【點睛】此題考查了分式方程的定義,熟練掌握分式方程的定義是解本題的關(guān)鍵.
例3.(2019?上海八年級單元測試)如果xa0,yA0,且3x-2y=J亞則(的值可能是
()
A.B.1C.;D.以上都無可能
44
【答案】B
【分析】可將方程兩邊同時平方,從而將無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程,運用因式分解法即可
得到y(tǒng)與x的關(guān)系,從而解決問題.
【詳解】將方程3x-2y=后兩邊同時平方,并整理得,
9x2—13xy+4y2=0(其中3x-2y>0)
即(9x-4y)(x-y)=0,解得,y-\x,或丫=乂,
4
當y=時,3x-2y=-|x,Vx>0,:.3x-2y<0,不符合要求,
當y二x時,3x-2y=x>0,符合要求.,?=1,故選B.
【點睛】本題主要考查了解無理方程,運用因式分解法解方程,需要注意的是將無理方程
轉(zhuǎn)化為整式方程,可能會出現(xiàn)增根,本題需要挖掘出隱含條件3x-2y>0.
例4.(2019?上海八年級單元測試)下列判斷錯誤的是()
A.方程+5=>—1沒有負數(shù)根B.方程Vx+2=x'x+2的解的個數(shù)為2
C.方程VFi耳=3—x沒有正數(shù)根D.方程=0的解為X1=2,打=3
【答案】D
【分析】解各個方程即可得到結(jié)論.
【詳解】A.V%+5=x-1>Ax+5=(x—I)2
解得,X1=4,X2=-1經(jīng)檢驗,x=-l,是增根,...原方程的解為:x=4.
故選項A判斷正確.
B.方程田”=4/^短兩邊同時平方得,x+2=x2(x+2),
x+2-x2(x+2)=0/.(x+2)(1—x2)=0
解得,%i=-2.x2=1.x3=—1經(jīng)檢驗,x=T是增根.
.?.Xi=-2,x2=1是原方程的解,故B判斷正確;
C.方程STT百=3—%兩邊同時平方得,x+9=(3—x)2
解得,x=0,或x=7,經(jīng)檢驗,x=7是增根,...原方程的解為:x=0,
故選項C判斷正確:
rx-2=0
D.根據(jù)題意得,[x+3=0,解得,x=-3.故選項D判斷錯誤,
x2-4>0
故選D.
【點睛】本題考查了無理方程,分式方程,一元二次方程的解法,熟練掌握解各種方程的
方法是解題的關(guān)鍵.
x=1x+y-a
例5.(2019?上海八年級單元測試)如果《是方程組《',的一組解,那么這
y=4xy=b
個方程組的另一組解是()
*
x=二4x=-1x=-4x=4
A.,B.《C.D.《
=1y=-4J=T
【答案】A
x=1x+y=aCl二=54,再解方程組|x+y=5
【分析】將?4代入方程羋求得,.,即可得解
3二xy=bbxy=4
x=1x+y=a1+4=〃a=5
【詳解】將〈代入方程組,中得:<解得:
b=4'
y=4xy=blx4=h
x+y=5
則方程組變形為:由x+y=5得:x=5-y,
xy=4
將x=5-y代入方程xy=4中可得:y2-5y+4=0,解得y=4或y=l,
x=4
將y=l代入xy=4中可得:x=4,所以方程的另一組解為:\
故選A.
【點睛】本題考查了高次方程,二元一次方程組的解法,熟記解二元一次方程的解法是解
題的關(guān)鍵.
例6.下列方程中,不是無理方程的是()
A.Vx(Vx+2)=3B.(應-1?+:=3
0
C.(岳+1)(岳_|)=3D.\fx—=3
【難度】★
【答案】B
【解析】無理方程是根號下含有未知數(shù)的方程,8選項的根號下是常數(shù),容易錯選.
【總結(jié)】考查無理方程的概念.
2
例7.已知方程:①-+—=3x;?-^-+x=2;③二一5=0;④(-+-)(x+6)=-l.
52x+2x2x8
這四個方程中,分式方程的個數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
【難度】★
【答案】C
【解析】分式方程是方程中的一種,是指分母里含有未知數(shù)的有理方程.
①中分母是常數(shù),②③④分母中都含有未知數(shù),是分式方程
【總結(jié)】考查分式方程的概念.
例8.用換元法解分式方程—―-竺'+2=0時,設(shè)丫=二匚,原方程可變形為()
x2+\x-x2+1
A.y2+2y-3=0B.y2-3y+2=0C.3y2-y+2=0D./-2y+3=0
【難度】★
【答案】A
3r2+33(x2+1)33
【解析】=3——!=士,,原方程變形為y-士+2=0即V+2y—3=0
xxyy
【總結(jié)】考查換元后方程的變形問題.
例9.如果關(guān)于X的方程("Ll)x=l無解,那么加滿足().
A.m>\B.m=\C./n#1D.任意實數(shù).
【難度】★
【答案】B
【解析】當加一1=0時,(m—l)x=031,帆=1
【總結(jié)】考查方程無解的條件.
例10.下列方程中,沒有實數(shù)解的是()
r24_____
A.——=----B.\/x—2+x=OC.x4—x2—2=0D.x2+y2=1
x+2x+2
【難度】★
【答案】B
【解析】〃中無一220即x之2,\lx-2>0,x>2,.\>/x-2+x>2,,無解
【總結(jié)】考查無理方程的解的情況.
例11.方程組[廣二的解的個數(shù)是()
[x2-y2+2=0
A.1B.2C.3D.4
【難度】★
【答案】B
【解析】由②式知/=丁-2代入①式得^+>-3=0,△=1+12=13>0,有兩個解.
【總結(jié)】考查方程的解法.
例12.方程J3x-5=x-l的根是().
A.x,=2>x2=3B.X]=-2,毛=-3C.x=3D.x=-3
【難度】★★
【答案】A
【解析】兩邊同時平方得:3x-5=d—2x+l,即f-5x+6=0,
即:(x-2)(x-3)=0,解得:%=2,々=3,經(jīng)檢驗,與=2,超=3均是原方程的解.
【總結(jié)】考查無理方程的解法,注意解完要驗根.
例13.等式J16—3()
A.x<4B.x>4C.xNYD.-4<x<4
【難度】★★
【答案】D
【解析】由16—丁20,得Wx44,由4+xNO得xW,由4-xNO得x44,,一44x44.
【總結(jié)】考查二次根式的被開方數(shù)的非負性的運用.
例14.若解分式方程二-42=四產(chǎn)生增根,則勿的值()
x-1X~+XX
A.-1或-2B.T或2C.1或2D.1或-2
【難度】★★
【答案】A
【解析】最簡公分母為:傘+1)(1);去分母:2匹+1)Xl)=(x+iy(l):
把x=0代入方程,得:加+1=-1,帆=-2;把x=0代入方程,得:方程無解;
把x=0代入方程,得:2(機+1)=0,所以〃?=-1.
綜上,加=—2或加=—1.
【總結(jié)】考查分式方程產(chǎn)生增根的條件.
例15?分式方程d+[—2x—2=4中,若設(shè)y=x+』,則原方程可化為()
XXX
A.y2_2y_]0=0B.y2_2y_8=0
C.y2-2y-6=0D.y2_2y_4=0
【難度】★★
【答案】C
【解析】原方程可變形為:(x+J-2卜+3-6=0....原方程可化為:y2-2y-6-0.
【總結(jié)】考查分式方程的變形,注意完全平方公式的運用.
例16.甲隊為小區(qū)安裝60臺熱水器,乙隊為/小區(qū)安裝熱水器66臺,兩隊安裝的天數(shù)相
同,
乙隊比甲隊每天多安裝2臺,設(shè)乙隊每天安裝x臺,則下列方程中正確的是()
.6660?6660?6660n6660
xx-2x—2xxx+2x+2x
【難度】★★
【答案】A
【解析】乙比甲每天多2臺,...甲每天安裝(尸2)臺
甲安裝的天數(shù)為旦,乙安裝的天數(shù)為生,由題意知可列方程:—.
x-2xx-2x
【總結(jié)】考查方程的應用,注意尋找題目中的等量關(guān)系.
例17.某項工程若乙單獨做要比甲慢3天完成,現(xiàn)甲乙合作5天,余下的再由甲獨做3天完
成,求甲乙單獨完成此項工程所需的時間,若設(shè)乙單獨做需要x天,可列方程()
85,58,「85,85,
As?-------1—=1BD.---------1—=1C.—i--------=1Dn.---------1—=1
x+3xx+3xxx—3x—3x
【難度】★★
【答案】D
【解析】由題意知甲單獨做需要x-3天,甲、乙的工作效率分別為一二」:
x-3x
由甲乙先合作5天,然后甲單獨做3天,可知甲一共做了8天,乙一共做了5天,
Q5
可列方程-7+己=1.
x-3x
【總結(jié)】考查方程在工程問題中的應用,注意工作總量通??醋鳌?”.
例18.若(x+y-5)2+(盯-6)2=0,則x-y的值為()
A.6B.-1C.1D.1或-1
【難度】★★
【答案】D
【解析】由題意知即P,:5,
[孫一6=0[xy=6
所以(x-y)2=(x+y)2-4孫=25-24=1,二x—y的值為1或-1.
【總結(jié)】本題一方面考查了非負數(shù)的和為零的基本模型,另一方面考查了整體思想的運用.
例19.已知。為非負整數(shù),關(guān)于x的方程3-。+4=0至少有一個整數(shù)根,則a可能
取值的個數(shù)為()
A.4B.3C.2D.1
【難度】★★★
【答案】B
【解析】由題意,顯然滿足條件的x,必然使得為整數(shù),否則一不可能為
VPx+l
整數(shù),
設(shè)Jl-x=y(y為非負數(shù)),則原式化為:2(1-y2)-ay-a+4=0,
即a=2(f)+4=2(]_y)+士,因為y非負,所以要使得a為整數(shù),則尸0、1、
1+y1+y
3;
此時爐6、2、-3(舍),當a=0時,方程也有一個整數(shù)根,故a=6或2或0,故選B.
【總結(jié)】考查無理方程的根的情況,對至少一個整數(shù)根要準確理解.
二、填空題
17TY+1
例1.(2018?上海市行知實驗中學八年級期中)如果關(guān)于x的方程———1=0有增根,
x-1
則tn=.
【答案】-1
【分析】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根.有增根,最
簡公分母x-l=O,所以增根是x=l,把增根代入化為整式方程的方程即可求出未知字母的
值.
【詳解】方程兩邊都乘x-1得mx+l-x+l=O,?.?方程有增根,
最簡公分母x-l=O,即增根是x=l,
把x=l代入整式方程,得m=-l.故答案為:T.
【點睛】本題考查了分式方程的增根,解決增根問題的步驟:①確定增根的值;②化分式
方程為整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.
例2.(2019?上海八年級單元測試)若方程J"+2=%有實數(shù)根,則k的取值范圍為
【答案】k》及
【分析】方程兩邊同時平方,再移項,根據(jù)x?2。求解即可.
【詳解】:&+2=公.?./+2=々2,即%2=r_2,
..”220,二公-220,夜或kW-立
:方程JY+2=)有實數(shù)根,...k〉。,故答案為:k》五.
【點睛】本題主要考查無理方程,解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來
解,在變形時要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法.常用的方法有:乘方法,配方
法,因式分解法,設(shè)輔助元素法,利用比例性質(zhì)法等.
x=-1x=l
例3.(2019?上海八年級單元測試)已知方程ax+by=8的兩個解為《八和《」則
y=01y=4
a+b=.
【答案】-4
【分析】將兩個解的值代入ax+by=8中,然后解出方程組即可求出a與b的值.
[x=\-a=8
【詳解】叫尸。和《代入ax+by=8,
[y=4a+4Z>=:8
62=—8
解得:〈,,,,a+b=-4,故答案為:-4.
Z>=4
【點睛】本題考查二元一次方程的解,解題的關(guān)鍵是正確理解二元一次方程的解的概念,
本題屬于基礎(chǔ)題型.
ink
例4.(2019?上海八年級單元測試)已知x=3是方程——+—=1一個根,求k的值
x+2x
【答案】-3
【分析】根據(jù)方程的解的定義,把x=3代入原方程,得關(guān)于k的一元一次方程,再求解可
得k的值.
ink10k
【詳解】把x=3代入方程」2+勺=1,得義+8=1,
x+2x53
解得k=-3.故答案為:-3.
【點睛】本題主要考查了分式方程的解的定義,屬于基礎(chǔ)題型.
例5.(2019?上海八年級單元測試)若關(guān)于x的分式方程匚=一匕無解,則
x-3尤一3
【答案】2
【分析】因為關(guān)于x的分式方程無解,即分式方程去掉分母化為整式方程,整式方程的解
就是方程的增根,即x=3,據(jù)此即可求解.
【詳解】兩邊同時乘以(x-3)去分母解得x=l+m,
???方程無解,,說明有增根x=3,所以l+m=3,解得m=2,故答案為:2.
【點睛】本題考查了分式方程的解,理解分式方程的增根產(chǎn)生的原因是解題的關(guān)鍵.
例6.方程-學3=3的解是_____.
x+2x2+3
【難度】★★
【答案】玉=5,%=-1.
+34
【解析】令尸上二,則原方程變形為y—2=3,即—4=0,解得:^=-1,^=4,
x+2y
y-2Ia丫2.Q
當上士=一1時,X2+X+5=0,無解;當^~^=4時,(x-5)(x+l)=0,解得:
x+2x+2
%=5,毛=-1,
經(jīng)檢驗芭=5,%=T是原方程的解.
【總結(jié)】考查換元法解分式方程,注意解完后要檢驗.
例7.(1)方程y/x-l=X-7的根是;
(2)方程Jx+2?程2x-l-6=o的根是.
【難度】★★
【答案】(1)x=10;(2)x=l.
【解析】(1)首先考慮x-120,即xNl,兩邊同時平方得:X-1=X2-14X+49,
即(x-5)(x-10)=0,解得:々=5,x2=10,經(jīng)檢驗內(nèi)=5是原方程的增根,
所以原方程的根為:x=10;
(2)由x+220且2x-l±0,^x>-;對原方程兩邊同時平方得:2X2+3X-5=0
2
即(x-l)(2x+5)=0,...芭=1,&=-|,經(jīng)檢驗與=-|是原方程的增根,
所以原方程的解為:x=i.
【總結(jié)】考查無理方程的解法,注意解完后要檢驗.
例8.方程2x4+/n,—3=o有個實數(shù)根.
【難度】★★
【答案】2個.
【解析】首先用換元法,令f=降次得2/+血-3=0,根據(jù)一元二次方程根的判別式,
可知:A>0,
則方程有兩不相等的實數(shù)根,再由:根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)可知方程兩根之積為負,
則舍掉負根,那么其中的一個正根必然會對應兩個解,也就是x的值.
【總結(jié)】考查高次方程的解的個數(shù).
例9.學校舉行乒乓球女子單打比賽,采用單循環(huán)賽制,共比賽21場,則參加比賽的選手
有
___________名.
【難度】★★
【答案】7
【解析】假設(shè)參賽選手有〃人,那么每個人都要和除了自己以外的(〃-1)個人去打比賽,則
〃個人就要打〃("-1)場,又因為比賽單循環(huán)賽制,這樣算下來有重復,所以再除以2,即可
得最終比賽場次,那么根據(jù)題意可列出方程:=解得:爐7,即參賽選手有7
名.
【總結(jié)】考查學生的知識廣度,本題涉及到一些小升初奧數(shù)知識,有條件的老師可略加拓展.
例10.(1)當卬時,方程G石=2-加有實數(shù)解;
(2)方程Cx-1=1+加無解,勿的值為.
【難度】★★
【答案】(1)m<2;(2),n<-\.
【解析】(1)由2—得桃M2:(2)由l+/n<0,得/we—1.
【總結(jié)】考查二次根式的非負性的運用.
例11.方程上+二_=其產(chǎn)生增根,則公
]-xX+1/―1
【難度】★★
【答案】A=-3或々=—1.
3
【解析】兩邊同時乘以f-l,可得:-2x-8=63即x=T-3k;
當x=l或-1時,方程有增根,所以當-4-34=1時,k=~;
當一4一3R=—1時,k=-\,
綜上所述1<=-2或々=-1.
3
【總結(jié)】考查方程有增根的情況,注意先化成整式方程再代值計算.
例12.當a=時,關(guān)于*的方程_2_=,二無解.
x+3x-a
【難度】★★
【答案】a=-3或0.
【解析】當歸-3時,方程可化為二3-=二3,無解;當a=0時,方程可化為33=0,無
x+3x+3x+3
解.
【總結(jié)】考查方程無解的條件,注意進行分類討論.
例13.若(x+3=9,則{x--)2的值為.
XX
【難度】★★
【答案】5
【總結(jié)】考查完全平方公式的應用.
例14.已知關(guān)于x的分式方程史2=1的解是非正數(shù),則”的取值范圍是.
x+1
【難度】★★
【答案】且力-2.
【解析】由題意,先去分母,得:a+2=x+l,解得:x=a+1.
首先,因為方程解是非正數(shù),那么:x=a+l<0,解得:a<-],
其次,必須滿足原分式方程分母不為零:即X+1H0,XW-1,
即a+lw—1,解得:a*—2,因此,1且aH—2.
【總結(jié)】考查方程的解的應用及方程有意義的隱藏條件.
例15.一本書有a頁,若每天看6頁,則需要___天看完;若每天多看3頁,則需要
天看完;若要比原來提前3天看完,則每天需要比原來多看_____頁.
【難度】★★
【答案】£
bZ?+3a-3b
【解析】每天看%頁,需要4天看完;每天多看3頁,需要,—天看完;
bb+3
若要比原來提前3天看完,即現(xiàn)在需要4-3天看完,現(xiàn)在每天看/一=*—,
b3_3〃-3b
b~
...現(xiàn)在每天比原來多看上一-一頁
a-3ba-3b
【總結(jié)】考查分式方程的應用.
例16.兩個連續(xù)的正偶數(shù)的和的平方是196,這兩個數(shù)是.
【難度】★★
【答案】6、8.
【解析】設(shè)這兩個數(shù)分別為X、廣2,則(x+x+2)2=196,二2x+2=14,解得:x=6,
???這兩個數(shù)分別是6、8.
【總結(jié)】考查方程在數(shù)字問題中的簡單應用.
例17.方程4/+3》-3丁+5^-3=0的解中,x、y互為相反數(shù)的解是
【難度】★★
【答案】x=-l,y=l或x=3,y=—3.
【解析】由題意,x、y互為相反數(shù),即丁=-彳,代入方程得:4X2+3X-3(-X)2+5(-X)-3=0
化筒得:4X2+3X-3X2-5X-3=0,即:x2-2x-3=0,(x+l)(x-3)=0,
解得:x=-l或x=3,所以y=l或y=-3
所以互為相反數(shù)的兩個解是x=-l,y=l或x=3,y=-3.
【總結(jié)】考查方程的解的應用.
例18.若方程組卜一+2步=6有兩組相等的實數(shù)解,則女的值為______.
fcr+y=3
【難度】★★
【答案】4=土1.
【解析】由y=3-d,代入化簡可得:x?+2(3-履)2=6,即(2公+i)x?-12"+12=0,
因為方程組有兩組相等的實數(shù)解,所以△=(T2Z>-4xl2x(2公+1)=48公-48=0,
解得:無=±1.
【總結(jié)】考查方程組有兩組相等的實數(shù)解的問題,最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解進行求值.
例19.若卜=:是方程組的一個解,則這個方程組的另一個解是______.
[y=b[xy=n
【難度】★★
【答案】彳.
【解析】將方程組的解[尤=:代入原方程組,可得|"+,"=帆,
[y=b[ab=n
可以發(fā)現(xiàn),只要滿足這樣的關(guān)系,就可以是方程組的解,那么我們考慮把X、y互換位置
\x=b
即方程組的另一個解可以是
(7=0
【總結(jié)】考查方程的解的問題,以后碰到類似的情況仍然可以使用這個辦法,因為>、y是
不分先后的.
例20.方程組憶3":;由①+②得(…a國則原方程組可化為{;;:*
與兩個方程組.
【難度】★★
尤+2y=-6
【答案】
xy+4y2=8
x+2y=-6
【解析】由題意,我們將(x+2y)2=36開方,得x+2y=±6,故答案為
xy+4y2=8
【總結(jié)】考查二元二次方程組的因式分解問題.
例21.若飛機在無風時每小時飛行165千米,飛機依直線飛行了450千米后,依原來的路線
飛回原處,已知飛機去時是逆風,回來時是順風,回來時比去時少用了半個小時,求風速是
多少,設(shè)風速是x千米每小時,根據(jù)題意可列方程
【難度】★★★
450450
【答案】+0.5.
165-x165+x
【解析】設(shè)風速是X,根據(jù)來回所用的時間差,可列方程:/_=*_+0.5
165—x165+x
【總結(jié)】考查分式方程,先找準等量關(guān)系是關(guān)鍵,再依據(jù)題意列方程即可.
例22.若5+3,+3。)2=0,貝汁。=,%=.
【難度】★★★
【答案】。=9,h=—3.
【解析】由題意知:“+?-3=。、〃+3,=0,J。+?-3=0、。+3b=0,
b+\
:?b=T,a=9.
【總結(jié)】考查絕對值與平方的非負性的運用.
例23.當加<-2時,方程組卜2一,+1=°的實數(shù)解的個數(shù)是個.
y-mx
【難度】★★★
【答案】2.
【解析】由題意,把y=代入x?-y+1=0,可得:x2-/nr+1=0,
根的判別式△=加-4,因為可知△=加2-4>0,
則x有兩個不相等的實數(shù)解,所以方程組也有兩個實數(shù)解.
【總結(jié)】考查含參數(shù)的方程組的應用.
三、解答題
2,2
1.(2019?上海八年級單元測試)k為何值時,方程組〈x+.>=16只有唯一解?
x-y=k
【答案】k=±4&.
【分析】將方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程,根據(jù)△=()求解即可.
P+y2=]6⑴
【詳解】
x-y-k(2)
由(2)得,y=x-k(3)
將(3)代入(1)得,2/—2日+公一16=0,
要使原方程組有唯一解,只需要上式的△=(),即
(一2&)2-4*2*(/-16)=0,
解得,k=±4、歷.
llx2+y2=16
所以當k=±4五時,方程組《只有唯一解.
[x-y=k
【點睛】本題考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判別式的應用,掌握當判別式
為0時,一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根是解題的關(guān)鍵.
2.(2019?上海八年級單元測試)已知直角三角形周長為48厘米,面積為96平方厘米,
求它的各邊長.
【答案】12cm、16cm、20cm.
a+b+\Ja2+b2=48
【分析】設(shè)兩宜角邊為a、b,則斜邊為J7左,根據(jù)已知得:\1求
—ab=96
12
解即可.
【詳解】設(shè)該直角三角形的兩條直角邊為a、b,則斜邊長為病I”,根據(jù)題意得,
a+b+y/a2+b2=48
,1,
—ab=96
12
a=l2[a=\6
解得《,/或<
6=16b=n
。二12。=16--------------
經(jīng)檢驗,\和V都是方程的解,所以斜邊長為J12?+伺=20cm.
b=16。二1,
答:該直角三角形的三邊長分別是12cm、16cm、20cm.
【點睛】此題運用三角形面積表示出ga》=96,然后由勾股定理導出是關(guān)鍵.
2xATI+]X+]
3.(2019?上海八年級單元測試)若解分式方程「一一7―n=:—產(chǎn)生增根,則m
x+1x(x+l)X
的值是多少?
【答案】m=l或m=-2.
【分析】方程兩邊都乘以最簡公分母x(x+1)化分式方程為整式方程,然后把增根代入進
行計算即可求出m的值.
【詳解】方程兩邊都乘以x(x+1)得,2xJm-l=(x+1))
若分式方程產(chǎn)生增根,則x(x+1)=0,解得x=0或x=T,
把X=0代入整式方程,得0-(根+1)=1.解得m=-2;
把X=-1代入整式方程,得2x(-1)2一(加+1)=(-1+以.解得加=1.
/?m=l或m=-2.
【點睛】本題考查了分式方程的增根的問題,增根就是使分式方程的最簡公分母等于。的
未知數(shù)的值,把分式方程化為整式方程代入求解即可.
4.(2019?上海八年級單元測試)解下列方程
,、1以2,,c、12524
(1)-----1—----1-------1(2)---------1---------=-3-----
x+2x—42—xx~—2x—2x—2x+2x—2x+l
【答案】(1)Xi=l;(2)Xi=-1,X2=3,X3=—2,x」=4.
【分析】(1)方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解,經(jīng)檢驗即可得到分式方程
的解;
(2)運用換元法求解即可.
【詳解】(1)方程兩邊同乘以(x+2)(x-2),得(x-2)+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2),即x?-
3x+2=0,
Xi=l,X2=2.
檢驗:x=l時,(x+2)(x-2)WO,知x=l是原方程的解;x=2時,(x+2)(x-2)=0,知x=2是
原方程的增根.故原方程的根是x=L
(2)設(shè)x?—2x=y,
125_24
則原方程變形為
>'-2y+2y+1
(y+2)(y+1)+25(y-2)(y+1)=24(y2-4)
整理后,得y‘一1ly+24=0.
解得yi=3,y2=8.
①當y=3時,X2-2X=3,
解得Xi——1,x?=3,
②當y=8時,X2-2X=8.
解得X3=—2,x4=4.
經(jīng)檢驗:Xi=-1,X2=3,X3=—2,x,i=4都是原方程的解.
【點睛】
此題主要考查了分式方程的解法,解題的關(guān)鍵是熟練掌握運用分式方程的解法.
3(2<z-l)>3?-8
5.(2019?上海八年級單元測試)已知a是非零整數(shù),且滿足卜11—3〃,解關(guān)
------>a+2
I2
22
于x的方程:x-3x+3\lx-3x=1Oa
【答案】XE—l,X2=4
【分析】首先解不等式組求得a的范圍,然后根據(jù)a是非零整數(shù),即可求得a的值,然后
利用平方的方法即可求得.
’3(2。-1)>3。-8①
【詳解】解:111一3a〉a+2②,解①得:a>,,解②得:a<1,
、2°-
則不等式組的解集是:-572是非零整數(shù),...a=:l或-1.
35
當a=T時,方程無解.
當a=l時,則方程是:x2—3x+3\Jx2-3x=10)
設(shè)5/7一3%可,則原方程變形為:y2+3y=10,
2
解得:X=-5(舍去),y2=2,x-3x=4,解得:x=-l和4,
經(jīng)檢驗x=-l和4都是方程的解.故方程的解是:x,=-l,X2=4.
【點睛】本題考查了無理方程.在解無理方程是最常用的方法是兩邊平方法及換元法,本
題用了換元法.
6.解下列關(guān)于x的方程:
(1)X4-7X2+10=0;(2)x2+x-2+k(x2+2x)=0.
【難度】★★
【答案】(1)X,=>/2,x2=—V2)x3=y/5,xA=—x/5;(2)Xj=-2,x2=---.
【解析】⑴原方程可分解為:(幺-2)(1一5)=0,.,.分=延=5,
解得原方程的解為:x,=>72,x2=-V2,x3=A/5,x4=—>/5;
(2)原方程可化為(x+2)(x-l)+依(x+2)=0,即(x+2)[(k+l)x-l]=0,
解得原方程的解為:x-2,
1='Z+l
【總結(jié)】考查簡單的整式方程的求解,注意含字母參數(shù)時要討論.
7.解下列關(guān)于x的方程:
(1)3or+b=4;(2)b2x2+(b2x)2=b2+(b2)2.
【難度】★★
【解析】(1)移項得:36=4一6:分類討論:
當。=0,6=4時,方程左邊=0,右邊=0,有無數(shù)個解:
當a=O,6/4時,方程左邊=0,右邊,0,無解:
當awO時,方程有唯一解:x=—;
3a
(2)觀察方程每一項都含有從,故而考慮消去從,而題中沒有說明匕不等于零,那么
要分類討論:當6=0時,方程左邊=右邊=0,有無數(shù)個解:
當bwO時,方程左邊右邊可同時約掉從,方程化為:Y+b2d=1+從,即
(1+b2)x2=i+b2,得x?=1,所以%=1,Xj=7.
【總結(jié)】考查含參數(shù)的整式方程的解法,注意要分類討論.
8.解下列方程:
(1)J2x—1+j3-2x=2:(2)y/2x+l-y/x+2=2y/3.
【難度】★★
【答案】(1)x=l;(2)73.
【解析】(1)兩邊平方得:2+2j(2x-1)(3-2x)=4,J(2x-1)(3—2x)=1,
兩邊再平方得:-4X2+8X-4=0,解得:x=l,經(jīng)檢驗x=l是原方程的解;
(2)在R=471+26,兩邊平方,整理得x-13=4,3(x+2),
兩邊再平方,整理得:X2-74X+73=0-解得:藥=1,芻=73,
經(jīng)檢驗,產(chǎn)1是原方程的增根,所以是原方程的解為x=73.
【總結(jié)】考查無理方程的解法,通常整理后兩邊平方即可,注意解完后要檢驗.
9.解下列方程組:
⑴(x2+2xy-3y2=2x1-y2=3
x+3y=2x2-2xy+y2=\
\x2-7xy+ny2=0
(J)
x2-4xy+4y2=4
【難度】★★
5
x=—
4玉=2Jx,=-2Jx,=6JX=-6\X=4\X=-4
【答案】(1)y=ll%=T;b=2,U=2-2,U3=l,U=4-l
【解析】(1)由f+2盯一3y2=2可得(x+3y)(x-y)=2,代入得,2(x-y)=2,
5
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