7.5正態(tài)分布課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

7.5正態(tài)分布高斯是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，一生中的重要貢獻(xiàn)不勝枚舉．德國(guó)的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態(tài)分布的曲線，這就傳達(dá)了一個(gè)信息：在高斯的科學(xué)貢獻(xiàn)中，對(duì)人類(lèi)文明影響最大的是正態(tài)分布．那么,什么是正態(tài)分布？正態(tài)分布的曲線有什么特征？如圖所示是一塊高爾頓板示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.讓一個(gè)個(gè)小球從高

爾頓板上方的通道口落下，小球在下落過(guò)程中與層層小木塊碰撞，最后掉入高爾頓板下方

的某一球槽內(nèi)，只有球的數(shù)目相當(dāng)大，它們?cè)诘装鍖⒔M成近似中間高兩頭低，成左右對(duì)稱的圖形.正態(tài)分布離散型隨機(jī)變量最多取可列個(gè)不同值，它等于某一特定實(shí)數(shù)的概率可能大于0

，離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，前面我們研究

的分布列（如二項(xiàng)分布、超幾何分布等）都是離散型隨機(jī)變量的分布列。正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是很重要的分布，它是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，它等于任何一個(gè)實(shí)數(shù)的概率都為0

，所以通常感興趣的是它落在某個(gè)區(qū)間的

概率，它的概率分布規(guī)律用密度函數(shù)（曲線）描述.-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9問(wèn)題:自動(dòng)流水線包裝的食鹽,每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.

由于各種不可控的因素,任

意抽取一袋食鹽,它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多

或少會(huì)存在一定的誤差(實(shí)際

質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量).用X表示這種誤差,則X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量.檢測(cè)人員在一次產(chǎn)品檢驗(yàn)中,

隨機(jī)抽取了100袋食鹽,獲得誤差X

(單位:g)的觀測(cè)值如下:-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布,如右圖所示.頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率,所有小矩形的面積之和為1.

誤差觀測(cè)值有正有負(fù),并大致對(duì)稱地分布在X=0的兩側(cè),而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.隨著樣本數(shù)據(jù)量越來(lái)越大,讓分組越來(lái)越多,組距越來(lái)越小,

由頻

率的穩(wěn)定性可知,規(guī)率分布直方圖

的輪廓就越來(lái)越穩(wěn)定,接近一條光

滑的鐘形曲線,如右圖所示。根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可用以用

上圖中的鐘型曲線來(lái)描述袋裝食鹽質(zhì)量

誤差的概率分布，曲線與水平軸之間的

面積為1.任意抽取一袋鹽，誤差落在[-2,-1]內(nèi)的概率如何表示?可以用圖中黃色陰影部分的面積表示.對(duì)任意的x

∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡(jiǎn)稱

正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機(jī)

變量X服從正態(tài)分布(normal

dis-tribution),記為X~N(u,

σ2

).正態(tài)分布的定義若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)

=

σ·

2π

e

2σ

,

x

∈R,

其中μ

∈R，σ

>

0為參數(shù).1

一

(x一

)22μ若X~N(u,σ2),則如上圖所示,X取值不超過(guò)x

的概率P(X)為圖中區(qū)域A的面積,而P(a≤X<b)為區(qū)域B的面積.y

μ=0

σ=

10-3

-2

-1

1

2

3

x特別地,

當(dāng)u=0,σ=1時(shí),稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.即X~N(0,1).正態(tài)曲線的性質(zhì)思考:一個(gè)正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定,這兩個(gè)參數(shù)對(duì)正態(tài)曲線的形

狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?f(x)=

e

2σ

,

x∈

R其中μ

∈

R,

σ>0為參數(shù).2-3-2-1

0

1

2

x

-3-2-1

01

23

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x具有兩頭低

、

中間高

、左右對(duì)稱的基本特征ycμ=

1

σ=2

μ=0

σ=

1σ=0.5μ=

-1—

(x—μ)2yyμ=

-1σ=0.5-3-2-1

0

1

2

xy-

μ=0σ=

1-3-2-1

0

1

2

3

xy-3-2-1

0

1

2

3

4x(1)對(duì)稱性:曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱.(2)最值性:曲線在x=μ處達(dá)到峰值(最高點(diǎn))

(3)當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸.當(dāng)x∈(-

∞

,μ]時(shí),為增函數(shù).當(dāng)x∈[μ,+∞)時(shí),

為減函數(shù).值域?yàn)?/p>

(0,

]x∈

R其中μ

∈

R,

σ>0為參數(shù).μ=

1

σ=2y若σ

固定,

隨μ值的變化而沿x軸

平移,故μ稱為位置參數(shù)；參數(shù)

μ

,

σ

的含義及對(duì)正態(tài)曲線的形狀的影響μ=0μ=

-1參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置,(1).

當(dāng)參數(shù)

σ取定值時(shí)，μ1μ=1σ=

1μ3μ2y(2).當(dāng)參數(shù)μ取定值時(shí):

峰值

1

與σ成反比，

σ

2π又σ>0,

曲線與x軸圍成的面積為1.σ越小，曲線越“瘦高

”，表示總體的分布越集中.若X~N(μ,σ

2

),

則E(X)=

μ,

D(X)=

σ2μ

x所以σ越大，曲線越“矮胖

”，表示總體的分布越分散；若

μ

固定,σ大時(shí),

曲線“矮而胖

”；

σ小時(shí),

曲線“瘦而高

”,

故稱σ為形狀參數(shù).μ=0σ

=0.5σ

=1σ=2y正態(tài)分布的3σ原則

假設(shè)X~N(μ,σ2

),

可以證明：對(duì)給定的

k

∈

N*

,

P(μ一

kσ≤X≤μ

+kσ)是一個(gè)只與k有關(guān)的定值.特別地

P(μ一σ≤X≤μ

+

σ)≈0.6827P(μ一

2σ≤X≤μ

+

2σ)≈0.9545

P(μ一

3σ≤X≤μ

+

3σ)≈0.9973盡管正態(tài)變量的取值范圍是(?∞,+∞),但在一次試驗(yàn)中,x的取值幾乎總落在區(qū)間[μ-3σ,μ+3σ]內(nèi),而在此區(qū)間外取值的概率大約只有0.0027,通常

認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量x只取

[μ-3σ,μ+3σ]中的值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.A若

μ

固定,σ大時(shí),

曲線“矮而胖

”；

σ小時(shí),

曲線“瘦而高

”,

故稱σ為形狀參數(shù).D若X~N(μ,σ

2

),

則E(X)=

μ,

D(X)=

σ20.20.68275.把一個(gè)正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到新的一條曲線b

，下列說(shuō)法中不正確的是（D

）A.

曲線b仍然是正態(tài)曲線；B.

曲線a和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等;C.

以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體的期望大2;

D.

以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2。6.

已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在（-3,-1）里的概率和落在（3,5）里的概率相等，那么這個(gè)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望是

1

。7.如圖，是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)圖象寫(xiě)出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差。5

1015

202530

35xy12

π18.若一個(gè)正態(tài)分布的概率函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)且該函數(shù)的最大值等于4

·

2π

,求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式。9.某年級(jí)的一次信息技術(shù)測(cè)驗(yàn)成績(jī)近似的服從正態(tài)分布

N(70,

102

)

，如果規(guī)定低于60分為不及格，求：（1）成績(jī)不及格的人數(shù)占多少？（2）成績(jī)?cè)?0~90內(nèi)的學(xué)生占多少？10.李明上學(xué)有時(shí)坐公交車(chē),有時(shí)騎自行車(chē),他各記錄了50次坐公交車(chē)和騎自行車(chē)所花的時(shí)間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車(chē)平均用時(shí)30min,樣本方差為36;騎自行車(chē)平均用時(shí)34min,樣本方差為4.假設(shè)坐公交車(chē)用時(shí)X和騎自行車(chē)用時(shí)Y都服從正態(tài)分布.(1)估計(jì)X,Y的分布中的參數(shù)

;(2)根據(jù)(1)中的估計(jì)結(jié)果,利用信息技術(shù)工具畫(huà)出X和Y的分布密度曲線

;(3)如果某天有38min可用,李明應(yīng)選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用,又應(yīng)該選擇哪種交通工

具?請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)隨機(jī)變量X的樣本均值為30,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6;隨機(jī)變量Y的樣本均值為34,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.用樣本均值估計(jì)參數(shù)μ.用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)參數(shù)σ

,可以得到X~N(30,62),Y~N(34,22).(2)X和Y的分布密度曲線如圖所示,(3)應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交