1.4.2第1課時　用空間向量研究距離問題 練習(xí)冊答案

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第1課時用空間向量研究距離問題1.C[解析]由題意知BA=(2,2,0),BC=(2,0,-1),則BA在BC上的投影向量的長度為|BA·BC||BC|=45,則點(diǎn)A到直線BC的距離為2.C[解析]連接AP,因?yàn)辄c(diǎn)A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),所以AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,2),AP=(0,-1,0).設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則AB·n=0,AC·n=0,即-x+y=0,-x+2z=0,令x=1,得y=1,z=13.C[解析]由題意得AP=(1,-2,2),故點(diǎn)P到平面α的距離d=|n·AP||n|=4.B[解析]設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則n·AB=0,n·AC=0,所以2y-3z=0,-23x-3z=0,令z=2,則x=-3,y=3,所以n=(5.A[解析]因?yàn)槿忮FS-ABC的三條側(cè)棱SA,SB,SC兩兩垂直,且AB=2,BC=3,AC=7,所以以SA,SB,SC為棱構(gòu)造長方體AEFG-SBDC,則S可得SA=1,SB=3,SC=6,如圖,以A為原點(diǎn),AE所在直線為x軸,AG所在直線為y軸,AS所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(3,0,1),C(0,6,1),S(0,0,1),F(3,6,0),連接SF,可知球心O是SF的中點(diǎn),連接AO,則O32,62,12,可得AB=(3,0,1),AC=(0,6,1),AO=32,62,12.設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則n·AB=3x+z=0,n6.A[解析]以B為原點(diǎn),BC,BA,BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),C1(1,0,1),D12,12,0,A(0,1,0),B1(0,0,1),所以BC1=(1,0,1),BD=12,12,0,AB1=(0,-1,1).設(shè)平面BC1D的法向量為n=(x,y,z),則BC1·n=0,BD·n=0,即x+z=0,12x+12y=0,令x=1,則n=(1,-1,-1).因?yàn)锳B1·n=0×1+(-1)×(-1)+1×(-1)=0,所以AB1⊥n,又AB1?平面BC7.C[解析]如圖所示,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(4,0,0),M(2,0,4),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),∴EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(-2,0,4),BF=(-2,0,4),∴EF=MN,AM=BF,∴EF∥MN,AM∥BF.∵EF?平面AMN,MN?平面AMN,BF?平面AMN,AM?平面AMN,∴EF∥平面AMN,BF∥平面AMN,又EF∩BF=F,∴平面AMN∥平面EFBD.設(shè)平面AMN的法向量為n=(x,y,z),則n·MN=2x+2y=0,n·AM=-2x+4z=0,取x=2,則n=(2,-2,1)8.BC[解析]如圖,以D1為坐標(biāo)原點(diǎn),D1A1,D1C1,D1D所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(2,0,0),C1(0,2,0),D(0,0,2),故A1C1=(-2,2,0),A1D=(-2,0,2),設(shè)P(2,λ,2)(0≤λ≤2),平面A1C1D的法向量為n=(x,y,z),則n·A1C1=-2x+2y=0,n·A1D=-2x+2z=0,取x=1,則n=(1,1,1),又A9.ACD[解析]以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),因?yàn)锳P=34AB+12AD+23AA1,所以AP=34,12,23,所以|AP|=916+14+49=18112,故選項(xiàng)A正確;因?yàn)镃1O=12C1A1=-12,-12,0,平面ABC1D1的一個法向量為DA1=(0,-1,1),所以點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離d1=|DA1·C1O||DA1|=122=24,故選項(xiàng)B錯誤;A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),A1D1=(0,1,0),設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),則n·A1B=0,n·A1D=0,即x-z=0,y-z=0,令z=1,則y=1,x=1,故n=(1,1,1),所以點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d2=|10.305[解析]由題意知AP=(1,1,1),則cos<n,AP>=n·AP|n||AP|=1+0+25×3=155,所以sin<n,AP>=1-1552=105,故點(diǎn)P(1,2,2)11.32[解析]取A1B1的中點(diǎn)G,連接EG,則EG∥AA1,則EG⊥平面ABC.連接EC,由已知可得CE⊥AB,AE=1,CE=3.以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EC,EA,EG所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則E(0,0,0),A1(0,1,2),F(3,0,1),B(0,-1,0),所以EA1=(0,1,2),EF=(3,0,1),EB=(0,-1,0).設(shè)n=(x,y,z)是平面A1EF的法向量,則EA1·n=y+2z=0,EF·n=3x+z=0,取x=1,可得z=-3,y=23,所以12.455[解析]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,以D為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,連接CP,則C(0,4,0),D1(0,0,4),E(2,4,0),C1(0,4,4),所以CE=(2,0,0),CC1=(0,0,4),ED1=(-2,-4,4).因?yàn)镻在線段D1E上,所以EP=λED1=(-2λ,-4λ,4λ),λ∈[0,1],CP=CE+EP=(2-2λ,-4λ,4λ),則向量CP在向量CC1上的投影向量的長度d=|CP·CC1||CC1|=4λ,又|CP|=(2-2λ)2+(-4λ)13.解:(1)∵PD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,∴以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)BC=2a,則P(0,0,1),B(2a,1,0),M(a,1,0),A(2a,0,0),則PB=(2a,1,-1),AM=(-a,1,0),∵PB⊥AM,∴PB·AM=-2a2+1=0,可得a=22故BC=2a=2.(2)設(shè)平面PAM的法向量為m=(x1,y1,z1),∵AM=-22,1,0,∴m·AM=-22x1+y1=0,m·AP=-2x1+z1=0,取x14.解:(1)由題意得AB⊥AD,PA⊥AD,PA⊥AB.以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),C(3,1,0),P(0,0,2),B(3,0,0),∴AC=(3,1,0),PB=(3,0,-2),AP=(0,0,2).設(shè)異面直線AC,PB的公垂線的方向向量為n=(x,y,z),則n⊥AC,n⊥PB,即n·AC=3x+y=0,n·PB=3x-2(2)設(shè)N(a,0,c),0≤a≤3,0≤c≤2,且2a+3c≤23.由(1)知E0,12,1,∴NE=-∴N36,0,1,∴點(diǎn)N到直線AB的距離為1,點(diǎn)N15.B[解析]連接OS,由題意知OA,OB,OS兩兩垂直,以O(shè)為原點(diǎn),OA,OB,OS所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.因?yàn)樵撜睦忮F的所有棱長都為6,所以O(shè)A=32,SO=62-(32)2=32,所以O(shè)(0,0,0),A(32,0,0),D(0,-32,0),S(0,0,32),C(-32,0,0),因?yàn)镚為△SAD的重心,所以G(2,-2,2).設(shè)E(x,y,z),則CE=(x+32,y,z),CS=(32,0,32),因?yàn)榻獾脁=-22,y=0,z=2,即E(-22,0,2).因?yàn)镺E=(-22,0,2),OG=(2,-2,2),所以G到直線OE16.解:(1)證明:連接D1B,如圖,∵λ=12,∴N為DB的中點(diǎn),又M是DD1的中點(diǎn),∴MN為△BDD1的中位線,則MN∥D1∵M(jìn)N?平面ABC1D1,D1B?平面ABC1D1,∴MN與平面ABC1D1平行.(2)由題意,BC1與底面ABCD所成的角為∠C1BC,即tan∠C1BC=C1CBC=2,則C1C=4.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,