1.2　空間向量基本定理 導(dǎo)學(xué)案正文

1.2空間向量基本定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.在平面向量基本定理的基礎(chǔ)上,能借助投影進(jìn)行向量分解,知道空間向量基本定理.2.知道基底、單位正交基底,并能在選定基底下進(jìn)行向量的表示及運(yùn)算.◆知識(shí)點(diǎn)一空間向量基本定理1.分向量如果i,j,k是空間三個(gè)的向量,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.稱分別為向量p在i,j,k上的分向量.

2.空間向量基本定理如果三個(gè)向量a,b,c,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得.

我們把{a,b,c}叫作空間的一個(gè),a,b,c都叫作.空間任意三個(gè)的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

【診斷分析】判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)空間中的任何一個(gè)向量都可以用三個(gè)給定的向量表示. ()(2)若{a,b,c}為空間的一個(gè)基底,則a,b,c全不是零向量. ()(3)若向量a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則a與b不一定共線. ()(4)任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底. ()◆知識(shí)點(diǎn)二空間向量正交分解1.單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量,且長(zhǎng)度都為,那么這個(gè)基底叫作單位正交基底,常用表示.

2.空間向量的正交分解把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)的向量,叫作把空間向量進(jìn)行正交分解.

◆探究點(diǎn)一空間向量的基底例1(1)已知M,A,B,C為空間的四個(gè)點(diǎn),且任意三點(diǎn)不共線,O為空間中一點(diǎn),下列可能使MA,MB,MC構(gòu)成空間的一個(gè)基底的關(guān)系式是 ()A.OM=13OA+1B.MA=MB+MCC.OM=OA+OB+OCD.MA=3MB-MC(2)已知{e1,e2,e3}是空間的一個(gè)基底,且OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3,OC=e1+e2-e3,試判斷OA,OB,OC能否構(gòu)成空間的一個(gè)基底.變式(1)(多選題)設(shè){a,b,c}是空間的一個(gè)基底,若x=a+b,y=b+c,z=c+a,則下列向量可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是 ()A.a,b,x B.x,y,zC.b,c,z D.x,y,a+b+c(2)已知空間四點(diǎn)O,A,B,C,若{OA,OB,OC}是空間的一個(gè)基底,則下列說(shuō)法不正確的是 ()A.O,A,B,C四點(diǎn)不共線B.O,A,B,C四點(diǎn)共面,但不共線C.O,A,B,C四點(diǎn)不共面D.O,A,B,C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線[素養(yǎng)小結(jié)]基底的判斷思路:判斷給出的三個(gè)向量能否構(gòu)成基底,關(guān)鍵是要判斷這三個(gè)向量是否共面.首先應(yīng)考慮三個(gè)向量中是否有零向量,其次判斷三個(gè)非零向量是否共面.如果從正面難以入手判斷,可假設(shè)三個(gè)向量共面,利用向量共面的充要條件建立方程,若方程的解唯一,則三個(gè)向量共面;否則,三個(gè)向量不共面.◆探究點(diǎn)二用基底表示空間向量例2如圖所示,在四面體O-ABC中,M,N分別是OA,BC的中點(diǎn),P,Q是MN的兩個(gè)三等分點(diǎn)(點(diǎn)P靠近點(diǎn)N,點(diǎn)Q靠近點(diǎn)M).(1)用基底{OA,OB,OC}表示向量OP;(2)若OQ=xOA+yOB+zOC,求實(shí)數(shù)x,y,z的值.變式(1)如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形,M,N分別為棱BC,PD上的點(diǎn),CM=12BM,N是PD的中點(diǎn),若向量MN=-AB+xAD+yAP,則 (A.x=13,y=-B.x=-16,y=C.x=-13,y=D.x=16,y=-(2)[2024·廣東東莞高二期中]如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=60°.設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,試用a,b,c表示AC1,[素養(yǎng)小結(jié)]用基底表示向量的步驟:(1)定基底:根據(jù)已知條件,確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.(2)找目標(biāo):用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量,需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則,結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn),最后求出結(jié)果.(3)下結(jié)論:利用空間的一個(gè)基底{a,b,c}可以表示出空間所有向量.表示要徹底,結(jié)果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.◆探究點(diǎn)三空間向量基本定理的應(yīng)用角度一垂直平行關(guān)系的證明例3如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別是A1B,B1C1上的點(diǎn),且BM=2MA1,B1N=2NC1.用空間向量解決如下問(wèn)題:(1)若∠BAA1=∠CAA1,AB=AC,證明:BC⊥AA1;(2)證明:MN∥平面ACC1A1.變式在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=22AD,若E,F分別為PC,BD的中點(diǎn),用向量方法證明(1)EF∥平面PAD;(2)EF⊥平面PCD.角度二求兩直線的夾角例4如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度都為1,且兩兩夾角為60°,求BD1與AC所成角的余弦值.變式已知正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為1,E,F分別是BC,AD的中點(diǎn).(1)證明:EF⊥BC;(2)求異面直線AE與CD所成角的余弦值.[素養(yǎng)小結(jié)]用空間向量基本定理解決立體幾何問(wèn)題的步驟:首先根據(jù)已知條件,確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底,如果存在三個(gè)兩兩垂直的空間向量,那么可以確定一個(gè)