模型05 相交線(xiàn)與平行線(xiàn)-鋸齒模型-解析版

相交線(xiàn)與平行線(xiàn)模型（五）——鋸齒模型◎結(jié)論如圖所示，AB∥EF，則∠B＋∠D=∠C十∠E朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)C作MN//AB，過(guò)點(diǎn)D作PQ//AB.∵AB//EF,∴AB//MN//PQ//EF.∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E,∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E，∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E，得證.鋸齒模型的變換解題思路拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯(cuò)角拆分成2個(gè)豬蹄模型1．（2022·貴州六盤(pán)水·七年級(jí)期中）如圖所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應(yīng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)C作CD∥AB，過(guò)M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．【詳解】過(guò)C作CD∥AB，過(guò)M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力．2．（2022·山東濟(jì)寧·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，如果AB∥CD，則∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系為（

）A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[【答案】C【分析】過(guò)E作EF∥AB，由平行線(xiàn)的質(zhì)可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠β=∠AEF+∠FED，又∵∠γ=∠EDC，∴∠α+∠β-∠γ=180°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解答此題的關(guān)鍵．3．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖,ABEF,∠D=90°,則,,的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過(guò)作輔助線(xiàn),過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根據(jù)ABEF,可得ABEFCGDH,再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得γ+β-α=90°,進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖,過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)D作CGAB,DHAB,∵CGAB,DHAB,∴CGDHAB,∵ABEF,∴ABEFCGDH,∵CGAB,∴∠BCG=α,∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,∵CGDH,∴∠CDH=∠GCD=β-α,∵HDEF,∴∠HDE=γ,∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,∴γ+β-α=90°,∴β=α+90°-γ．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)． 1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，玲玲在美術(shù)課上用絲線(xiàn)繡成了一個(gè)“2”，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，則∠E的度數(shù)為（）A．30° B．150° C．120° D．100°【答案】D【詳解】過(guò)C作CQ∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CQ，∵∠A=30°，∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，∵∠ACE=110°，∴∠ECQ=110°?30°=80°，∴∠E=180°?80°=100°，故選D.2．（2022·全國(guó)·七年級(jí)）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關(guān)系式__________．【答案】∠2+∠3﹣∠1=180°【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和平角定義求解即可．【詳解】解：∵AB∥EF，EF∥CD，∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1，∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，即∠2+∠3﹣∠1=180°．故答案為：∠2+∠3﹣∠1=180°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)、平角定義，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，則∠EAB的度數(shù)為_(kāi)_________．【答案】57°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180°以及平行線(xiàn)的性質(zhì)：1、如果兩直線(xiàn)平行，那么它們的同位角相等；2、如果兩直線(xiàn)平行，那么它們的同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；3、如果兩直線(xiàn)平行，那么它們的內(nèi)錯(cuò)角相等，據(jù)此計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)AE、CD交于點(diǎn)F，∵∠E＝37°，∠C＝20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案為：57°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟知平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)一模）如圖，l1∥l2，將一副直角三角板作如下擺放，圖中點(diǎn)A、B、C在同一直線(xiàn)上，則∠1的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．75° D．150°【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)C作CM//l1，則l1//l2//CM，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)及角的和差求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM∥l1，∵l1//l2，∴l(xiāng)1//l2//CM，∴∠1+∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，∵∠2＝180°﹣45°＝135°，∴∠ACM＝135°，∴∠ECM＝135°﹣30°＝105°，∴∠1＝180°﹣105°＝75°，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟記兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)、兩直線(xiàn)平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，已知ABDF，DE和AC分別平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，則∠CDF的度數(shù)為（）A．42° B．43° C．44° D．45°【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)C作CNAB，過(guò)點(diǎn)E作EMAB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的特點(diǎn)得到角度的數(shù)量關(guān)系56°＝∠BAC+2∠FDE，46°＝∠FDE+2∠BAC，從而求出∠FDE＝22°，故可得到∠CDF的度數(shù)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CNAB，過(guò)點(diǎn)E作EMAB，∵FDAB，CNAB，EMAB，∴ABCNEMFD∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB．∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB，∠ACD＝∠BAC+∠FDC．又∵DE和AC分別平分∠CDF和∠BAE，∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC∴56°＝∠BAC+2∠FDE①，46°＝∠FDE+2∠BAC②．①+②，得3（∠BAC+∠F