本章總結(jié)提升 導(dǎo)學(xué)案正文

本章總結(jié)提升判斷下列說法是否正確.(請在括號中填寫“√”或“×”)1.空間四邊形ABCD中,M,G分別是BC,CD的中點,則MG-AB+AD=3GM. ()2.設(shè)直線l與平面α相交,且l的方向向量為a,平面α的法向量為n,若<a,n>=2π3,則直線l與平面α所成的角為π6. (3.兩異面直線所成的角的范圍是0,π2,直線與平面所成的角的范圍是0,π2,4.若P,A,B,C為空間中不同的四個點,且PA=αPB+βPC,則“α+β=1”是“A,B,C三點共線”的充要條件. ()5.已知點D是空間四邊形OABC中BC的中點,OA=a,OB=b,OC=c,則AD=12(b+c)-a.(6.已知平面α的一個法向量為n=(0,1,-1),如果直線l⊥平面α,那么直線l的單位方向向量是0,22,-227.已知OA=(2,3,-1),OB=(1,-1,2),OQ=(1,0,-2),則QA·QB=4. ()8.直線與平面所成的角就是直線的方向向量與平面的法向量所成的角. ()◆題型一空間向量的概念及運算[類型總述](1)空間向量的有關(guān)概念;(2)空間向量的加減運算、數(shù)乘運算;(3)空間向量的數(shù)量積運算.例1(多選題)給出下列命題,其中為假命題的是 ()A.若向量a與b平行,則a與b的方向相同或相反B.兩個有共同起點而且相等的向量,其終點必相同C.兩個有公共終點的向量一定是共線向量D.有向線段就是向量,向量就是有向線段例2(1)給出下列說法:①如果向量a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底,那么a,b的關(guān)系是不共線;②如果O,A,B,C為空間中不同的四點,且向量OA,OB,OC不能構(gòu)成空間的一個基底,那么點O,A,B,C一定共面;③若{a,b,c}是空間的一個基底,則{a+b,a-b,c}也是空間的一個基底.其中正確的說法是 ()A.①② B.①③C.②③ D.①②③(2)在三棱錐P-ABC中,AP=a,AB=b,AC=c,D為PB上的點,且PB=4PD,則CD= ()A.a-12b+14c B.34aC.12a+14b-13c D.14例3(1)已知正四面體ABCD的棱長為2,E,F,G分別是AB,AD,CD的中點,則GE·GF的值為 ()A.12 B.1 C.2 D.(2)(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有下列命題,其中為真命題的是 ()A.(AA1+AD+AB)2=B.A1C·(A1B1C.AD1與AD.正方體的體積為|(AB·AA1)·例4(1)已知點A(4,1,3),B(2,3,1),C(5,7,-5),若點P(x,-1,3)在平面ABC內(nèi),則x的值為 ()A.14 B.13C.12 D.11(2)已知a=(1,-1,2),b=(-2,1,0),c=(5,-3,k),若a,b,c共面,則實數(shù)k的值為 ()A.1 B.2C.3 D.4◆題型二用空間向量證明空間位置關(guān)系[類型總述](1)證明垂直關(guān)系;(2)證明平行關(guān)系.例5[2024·廣東東莞高二期中]如圖,在幾何體ABCDEF中,四邊形ABCD為菱形,△BCF為等邊三角形,∠ABC=60°,AB=2,EF∥CD,平面BCF⊥平面ABCD.(1)證明:在棱BC上存在點O,使得平面ABCD⊥平面AOF;(2)若ED∥平面AOF,求EF的長度.(O點同(1))變式如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PD⊥平面ABCD,AD=1,AB=3,BC=4.(1)求證:BD⊥PC.(2)設(shè)PE=λPC(0<λ<1),若DE∥平面PAB,求λ的值.◆題型三用空間向量求空間角和距離[類型總述](1)求空間角;(2)求距離.例6[2021·全國乙卷]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點,則直線PB與AD1所成的角為 ()A.π2 B.C.π4 D.例7[2023·新課標Ⅱ卷]如圖,三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點.(1)證明:BC⊥DA;(2)點F滿足EF=DA,求二面角D-AB-F的正弦值.變式[2023·全國乙卷]如圖,在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=22,PB=PC=6,BP,AP,BC的中點分別為D,E,O,AD=5DO,點F在AC上,BF⊥AO.(1)證明:EF∥平面ADO;(2)證明:平面ADO⊥平面BEF;(3)求二面角D-AO-C的正弦值.例8[2024·福州一中高二期中]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AA1,BC的中點,AC=BC=AA1=1,∠BCA=90°.(1)求點E到平面C1BD的距離.(2)取A1B1上靠近B1的三等分點P,問棱CC1上是否存在點Q,使得PQ⊥平面C1BD?若存在,求出點Q的位置;若不存在,說明理由.變式如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA⊥BC.(1)若BA=BB1,求證:AB1⊥平面A1BC;(2)若BA=BC=BB1=2,M是棱BC上的一個動點,試確定點M的位置,使點M到平面A1B1C的距離等于22◆題型四空間中的綜合問題[類型總述](1)探索性問題;(2)折疊問題.例9[2024·廣東佛山高二期中]如圖①,菱形ABCD的邊長為23,∠ABC=π3,將△ABD沿BD向上翻折,得到如圖②所示的三棱錐(1)證明:A'C⊥BD.(2)若A'C=3,在棱BD上是否存在點G,使得平面A'CG與平面BCD夾角的余弦值為217?若存在,求出BG;若不存在,請說明理由②例10如圖,在四棱錐P-ABCD中,CD⊥平面PAD,△PAD為等邊三角形,AD∥BC,AD=CD=2BC=2,E,F分別為棱PD,PB的中點.(1)求證:AE⊥平面PCD.(2)求平面AEF與平面PAD的夾角的余弦值.(3)在棱PC上是否存在點G,使得DG∥平面AEF?若存在,求PGPC的值;若不存在,說明理由變式如圖,圖①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖②.(1)證明:圖②