高考數(shù)學二輪復習講義(新高考版)專題2培優(yōu)點8向量共線定理的應用(學生版+解析)

培優(yōu)點8向量共線定理的應用【方法總結】向量共線定理可以解決一些向量共線，點共線問題，也可由共線求參數(shù)；對于線段的定比分點問題，用向量共線定理求解則更加簡潔．【典例】1(1)若點M是△ABC所在平面內一點，且滿足|3eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝0，則△ABM與△ABC的面積之比等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)(2)在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一點，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,8)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實數(shù)m的值為________．【典例】2(1)(2020·河北省石家莊一中質檢)在△ABC中，D為線段AC的中點，點E在邊BC上，且BE＝eq\f(1,2)EC，AE與BD交于點O，則eq\o(AO,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))(2)在△ABC中，過中線AD的中點E任作一直線分別交AB，AC于M，N兩點，設eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，則4x＋y的最小值是________．【方法總結】(1)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1.(2)使用條件“兩條線段的交點”時，可轉化成兩次向量共線，進而確定交點位置．INCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"\\\\周飛燕\\e\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學\\word\\專題二\\跟蹤演練.tif"INET【拓展訓練】1.如圖，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD與BE交于點F，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AF,\s\up6(→))＝xa＋yb，則(x，y)等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,2)))2．(2020·河北省石家莊二中調研)已知在△ABC中，AB＝AC＝3，D為邊BC上一點，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝6，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(15,2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值為________．3．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，動點P在邊BC上，且滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))(m，n均為正實數(shù))，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為________．培優(yōu)點8向量共線定理的應用【方法總結】向量共線定理可以解決一些向量共線，點共線問題，也可由共線求參數(shù)；對于線段的定比分點問題，用向量共線定理求解則更加簡潔．【典例】1(1)若點M是△ABC所在平面內一點，且滿足|3eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝0，則△ABM與△ABC的面積之比等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)【答案】C【解析】∵|3eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝0，∴3eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→)).設BC的中點為G，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AG,\s\up6(→))，∴3eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AG,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AG,\s\up6(→))，∴點M在線段AG上，且eq\f(\o(|AM,\s\up6(→))|,\o(|AG,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,3).∴eq\f(S△ABM,S△ABG)＝eq\f(|\o(AM,\s\up6(→))|,|\o(AG,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,3)，易得eq\f(S△ABG,S△ABC)＝eq\f(|\o(BG,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(S△ABM,S△ABG)·eq\f(S△ABG,S△ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，即△ABM與△ABC的面積之比等于eq\f(1,3).(2)在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一點，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,8)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實數(shù)m的值為________．【答案】eq\f(1,4)【解析】方法一∵B，P，N三點共線，∴eq\o(BP,\s\up6(→))∥eq\o(PN,\s\up6(→))，∴存在實數(shù)λ，使得eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(PN,\s\up6(→))(λ>0)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))，∵λ>0，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,1＋λ)eq\o(AN,\s\up6(→)).∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,8)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AN,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋λ)＝m，,\f(λ,1＋λ)＝\f(3,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,m＝\f(1,4).))方法二∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,8)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AN,\s\up6(→)).∵B，P，N三點共線，∴m＋eq\f(3,4)＝1，∴m＝eq\f(1,4).【典例】2(1)(2020·河北省石家莊一中質檢)在△ABC中，D為線段AC的中點，點E在邊BC上，且BE＝eq\f(1,2)EC，AE與BD交于點O，則eq\o(AO,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】A【解析】如圖，設eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))(λ>0)，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)λeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)λeq\o(AD,\s\up6(→)).又B，O，D三點共線，∴eq\f(2,3)λ＋eq\f(2,3)λ＝1，∴λ＝eq\f(3,4)，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)在△ABC中，過中線AD的中點E任作一直線分別交AB，AC于M，N兩點，設eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，則4x＋y的最小值是________．【答案】eq\f(9,4)【解析】由D為BC的中點知，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，E為AD的中點，故eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4x)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(1,4y)eq\o(AN,\s\up6(→))，∵M，E，N三點共線，∴eq\f(1,4x)＋eq\f(1,4y)＝1，∴4x＋y＝(4x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4x)＋\f(1,4y)))＝eq\f(y,4x)＋eq\f(x,y)＋eq\f(5,4)≥2eq\r(\f(y,4x)·\f(x,y))＋eq\f(5,4)＝eq\f(9,4)，當且僅當eq\f(y,4x)＝eq\f(x,y)，即x＝eq\f(3,8)，y＝eq\f(3,4)時取等號．∴4x＋y的最小值為eq\f(9,4).【方法總結】(1)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1.(2)使用條件“兩條線段的交點”時，可轉化成兩次向量共線，進而確定交點位置．INCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"\\\\周飛燕\\e\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學\\word\\專題二\\跟蹤演練.tif"INET【拓展訓練】1.如圖，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD與BE交于點F，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AF,\s\up6(→))＝xa＋yb，則(x，y)等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,2)))【答案】C【解析】由題意得，eq\o(AF,\s\up6(→))＝xa＋yb＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AE,\s\up6(→))，∵B，F(xiàn)，E三點共線，∴x＋2y＝1，①同理，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2xeq\o(AD,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，∵D，F(xiàn)，C三點共線，∴2x＋y＝1，②由①②得x＝y(tǒng)＝eq\f(1,3)，∴(x，y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3))).2．(2020·河北省石家莊二中調研)已知在△ABC中，AB＝AC＝3，D為邊BC上一點，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝6，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(15,2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值為________．【答案】eq\f(9,2)【解析】∵D為邊BC上一點，可設eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋Beq\o(D,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→)).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→))＝1－λ×9＋λ\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＝6，①,\o(AC,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→))＝1－λ×\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＋9λ＝\f(15,2)，②))①＋②得，9＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(27,2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(9,2).3．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，動