8.1.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律課件高一數(shù)學(xué)人教B版

第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換向量數(shù)量積的運(yùn)算律人教B版

數(shù)學(xué)

必修第三冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算律,并要注意運(yùn)算律的適用范圍以及與實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算律的區(qū)別.2.會(huì)應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算或證明等問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)向量數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量a,b,c與實(shí)數(shù)λ,則

交換律a·b=

結(jié)合律(λa)·b=

=

分配律(a+b)·c=a·c+b·cb·aλ(a·b)a·(λb)名師點(diǎn)睛1.在實(shí)數(shù)運(yùn)算中,若ab=0,則a與b中至少有一個(gè)為0.但是在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,不能由a·b=0推出a=0或b=0.事實(shí)上,當(dāng)a≠0時(shí),由a·b=0不能推出b一定是零向量,這是因?yàn)閷θ我庖粋€(gè)與a垂直的非零向量b,都有a·b=0.實(shí)際上,由a·b=0可推出以下四種結(jié)論:(1)a=0,b=0;(2)a=0,b≠0;(3)a≠0,b=0;(4)a≠0,b≠0,但a⊥b.總而言之,a·b=0?a⊥b.2.

已知實(shí)數(shù)a,b,c(b≠0),則ab=bc?a=c.但對于向量的數(shù)量積,該推理不正確,即a·b=b·ca=c,因?yàn)閍·b=b·c(b≠0)表示向量c,a在向量b方向上的投影的數(shù)量相等,并不能說明a=c.如圖所示,雖然a·b=b·c,但a≠c.3.對于實(shí)數(shù)a,b,c,有(a·b)c=a(b·c).但對于向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c)未必成立.這是因?yàn)?a·b)c表示一個(gè)與c共線的向量,而a(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量,而c與a不一定共線,所以(a·b)c=a(b·c)未必成立.4.重要公式

平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式(a±b)2=a2±2a·b+b2過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)(a·b)·c=a·(b·c).(

)(2)若a⊥b,則a·b=0.(

)(3)若a∥b,則a·b>0.(

)(4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).(

)×××√2.[北師大版教材習(xí)題]已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60°,計(jì)算下列各式:(1)(a+b)·(a-b);(2)(2a-b)·(a+3b).解

(1)(a+b)·(a-b)=a·a-b·b=|a|2-|b|2=62-42=20.(2)(2a-b)·(a+3b)=2a·a+5a·b-3b·b=2×62+5×6×4cos

60°-3×42=84.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一向量數(shù)量積的計(jì)算【例1】

已知兩個(gè)單位向量e1與e2的夾角為60°,求:(1)e1·e2;(2)(2e1-e2)·(-3e1+2e2);(3)(e1+e2)2.變式探究對本例變形:已知e1,e2是兩個(gè)單位向量,且(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=,求<e1,e2>.規(guī)律方法

求向量的數(shù)量積時(shí),常用到的結(jié)論(1)a2=|a|2;(2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R,類似于多項(xiàng)式的乘法法則;(3)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.同時(shí)還要注意幾何性質(zhì)的應(yīng)用,將向量適當(dāng)轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化的目的是用上已知條件.變式訓(xùn)練1[2023江西上饒一模]已知平面向量a,b滿足|a|=2|b|=2,它們的夾角為,則(a-2b)·(a+b)=

.

1則(a-2b)·(a+b)=a2-a·b-2b2=4-1-2=1.探究點(diǎn)二向量數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用角度1.求向量的?！纠?】

已知|a|=|b|=5,向量a與b的夾角為,求|a+b|,|a-b|.變式探究在本例中條件不變,求|3a-2b|.規(guī)律方法

求向量的模一般先求模的平方,借助|a|2=a2進(jìn)行轉(zhuǎn)化,最后開方即可.角度2.向量的夾角和垂直問題【例3】

(1)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為(

)BB(3)[人教A版教材習(xí)題]已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61,求a與b的夾角θ.解

因?yàn)?2a-3b)·(2a+b)=4a2-4a·b-3b2=61,變式探究若將本例(1)條件改為“|a|=3|b|=|a+2b|”,試求a與b夾角的余弦值.解

設(shè)a與b夾角為θ,因?yàn)閨a|=3|b|,所以|a|2=9|b|2.又|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+4|b|2+4|a||b|cos

θ=13|b|2+12|b|2cos

θ,即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos

θ,故有cos

θ=.分析利用向量垂直的充要條件求參數(shù).B解析

由4|m|=3|n|,可設(shè)|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m||n|cos

θ+|n|2=t×3k×4k×+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4.規(guī)律方法

1.求向量夾角問題的兩種思路(1)數(shù)量積a·b與模積|a||b|好求解,直接用變形公式cos

θ=求值定角.(2)a·b與|a||b|不好求,可采用尋求兩者關(guān)系,再用變形公式cos

θ=求值定角.2.兩個(gè)向量的夾角與其數(shù)量積的關(guān)系(1)向量a,b夾角為銳角的等價(jià)條件是a·b>0,且a與b不同向.(2)a,b夾角為鈍角的等價(jià)條件是a·b<0,且a與b不反向.(3)a與b垂直的等價(jià)條件是a·b=0.變式訓(xùn)練2[人教A版教材例題]已知|a|=3,|b|=4,且a與b不共線.當(dāng)k為何值時(shí),向量a+kb與a-kb互相垂直?解

a+kb與a-kb互相垂直的充要條件是(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0.因?yàn)閍2=32=9,b2=42=16,所以9-16k2=0,解得k=.也就是說,當(dāng)k=

時(shí),a+kb與a-kb互相垂直.探究點(diǎn)三向量在幾何中的應(yīng)用【例5】在邊長為1的菱形ABCD中,∠A=60°,E是線段CD上一點(diǎn),滿足

(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)F滿足AF⊥BE?若存在,確定F點(diǎn)的位置,并求||;若不存在,請說明理由.規(guī)律方法

利用向量法證明幾何問題的方法技巧(1)利用向量表示幾何關(guān)系,如位置關(guān)系、長度關(guān)系、角度關(guān)系.(2)進(jìn)行向量計(jì)算,如向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算.(3)將向量問題還原成幾何問題,如向量共線與三點(diǎn)共線或者直線平行,向量的夾角與直線的夾角等.變式訓(xùn)練3[人教A版教材例題]如圖,CD是△ABC的中線,,用向量方法證明△ABC是直角三角形.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測A級必備知識基礎(chǔ)練1234567891011121314151617181920211.[探究點(diǎn)一]已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60°,則(a+2b)·(a-3b)=(

)A.-72 B.72

C.84 D.-84A解析

因?yàn)閨a|=6,|b|=4,a與b為夾角為60°,所以a·b=|a||b|cos

60°=6×4×=12,則(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-a·b-6|b|2=36-12-6×16=-72,故選A.123456789101112131415161718192021D123456789101112131415161718192021A.6 B.3 C.-3 D.-6D1234567891011121314151617181920214.[探究點(diǎn)三]已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,則k等于(

)A解析

由題意知,(m+kn)·(m-3n)=m2-3kn2=4-3k=0,解得k=.1234567891011121314151617181920215.[探究點(diǎn)二(角度1)]已知a,b均為單位向量,它們的夾角為60°,則|a+3b|等于(

)C1234567891011121314151617181920216.[探究點(diǎn)二(角度2)]若非零向量a,b滿足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,則<a,b>=(

)A.30°

B.60°

C.120° D.150°C解析

由(2a+b)·b=0,得2a·b+b2=0,所以2|a||b|·cos<a,b>+|b|2=0.所以1234567891011121314151617181920217.(多選題)[探究點(diǎn)二·2023河南汝州月考]若向量a,b,c滿足|a|=2,

ACD1234567891011121314151617181920218.[探究點(diǎn)二(角度2)·2023安徽蒙城二模]已知非零向量a,b,c滿足|a|=1,(a-b)·(a+b)=-1,a·b=1,c=-2b,則向量a與c的夾角為(

)A.45°

B.60° C.135°

D.150°C又<a,c>∈[0,π],∴向量a與c的夾角為135°.故選C.1234567891011121314151617181920219.[探究點(diǎn)二(角度2)]已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7,是否存在實(shí)數(shù)μ,使μa+b與a-2b垂直?解

若(μa+b)⊥(a-2b),則(μa+b)·(a-2b)=0,μa2-2b2-2μa·b+a·b=0.∵a+b+c=0,c=-a-b,12345678910111213141516171819202110.[探究點(diǎn)二]已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61.求:(1)a與b的夾角θ;(2)|a+b|的值.解

(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.∴a·b=-6,123456789101112131415161718192021(2)如果∠A=60°,AB=2AC,CD,EF有什么關(guān)系?用向量方法證明你的結(jié)論.123456789101112131415161718192021(2)CD⊥EF.證明如下:設(shè)AC=m,則AB=2m,EF=m.123456789101112131415161718192021B級關(guān)鍵能力提升練12.(多選題)設(shè)a,b,c是平面內(nèi)任意的非零向量,且相互不共線,其中正確的有(

)A.(a·b)c-(c·a)b=0B.|a|-|b|<|a-b|C.(b·c)a-(c·a)b不與c垂直D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2BD解析

由b,c是平面內(nèi)任意向量知選項(xiàng)A錯(cuò)誤;由三角形的三邊關(guān)系得選項(xiàng)B正確;由[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0得選項(xiàng)C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D顯然正確.12345678910111213141516171819202113.[2023安徽期中]已知向量a是非零向量,b是單位向量,a,b的夾角為120°,且a⊥(a+b),則|a-b|=(

)A123456789101112131415161718192021A123456789101112131415161718192021A解析

由|3a-b|≤可得|3a-b|2≤12,即(3a-b)2=9|a|2+|b|2-6a·b≤12,而-6a·b≤6|a||b|≤9|a|2+|b|2,當(dāng)且僅當(dāng)3|a|=|b|,且a,b反向時(shí)等號成立,所以-12a·b≤12,即a·b≥-1,等號成立的條件為b=-3a.故選A.12345678910111213141516171819202116.已知向量a,b的夾角為120°,|a|=|b|=1,c與a+b同向,則|a-c|的最小值為(

)D12345678910111213141516171819202117.已知△ABC中