模型10 三角形-雙角平分線模型-解析版

三角形模型（十）——雙角平分線模型◎結(jié)論1：如圖BI，CI是∠ABC與∠ACB的平分線，∠BIC=90O＋∠A【證明】設(shè)∠ABI＝∠IBC＝X，∠ACI＝∠ICB＝Y(jié)，在△ABC中，∠A＋2X＋2Y＝180°①在△IBC中，∠IBC＋X＋Y＝180°②由①可得X＋Y＝90°－12把③帶入②∠IBC＋90°－12 ∴∠IBC＝90°＋12◎結(jié)論2：如圖BP，CP是∠DBC與∠ECB的平分線，∠BPC=90O-∠A【證明】設(shè)∠DBP＝∠CBP＝X，∠BCP＝∠EPC＝Y(jié)，在△BCP中，X＋Y＋∠P＝180°①A字型得2X＋2Y＝180°＋∠A②由②得X＋Y＝90°＋12把③代入①90°＋12∴∠P＝90°-12◎結(jié)論3：如圖BP，CP是∠ABC與∠ACD的平分線，∠BPC=∠A【證明】：設(shè)∠ABP＝∠PBC＝X，∠ACP＝∠PCD＝Y(jié)，外角2Y＝2X＋∠A,①外角Y＝X＋∠A②②代入①得2（X＋∠P）＝2X＋∠A∴∠P＝12注：雙角平分線模型不僅可以幫助同學們秒殺選填問題，而且在復(fù)雜約幾何解答題中也能快速理清角度之間的關(guān)系，進而解決問題﹒1．（2021·全國·九年級專題練習）如圖所示，在中，的平分線相交于點F，若且∠ABC=42°，，則等于（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由∠ABC=42°，∠A=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，可得∠ACB的度數(shù)，又因為∠ABC、∠ACB的平分線分別為BE、CD，所以可以求得∠FBC和∠FCB的度數(shù)，從而求得∠BFC的度數(shù)．【詳解】解：∵．∴又∵∠ABC、∠ACB的平分線分別為BE、CD．∴，又∵．∴．故選：B．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和和角平分線的相關(guān)知識，關(guān)鍵是可以根據(jù)題目中的信息，靈活變化求出相應(yīng)問題的答案．2．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，則∠A等于（）A．36° B．30° C．20° D．18°【答案】A【分析】由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分線的性質(zhì)，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代換，即可求得∠A與∠E的關(guān)系，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠ECD=（∠A+∠ABC）．又∵∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）．∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC，∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），∴∠E=∠A=18°，∴∠A=36°．故選A．3．（2015·廣西欽州·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點O，設(shè)∠A=m，則∠BOC=（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠ABC+∠ACB，根據(jù)角的和差，可得∠DBC+∠BCE，根據(jù)角平分線的定義，可得∠OBC+∠OCB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得答案．【詳解】解：如圖：，由三角形內(nèi)角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m，由角的和差，得∠DBC+∠BCE=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+m，由∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點O，得∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠BCE）=90°+m，由三角形的內(nèi)角和，得∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-m．故選：B．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，利用三角形內(nèi)角和定理，角的和差，角平分線的定義是解題關(guān)鍵．1．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的角平分線CA2是∠A1CD的角平分線，BA3是A2BD∠的角平分線，CA3是∠A2CD的角平分線，若∠A1=α，則∠A2013為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴∠A1BC+∠A1=(∠A+∠ABC)=∠A+∠ABC=∠A+∠A1BC，∴∠A1=∠A；,同理可得：∠A2=∠A1=，∠A3=∠A2=，，∠An=∠An-1=，∴∠A2013=.故選D．點睛：利用三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理結(jié)合角平分線的定義推導(dǎo)得到∠A1和∠A的關(guān)系是解這道題的關(guān)鍵，由此可推導(dǎo)出∠A2與∠A1的關(guān)系，進一步推廣到∠An和∠An-1的關(guān)系就可找到規(guī)律求得∠A2013.2．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，延長BO與∠ACB的外角平分線交于點D，若∠BOC＝130°，則∠D＝_____【答案】40°【分析】根據(jù)角平分線的定義結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，∴∠ACO=∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACE）=×180°=90°，∵∠BOC＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案為：40°．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和概念正確推理計算是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇·宜興市和橋鎮(zhèn)第二中學七年級階段練習）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，交BO的延長線于點E，記，，則以下結(jié)論①，②，③，④，正確的是________．（把所有正確的結(jié)論的序號寫在橫線上）【答案】①④【分析】依據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°＋∠1，∠BOC＝90°＋∠2，再分析判斷．【詳解】∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE?∠DBE＝（∠ACD?∠ABC）＝∠1，故①正確；∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°?（∠OBC＋∠OCB）＝180°?（∠ABC＋∠ACB）＝180°?（180°?∠1）＝90°＋∠1，故②、③錯誤；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，∴∠OCE＝（∠ACB＋∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE＋∠2＝90°＋∠2，故④正確；故答案為：①④．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，以及角平分線的定義．1．（2022·廣東·深圳市寶安中學（集團）三模）如圖，在△ABC中，，△ABC的兩條角平分線BF、CE相交于點G．(1)度．(2)如圖，平行四邊形ABCD中，對角線，在AD上截取AH＝AB，連接BH交AC于點F，過點C作CE平分交BH于點G．若，．①求的值．②求．【答案】(1)；(2)①4；②24．【分析】（1）由得到，再根據(jù)角平分線的定義可知，從而得到；（2）①連接AG，過G作，過C點作，由（1）可知是等腰直角三角形，從而得出，，，再利用∽得出，再利用也是等腰直角三角形得出，從而得出，利用∽得到，從而得到；②利用得出，從而求出AB，最后用求面積即可．（1）解：△ABC的兩條角平分線BF、CE相交于點G．故答案為：（2）①如圖，連接AG，過G作，過C點作，為角平分線CE平分，為角平分線，，∴由（1）得：，，∴是等腰直角三角形．又，．，，．∵，，∴∽，，即，．為角平分線，為角平分線，∴AG為角平分線，（三角形的三條角平分線交于一點），，是等腰直角三角形，，，．∵ADBC，∽，，即，．②由（2）①得，．∵，∴，，．【點睛】本題考查與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，三角形的三條角平分線交于一點等知識，難度較大，正確作出輔助線，掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東·濟南育英中學模擬預(yù)測）如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點O．(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)當∠ABC＝90°時，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見解析(2)AE+CD=AC，證明見解析【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根據(jù)角平分線定義求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（3）在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，證△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MK=ML，據(jù)此計算即可求解．（1）證明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點O．∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），即∠AOC=90°+∠ABC；（2）解：AE+CD=AC，證明：如圖2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，則在△AEO和△AMO中，，∴△AEO≌△AMO，同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CO