《工程流體力學(xué)》第3章 流體靜力學(xué)

工程流體力學(xué)

第三章流體靜力學(xué)§3-1流體平衡微分方程一、流體靜壓強(qiáng)及其特性假設(shè)用平面ABCD將流體團(tuán)分為I、II兩部分，再將I部分移去，并以等效的力作用在平面ABCD上以代替它對II部分的作用。從平面ABCD上任取面積△A，設(shè)△F為部分I作用在△A上的總作用力。則將△F和△A的比值稱為△A上的平均壓強(qiáng)，以表示，即當(dāng)面積△A無限縮小到一點(diǎn)時(shí)，比值趨近于某一個(gè)極限值，此極限值稱為點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)，以表示，即流體靜壓強(qiáng)以Pa表示，1Pa=1N/m2?！?-1流體平衡微分方程一、流體靜壓強(qiáng)及其特性流體靜壓強(qiáng)有如下兩項(xiàng)特性：（1）靜壓強(qiáng)方向必然總是沿作用面的內(nèi)法線方向，即垂直并指向作用面。（2）靜止流體中任點(diǎn)處的壓強(qiáng)大小與其作用面方位無關(guān)，即同一點(diǎn)上各方向的靜壓強(qiáng)大小均相等。作用于靜止流體內(nèi)一給定點(diǎn)處不同方向的壓強(qiáng)是常數(shù)，但在不同點(diǎn)處這一值一般并不相等，因而靜止流體內(nèi)的壓強(qiáng)是位置的函數(shù)：§3-1流體平衡微分方程二、歐拉平衡方程在直角坐標(biāo)系中，設(shè)密度為ρ的流體在體積力為作用下處于平衡狀態(tài)。以流體質(zhì)點(diǎn)M為基點(diǎn)，取邊長分別為dx，dy，dz的正六面體為流體元。壓強(qiáng)在流體元上的合力是由于存在壓強(qiáng)梯度而造成的，圖中僅標(biāo)出沿x方向的壓強(qiáng)分布。在過M點(diǎn)的yoz平面上壓強(qiáng)為p，在相對的平面上壓強(qiáng)有增量。這樣作用在流體元上沿方向的壓強(qiáng)合力與體積力平衡式為§3-1流體平衡微分方程二、歐拉平衡方程上式消去dxdydz后可得壓強(qiáng)偏導(dǎo)數(shù)與體積力分量的關(guān)系式：在y、z方向，同理可得：矢量式為：上式為流體的平衡微分方程，又稱為歐拉平衡方程。一般情況下體積力分布為已知條件，壓強(qiáng)分布是需要求的。如果流體密度為常數(shù)，可對歐拉平衡方程直接積分求壓強(qiáng)分布；如果流體是可壓縮的（如大氣），還需要補(bǔ)充密度與壓強(qiáng)之間的關(guān)系式才能求解。式3-6式3-7式3-8式3-9§3-1流體平衡微分方程三、等壓面流體壓強(qiáng)在一點(diǎn)鄰域內(nèi)的空間增量可用全微分表示為將式3-6~式3-8中的壓強(qiáng)偏導(dǎo)數(shù)分別代入此式，得因?yàn)榈葔好媸菈簭?qiáng)場等值面，其壓強(qiáng)處處相等。在上式中令dp=0，可得：上式為等壓面的微分方程，若質(zhì)量已知，積分此式可得等壓面方程。式3-10式3-11§3-1流體平衡微分方程四、流體平衡的條件若將式3-6~3-8中的三個(gè)分方程式分別對坐標(biāo)交錯(cuò)求導(dǎo)，得：即：對于均質(zhì)流體，ρ=常數(shù)，壓強(qiáng)全微分式3-10變?yōu)橛故?-13成立，必須使質(zhì)量力矢量為某個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度。也就是說，若有勢，必存在一個(gè)勢函數(shù)，使式3-12式3-13§3-1流體平衡微分方程四、流體平衡的條件從而使全微分成立：即：式3-15表明，均質(zhì)流體保持平衡的條件是質(zhì)量力必須為有勢力。重力是有勢力，因此均質(zhì)流體在重力場中能保持平衡狀態(tài)。式3-15式中稱為質(zhì)量力的力勢函數(shù)。

U的物理意義：U的偏導(dǎo)數(shù)為質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸的投影，而流場中空間任意點(diǎn)均存在質(zhì)量力，此流場為有勢力場?！?-2重力場中的流體平衡設(shè)圖示的容器中靜止的液體均質(zhì)，容器上腔氣壓為。取圖所示坐標(biāo)后，可得

代入靜平衡微分方程得積分得一、流體靜力學(xué)的基本方程即：能量形式式中：gz為單位質(zhì)量流體的重力勢能，p/ρ為單位質(zhì)量流體的壓強(qiáng)勢能?！?-2重力場中的流體平衡能量形式方程可改寫為式中：z為位置水頭；為壓強(qiáng)水頭。表明：不可壓重力流體處于平衡狀態(tài)時(shí)，精水頭線C或計(jì)示精水頭線為平行于基準(zhǔn)面的水平線。一、流體靜力學(xué)的基本方程水頭形式能量形式和水頭形式，均稱為流體靜力學(xué)基本方程，也稱為靜止流體能量守恒方程。其適用條件：①均質(zhì)或不可壓縮流體；②體積力為重力；③同種流體的連通范圍內(nèi)。§3-2重力場中的流體平衡在連通的流體內(nèi)部，任取1和2兩點(diǎn)，滿足：此式表明，同種流體的密封連通器內(nèi)，任兩點(diǎn)的靜水頭高度相等。對于確定的兩點(diǎn)，一點(diǎn)的壓強(qiáng)變化必引起另一點(diǎn)壓強(qiáng)的相同變化。在密封的充滿流體的連通器內(nèi)，一點(diǎn)的壓強(qiáng)變化可瞬間傳遞到整個(gè)連通器域內(nèi)，這就是帕斯卡原理。一、流體靜力學(xué)的基本方程實(shí)用形式對于靜止流體內(nèi)部的壓強(qiáng)分布，若自由面z=z0上p=p0，則淹沒水深h=z0-z處壓強(qiáng)為?？梢娭亓鲋胁豢蓧红o止流體中壓力分布隨深度呈線性增加。§3-2重力場中的流體平衡1.密度ρ=C時(shí)：當(dāng)可壓縮流體密度為常數(shù)時(shí)，由流體平衡微分方程3-10，質(zhì)量力只有重力，fx=fy=0，fz=-g，得二、可壓縮流體中的壓強(qiáng)分布因?yàn)闅怏w的密度很小，對于一般的儀器和設(shè)備，當(dāng)高度不是很大時(shí)，重力對氣體壓強(qiáng)的影響很小，可以忽略。故可認(rèn)為各點(diǎn)的壓強(qiáng)相等，即ρ=C。例如：在儲氣罐內(nèi)的氣體，可認(rèn)為各點(diǎn)的壓強(qiáng)相等。式3-18積分上式得：§3-2重力場中的流體平衡2.密度為變量時(shí)：以大氣層為對象，研究壓強(qiáng)的分布規(guī)律。二、可壓縮流體中的壓強(qiáng)分布在對流層中，密度隨壓強(qiáng)和溫度變化，由理想氣體狀態(tài)方程式得，代入式3-18，得（1）對流層式3-20式中，溫度T隨高度變化，，T0為海平面上的熱力學(xué)溫度，0.0065K/m。于是有：§3-2重力場中的流體平衡積分上式得：整理得：二、可壓縮流體中的壓強(qiáng)分布將國際標(biāo)準(zhǔn)大氣條件海平面（平均緯度45°）上的溫度T0=288K（158）、P0=1.013×105

N/m2、R=287J/（kg·K）、β=0.0065代入上式，得到對流層標(biāo)準(zhǔn)大氣壓分布式3-21kPa式中，0≤z≤11000m?！?-2重力場中的流體平衡（2）同溫層同溫層的溫度二、可壓縮流體中的壓強(qiáng)分布同溫層最低處zd=11000m的壓強(qiáng)，由式3-21算得pa=22.6kPa,式3-22將以上條件代入式3-20并積分，便可得到同溫層標(biāo)準(zhǔn)大氣壓分布：KkPa式中，11000≤z≤25000m。§3-2重力場中的流體平衡三、浮力與穩(wěn)定性如圖所示，潛下表面abcde和上表面afcde。分析各自的壓力體，可以合成該潛體的壓力體。上表面組成的壓力體，液體與壓力體位于同側(cè)，為正壓力體；下表面組成的壓力體，液體與壓力體位于異側(cè)，為負(fù)壓力體?？倝毫Φ拇怪狈至礊楦×Γ涸撌奖砻鳎翛]在均質(zhì)流體中的物體所受浮力的大小等于排開流體的重量，此即阿基米德浮力定律?！?-2重力場中的流體平衡三、浮力與穩(wěn)定性潛體的穩(wěn)定性取決于物體重心與浮心的相對位置，如圖所示，一般有三種情形：穩(wěn)定平衡：平衡時(shí)重心c位于浮心b正下方。當(dāng)物體傾斜時(shí)，重力G與浮力Fb構(gòu)成一恢復(fù)力偶，使物體回到平衡位置。不穩(wěn)定平衡：平衡時(shí)重心位于浮心正上方。當(dāng)物體傾斜時(shí)，重力與浮力構(gòu)成一傾倒力偶，使物體傾覆。隨遇平衡：平衡時(shí)重心與浮心重合。當(dāng)物體傾斜時(shí)，既不發(fā)生恢復(fù)，也不發(fā)生傾倒。只有在均質(zhì)液體中的均質(zhì)潛體才有可能達(dá)到隨遇平衡?！?-2重力場中的流體平衡四、壓強(qiáng)的計(jì)量與測量1、絕對壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng)是以完全真空（p=0）為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng)。對于p0=pa，則靜止流體中某點(diǎn)的絕對壓強(qiáng)為；2、相對壓強(qiáng)相對壓強(qiáng)是以當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)pa為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng)，即高于大氣壓的壓強(qiáng)，也稱之為計(jì)示壓強(qiáng)或表壓強(qiáng)。那么，靜止流體中某點(diǎn)的相對壓強(qiáng)為；3、真空度負(fù)的計(jì)示壓強(qiáng)，稱為真空或負(fù)壓強(qiáng)，用符號pv表示。則§3-2重力場中的流體平衡四、壓強(qiáng)的計(jì)量與測量壓強(qiáng)的單位：國際單位制為帕斯卡Pa（1Pa=1N/m2）；工程單位制，采用大氣壓（at，atm）、巴（bar）、液柱高度（mH2O，mmHg）。其換算關(guān)系：1atm（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）=1.01325Pa=760mmHg=10.33mH2O1at（工程大氣壓）=1kgf/cm2=98100Pa=736mmHg=10mH2O壓強(qiáng)的測量，一般利用測壓計(jì)進(jìn)行流體靜壓強(qiáng)的測量，測壓計(jì)類型主要有金屬式、電測式、液柱式。例一、如圖所示，有一直徑d=100mm的圓柱體，其質(zhì)量m=50kg，在力F=520N的作用下，當(dāng)淹深h=0.5m時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)，求測壓管中水柱的高度H。解圓柱底面上各點(diǎn)的壓力為因測壓管下方H+h的點(diǎn)與圓柱底面在同一等壓面上，故所以§3-2重力場中的流體平衡例二、用如圖所示測壓計(jì)測量管A中水的壓力p。已知h=0.5m，h1=0.2m，h3=0.22m，酒精的密度水銀的密度，真空計(jì)度數(shù)真空度。求A中水的壓力。解在絕對靜止條件下，對連續(xù)均質(zhì)流體，有1-2、3-4、5-6等壓面關(guān)系，有由重力作用下靜止液體中壓力分布公式，得如下諸關(guān)系式§3-2重力場中的流體平衡這里不計(jì)B中空氣的質(zhì)量，為水的密度。聯(lián)立上述各式，整理得

這里是用計(jì)示壓強(qiáng)來表示的?！?-2重力場中的流體平衡§3-3流體的相對平衡相對平衡研究兩種情況，一種為等加速直線運(yùn)動，一種為等角速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。一、直線運(yùn)動容器中的液體平衡液體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律處于等加速直線運(yùn)動的靜止液體中的流體質(zhì)點(diǎn)，受有等值線性慣性力和重力的共同作用。以圖示容器和所選坐標(biāo)來分析時(shí)，有：根據(jù)壓強(qiáng)差公式3-10得積分可得利用邊界條件：坐標(biāo)原點(diǎn)x=0，z=0時(shí)壓強(qiáng)為p0，確定積分常數(shù)c=p0，故得壓強(qiáng)分布規(guī)律為式3-23上式即為等加速直線運(yùn)動容器中液體的靜壓強(qiáng)分布公式。§3-3流體的相對平衡等壓面方程由等壓面微分方程（3-11），得積分可得由此方程可以看出，等加速水平運(yùn)動中液體的等壓面是斜平面，不同的常數(shù)C代表不同的等壓面，故等壓面是一簇水平的斜面，其傾斜角為式3-24可見，等壓面與質(zhì)量力的合力相互垂直。式3-25§3-3流體的相對平衡自由液面方程自由液面是過坐標(biāo)原點(diǎn)的等壓面，當(dāng)x=0，z=0時(shí)，積分常數(shù)C=0；如果令自由液面上某點(diǎn)的垂直坐標(biāo)為zs，則自由液面方程為或?qū)⑹?-27代入流體靜壓強(qiáng)分布公式3-23，得式3-26式3-27從該式看出，液體內(nèi)任一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)等于自由液面上的壓強(qiáng)加上深度為h、密度為ρ的液體所產(chǎn)生的壓強(qiáng)。即等加速水平運(yùn)動容器中液體的靜壓強(qiáng)公式與靜止流體中的靜壓強(qiáng)公式完全相同?！?-3流體的相對平衡二、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動容器中的液體平衡如圖，盛有液體容器繞垂直軸以等角速度ω旋轉(zhuǎn)。液體被容器帶動也隨容器一起旋轉(zhuǎn)，當(dāng)容器與液體達(dá)到相對平衡后，液面呈如圖中所示的曲面。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，作用在單位質(zhì)量液體的質(zhì)量力為§3-3流體的相對平衡二、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動容器中的液體平衡1、液體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律積分，得根據(jù)壓強(qiáng)差公式（3-10），有利用邊界條件：坐標(biāo)原點(diǎn)r=0，z=0時(shí)壓強(qiáng)為p0，確定積分常數(shù)C=p0，故得壓強(qiáng)分布規(guī)律為，即：式3-28上式即為等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的靜壓強(qiáng)分布公式?！?-3流體的相對平衡二、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動容器中的液體平衡2、等壓面方程積分，得由等壓面微分方程（3-11），得不同的常數(shù)C代表不同的等壓面，由此方程可以看出，等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體相對平衡時(shí)，等壓面是一簇繞軸的旋轉(zhuǎn)拋物面。即：式3-29式3-30§3-3流體的相對平衡二、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動容器中的液體平衡3、自由液面方程自由液面是過坐標(biāo)原點(diǎn)的等壓面，

當(dāng)r=0，z=0時(shí)，積分常數(shù)C=0；如果令自由液面上某點(diǎn)的垂直坐標(biāo)為z，則自由液面方程為將式（3-32）代入流體靜壓強(qiáng)分布公式（3-28），得式3-31式3-32即：從該式看出，繞垂直軸任一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)等于自由液面上的壓強(qiáng)加上深度為h、密度為ρ的液體所產(chǎn)生的壓強(qiáng)。即等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體靜壓強(qiáng)公式與靜止流體中的靜壓強(qiáng)公式完全相同?！?-3流體的相對平衡§3-4靜止流體對平壁的總壓力1、總作用力的大小取與水平面成角平面上的面積A，并翻轉(zhuǎn)90°角如圖示，在h深處取dA上之作用力為總作用力為，若設(shè)C為A的形心，則靜力矩得得，形心壓強(qiáng)與面積的乘積。由于流體靜壓力的方向指向作用面的內(nèi)法線方向，因此只須求總作用力的大小和作用點(diǎn)。一、解析法注：1、由于過形心C的慣性矩為正值，故，即壓力作用點(diǎn)低于形心；2、各種圖形之可查有關(guān)圖標(biāo)。3、對于非對稱表面的x向位置，可以此方法推求。2、總作用力作用點(diǎn)取D為作用點(diǎn)，坐標(biāo)，淹深，則由力矩原理有由慣性矩代入可得由平行移軸原理得總作用力作用點(diǎn)為§3-4靜止流體對平壁的總壓力

例一、如圖所示，矩形閘門AB，寬b=1m，左側(cè)油深h1=1m，油液密度，水深h2=2m，閘門的傾角，求作用在閘門在液體總作用力及作用點(diǎn)的位置。解：設(shè)閘門上油水分界點(diǎn)為E，總壓力的作用點(diǎn)為D，為了便于求作用點(diǎn)的位置，將液體總壓力為P1，P2，P3三部分，如圖所示?！?-4靜止流體對平壁的總壓力上式中為水的密度。由可求得液體總壓力P為總壓力的作用點(diǎn)可由合力矩原理求得P1，P2，P3§3-4靜止流體對平壁的總壓力上式中§3-4靜止流體對平壁的總壓力

例二、示某水壩用一長方形閘門封住放水孔，閘門高L=3m，寬B=4m，閘門兩邊的水位分別為H1=5m，H2=2m。閘門垂直放置，試確定：（1）開啟閘門時(shí)繩索的拉力T（繩索與水平面夾角為）。圖中與比較很小，計(jì)算中忽略不計(jì)。（2）關(guān)閉位置時(shí)A點(diǎn)處的支撐力。解：（1）作用在閘板右側(cè)的總壓力為§3-4靜止流體對平壁的總壓力力P1的作用點(diǎn)力P2的作用點(diǎn)作用在閘板左側(cè)的總壓力為§3-4靜止流體對平壁的總壓力將閘門兩側(cè)的總壓力及繩索拉力對轉(zhuǎn)軸O取矩得到繩索拉力§3-4靜止流體對平壁的總壓力（2）閘門處于關(guān)閉狀態(tài)時(shí)，繩索上拉力為零，閘板下端支撐

于A點(diǎn)，有力PA作用。將閘板上的受力對O點(diǎn)取矩，即

可求得PA?！?-4靜止流體對平壁的總壓力§3-4靜止流體對平壁的總壓力1、靜水壓強(qiáng)分布圖根據(jù)基本方程p=p0+ρgh，直接繪在受壓面上并表示各點(diǎn)壓強(qiáng)大小和方向的圖形。使用圖解法，應(yīng)先繪制靜水壓強(qiáng)分布圖，然后據(jù)此計(jì)算靜水總壓力。二、圖解法根據(jù)壓強(qiáng)與水深呈直線變化的規(guī)律，只要定出AB面上兩端點(diǎn)的壓強(qiáng)，然后用直線連接兩線段的端點(diǎn)(pA=0,

pB=

ρgH)，即得靜水壓強(qiáng)分布圖。三角形ABC即為AB壁面上的靜水壓強(qiáng)分布圖形?！?-4靜止流體對平壁的總壓力2、靜水總壓力設(shè)底邊平行于液面的矩形ABCD,與水平面夾角為α，平面寬度為b，上下底邊的淹沒深度為h1、h2，二、圖解法總壓力的大小等于壓強(qiáng)分布圖的面積S，乘以受壓面的寬度b，即F=bSABCD式3-32總壓力的作用線通過壓強(qiáng)分布圖的形心，作用線與受壓面的交點(diǎn)，就是總壓力的作用點(diǎn)?！?-5靜止流體對曲壁的總壓力靜止流體對二維曲面壁的作用力如圖所示。ab為二維曲壁的一部分，其形心C點(diǎn)的淹沒水深為hCx，在ab上水深h處任取一面積微元dA，其水平方向投影面積dAx，鉛垂方向投影面積dAz

。作用在dA上的總壓力為dF=ρghdA，分解為一、靜止流體對二維曲壁的作用力式3-37§3-5靜止流體對曲壁的總壓力將dFx對Ax積分得總壓力的水平分力為一、靜止流體對二維曲壁的作用力式3-38上式表明，液體對曲壁總壓力的水平分力等于曲壁在該方向投影面積上的總壓力，水平分力作用線通過投影面積的壓強(qiáng)中心，方向指向曲壁，即水平分力相當(dāng)于作用在平板Ax上的總壓力。將dFZ對AZ積分得總壓力的鉛垂分力為式3-39其中稱為壓力體，它是圖中曲面ab及其投影所圍成的區(qū)域，而ρgVp則是壓力體Vp內(nèi)液體的重量?！?-5靜止流體對曲壁的總壓力一、靜止流體對二維曲壁的作用力可見，液體對曲面壁總壓力的鉛垂分力等于壓力體內(nèi)液體的重量，垂直分力的作用線通過壓力體的重心，即鉛垂分力相當(dāng)于壓力體內(nèi)的液體重力。總壓力大小為：曲面壁總壓力的水平分力作用線與垂直分力作用線交于一