1.5.2余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認識課件高一下學期數(shù)學北師大版

第一章三角函數(shù)5.2余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認識北師大版

數(shù)學

必修第二冊目錄索引基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.會用五點法畫出余弦函數(shù)的圖象.2.能夠根據(jù)余弦函數(shù)的圖象求滿足條件的角的范圍.3.能結合余弦函數(shù)的圖象理解余弦函數(shù)的性質(zhì).4.會求余弦函數(shù)的定義域、值域、最值.5.會求余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,能根據(jù)單調(diào)性比較大小.6.會判斷有關函數(shù)的奇偶性.基礎落實·必備知識全過關知識點一

余弦函數(shù)的圖象

左

(0,1)(π,-1)(2π,1)名師點睛1.余弦函數(shù)圖象中五點的確定y=cos

x,x∈[0,2π]的圖象上的關鍵五點分為兩類:①圖象與x軸的交點;過關自診判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)函數(shù)y=cosx的圖象與y軸只有一個交點.(

)(2)函數(shù)y=sinx,x∈

的圖象與函數(shù)y=cosx,x∈[0,2π]的圖象的形狀完全一致.(

)(3)因為y=cosx,x∈R是偶函數(shù),所以y=cosx+5與y=cos(x+5)均是偶函數(shù).(

)(4)函數(shù)y1=|sinx|與y2=|cosx|,x∈R的周期均為

.(

)√√××知識點二

余弦函數(shù)y=cos

x的性質(zhì)

函數(shù)y=cosx定義域

值域

奇偶性

函數(shù)

單調(diào)性在區(qū)間

上都單調(diào)遞增;

在區(qū)間

上都單調(diào)遞減

R[-1,1]偶

[(2k-1)π,2kπ],k∈Z[2kπ,(2k+1)π],k∈Z周期性最小正周期是

最值當

時,余弦函數(shù)取得最大值1;

當

時,余弦函數(shù)取得最小值-1

對稱軸x=kπ,k∈Z對稱中心2π

x=2kπ,k∈Zx=(2k+1)π,k∈Z名師點睛1.余弦函數(shù)有單調(diào)區(qū)間,但不是定義域上的單調(diào)函數(shù),即余弦函數(shù)在整個定義域內(nèi)不單調(diào).2.余弦函數(shù)圖象的對稱軸一定過余弦函數(shù)圖象的最高點或最低點,即此時的余弦函數(shù)值取最大值或最小值.3.利用余弦函數(shù)的單調(diào)性比較兩個余弦函數(shù)值的大小,必須先看兩角是否同屬于這一函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間,若不屬于,先化至同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),再比較大小.過關自診1.[人教B版教材例題]求下列函數(shù)的值域.(1)y=-3cosx+1;(2)y=(cosx+)2-3.解

(1)因為-1≤cos

x≤1,所以3≥-3cos

x≥-3,且-2≤-3cos

x+1≤4,即-2≤y≤4.當cos

x=1時,ymin=-2;當cos

x=-1時,ymax=4.2.判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)y=cosx+2;(3)y=sinxcosx.解

(1)把函數(shù)y=cos

x+2記作f(x)=cos

x+2,因為定義域為R,且f(-x)=cos(-x)+2=cos

x+2=f(x),所以y=cos

x+2是偶函數(shù).(2)把函數(shù)y=sin

xcos

x記作f(x)=sin

xcos

x,因為定義域為R,且f(-x)=sin(-x)cos(-x)=(-sin

x)cos

x=-f(x),所以y=sin

xcos

x是奇函數(shù).重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一用五點法作余弦函數(shù)的圖象【例1】

畫出函數(shù)y=2cosx+3,x∈[0,2π]的圖象.解

(1)列表:(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個點順次連接起來,如圖所示.規(guī)律方法

用五點法畫函數(shù)y=Acos

x+b(A≠0),x∈[0,2π]的圖象的步驟(1)列表:(2)描點:(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個點順次連接起來.變式訓練1作出函數(shù)y=-cosx+1,x∈[0,2π]的圖象.解

(1)列表:(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個點順次連接起來,如圖所示.探究點二根據(jù)余弦函數(shù)的圖象求角的范圍【例2】

利用余弦函數(shù)的圖象,求滿足cosx≤的x的集合.規(guī)律方法

用余弦函數(shù)圖象解不等式的步驟(1)作出余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的圖象;(2)寫出不等式在區(qū)間[0,2π]上的解集;(3)根據(jù)余弦函數(shù)周期確定取值范圍.變式訓練2滿足cosx>0,x∈[0,2π]的x的取值范圍為

.

探究點三求與余弦函數(shù)有關的定義域問題【例3】

(1)已知函數(shù)f(x)的定義域為[0,1),求f(cosx)的定義域;(2)求函數(shù)f(x)=lgcosx+的定義域.規(guī)律方法

利用余弦函數(shù)圖象處理函數(shù)的定義域問題一些函數(shù)的定義域可以借助函數(shù)圖象直觀地觀察得到,但同時要注意區(qū)間端點的取舍.探究點四與余弦函數(shù)有關的奇偶性、對稱性問題【例4】

判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=xcosx;解

(1)定義域為R,且f(-x)=-x·cos(-x)=-xcos

x=-f(x),因此函數(shù)f(x)是奇函數(shù).規(guī)律方法

判斷與余弦函數(shù)有關函數(shù)奇偶性的處理方法(1)判斷函數(shù)的奇偶性時,必須先檢查其定義域是否關于原點對稱.如果是,再驗證f(-x)是否等于-f(x)或f(x),進而判斷函數(shù)的奇偶性;如果不是,那么該函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(2)判斷與余弦函數(shù)有關的函數(shù)的奇偶性時,需注意誘導公式的合理運用.變式訓練4函數(shù)y=-xcosx的部分圖象是下圖中的(

)D探究點五余弦函數(shù)單調(diào)性的應用【例5】

(1)函數(shù)y=3-2cosx的單調(diào)遞增區(qū)間為

.

[2kπ,π+2kπ](k∈Z)

解析

y=3-2cos

x與y=3+2cos

x的單調(diào)性相反,由y=3+2cos

x的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ,π+2kπ](k∈Z),得y=3-2cos

x的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ,π+2kπ](k∈Z).規(guī)律方法

單調(diào)性是對一個函數(shù)的某個區(qū)間而言的,不同函數(shù),不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)時,應先用誘導公式進行適當轉化,轉化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.變式訓練5cos1,cos2,cos3的大小關系是

.(用“>”連接)

cos1>cos2>cos3解析

由于0<1<2<3<π,而y=cos

x在(0,π)上單調(diào)遞減,所以cos

1>cos

2>cos

3.探究點六求與余弦函數(shù)有關的值域與最值問題【例6】

(1)設M和m分別是函數(shù)y=cosx-1的最大值和最小值,則M+m=

.

-2(2)函數(shù)y=cos2x-4cosx+5的值域為

.

[2,10]解析

令t=cos

x,則-1≤t≤1.所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1,所以當t=-1時,y取得最大值10,當t=1時,y取得最小值2.所以y=cos2x-4cos

x+5的值域為[2,10].規(guī)律方法

求余弦函數(shù)值域的常用方法(1)求解形如y=acos

x+b(a≠0)的函數(shù)的最值或值域問題時,利用余弦函數(shù)的有界性(-1≤cos

x≤1)求解.求余弦函數(shù)取最值時相應自變量x的集合時,要注意考慮余弦函數(shù)的周期性.(2)求解形如y=acos2x+bcos

x+c(a≠0)的函數(shù)的最值或值域問題時,通過換元,令t=cos

x,將原函數(shù)轉化為關于t的二次函數(shù),利用配方法求值域或最值即可.求解過程中要注意t=cos

x的有界性.D本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)五點(畫圖)法;(2)余弦函數(shù)的性質(zhì);(3)余弦函數(shù)性質(zhì)的應用.2.方法歸納:數(shù)形結合、換元法.3.常見誤區(qū):單調(diào)區(qū)間漏寫k∈Z;求值域時忽視cos

x本身的范圍.成果驗收·課堂達標檢測1234567891011A級必備知識基礎練C.y=-sinx

D.y=-cosxABC解析

由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷可知選ABC.12345678910112.函數(shù)y=-cosx(x>0)的圖象中與y軸最近的最高點的坐標為(

)B解析

用五點作圖法作出函數(shù)y=-cos

x(x>0)的圖象如圖所示,由圖易知與y軸最近的最高點的坐標為(π,1).12345678910113.函數(shù)y=-3cosx+2的值域為(

)A.[-1,5] B.[-5,1]C.[-1,1] D.[-3,1]A解析

因為-1≤cos

x≤1,所以-1≤-3cos

x+2≤5,即函數(shù)的值域為[-1,5].12345678910114.函數(shù)y=cosx在區(qū)間[-π,a]上是增加的,則a的取值范圍為

.

(-π,0]

解析

因為y=cos

x在區(qū)間[-π,0]上單調(diào)遞增,所以-π<a≤0.1234567891011(π,-1)12345678910116.已知函數(shù)y=3cos(π-x),則當x=

時,函數(shù)取得最大值.當x=

時,函數(shù)取得最小值.

2kπ+π,k∈Z

2kπ,k∈Z

解析

y=3cos(π-x)=-3cos

x,當cos

x=-1,即x=2kπ+π,k∈Z時,y有最大值3;x=2kπ,k∈Z時,y有最小值-3.1234567891011B級關鍵能力提升練7.函數(shù)y=cosx+|cosx|,x∈[0,2π]的大致圖象為(

)D123456789101112345678910118.使得sinx>cosx正確的一個區(qū)間是(

)A12345678910119.已知函數(shù)f(x)=-cos2x+cosx+a+1,a∈R,若對區(qū)間[0,]上任意x,都有f(x)≤1成立,則實數(shù)a的最大值為(

)A1234567891011123456789101110.若函數(shù)f(x)=c