2022-2023學(xué)年廣西桂林市高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西桂林市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A. B.2 C. D.3〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的虛部為.故選：B.2.下列各角中，與角的終邊相同的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗與角的終邊相同的角的集合為，令，得到，故選項(xiàng)A正確，易知，不存在，使，故選項(xiàng)BCD均不正確.故選：A.3.下列幾何體中為臺(tái)體的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗A：圓錐，B：圓柱，C：棱臺(tái)，D：球，所以屬于臺(tái)體的只有棱臺(tái).故選：C.4.已知向量，，且，則（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，?故選：C.5.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗選項(xiàng)A，由的性質(zhì)知，為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由的性質(zhì)知，為偶函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，由的性質(zhì)知，為奇函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為非奇非偶函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖象，則函數(shù)的〖解析〗式是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得.故選：C．7.已知是三條不同直線，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗A〖解析〗A中，若，，由平行與同一平面的兩平面平行，可得，所以A正確；B中，若，，則與可能是異面直線，所以B錯(cuò)誤；C中，若，，則與可能平行，所以C錯(cuò)誤；D中，若，，則與可能相交，所以D錯(cuò)誤.故選：A.8.兩個(gè)粒子A，B從同一粒子源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，以粒子源為原點(diǎn)，它們的位移分別為，，此時(shí)在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所以，，所以在上的投影向量?故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.長(zhǎng)度相等的向量是相等向量 B.單位向量的模為1C.零向量的模為0 D.共線向量是在同一條直線上的向量〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，長(zhǎng)度相等、方向相同的向量叫相等向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，單位向量的模為，故B正確；對(duì)于C，零向量的模為，故C正確；對(duì)于D，方向相同或相反的向量叫共線向量，它們不一定在同一條直線上，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知復(fù)數(shù)，，則（）A.是純虛數(shù) B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，是純虛數(shù)，故A正確；對(duì)于B，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.函數(shù)（A，，是常數(shù)，，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B.的圖象關(guān)于中心對(duì)稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.〖答案〗AB〖解析〗由題意可得，，故，又因?yàn)椋?，所以，所以，?duì)于A，當(dāng)時(shí)，，滿足該函數(shù)取得最值的條件，A正確；對(duì)于B，時(shí)，，則是該函數(shù)的對(duì)稱中心，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在不是單調(diào)減函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)遞減函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：AB.12.已知正方體，則（）A.直線與直線所成的角為 B.直線與直線所成的角為C.直線與平面所成的角為 D.直線與平面所成的角為〖答案〗BCD〖解析〗如圖，連接、，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，，因?yàn)?，，則四邊形為平行四邊形，可得，直線與所成的角即為與所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，所以為等邊三角形，所以直線與所成的角為，故B正確；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得為等腰直角三角形，所以，故C正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?，平面，平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.計(jì)算：sin150°＝_____．〖答案〗〖解析〗sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°.故〖答案〗為：.14.若向量和向量垂直，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)橄蛄颗c向量垂直，所以，解得.故〖答案〗為：.15.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其對(duì)扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代的算法一致，根據(jù)這一算法解決下列問題：現(xiàn)有一扇形田，下周長(zhǎng)（弧長(zhǎng)）為10米，徑長(zhǎng)（兩段半徑的和）為10米，則該扇形田的面積為__________平方米.〖答案〗〖解析〗如圖所示，因徑長(zhǎng)為米，下周長(zhǎng)為米，即且，所以扇形所在圓的半徑為米，所以該扇形田的面積為平方米.故〖答案〗為：.16.已知的外接圓圓心為O，，若，則的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)三個(gè)角所對(duì)的邊分別為，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈耐饨訄A圓心為O，所以，則，，因?yàn)椋?，，即，，解得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)給出文字說明、證明過程及演算步驟.17.已知，為第二象限角.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因?yàn)椋瑸榈诙笙藿?，所以，?（2）由（1），，所以.18.已知向量，滿足，，.（1）求；（2）求與的夾角；（3）求.解：（1）因?yàn)?，，又，所?（2）因?yàn)?，又，所以，故與的夾角.（3），所以.19.如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是菱形，PA=PC，E為PB的中點(diǎn)．求證：（1）平面AEC；（2）平面AEC⊥平面PBD．解：（1）設(shè)，連接，如圖所示：因?yàn)镺，E分別為，的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）連接，如圖所示：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，因平面，平面，且，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?0.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積，求的周長(zhǎng).解：（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻玫?，又因?yàn)椋?，故，得到，又因?yàn)椋?（2）因?yàn)椋拿娣e，所以，得到，在中，由余弦定理得，所以，故的周長(zhǎng)為.21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)自變量的取值集合；（3）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．解：（1），所以函數(shù)的最小正周期為.（2）當(dāng)，即，時(shí)函數(shù)取得最大值為2，所以函數(shù)的最大值為2，取得最大值時(shí)自變量的取值集合為.（3）當(dāng)，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.22.本市某路口的轉(zhuǎn)彎處受地域限制，設(shè)計(jì)了一條單向雙排直角拐彎車道，平面設(shè)計(jì)如圖所示，每條車道寬為4米，現(xiàn)有一輛大卡車，在其水平截面圖為矩形，它的寬為2.4米，車廂的左側(cè)直線與中間車道的分界線相交于、，記．（1）若大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎的某一刻，恰好，且、也都在中間車道的直線上，直線也恰好過路口邊界，求此大卡車的車長(zhǎng)．（2）若大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎時(shí)對(duì)任意，此車都不越中間車道線，求此大卡車的車長(zhǎng)的最大值．（3）若某研究性學(xué)習(xí)小組記錄了這兩個(gè)車道在這一路段的平均道路通行密度（輛/km），統(tǒng)計(jì)如下：時(shí)間7：007：157：307：458：00里側(cè)車道通行密度110120110100110外側(cè)車道通行密度110117.5125117.5110現(xiàn)給出兩種函數(shù)模型：①；②，請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，分別對(duì)兩車道選擇最合適的一種函數(shù)來描述早七點(diǎn)以后的平均道路通行密度（單位：輛/km）與時(shí)間（單位：分）的關(guān)系（其中為7：00后所經(jīng)過的時(shí)間，例如7：30即分），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出相應(yīng)函數(shù)的〖解析〗式．解：（1）作，垂足為，作，垂足為，因?yàn)椋?，在中，，在中，，在中，，在中，，所?（2）因?yàn)?，所以，，，，所以，令，則，，所以，，所以，設(shè)，則，所以，易知在單調(diào)遞增，且，所以在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)，即時(shí)，取最小值，所以，若大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎時(shí)對(duì)任意，此車都不越中間車道線，求此大卡車的車長(zhǎng)的最大值為.（3）由表可得，里側(cè)車道通行密度有最大值和最小值，適用模型，易得，所以，又，，所以；而外側(cè)車道通行密度關(guān)于對(duì)稱，左側(cè)遞增，右側(cè)遞減，適用模型，易知，代入，得，所以.廣西桂林市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A. B.2 C. D.3〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：B.2.下列各角中，與角的終邊相同的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗與角的終邊相同的角的集合為，令，得到，故選項(xiàng)A正確，易知，不存在，使，故選項(xiàng)BCD均不正確.故選：A.3.下列幾何體中為臺(tái)體的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗A：圓錐，B：圓柱，C：棱臺(tái)，D：球，所以屬于臺(tái)體的只有棱臺(tái).故選：C.4.已知向量，，且，則（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，?故選：C.5.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗選項(xiàng)A，由的性質(zhì)知，為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由的性質(zhì)知，為偶函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，由的性質(zhì)知，為奇函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為非奇非偶函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖象，則函數(shù)的〖解析〗式是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得.故選：C．7.已知是三條不同直線，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗A〖解析〗A中，若，，由平行與同一平面的兩平面平行，可得，所以A正確；B中，若，，則與可能是異面直線，所以B錯(cuò)誤；C中，若，，則與可能平行，所以C錯(cuò)誤；D中，若，，則與可能相交，所以D錯(cuò)誤.故選：A.8.兩個(gè)粒子A，B從同一粒子源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，以粒子源為原點(diǎn)，它們的位移分別為，，此時(shí)在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所以，，所以在上的投影向量?故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.長(zhǎng)度相等的向量是相等向量 B.單位向量的模為1C.零向量的模為0 D.共線向量是在同一條直線上的向量〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，長(zhǎng)度相等、方向相同的向量叫相等向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，單位向量的模為，故B正確；對(duì)于C，零向量的模為，故C正確；對(duì)于D，方向相同或相反的向量叫共線向量，它們不一定在同一條直線上，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知復(fù)數(shù)，，則（）A.是純虛數(shù) B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，是純虛數(shù)，故A正確；對(duì)于B，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.函數(shù)（A，，是常數(shù)，，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B.的圖象關(guān)于中心對(duì)稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.〖答案〗AB〖解析〗由題意可得，，故，又因?yàn)?，故，所以，所以，?duì)于A，當(dāng)時(shí)，，滿足該函數(shù)取得最值的條件，A正確；對(duì)于B，時(shí)，，則是該函數(shù)的對(duì)稱中心，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在不是單調(diào)減函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)遞減函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：AB.12.已知正方體，則（）A.直線與直線所成的角為 B.直線與直線所成的角為C.直線與平面所成的角為 D.直線與平面所成的角為〖答案〗BCD〖解析〗如圖，連接、，因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，，因?yàn)?，，則四邊形為平行四邊形，可得，直線與所成的角即為與所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，所以為等邊三角形，所以直線與所成的角為，故B正確；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得為等腰直角三角形，所以，故C正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?，平面，平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.計(jì)算：sin150°＝_____．〖答案〗〖解析〗sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°.故〖答案〗為：.14.若向量和向量垂直，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)橄蛄颗c向量垂直，所以，解得.故〖答案〗為：.15.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其對(duì)扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代的算法一致，根據(jù)這一算法解決下列問題：現(xiàn)有一扇形田，下周長(zhǎng)（弧長(zhǎng)）為10米，徑長(zhǎng)（兩段半徑的和）為10米，則該扇形田的面積為__________平方米.〖答案〗〖解析〗如圖所示，因徑長(zhǎng)為米，下周長(zhǎng)為米，即且，所以扇形所在圓的半徑為米，所以該扇形田的面積為平方米.故〖答案〗為：.16.已知的外接圓圓心為O，，若，則的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)三個(gè)角所對(duì)的邊分別為，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈耐饨訄A圓心為O，所以，則，，因?yàn)椋?，，即，，解得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)給出文字說明、證明過程及演算步驟.17.已知，為第二象限角.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因?yàn)椋瑸榈诙笙藿?，所以，?（2）由（1），，所以.18.已知向量，滿足，，.（1）求；（2）求與的夾角；（3）求.解：（1）因?yàn)椋?，又，所?（2）因?yàn)椋?，所以，故與的夾角.（3），所以.19.如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是菱形，PA=PC，E為PB的中點(diǎn)．求證：（1）平面AEC；（2）平面AEC⊥平面PBD．解：（1）設(shè)，連接，如圖所示：因?yàn)镺，E分別為，的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?）連接，如圖所示：因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，因平面，平面，且，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?0.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積，求的周長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得到，又因?yàn)?，所以，故，得到，又因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，的面積，所以，得到，在中，由余弦定理得，所以，故的周長(zhǎng)為.21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)自變量的取值集合；（3）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．解：（1），所以函數(shù)的最小正周期為.（2）當(dāng)，即，時(shí)函數(shù)