模型26 勾股定理-378和578模型-解析版

勾股定理模型（二十六）——378和578模型當(dāng)兩個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，7，8和5，7，8時(shí)，我們對(duì)于這兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個(gè)三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形.◎結(jié)論：當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為3，7，8和5，7，8時(shí)，①這兩個(gè)三角形的面積63、103.②3、8與5、8夾角都是60°【證明】①過A作AE⊥BC于E,∵△ABC為等邊三角形，可求出AE的長(zhǎng)為43∴△ABD的面積為12BDAE＝63，△ACD的面積為103②有上面△ABC是等邊三角形可知，∠B＝∠C＝60°，∴3、8與5、8夾角都是60°1．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則∠C＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°【答案】C【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，設(shè)CD＝x，則BD＝BC?CD＝5?x，由勾股定理得72?（5?x）2＝82?x2，得出CD＝4，則CD＝AC，再證∠CAD＝30°，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，如圖所示：設(shè)CD＝x，則BD＝BC?CD＝5?x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2?BD2，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2?CD2，∴AB2?BD2＝AC2?CD2，即：72?（5?x）2＝82?x2，解得：x＝4，∴CD＝4，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°?30°＝60°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握勾股定理，證出∠CAD＝30°是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）邊長(zhǎng)為5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（

）．A．90° B．150° C．135° D．120°【答案】D【分析】設(shè)△ABC的三邊AB=5，AC=7，BC=8，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)BD=x，分別在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，從而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和．【詳解】設(shè)△ABC的三邊AB=5，AC=7，BC=8，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖設(shè)BD=x，則CD=8-x在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得：則得方程：解得：即∵，AD⊥BC∴∠BAD=30゜∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜∵BC>AC>AB∴∠BAC>∠ABD>∠C故最大角與最小角的和為120゜故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解一元一次方程，大角對(duì)大邊等知識(shí)，關(guān)鍵是作最大邊上的高，從而為勾股定理的使用創(chuàng)造了條件．1．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，則∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°【答案】C【分析】過點(diǎn)A作交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，設(shè)CD=x，則BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出，可求出CD的長(zhǎng)，從而得到BD的長(zhǎng)，然后利用直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可設(shè)CD=x，則BC=3+x，在中，，在中，，∴，解得：，∴BC=3+x=4，∴在中，，∴，∴．故選C．【定睛】本題主要考查了勾股定理及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中若一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對(duì)的銳角等于是解題的關(guān)鍵．2．（2021·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，則△ABC的面積為（

）A．24 B．56 C．48 D．112【答案】A【分析】如圖，過作于，設(shè)，則，根據(jù)中，利用勾股定理建立方程，求得，繼而用勾股定理求得，從而求得面積．【詳解】如圖，過作于，設(shè)，則，在中解得故選A【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．1．（2021·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長(zhǎng)度分別為3，7，8，則△ABC的內(nèi)切圓Ⅰ的半徑為_________．【答案】【分析】先過點(diǎn)B作BD⊥AC，用勾股定理求出AD和BD，再用等面積求出IE即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BD⊥AC，∵△ABC的三邊AB，BC，CA的長(zhǎng)度分別為3，7，8，∴設(shè)AD＝x，則CD＝8?x，在△ABD與△CBD中，BD2＝AB2?AD2＝BC2?CD2，∴32?x2＝72?（8?x）2，解得：x＝，∴AD＝，∴BD＝過點(diǎn)I作IE垂直BC于E，∵I為△ABC的內(nèi)心，∴△ABC的三邊AB，BC，CA上的高都等于IE，∵S△ABC＝AC