高中數(shù)學(xué) 3.3 第3課時 函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)練習(xí) 新人教A版選修1-1

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)3.3第3課時函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)練習(xí)新人教A版選修1-1一、選擇題1．(·營口三中期中)若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx在x＝1處有極值，則a＋b等于()A．2 B．3C．6 D．9[答案]C[解析]f′(x)＝12x2－2ax－2b，由條件知x＝1是方程f′(x)＝0的實數(shù)根，∴a＋b＝6.2．函數(shù)f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值為()A．eq\f(2\r(3),9) B．eq\f(2\r(2),9)C．eq\f(3\r(2),9) D．eq\f(3,8)[答案]A[解析]f′(x)＝1－3x2＝0，得x＝eq\f(\r(3),3)∈[0,1]，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝eq\f(2\r(3),9)，f(0)＝f(1)＝0.∴f(x)max＝eq\f(2\r(3),9).3．(·河南淇縣一中模擬)設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝eax＋3x，x∈R有大于零的極值點，則()A．a(chǎn)>－3 B．a(chǎn)<－3C．a(chǎn)>－eq\f(1,3) D．a(chǎn)<－eq\f(1,3)[答案]B[解析]y′＝aeax＋3，由條件知，方程aeax＋3＝0有大于零的實數(shù)根，∴0<－eq\f(3,a)<1，∴a<－3.4．(·棗莊市期中)若1、3為函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋bx2＋cx(b，c∈R)的兩個極值點，則曲線y＝f(x)在點(－1，f(－1))處的切線的斜率為()A．8 B．6C．4 D．0[答案]A[解析]f′(x)＝x2＋2bx＋c，由條件知，1,3是方程f′(x)＝0的兩個實根，∴b＝－2，c＝3，∴f′(－1)＝8，故選A.5．(·北京東城區(qū)聯(lián)考)如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則下面判斷正確的是()A．在區(qū)間(－2,1)上f(x)是增函數(shù) B．在(1,3)上f(x)是減函數(shù)C．在(4,5)上f(x)是增函數(shù) D．當(dāng)x＝4時，f(x)取極大值[答案]C[解析]由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象知，f(x)在(－2,1)上先減后增，在(1,3)上先增后減，在(4,5)上單調(diào)遞增，x＝4是f(x)的極小值點，故A、B、D錯誤，選C.6．(·河北冀州中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[答案]B[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，由條件知，方程f′(x)＝0有兩不等實根，∴Δ＝4a2－12(a∴a<－3或a>6，故選B.二、填空題7．(·福建安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)聯(lián)考)曲線y＝x(3lnx＋1)在點(1,1)處的切線方程為________．[答案]4x－y－3＝0[解析]y′|x＝1＝(3lnx＋4)|x＝1＝4，∴切線方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.8．(·河北冀州中學(xué)期中)若函數(shù)f(x)＝x＋asinx在R上遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________．[答案][－1,1][解析]f′(x)＝1＋acosx，由條件知f′(x)≥0在R上恒成立，∴1＋acosx≥0，a＝0時顯然成立；a>0時，∵－eq\f(1,a)≤cosx恒成立，∴－eq\f(1,a)≤－1，∴a≤1，∴0<a≤1；a<0時，∵－eq\f(1,a)≥cosx恒成立，∴－eq\f(1,a)≥1，∴a≥－1，即－1≤a<0，綜上知－1≤a≤1.9．(·三亞市一中月考)曲線y＝eq\f(x,2x－1)在點(1,1)處的切線為l，則l上的點到圓x2＋y2＋4x＋3＝0上的點的最近距離是________．[答案]2eq\r(2)－1[解析]y′|x＝1＝－eq\f(1,2x－12)|x＝1＝－1，∴切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圓心(－2,0)到直線的距離d＝2eq\r(2)，圓的半徑r＝1，∴所求最近距離為2eq\r(2)－1.三、解答題10．(·淄博市臨淄中學(xué)學(xué)分認(rèn)定考試)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲線y＝f(x)在點P(1，f(1))處的切線方程為y＝3x＋1.(1)求a、b的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．[解析](1)依題意可知點P(1，f(1))為切點，代入切線方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，而由切線方程y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，∴3＋2a＋b＝3，即2a＋由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝－2，,2a＋b＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－4，))∴a＝2，b＝－4.(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(2,3)或x＝－2.當(dāng)x變化時，f(x)，f′(x)的變化情況如下表：x－3(－3，－2)－2(－2，eq\f(2,3))eq\f(2,3)(eq\f(2,3)，1)1f′(x)＋0－0＋f(x)8增極大值減極小值增4∴f(x)的極大值為f(－2)＝13，極小值為f(eq\f(2,3))＝eq\f(95,27)，又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值為13.一、選擇題11．函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分別是()A．12；－8 B．1；－8C．12；－15 D．5；－16[答案]A[解析]y′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2時y＝1，x＝－1時y＝12，x＝1時y＝－8.∴ymax＝12，ymin＝－8.故選A.12．(·開灤二中期中)若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則實數(shù)b的取值范圍是()A．(0,1) B．(－∞，1)C．(0，＋∞) D．(0，eq\f(1,2))[答案]D[解析]f′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值，∴在(0,1)內(nèi)存在點x0，使得在(0，x0)內(nèi)f′(x)<0，在(x0,1)內(nèi)f′(x)>0，由f′(x)＝0得，x2＝2b>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b>0,\r(2b)<1，))∴0<b<eq\f(1,2).13．(·撫順市六校聯(lián)合體期中)已知R上可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集為()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)[答案]D[解析]由f(x)的圖象知，在(－∞，－1)上f′(x)>0，在(－1,1)上f′(x)<0，在(1，＋∞)上f′(x)>0，又x2－2x－3>0的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞)，x2－2x－3<0的解集為(－1,3)．∴不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集為(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．14．(·安徽程集中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f′(x)＞f(x)，則()A．f(2)<e2f(0) B．f(2)≤e2C．f(2)＝e2f(0) D．f(2)>e2[答案]D[分析]所給四個選項實質(zhì)是比較f(2)與e2f(0)的大小，即比較eq\f(f2,e2)與eq\f(f0,e0)的大小，故構(gòu)造函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,ex)解決．[解析]設(shè)F(x)＝eq\f(fx,ex)，則F′(x)＝eq\f(f′x－fx,ex)>0，∴F(x)在R上為增函數(shù)，故F(2)>F(0)，∴eq\f(f2,e2)>eq\f(f0,e0)，即f(2)>e2f二、填空題15．若函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1處取得極值，則a＝________.[答案]3[解析]考查分式函數(shù)求導(dǎo)法則、極值點的性質(zhì)．f′(x)＝eq\f(2xx＋1－x2＋a,x＋12)＝eq\f(x2＋2x－a,x＋12)，f′(1)＝0?eq\f(1＋2－a,4)＝0?a＝3.16．函數(shù)y＝x3－3x＋9的極小值是________．[答案]7[解析]y′＝3x2－3，令y′>0，得x>1或x<－1，令y′<0，得－1<x<1，∴函數(shù)在(－∞，1)，(1，＋∞)上遞增，在(－1,1)上遞減，∴當(dāng)x＝1時，函數(shù)取得極小值1－3＋9＝7.三、解答題17．已知f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c，在x＝－2時有極大值6，在x＝1時有極小值．(1)求a、b、c的值；(2)求出f(x)在區(qū)間[－3,3]上的最大值和最小值．[解析](1)f′(x)＝3ax2＋2bx－2，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－2＝12a－4b－2＝0,f′1＝3a＋2b－2＝0,f－2＝－8a＋4b＋4＋c＝6))，解得a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(8,3).(2)由(1)知f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f