江西省2025屆高三數(shù)學(xué)6月模擬考試試題理含解析

PAGE22-江西省2025屆高三數(shù)學(xué)6月模擬考試試題理（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式得集合，求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域得集合，然后由交集定義得結(jié)論．【詳解】因?yàn)?，，所?故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集，考查運(yùn)算求解實(shí)力.難點(diǎn)是求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域．2.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，則.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，考查了復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.3.已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再依據(jù)的定義求出夾角的余弦，從而得夾角大?。驹斀狻恳?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以，，則向量與的夾角為.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律，考查運(yùn)算求解實(shí)力.由數(shù)量積的定義有．4.已知實(shí)數(shù)，滿意不等式組，則的最小值為（）A.0 B.2 C.6 D.30【答案】B【解析】【分析】畫出可行域，解出可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，比較大小得到目標(biāo)函數(shù)最值.【詳解】由同理如圖，直線平移到B點(diǎn)時(shí)，取最小值為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以對(duì)于一般的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個(gè)封閉的圖形，我們可以干脆解出可行域的頂點(diǎn)，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是須要借助截距的幾何意義來求最值.5.用一個(gè)平面去截正方體，截面的形態(tài)不行能是（）A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形【答案】C【解析】【分析】不難作出截面是正三角形和正方形的例子，正六邊形的例子是由相應(yīng)棱的中點(diǎn)連接而成，利用反證法，和平面平行的性質(zhì)定理可以證明不行能是正五邊形．【詳解】如圖所示：截面的形態(tài)可能是正三角形（圖1），正方形（圖2），正六邊形（圖3）圖1圖2圖3假如截面是正五邊形，則截面中的截線必定分別在5個(gè)面內(nèi)，由于正方體有6個(gè)面，分成兩兩平行的三對(duì)，故必定有一對(duì)平行面中有兩條截線，而依據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可知這兩條截線相互平行，但正五邊形的邊中是不行能有平行的邊的，故截面的形態(tài)不行能是正五邊形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的直觀想象實(shí)力和邏輯推理實(shí)力，駕馭正方體以及平面圖形的幾何特征，難點(diǎn)是借助于反證法，利用面面平行的性質(zhì)定理判定C錯(cuò)誤，屬于基礎(chǔ)題．6.在數(shù)列中，，，且，則（）A.9 B.11 C.13 D.15【答案】B【解析】【分析】由已知可得數(shù)列為等差數(shù)列，從而通過求出公差和首項(xiàng)后可得數(shù)列的第6項(xiàng)．【詳解】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是等差數(shù)列.因?yàn)?，，即，解得，所?故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列，考查運(yùn)算求解實(shí)力.解題方法是定義法和基本量法，屬于基礎(chǔ)題．7.已知的綻開式的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則綻開式中的系數(shù)為（）A.80 B.40 C. D.【答案】A【解析】【分析】由兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等依據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)求出，寫出綻開式的通項(xiàng)公式，得出所在項(xiàng)數(shù)，從而可得其系數(shù)．【詳解】由題意，所以，解得，則的綻開式的通項(xiàng)為，由得，所以的系數(shù)為.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查運(yùn)算求解實(shí)力與推理論證實(shí)力.駕馭二項(xiàng)式綻開式通項(xiàng)公式是解題關(guān)鍵．8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則（）A.3 B. C.7 D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，再將化成，即可得到答案；【詳解】由題意可得，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解實(shí)力與推理論證實(shí)力.9.在四面體中，，，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把四面體補(bǔ)成一個(gè)長，寬，高分別為，，1的長方體，取的中點(diǎn)，連接，，運(yùn)用條件可得是等腰直角三角形，然后可得出答案.【詳解】如圖，把四面體補(bǔ)成一個(gè)長，寬，高分別為，，1的長方體，取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以，，同理，.因?yàn)?，所以，所以是等腰直角三角形，則，即異面直線與所成的角為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，考查空間想象實(shí)力與運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，找解集中的最大區(qū)間即可．【詳解】因?yàn)椋?，則滿意條件的的最大范圍是，解得，故的最大值是.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解實(shí)力與推理論證實(shí)力.本題實(shí)質(zhì)就是解三角不等式．11.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn).已知點(diǎn)在雙曲線的左支上，且，，不共線，若的周長的最小值是，則雙曲線的離心率是（）A.3 B. C.5 D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的定義可得，結(jié)合圖示，可得當(dāng)共線時(shí)，的周長最小，進(jìn)而可得a與c的關(guān)系，代入公式，即可求出離心率?！驹斀狻咳鐖D，設(shè)為的左焦點(diǎn)，連接，，則，，所以的周長.因?yàn)?，所以的周長.因?yàn)榈闹荛L的最小值是，所以，所以，所以雙曲線的離心率是.故選D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義，離心率的求法，關(guān)鍵在于依據(jù)已知條件得到共線時(shí)，的周長最小，再依據(jù)條件化簡求值即可，考查運(yùn)算求解實(shí)力與推理論證實(shí)力，屬中檔題。12.若對(duì)隨意的，都存在，使不等式成立，則整數(shù)的最小值為（）（提示：）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由題意可知對(duì)恒成立，由可得出在上有解，令，可得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值，由此可求得整數(shù)的最小值.【詳解】設(shè)，由題意可知對(duì)恒成立，則在上有解，即在上有解.設(shè)，則，設(shè)，則，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，則在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，所以，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，所以，則，即，故，因?yàn)?，所以最小值?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)不等式恒成立與能成立求參數(shù)，考查利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值是解答的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的實(shí)力，屬于難題.二、填空題：把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知函數(shù)，若，則______.【答案】1【解析】【分析】將代入函數(shù)的解析式，解方程即可求出的值.【詳解】由題意可得，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查解對(duì)數(shù)方程，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.輥?zhàn)邮强图覀鹘y(tǒng)農(nóng)具，南方農(nóng)夫犁開田地后，仍有大的土塊.農(nóng)人便用六片葉齒組成輥軸，兩側(cè)裝上木板，人跨開兩腳站立，既能駕馭平衡，又能增加重量，讓牛拉動(dòng)輥軸前進(jìn)，壓碎土塊，以利于耕種.這六片葉齒又對(duì)應(yīng)著菩薩六度，即布施?持戒?忍辱?精進(jìn)?禪定與般若.若甲從這六片葉齒中任取兩片不同的葉齒，放回后，乙再從這六片葉齒中任取兩片不同的葉齒，則這兩人選的葉齒對(duì)應(yīng)的“度”沒有相同的概率為______.【答案】【解析】【分析】用分步計(jì)數(shù)原理求出基本領(lǐng)件的總數(shù)，再求出事務(wù)“兩人選的葉齒對(duì)應(yīng)的“度”沒有相同”所含基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)，依據(jù)公式計(jì)算概率．【詳解】由題意可知所求概率.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化與古典概型，考查運(yùn)算求解實(shí)力.解題關(guān)鍵是求出基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)．15.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，線段的垂直平分線過點(diǎn)，則拋物線的方程是______；若直線過點(diǎn)，則______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)焦半徑公式可得，再依據(jù)可得，聯(lián)馬上可求出，得到拋物線的方程；再聯(lián)立直線和拋物線的方程，可解得，再依據(jù)，即可解出．【詳解】設(shè)，，由拋物線的焦半徑公式可得，，，則，即.因?yàn)辄c(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以，則.因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，則，解得，故拋物線的方程是.因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程是，聯(lián)立，整理得，則，從而，因?yàn)椋?，解?故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的簡潔幾何性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的實(shí)力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．16.在數(shù)列中，，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為______.(用含的式子表示)【答案】【解析】【分析】對(duì)遞推公式進(jìn)行變形，可以證明數(shù)列是等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最終依據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式特點(diǎn)，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以，則，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每道試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題17.在△中，角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知.（1）求；（2）若，為的角平分線，在上，且，求.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）通過正弦定理將邊化為角，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和以及兩角和的正弦公式可得，最終由恒等式可得結(jié)果；（2）設(shè)，首先求出，然后依據(jù)列式即可求出的值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所?因?yàn)?，所以，?（2）設(shè)，則.因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，因?yàn)椋?，則.因?yàn)?，所以，即，解?【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，兩角和正弦公式，三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.18.已知橢圓的離心率為，且橢圓的右頂點(diǎn)到直線的距離為3.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的面積(為坐標(biāo)原點(diǎn)).【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）由右頂點(diǎn)到直線距離得，再由離心率得，從而可得值，得出橢圓方程；（2）寫出直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組消元得一元二次方程，設(shè)，，得，而的面積可表示為，由此可得所求面積．【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的右頂點(diǎn)到直線的距離為3，所以，解得.因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，所以，所以.故橢圓的方程為.（2）由題意可知直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，整理得，則，，從而.故的面積.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓方程，考查直線與橢圓相交中的三角形面積問題．求三角形面積時(shí)不干脆求出交點(diǎn)坐標(biāo)，而是設(shè)，，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，面積表示為，這樣代入計(jì)算，可避開求交點(diǎn)坐標(biāo)。19.在三棱錐中，平面，為的中點(diǎn)，且.（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明出，由平面得出，再由線面垂直判定定理可證得平面；（2）由（1）可知、、兩兩垂直，以為原點(diǎn)，、的方向分別為，軸的正方向，過點(diǎn)作平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，所以，所以，，所以.因?yàn)?，所以，?因?yàn)槠矫?，且平面，所?因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平?（2）由（1）可知、、兩兩垂直，則可以以為原點(diǎn)，、的方向分別為、軸的正方向，過點(diǎn)作平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則、、，故，.設(shè)平面的法向量，則，不妨設(shè)，則.因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，所以.設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，則.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角的余弦值，考查推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.20.某公司為了豐富員工的業(yè)余文化生活，召開了一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì).甲?乙兩人參與“射擊氣球”這項(xiàng)競賽活動(dòng)，他們依次輪番射擊氣球一次，每人射擊次(射擊次數(shù)由參與競賽的兩人確定)，其中射擊氣球只有兩種結(jié)果：“中”與“不中”.競賽規(guī)則如下：甲先射擊，若結(jié)果是“中”，則本次射擊得2分，否則得1分；再由乙第一次射擊，若結(jié)果為“中”，其得分在甲第一次得分的基礎(chǔ)上加1分，否則得1分；再由甲其次次射擊，若結(jié)果為“中”，其得分在乙第一次得分的基礎(chǔ)上加1分，否則得1分；再由乙其次次射擊，若結(jié)果為“中”，其得分在甲其次次得分的基礎(chǔ)上加1分，否則得1分；再由甲第三次射擊，按此規(guī)則，直到競賽結(jié)束.已知甲?乙每次擊中氣球的概率均為.記，分別表示甲，乙第次射擊的得分.（1）若，記乙的累計(jì)得分為，求的概率.（2）①求數(shù)學(xué)期望，，；②記，，，….證明：數(shù)列為等比數(shù)列.【答案】（1）.（2）①，，.②證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)乙每次射擊得分為1分的概率得出的值，再由對(duì)立事務(wù)的性質(zhì)，即可得出的概率；（2）①分別得出，，的可能取值，求出相應(yīng)的概率，列出分布列，即可得出數(shù)學(xué)期望，，；②先由題意得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可證明數(shù)列為等比數(shù)列.【詳解】（1）由題意可知，且乙每次射擊得分為1分的概率均為則故（2）①由題意可得的可能取值為1，2.，.則甲第一次得分的分布列為12故.由題意可得的可能取值為1，2，3.；；.則乙第一次得分的分布列為123故.由題意可得的可能取值為1，2，3，4.；；；.則甲其次次得分的分布列為1234故.②由題意可知.則，即.因?yàn)樗詳?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望以及證明數(shù)列為的等比數(shù)列，屬于中檔題.21.已知函數(shù)（1）探討的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若，，求的微小值的值域.【答案】（1）答案見解析.（2）【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性推斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的最值、零點(diǎn)存在原理，分類探討進(jìn)行求解即可；（2）對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，依據(jù)（1）中的結(jié)論，結(jié)合函數(shù)極值定義，求出的微小值的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.①當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，，所以有兩個(gè)零點(diǎn).（2）因?yàn)?，所?由（1）可知當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，(不妨設(shè))，,，同理，所以，也是的兩個(gè)零點(diǎn)，且在定義域內(nèi)與的符號(hào)完全相同，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的微小值為.因?yàn)闈M意，設(shè)在恒成立，在單調(diào)遞增，又，所以，則.所以.【點(diǎn)睛】本題考