模型16 全等三角形-半角模型-原卷版

全等三角形模型（十六）——半角模型一：正方形中的半角模型【條件】如圖①兩個(gè)角共頂點(diǎn)，②其中一個(gè)角（45o）是另一個(gè)角（90o）的一半【結(jié)論】①EF=BE+DF①∶延長(zhǎng)CB至點(diǎn)P，使得BP=DF連接AP,第一次全等第二次全等在△ABP和△ADF中在△AEP和△AEF中AB=AD（正方形邊長(zhǎng)相等）AP=AF∠ABP=∠ADF=90oo∠PAE=∠FAEBP=DF（構(gòu)造）AE=AE∴△ABP≌△ADF（SAS）∴△AEP≌△AEF（SAS）∴AP=AF，∠1=∠2∴PE=EF∵∠2+∠3=45oo即PB+BE=EF∴∠1+∠3=45oo,∴DF+BE=EF∴∠PAE=∠FAE②EA平分∠BEF，F(xiàn)A平分∠DFE由①得：△AEP≌△AEF，則∠4=∠5，∠AFE=∠P又△APB≌△AFD，∴∠P=∠AFD，∴∠AFE=∠AFD∴EA平分∠BEF，F(xiàn)A平分∠DFE③△EFC的周長(zhǎng)等于正方形邊長(zhǎng)的2倍由①得：EF=BE+DF，∴△EFC的周長(zhǎng)＝EF+EC+CF＝BE+DF+EC+CF=BC+DC，∴△EFC的周長(zhǎng)等于正方形邊長(zhǎng)的④如圖：作AM⊥EF,則AM=AB過A作AM⊥EF，則∠AME=∠B=90o。由①得∠1=∠2，AE=AE，∴△ABE≌△AME（AAS）∴AM=AB⑤如圖：∠EAF=45o，則EF2=BE2+FC2【證明】如圖，過點(diǎn)A作AP⊥AF且AP=AF.連接PE∵∠CAB=∠PAF=90o，∠1=∠2第一次全等第二次全等在△ABP和△ACF中在△AEP和△AEF中AB=ACAP=AF∠2=∠1∠PAE=∠FAEAP=AFAE=AE∴△ABP≌△ACF（SAS）∴△AEP≌△AEF（SAS）∴BP=CF，∠ABP=∠C=45oo∴PE=EF∵∠EAF=45oo在Rt△PBE中，PE2=PB2+BE2∴∠1+∠3=45oo,即EF2=CF2+BE2∴∠2+∠3=45ooeq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)見半角，旋全角，蓋半角，得半角。二：等腰三角形中的半角模型【條件】如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∠MDN=60o，【結(jié)論】①M(fèi)N=BM+CN;②△MAN的周長(zhǎng)等于△ABC邊長(zhǎng)的2倍;③MD是∠BMN的平分線，ND是∠CNM的平分線【證明】∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠BCD=∠DBC=30°.∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°,∴∠DBA=∠DCA=90°.延長(zhǎng)AB至點(diǎn)F，使BF=CN，連接DF，如圖.在△BDF和△CDN中，DB=DC,∠DBF=∠DCN,BF=CN,∴△BDF≌△CDN(SAS），∴∠BDF=∠CDN,∠F=∠CND,DF=DN.∵∠MDN=60°,∴∠BDM+∠CDN=60°,∴∠BDM+∠BDF=60°，即∠FDM=60°=∠MDN.在△DMN和△DMF中，DN=DF,∠MDN=∠MDF,DM=DM,∴△DMN≌△DMF（SAS），∴MN=MF=BM+CN,∠F=∠MND=∠CND，∠FMD=∠DMN，∴△AMN的周長(zhǎng)是AM＋AN＋MN=AM＋MB＋CN＋AN=AB＋AC=2邊長(zhǎng).三：對(duì)角互補(bǔ)且鄰邊相等的半角模型【條件】如圖，∠B＋∠D=180°，∠BAD=2∠EAF，AB=AD，【結(jié)論】①EF=BE+FD;②EA是∠BEF的平分線，F(xiàn)A是∠DFE的平分線.1．（2022·山東·龍口市培基學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長(zhǎng)為_____．2．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，，點(diǎn)在邊上，．若，則的長(zhǎng)為__________．1．（2022·浙江·南海實(shí)驗(yàn)學(xué)校旌旗山初中校區(qū)八年級(jí)期末）已知：邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．2．（2022·陜西西安·七年級(jí)期末）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．實(shí)際應(yīng)用：如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達(dá)，經(jīng)測(cè)量得，BE＝10米，DF＝15米，試求兩涼亭之間的距離EF．3．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）問題情境在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如圖1，當(dāng)DM＝DN時(shí)，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為；歸納證明（3）如圖2，當(dāng)DM≠DN時(shí)，在NC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用（4）△AMN的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的比為．1．（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：__________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請(qǐng)畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．2．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC