2023-2024學年河南省鄭州市十校高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2河南省鄭州市十校2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1.已知函數(shù)，則自變量x由1變到1.1時，的平均變化率為（）A.0.21 B. C.2.1 D.〖答案〗C〖解析〗平均變化率.故選：C.2.《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》、《熊出沒·逆轉(zhuǎn)時空》引爆了賀歲電影市場，三名同學從四部影片中各自任選一部觀看，則不同選擇方法的總數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由分步乘法原理可得共有種，故選：B.3.下列求導運算正確的是（）A.，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗D〖解析〗對于A，，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確；故選：D．4.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，令解得或，當時，，在單調(diào)遞增，當時，，在單調(diào)遞減，當時，，在單調(diào)遞增，所以在得極大值為，又，所以函數(shù)在區(qū)間上最大值為，故選：D．5.若的展開式中的系數(shù)為30，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由二項式的展開式的通項為，則的展開式中為可得，解得.故選：A.6.2024年元旦假期三天，哈爾濱接待游客300多萬人次，神秘的鄂倫春族再次走進世人的眼簾，這些英雄的后代講述著英雄的故事，讓哈爾濱大放異彩．現(xiàn)安排5名鄂倫春小伙去三個不同的景點宣傳鄂倫春族的民俗文化，每個景點至少安排1人，每人只能去一個景點，則不同的安排方法共有（）A.60種 B.90種 C.150種 D.300種〖答案〗C〖解析〗分兩類完成這件事情：第一類：將5名鄂倫春小伙分為三組，其中兩組每組2人，另一組1人，再分配到三個不同的景點，共有種；第二類：將5名鄂倫春小伙分為三組，其中兩組每組1人，另一組3人，再分配到三個不同的景點，共有種，利用分步加法計數(shù)原理得，共有種，故選：C.7.已知，則（）A.31 B.32 C.15 D.16〖答案〗A〖解析〗逆用二項式定理得，即，所以n=5，所以．故選:A8.已知定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，若，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，因為，所以，即，所以在R上單調(diào)遞減.不等式等價于不等式，即.因為，所以，所以.因為在R上單調(diào)遞減，所以，解得.故選:B二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，選對但不全得2分，選錯或不選得0分．9.對于事件A和事件B，，，則下列說法正確的是（）A.若A與B互斥，則 B.若A與B互斥，則C.若，則 D.若A與B相互獨立，則〖答案〗BD〖解析〗對于A，A與B互斥，則，A錯誤；對于B，A與B互斥，則，B正確；對于C，，則，C錯誤；對于D，A與B相互獨立，則，D正確.故選：BD10.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）A.如果甲、乙必須相鄰，那么不同的排法有24種B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C.甲、乙不相鄰的排法種數(shù)為72種D.甲在乙左邊的排列的排法有30種〖答案〗BC〖解析〗對于A，如果甲、乙必須相鄰，那么將甲乙捆綁，不同的排法有種，所以選項A錯誤；對于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法分為兩類：甲排最左端：種；乙排最左端：種，即不同排法共有種，所以選項B正確；對于C，甲、乙不相鄰的排法種數(shù)為種，所以選項C正確；對于D，甲在乙左邊的排列的排法有種，所以選項D錯誤.故選：BC11.為響應校團委發(fā)起的“青年大學習”號召，某班組織了有獎知識競答活動．決賽準備了3道選擇題和2道填空題，每位參賽者從5道題中不放回地隨機抽取兩次，每次抽取1題作答．設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第2次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A選項，決賽準備了3道選擇題和2道填空題，每位參賽者從5道題中不放回地隨機抽取兩次，每次抽取1題作答，故，A正確；B選項，從5道題中不放回地隨機抽取兩次，故，B正確；C選項，，C正確；D選項，因為，所以，又，故，D錯誤故選：ABC12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)存在兩個不同的零點B.函數(shù)既存在極大值又存在極小值C.當時，D當時，方程由三個實數(shù)根〖答案〗AB〖解析〗對于A，由，得，即，解得，因此函數(shù)存在兩個不同的零點，A正確；對于B，求導得，當或時，，當時，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，當時，取得極小值，當時，取得極大值，B正確；對于C，顯然，C錯誤；對于D，結(jié)合A分析可知，當時，方程只有兩個實數(shù)根，D錯誤.故選：AB第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分·13.______〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗為：14.隨機變量X滿足，則隨機變量X的期望______．〖答案〗〖解析〗因為，所以，，；所以，所以的分布列為：所以故〖答案〗為：.15.“以直代曲”是微積分中的重要思想方法，牛頓曾用這種思想方法求高次方程的根．如圖，r是函數(shù)的零點，牛頓用“作切線”的方法找到了一串逐步逼近r的實數(shù)，，，…，，其中是在處的切線與x軸交點的橫坐標，是在處的切線與x軸交點的橫坐標，…，依次類推．當足夠小時，就可以把的值作為方程的近似解．若，，則方程的近似解______．〖答案〗〖解析〗由題可得，，則，所以在處的切線方程為：，令，解得，即方程的近似解，故〖答案〗為：．16.若不等式在時恒成立，則正實數(shù)的最大值為______．〖答案〗1〖解析〗由可得，所以，設(shè)，則，即為，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，，所以，，從而等價于，即，由于曲線在處的切線方程為：，所以當且僅當時，在上恒成立，所以正實數(shù)的最大值為1；故〖答案〗為：1四、解答題：本大題6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.隨機變量的分布列如下表，隨機變量．01（1）求；（2）求．解：（1），．（2），．18.某芯片制造企業(yè)采用流水線的方式生產(chǎn)芯片．原有生產(chǎn)線生產(chǎn)某型號的芯片需要經(jīng)過三道工序，這三道工序互不影響．已知三道工序產(chǎn)生不合格產(chǎn)品的概率分別為、、，三道工序均合格的產(chǎn)品成為正品，否則成為次品．（1）求該企業(yè)原有生產(chǎn)線的次品率；（2）為了提高產(chǎn)量，該企業(yè)又引進一條新生產(chǎn)線加工同一型號的芯片，兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)出的芯片隨機混放在一起．已知新生產(chǎn)線的次品率為，且新生產(chǎn)線的產(chǎn)量是原生產(chǎn)線產(chǎn)量的兩倍．從混放的芯片中任取一個，計算它是次品的概率．解：（1）該企業(yè)原有生產(chǎn)線的正品率為，所以該企業(yè)原有生產(chǎn)線的次品率為.（2）記“任取一個芯片來自原生產(chǎn)線”為事件，“任取一個芯片來自新生產(chǎn)線”為事件，記“任取一個芯片是次品”為事件，則，，且，，所以，即從混放的芯片中任取一個，它是次品的概率為．19.已知曲線．（1）若在處有極大值，求的值；（2）若，求過點（2，8）且與曲線相切的直線方程．解：（1）函數(shù)在處有極大值，令，解得或，若，解得，則，時，時，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．函數(shù)在處有極大值，滿足題意．若，，時，時，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．可得處有極小值，舍去，．（2）當時，，，設(shè)切點為，則切線斜率為，則切線方程為，將點代入，化為，因式分解為，解得或，故切線方程為或．20.（1）已知函數(shù)，若在區(qū)間上存在減區(qū)間，求a的取值范圍；（2）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性．解：（1），若函數(shù)在區(qū)間上存在減區(qū)間，則在上存在有解區(qū)間，即，使得成立，記，，，易得，故，解得，則a的取值范圍為；（2）因為，，，當時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．21.新高考的數(shù)學試卷第1至第8題為單選題，第9至第12題為多選題.多選題A、B、C、D四個選項中至少有兩個選項符合題意，其評分標準如下：全部選對得5分，部分選對得2分，選錯或不選得0分.在某次考試中，第11、12兩題的難度較大，第11題正確選項為AD，第12題正確選項為ABD.甲?乙兩位同學由于考前準備不足，只能對這兩道題的選項進行隨機選取，每個選項是否被選到是等可能的.（1）若甲同學每題均隨機選取一項，求甲同學兩題得分合計為4分的概率；（2）若甲同學計劃每題均隨機選取一項，乙同學計劃每題均隨機選取兩項，記甲同學的兩題得分為，乙同學的兩題得分為，求的期望并判斷誰的方案更優(yōu).解：（1）因為甲同學兩題得分合計為4分，所以這兩道題每道題得2分，所以甲同學兩題得分合計為4分的概率為：；（2）甲同學的兩題得分的可能取值為所以，，，所以的分布列為：因此（分），乙同學第11題可能得分為：，，，乙同學第12題可能得分為：，，，乙同學的兩題得分的可能取值為，所以，，，，所以的分布列為：因此(分)，因為，所以甲同學的方案更優(yōu).22.已知函數(shù)．（1）當，時，求證恒成立；（2）當時，，求整數(shù)的最大值．解：（1）當，時，記，則，因為在上單調(diào)遞增，且，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，所以恒成立.（2）當時，，即，因為，所以只需，令，，令，，在上是增函數(shù)，，，根據(jù)零點存在定理，，使得，即，即，當時，，即，單調(diào)遞減，當時，，即，單調(diào)遞增，所以，故；又在上單調(diào)遞增，，所以，又，所以．所以整數(shù)的最大值是.河南省鄭州市十校2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1.已知函數(shù)，則自變量x由1變到1.1時，的平均變化率為（）A.0.21 B. C.2.1 D.〖答案〗C〖解析〗平均變化率.故選：C.2.《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》、《熊出沒·逆轉(zhuǎn)時空》引爆了賀歲電影市場，三名同學從四部影片中各自任選一部觀看，則不同選擇方法的總數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由分步乘法原理可得共有種，故選：B.3.下列求導運算正確的是（）A.，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗D〖解析〗對于A，，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確；故選：D．4.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，令解得或，當時，，在單調(diào)遞增，當時，，在單調(diào)遞減，當時，，在單調(diào)遞增，所以在得極大值為，又，所以函數(shù)在區(qū)間上最大值為，故選：D．5.若的展開式中的系數(shù)為30，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由二項式的展開式的通項為，則的展開式中為可得，解得.故選：A.6.2024年元旦假期三天，哈爾濱接待游客300多萬人次，神秘的鄂倫春族再次走進世人的眼簾，這些英雄的后代講述著英雄的故事，讓哈爾濱大放異彩．現(xiàn)安排5名鄂倫春小伙去三個不同的景點宣傳鄂倫春族的民俗文化，每個景點至少安排1人，每人只能去一個景點，則不同的安排方法共有（）A.60種 B.90種 C.150種 D.300種〖答案〗C〖解析〗分兩類完成這件事情：第一類：將5名鄂倫春小伙分為三組，其中兩組每組2人，另一組1人，再分配到三個不同的景點，共有種；第二類：將5名鄂倫春小伙分為三組，其中兩組每組1人，另一組3人，再分配到三個不同的景點，共有種，利用分步加法計數(shù)原理得，共有種，故選：C.7.已知，則（）A.31 B.32 C.15 D.16〖答案〗A〖解析〗逆用二項式定理得，即，所以n=5，所以．故選:A8.已知定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，若，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，因為，所以，即，所以在R上單調(diào)遞減.不等式等價于不等式，即.因為，所以，所以.因為在R上單調(diào)遞減，所以，解得.故選:B二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，選對但不全得2分，選錯或不選得0分．9.對于事件A和事件B，，，則下列說法正確的是（）A.若A與B互斥，則 B.若A與B互斥，則C.若，則 D.若A與B相互獨立，則〖答案〗BD〖解析〗對于A，A與B互斥，則，A錯誤；對于B，A與B互斥，則，B正確；對于C，，則，C錯誤；對于D，A與B相互獨立，則，D正確.故選：BD10.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）A.如果甲、乙必須相鄰，那么不同的排法有24種B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C.甲、乙不相鄰的排法種數(shù)為72種D.甲在乙左邊的排列的排法有30種〖答案〗BC〖解析〗對于A，如果甲、乙必須相鄰，那么將甲乙捆綁，不同的排法有種，所以選項A錯誤；對于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法分為兩類：甲排最左端：種；乙排最左端：種，即不同排法共有種，所以選項B正確；對于C，甲、乙不相鄰的排法種數(shù)為種，所以選項C正確；對于D，甲在乙左邊的排列的排法有種，所以選項D錯誤.故選：BC11.為響應校團委發(fā)起的“青年大學習”號召，某班組織了有獎知識競答活動．決賽準備了3道選擇題和2道填空題，每位參賽者從5道題中不放回地隨機抽取兩次，每次抽取1題作答．設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第2次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A選項，決賽準備了3道選擇題和2道填空題，每位參賽者從5道題中不放回地隨機抽取兩次，每次抽取1題作答，故，A正確；B選項，從5道題中不放回地隨機抽取兩次，故，B正確；C選項，，C正確；D選項，因為，所以，又，故，D錯誤故選：ABC12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)存在兩個不同的零點B.函數(shù)既存在極大值又存在極小值C.當時，D當時，方程由三個實數(shù)根〖答案〗AB〖解析〗對于A，由，得，即，解得，因此函數(shù)存在兩個不同的零點，A正確；對于B，求導得，當或時，，當時，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，當時，取得極小值，當時，取得極大值，B正確；對于C，顯然，C錯誤；對于D，結(jié)合A分析可知，當時，方程只有兩個實數(shù)根，D錯誤.故選：AB第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分·13.______〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗為：14.隨機變量X滿足，則隨機變量X的期望______．〖答案〗〖解析〗因為，所以，，；所以，所以的分布列為：所以故〖答案〗為：.15.“以直代曲”是微積分中的重要思想方法，牛頓曾用這種思想方法求高次方程的根．如圖，r是函數(shù)的零點，牛頓用“作切線”的方法找到了一串逐步逼近r的實數(shù)，，，…，，其中是在處的切線與x軸交點的橫坐標，是在處的切線與x軸交點的橫坐標，…，依次類推．當足夠小時，就可以把的值作為方程的近似解．若，，則方程的近似解______．〖答案〗〖解析〗由題可得，，則，所以在處的切線方程為：，令，解得，即方程的近似解，故〖答案〗為：．16.若不等式在時恒成立，則正實數(shù)的最大值為______．〖答案〗1〖解析〗由可得，所以，設(shè)，則，即為，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，，所以，，從而等價于，即，由于曲線在處的切線方程為：，所以當且僅當時，在上恒成立，所以正實數(shù)的最大值為1；故〖答案〗為：1四、解答題：本大題6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.隨機變量的分布列如下表，隨機變量．01（1）求；（2）求．解：（1），．（2），．18.某芯片制造企業(yè)采用流水線的方式生產(chǎn)芯片．原有生產(chǎn)線生產(chǎn)某型號的芯片需要經(jīng)過三道工序，這三道工序互不影響．已知三道工序產(chǎn)生不合格產(chǎn)品的概率分別為、、，三道工序均合格的產(chǎn)品成為正品，否則成為次品．（1）求該企業(yè)原有生產(chǎn)線的次品率；（2）為了提高產(chǎn)量，該企業(yè)又引進一條新生產(chǎn)線加工同一型號的芯片，兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)出的芯片隨機混放在一起．已知新生產(chǎn)線的次品率為，且新生產(chǎn)線的產(chǎn)量是原生產(chǎn)線產(chǎn)量的兩倍．從混放的芯片中任取一個，計算它是次品的概率．解：（1）該企業(yè)原有生產(chǎn)線的正品率為，所以該企業(yè)原有生產(chǎn)線的次品率為.（2）記“任取一個芯片來自原生產(chǎn)線”為事件，“任取一個芯片來自新生產(chǎn)線”為事件，記“任取一個芯片是次品”為事件，則，，且，，所以，即從混放的芯片中任取一個，它是次品的概率為．19.已知曲線．（1）若在處有極大值，求的值；（2）若，求過點（2，8）且與曲線相切的直線方程．解：（1）函數(shù)在處有極大值，令，解得或，若，解得，則，時，時，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．函數(shù)在處有極大值，滿足題意．若，，時，時，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．可得處有極小值，舍去，．（2）當時，，，設(shè)切點為，則切線斜率為，則切線方程為，將點代入，化為，因式分解為，解得或，故切線方程為或．20.（1）已知函數(shù)，若在區(qū)間上存在減區(qū)間，求a的取值范圍；（2）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性．解：（1），若函數(shù)在區(qū)間上存在減區(qū)間，則在上存在有解區(qū)間，即，使得成立，記，，，易得，故，解得，則a的取值范圍為；（2）因為，，，當時，