《工程流體力學(xué)》第7章 量綱分析與相似理論

工程流體力學(xué)

第七章量綱分析與相似理論§7-1量綱分析簡介一、概念量綱分析是確定相似準(zhǔn)則的一種主要方法。它通過揭示物理量量綱之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，對物理現(xiàn)象作定性或半定量分析。量綱分析法不僅用于指導(dǎo)模型實(shí)驗(yàn)，而且為理論分析提供重要信息，是研究新現(xiàn)象、開發(fā)新領(lǐng)域中行之有效的分析手段，廣泛應(yīng)用于包括流體力學(xué)在內(nèi)的許多學(xué)科領(lǐng)域中。量綱（dimension）是指物理量的基本屬性。物理學(xué)的研究可定量地描述各種物理現(xiàn)象，描述中所采用的各類物理量之間有著密切的關(guān)系，即它們之間具有確定的函數(shù)關(guān)系。為了準(zhǔn)確地描述這些關(guān)系，物理量可分為基本量和導(dǎo)出量?；玖渴蔷哂歇?dú)立量綱的物理量，導(dǎo)出量是指其量綱可以表示為基本量量綱組合的物理量；一切導(dǎo)出量均可從基本量中導(dǎo)出，由此建立了整個(gè)物理量之間函數(shù)關(guān)系。這種函數(shù)關(guān)系通常稱為量制。§7-1量綱分析二、國際單位制1971年后，國際上普遍采用了國際單位制（簡稱SI），選定了由7個(gè)基本量構(gòu)成的量制，導(dǎo)出量均可用這7個(gè)基本量導(dǎo)出。7個(gè)基本量的量綱分別用長度L、質(zhì)量M、時(shí)間T、電流強(qiáng)度I、溫度Θ、物質(zhì)的量n和光強(qiáng)度J表示?！?-2量綱分析與Π定理一、Π定理（1）若一個(gè)方程包含了n個(gè)物理量，每個(gè)物理量的量綱均由r個(gè)獨(dú)立的基本量綱組成，則這些物理量可以并只可以組合成n-r個(gè)獨(dú)立的無量綱參數(shù)，稱為Π數(shù)。例如在流體力學(xué)中獨(dú)立的基本量有4個(gè)：M，L，T，Θ，若不考慮溫度效應(yīng)則一般指前三個(gè)，即r=3。設(shè)某流動過程可用n個(gè)物理量描述，如x1，x2，?，xn；按Π定理這n個(gè)物理量可以并只可以合成n-3個(gè)獨(dú)立的Π數(shù)。（2）選擇r個(gè)獨(dú)立的物理量為基本量，將其余n-r個(gè)物理量作為導(dǎo)出量，依次同基本量作組合量綱分析，可求得相互獨(dú)立的n-r個(gè)Π數(shù)。§7-2量綱分析與Π定理二、量綱分析法量綱分析法一般步驟：第1步，列舉所有相關(guān)的物理量。第2步，選擇包含不同基本量綱的物理量為基本量（或稱為重復(fù)量，取3個(gè)）。第3步，將其余的物理量作為導(dǎo)出量，分別與基本量的冪次式組成Π表達(dá)式。第4步，用量綱冪次式求解每個(gè)Π表達(dá)式中的指數(shù)，組成Π數(shù)。第5步，用Π數(shù)組成新的方程?！?-3流動相似與相似準(zhǔn)則一、流動相似物理學(xué)中的相似概念是幾何相似的引申，由于影響物理現(xiàn)象的因素眾多，其相似內(nèi)容比幾何學(xué)要豐富得多。我們把遵循同一物理方程的物理現(xiàn)象稱為同類型現(xiàn)象，把其中相應(yīng)物理量成比例的一組現(xiàn)象稱為相似現(xiàn)象。在流體力學(xué)中相似現(xiàn)象除了幾何相似外，還有時(shí)間相似、運(yùn)動相似和動力相似等。要使該兩個(gè)流場相似必須保證：1、幾何相似，即所有對應(yīng)尺度成比例2、時(shí)間相似，即所有對應(yīng)的時(shí)間間隔成比例3、運(yùn)動相似，即所有對應(yīng)點(diǎn)上的速度（加速度）方向一致，大小成比例4、動力相似，即所有對應(yīng)點(diǎn)上的對應(yīng)力方向一致，大小成比例?！?-3流動相似與相似準(zhǔn)則二、相似準(zhǔn)則相似的矩形具有共同的性質(zhì)，例如對角線與邊的夾角均為α=arctanhl，只要分析其中一個(gè)矩形的性質(zhì)，就可推廣到其他相似的矩形上去。即為：類似地，對流場也可引入相似準(zhǔn)則。在流場幾何相似中，以弦翼長c或c’為特征尺度，即為：在流場運(yùn)動相似中，若取來流速度U為特征速度，可得：§7-4常用的相似準(zhǔn)則數(shù)一、Re數(shù)（雷諾數(shù)）Re數(shù)為紀(jì)念英國工程師雷諾而命名，定義為：二、Fr數(shù)（弗勞德數(shù)）Fr數(shù)為紀(jì)念英國船舶工程師弗勞德而命名，定義為：三、Eu數(shù)（歐拉數(shù)）Eu數(shù)為紀(jì)念瑞士數(shù)學(xué)家歐拉而命名，定義為：四、Sr數(shù)（斯特勞哈爾數(shù)）Sr數(shù)為紀(jì)念捷克物理學(xué)家斯特勞哈爾（V.Strouhal）而命名，定義為：§7-4常用的相似準(zhǔn)則數(shù)五、Ma數(shù)（馬赫數(shù)）Ma數(shù)為紀(jì)念奧地利物理學(xué)家馬赫而命名，定義為：六、We數(shù)（韋伯?dāng)?shù)）We數(shù)為紀(jì)念德國機(jī)械專家韋伯(M.Weber)而命名，定義為：七、N