2023-2024學(xué)年湖北省鄂北六校高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2湖北省鄂北六校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)準(zhǔn)考證號條形碼上的信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選〖答案〗的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)，當(dāng)自變量x由1增加到時(shí)，函數(shù)的平均變化率為（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故選：C2.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于選項(xiàng)A：，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：，故B正確；對于選項(xiàng)C：，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：，故D錯誤；故選：B.3.14名同學(xué)合影，站成前排5人后排9人，現(xiàn)攝影師要從后排9人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，從后排9人中抽2人調(diào)整到前排，有中不同的取法，將前排5人和后來兩人看成七個(gè)位置，把兩個(gè)人在七個(gè)位置中選兩個(gè)位置進(jìn)行排列，完成調(diào)整，有中不同的排法，所以不同調(diào)整方法的總數(shù)是種.故選：D.4.的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開式的一次項(xiàng)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32可得，解得；所以二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，可得；所以展開式的一次項(xiàng)為.故選：A5.已知在處取極小值，則（）A.3或1 B.3 C.1 D.或〖答案〗C〖解析〗對函數(shù)求導(dǎo)可得；易知，解得或；當(dāng)時(shí)，令，可得，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，此時(shí)處取得極小值，滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，可得，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，此時(shí)處取得極大值，不符合題意，舍去；故選：C6.已知圓錐的母線長為定值R，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，圓錐的底面半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則，可得，則圓錐的體積，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在上單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，可知當(dāng)，即時(shí)，圓錐的體積取到最大值.故選：B.7.對于數(shù)列，把它連續(xù)兩項(xiàng)與的差記為，得到一個(gè)新數(shù)列，稱數(shù)列為原數(shù)列的一階差數(shù)列．若，則數(shù)列是的二階差數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列的p階差數(shù)列．如果某數(shù)列的p階差數(shù)列是一個(gè)非零的常數(shù)列，則稱此數(shù)列為p階等差數(shù)列，如數(shù)列1，3，6，10，它的前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4的前后兩項(xiàng)之差再組成新數(shù)列1，1，1，新數(shù)列1，1，1為非零常數(shù)列，則數(shù)列1，3，6，10稱為二階等差數(shù)列．已知數(shù)列滿足，且，則下列結(jié)論中錯誤的有（）A.為二階等差數(shù)列 B.為三階等差數(shù)列C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，故C正確；所以，即，因?yàn)椋?，故D正確；，，不為常數(shù)，故A錯誤；為非零常數(shù)，故為3階等差數(shù)列，故B正確；故選：A．8.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對于任意實(shí)數(shù)x都有，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以令，，所以為常?shù).又因?yàn)?，所以，所以，所?原不等式等價(jià)于，即，解得或，所以解集為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法.商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，….設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的總數(shù)為，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由題意得：，以上個(gè)式子累加可得，其中時(shí)，滿足上式，所以，對于A中，由，所以A正確；對于B中，由，所以B錯誤；對于C中，由，所以C正確；對于D中，由，可得，所以D正確.故選：ACD.10.過拋物線上一點(diǎn)作兩條直線，，與E的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，拋物線的焦點(diǎn)為F，則（）A.E的準(zhǔn)線方程為 B.過點(diǎn)M與E相切的直線方程為C.以為直徑的圓與y軸相切 D.若，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，則，拋物線方程為，則其準(zhǔn)線方程為，故A錯誤；對于B，聯(lián)立，消元得，則，故直線與拋物線相切，又點(diǎn)在直線上，則過點(diǎn)M與E相切的直線方程為，故B正確；對于C，由拋物線定義知，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即線段的中點(diǎn)到軸的距離為，所以以為直徑的圓與y軸相切，故C正確；對D，設(shè)，則，即，所以，即，所以，故D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)（a為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，恒成立B.若有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為C.當(dāng)時(shí).有唯一零點(diǎn)且D.當(dāng)時(shí)，是的極值點(diǎn)〖答案〗BCD〖解析〗對于A中，當(dāng)時(shí)，可得fx=e2x所以A錯誤；對于B中，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即有三個(gè)解，其中時(shí)，顯然不是方程的根，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為gx=e2xx2又由g'令，解得或；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為gx=e又由時(shí)，，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，所以B正確；對于C中，當(dāng)時(shí)，f'x設(shè)hx=e當(dāng)時(shí)，，在-∞,ln12單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在ln12,+∞單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，hxmin=h(ln所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，即，所以有唯一零點(diǎn)且，所以C正確；對于D中，當(dāng)時(shí)，fx=e2x當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.，則在處切線方程為____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋瑒t，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以在處的切線方程為，即.故〖答案〗為：.13.暑假期間，有4名教師對5名學(xué)生進(jìn)行家訪活動，若這4名教師每位至少到一名學(xué)生家中，又這5名學(xué)生都能且只能得到一名教師的家訪，則不同的家訪方案種數(shù)是____________.〖答案〗240〖解析〗由題意可知：有2名學(xué)生得到同一名教師的家訪，先從5名學(xué)生中選擇2名作為一個(gè)整體，再與剩余的3名學(xué)生一起全排列即可，所以不同的家訪方案種數(shù)是.故〖答案〗：240.14.已知當(dāng)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.〖答案〗〖解析〗由，得，即，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）求的展開式中含的項(xiàng)；（2）若，求：①；②.解：（1）因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，的展開式的通項(xiàng)為，所以展開式中含的項(xiàng)為：；（2）①令得：①；令得：②；得：，所以；②等式兩邊分別求導(dǎo)得：令得：即：16.如圖，在三棱柱中，底面?zhèn)让妫?，?（1）證明：；（2）若三棱錐的體積為，為銳角，求平面與平面的夾角.解：（1）∵平面平面，平面，平面平面，，∴平面，∵平面，∴，∵，∴，∵，∴四邊形為菱形，∴，∵，，平面，∴平面.又平面∴.（2）設(shè)為點(diǎn)到平面的距離，，由（1）知∴∴，∴∴，∵為銳角∴，取中點(diǎn)，則，以C為原點(diǎn)，以、、分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示：則，，，，設(shè)平面的法向量為，則取，則，由（1）知，為平面的法向量，，所以，平面與平面的夾角為.17.已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若記為滿足不等式，的正整數(shù)k的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）∵，∴，即，∴，又，∴為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為，∴，∴．（2）由得，，，∵，∴滿足不等式正整數(shù)k的個(gè)數(shù)為，∴，，①，②，得：，∴．18.已知動點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為.（1）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為R，求面積的取值范圍.解：（1）設(shè)，由題意得：，兩邊平方得：，化簡得，即動點(diǎn)M軌跡C的方程為；（2）由題意直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，，，則，化簡得：，且，若Q在直線的右側(cè)，則，若Q在直線的左側(cè)，則，∴，∵，∴，∵，有雙勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，∴，所以面積的取值范圍.19.已知函數(shù)，.（1）記，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.解：（1）根據(jù)已知條件，有其定義域?yàn)?，，?dāng)即時(shí)，若，則；若，則，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.當(dāng)即時(shí)在為增函數(shù)當(dāng)即時(shí)在為增函數(shù)綜上，時(shí)，的增區(qū)間，減區(qū)間；時(shí)，的增區(qū)間.（2）因?yàn)楹愠闪?，，令，則，所以當(dāng)時(shí)，等價(jià)于恒成立.由于，，（?。┊?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上恒成立，符合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，.①當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，，，若，即時(shí)，在上恒小于0，則在上單調(diào)遞減，，不符合題意；若，即時(shí)，存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，則，不符合題意.綜上所述，a的取值范圍是.湖北省鄂北六校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)準(zhǔn)考證號條形碼上的信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選〖答案〗的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)，當(dāng)自變量x由1增加到時(shí)，函數(shù)的平均變化率為（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故選：C2.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于選項(xiàng)A：，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：，故B正確；對于選項(xiàng)C：，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：，故D錯誤；故選：B.3.14名同學(xué)合影，站成前排5人后排9人，現(xiàn)攝影師要從后排9人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，從后排9人中抽2人調(diào)整到前排，有中不同的取法，將前排5人和后來兩人看成七個(gè)位置，把兩個(gè)人在七個(gè)位置中選兩個(gè)位置進(jìn)行排列，完成調(diào)整，有中不同的排法，所以不同調(diào)整方法的總數(shù)是種.故選：D.4.的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開式的一次項(xiàng)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32可得，解得；所以二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，可得；所以展開式的一次項(xiàng)為.故選：A5.已知在處取極小值，則（）A.3或1 B.3 C.1 D.或〖答案〗C〖解析〗對函數(shù)求導(dǎo)可得；易知，解得或；當(dāng)時(shí)，令，可得，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，此時(shí)處取得極小值，滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，可得，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，此時(shí)處取得極大值，不符合題意，舍去；故選：C6.已知圓錐的母線長為定值R，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，圓錐的底面半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則，可得，則圓錐的體積，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在上單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，可知當(dāng)，即時(shí)，圓錐的體積取到最大值.故選：B.7.對于數(shù)列，把它連續(xù)兩項(xiàng)與的差記為，得到一個(gè)新數(shù)列，稱數(shù)列為原數(shù)列的一階差數(shù)列．若，則數(shù)列是的二階差數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列的p階差數(shù)列．如果某數(shù)列的p階差數(shù)列是一個(gè)非零的常數(shù)列，則稱此數(shù)列為p階等差數(shù)列，如數(shù)列1，3，6，10，它的前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4的前后兩項(xiàng)之差再組成新數(shù)列1，1，1，新數(shù)列1，1，1為非零常數(shù)列，則數(shù)列1，3，6，10稱為二階等差數(shù)列．已知數(shù)列滿足，且，則下列結(jié)論中錯誤的有（）A.為二階等差數(shù)列 B.為三階等差數(shù)列C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，故C正確；所以，即，因?yàn)?，所以，故D正確；，，不為常數(shù)，故A錯誤；為非零常數(shù)，故為3階等差數(shù)列，故B正確；故選：A．8.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對于任意實(shí)數(shù)x都有，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以令，，所以為常?shù).又因?yàn)?，所以，所以，所?原不等式等價(jià)于，即，解得或，所以解集為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法.商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，….設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的總數(shù)為，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由題意得：，以上個(gè)式子累加可得，其中時(shí)，滿足上式，所以，對于A中，由，所以A正確；對于B中，由，所以B錯誤；對于C中，由，所以C正確；對于D中，由，可得，所以D正確.故選：ACD.10.過拋物線上一點(diǎn)作兩條直線，，與E的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，拋物線的焦點(diǎn)為F，則（）A.E的準(zhǔn)線方程為 B.過點(diǎn)M與E相切的直線方程為C.以為直徑的圓與y軸相切 D.若，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，則，拋物線方程為，則其準(zhǔn)線方程為，故A錯誤；對于B，聯(lián)立，消元得，則，故直線與拋物線相切，又點(diǎn)在直線上，則過點(diǎn)M與E相切的直線方程為，故B正確；對于C，由拋物線定義知，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即線段的中點(diǎn)到軸的距離為，所以以為直徑的圓與y軸相切，故C正確；對D，設(shè)，則，即，所以，即，所以，故D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)（a為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，恒成立B.若有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為C.當(dāng)時(shí).有唯一零點(diǎn)且D.當(dāng)時(shí)，是的極值點(diǎn)〖答案〗BCD〖解析〗對于A中，當(dāng)時(shí)，可得fx=e2x所以A錯誤；對于B中，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即有三個(gè)解，其中時(shí)，顯然不是方程的根，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為gx=e2xx2又由g'令，解得或；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為gx=e又由時(shí)，，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，所以B正確；對于C中，當(dāng)時(shí)，f'x設(shè)hx=e當(dāng)時(shí)，，在-∞,ln12單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在ln12,+∞單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，hxmin=h(ln所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以有唯一零點(diǎn)且，所以C正確；對于D中，當(dāng)時(shí)，fx=e2x當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.，則在處切線方程為____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，則，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以在處的切線方程為，即.故〖答案〗為：.13.暑假期間，有4名教師對5名學(xué)生進(jìn)行家訪活動，若這4名教師每位至少到一名學(xué)生家中，又這5名學(xué)生都能且只能得到一名教師的家訪，則不同的家訪方案種數(shù)是____________.〖答案〗240〖解析〗由題意可知：有2名學(xué)生得到同一名教師的家訪，先從5名學(xué)生中選擇2名作為一個(gè)整體，再與剩余的3名學(xué)生一起全排列即可，所以不同的家訪方案種數(shù)是.故〖答案〗：240.14.已知當(dāng)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.〖答案〗〖解析〗由，得，即，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）求的展開式中含的項(xiàng)；（2）若，求：①；②.解：（1）因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，的展開式的通項(xiàng)為，所以展開式中含的項(xiàng)為：；（2）①令得：①；令得：②；得：，所以；②等式兩邊分別求導(dǎo)得：令得：即：16.如圖，在三棱柱中，底面?zhèn)让妫?，?（1）證明：；（2）若三棱錐的體積為，為銳角，求平面與平面的夾角.解：（1）∵平面平面，平面，平面平面，，∴平面，∵平面，∴，∵，∴，∵，∴四邊形為菱形，∴，∵，，平面，∴平面.又平面∴.（2）設(shè)為點(diǎn)