基本不等式及其應用【21類題型全歸納】（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數學第六感；微信公眾號：數學三劍客；微信公眾號：ABC數學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數學第六感；微信公眾號：數學三劍客；微信公眾號：ABC數學基本不等式及其應用近4年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計考點分析考點要求2020年天津卷：第14題，5分本號資料*全部來源于微信公眾號：數#學第六感基本不等式及其應用是是高考的熱點，主要考查利用基本不等式求最值、求參數的取值范圍等，常與函數結合命題，題型以選擇題、填空題為主，也可作為工具出現在解答題中，應適當關注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題；同時要注意基本不等式在立體幾何、平面解析幾何等內容中的運用.(1)了解基本不等式的推導過程

(2)會用基本不等式解決最值問題

(3)理解基本不等式在實際問題中的應用2021年乙卷：第8題，5分2022年I卷：第12題，5分2023年I卷：第22題，12分題型總覽題型總覽總覽熱點題型解讀（目錄）模塊一模塊一 ：核心題型·舉一反三【題型1】基本不等式的直接使用 2【題型2】常規(guī)湊配法求最值 3【題型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法 5【題型4】“1”的妙用（2）：“1”的代換 7【題型5】二次比一次型 9【題型6】分離常數型 10【題型7】與指數對數結合的基本不等式問題 12【題型8】利用對勾函數 14【題型9】判斷不等式是否能成立 16【題型10】換元法（整體思想） 19【題型11】基本不等式的實際應用問題 22【題型12】與a+b、平方和、ab有關問題的最值（和，積，平方和互相轉化） 26【題型13】基本不等式恒成立與能成立問題 29模塊二模塊二 ：學有余力·拓展提升【題型14】消元法 31【題型15】因式分解型 33【題型16】同除型（構造齊次式） 35【題型17】萬能“k”法 37【題型18】三角換元法（利用三角函數） 38【題型19】基本不等式與其他知識交匯的最值問題 40【題型20】含有根式的配湊（根式平方和為定值型） 43【題型21】多次運用基本不等式 43模塊一模塊一核心題型·舉一反三【題型1】基本不等式的直接使用如果，那么，當且僅當時，等號成立．其中，叫作的算術平均數，叫作的幾何平均數．即正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．常用不等式：若，則，當且僅當時取等號；基本不等式：若，則（或），當且僅當時取等號．若，，且，則的最小值是________【答案】【詳解】，則，所以，當且僅當時，等號成立，所以有最小值若，，則的最小值為______．【答案】2【簡析】【鞏固練習1】若，，則的最小值為______．【答案】【簡析】【鞏固練習2】已知，，且，則的最小值是________【答案】【詳解】由于，所以，當且僅當時等號成立【題型2】常規(guī)湊配法求最值配湊法：加上一個數或減去一個數使和(積)為定值，然后利用基本不等式求解．1、通過添項、拆項、變系數等方法湊成和為定值或積為定值的形式．2、注意驗證取得條件．常見的配湊法求最值模型(1)模型一：，當且僅當時等號成立；(2)模型二：，當且僅當時等號成立若，則的最小值為.【答案】0【解析】由，得，所以，當且僅當即時等號成立.已知a>2，則2a+8a?2的最小值是（A．6 B．8 C．10 D．12【解題思路】利用基本不等式性質求解即可.【解答過程】因為a>2，所以a?2>0所以2a+8當且僅當2a?2=8所以2a+8a?2的最小值為【鞏固練習1】函數（）的最小值為．【答案】【解析】因為，所以，所以，當且僅當時，即時，等號成立，故的最小值為.【鞏固練習2】已知正數a，b滿足，則的最小值為．【答案】2【分析】利用基本不等式中常數代換技巧求最值即可．【詳解】因為正數a，b滿足，所以，所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值為2．【鞏固練習3】已知，則的最小值為.【答案】【解析】因為，所以，當且僅當，即時，等號成立.所以的最小值為.【題型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法方法總結：乘“1”法就是指湊出1，利用乘“1”后值不變這個性質，使不等式通過變形出來后達到運用基本不等式的條件，即積為定值．主要解決形如“已知x+y=t(t為常數),求的最值”的問題，先將轉化為，再用基本不等式求最值#本號資料全部來源于微信公眾號：數學*第六感注意：驗證取得條件．（2023·廣東廣雅中學校考）若正實數a，b滿足，則的最小值是________【答案】9【詳解】，當且僅當時等號成立（2024·江蘇南通·二模）設，，，則的最小值為（）A． B． C． D．3【答案】C【分析】由不等式“1”的代換求解即可.【詳解】因為，所以，因為，，所以.當且僅當，即時取等.【鞏固練習1】已知且，則的最小值是．【答案】8【分析】運用“1”的代換及基本不等式即可求得結果．【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號．所以的最小值為8【鞏固練習2】若，且，則的最小值為．本號*資料全部來源于微信公#眾號：數學第六感【答案】5【解析】因為，且，則，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為5．故答案為：5．【鞏固練習3】已知，，且，則的最小值為．【答案】16【解析】當且僅當時等號成立.即當時，取得最小值為16.【題型4】“1”的妙用（2）：“1”的代換方法總結：通過常數“1”的代換，把求解目標化為可以使用基本不等式求最值的式子，達到解題的目的．已知，，，則的最小值為．【答案】【分析】利用基本不等式求得的最小值．【詳解】依題意．當且僅當時等號成立．已知實數x，滿足，則的最小值為（

）本號資料全#部來源于微信公眾號：數學第*六感A．6 B． C． D．8【答案】C【分析】根據“1”的變形技巧化簡，再運用均值不等式求解即可．【詳解】由條件可得．當且僅當，即時等號成立【鞏固練習1】若，，且，則有最小是________【答案】5【詳解】，當且僅當，即時，等號成立，所以有最小值5【鞏固練習2】正實數，滿足，則的最小值是（

）A． B． C．5 D．【答案】B【分析】中的“1”用“”代替，分離常數后利用基本不等式即可求解．本號資料全部來源于微信公眾*號：數學第六感【詳解】因為正實數，滿足，所以，當且僅當，即時等號成立．故的最小值是．【鞏固練習3】（2024·安徽·三模）已知，且，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，再利用基本不等式計算即可得.【詳解】，當且僅當，即時，等號成立.【題型5】二次比一次型基本模型：，當且僅當時等號成立本號資料全部來源#于微信公眾號：數學第六感已知x>0，則x2?x+4xA．5 B．3 C．?5 D．?5或3【解題思路】由已知可得x2【解答過程】由x>0，得x2?x+4當且僅當x=4x，即x=2時等號成立，所以函數的最小值為．【答案】【分析】將函數化為，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.【詳解】由，又，所以，當且僅當，即時等號成立，所以原函數的最小值為.【鞏固練習1】已知，則函數的最小值是．【答案】【分析】將函數化簡，分離常數，然后結合基本不等式即可得到結果.【詳解】因為，當且僅當，即時，等號成立.所以函數的最小值是【鞏固練習2】已知正數x，y滿足，則的最大值為．【答案】【解析】∵正數x，y滿足，∴．當且僅當，即時取等號，則，其最大值為．【鞏固練習3】已知x，y為正實數，且x+y=1，則x+6y+3xy的最小值為（

A．24 B．25 C．6+42 D．【解題思路】把x+6y+3xy變?yōu)?【解答過程】因為x，y為正實數，且x+y=1，所以x+6y+3=9當且僅當9yx=4xyx+y=1【題型6】分離常數型方法總結：對于分子分母中含有相同單一字母時，可以考慮分離常數例1：（x>0）例2：若，則函數的最小值為（）A．4B．5C．7D．9【答案】C【解析】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以函數的最小值為；故選：C【鞏固練習1】已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】將已知條件等式化為，整體代入結合基本不等式即可得解．本號資料全部來源于微信公眾號：數#學第六感【詳解】因為，，，所以，，所以，當且僅當，即，時等號成立，即的最小值為6，故選：B．【鞏固練習2】函數在上的值域是．【答案】【分析】將函數變形為，當時，；當時，，利用對勾函數的性質和不等式的性質可解．【詳解】函數，當時，；當時，，根據對勾函數的性質可知：當時，，則，所以，當時，，則，所以，綜上所述，函數在上的值域是．【題型7】與指數對數結合的基本不等式問題方法總結：結合指數對數的計算公式變形得出積為定值或和為定值的形式，再利用基本不等式求解（多選）已知則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由題意可知，，根據對數函數的單調性可知D錯誤；，可知A正確；利用基本不等式可知，化簡整理可知B正確；在根據，利用不等式的性質，即可判斷C正確．【詳解】由題可知，，又，所以，D錯誤；因為，有．所以A正確；由基本不等式得，所以，當且僅當時，取等號；又因為，，所以，故，B正確；由于，，所以，C正確（2020·山東·高考真題）（多選）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據，結合基本不等式及二次函數知識進行求解.【詳解】對于A，，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故D正確【鞏固練習1】（2023廣東廣雅中學校考）若正實數a，b滿足，則的最小值是________【答案】【詳解】，當且僅當即時等號成立【鞏固練習2】已知實數滿足，則的最小值是________．【答案】7【解析】，當且僅當，即，時取等號．所以的最小值為【鞏固練習3】（多選）已知，則實數，滿足（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】對于A，根據對數函數的性質分析判斷，對于C，由已知可得，從而可得，對于D，利用基本不等式判斷，對于B，由，得分析判斷．【詳解】對于A，因為，所以，因為，所以，所以，所以A正確；對于C，由，得，所以，所以C錯誤；對于D，因為，所以，得，所以D正確；對于B，因為，所以，所以B錯誤．【題型8】利用對勾函數當無法取等時需要結合對勾函數圖像，利用單調性來得出最值當時，的最小值為.【答案】3【分析】根據對勾函數的單調性求最值.【詳解】設，則，又由得，而函數在上是增函數，因此時，取得最小值已知函數．若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據函數圖象得，則，令，利用對勾函數的圖象與性質即可求出其范圍．【詳解】由得．根據函數的圖象及，則，即，可得，，令，根據對勾函數可得在上單調遞增，則．所以的取值范圍是【鞏固練習1】函數y＝x＋（x≥2）取得最小值時的x值為．【答案】2【分析】令x＋1＝t(t≥3)，則有＝t＋－1在[3,＋∞)上單調遞增，當t＝3時，即可求解.【詳解】依題意，y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)，設x＋1＝t(t≥3)．因為f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上單調遞增，所以當t＝3，即x＝2時，y＝x＋(x≥2)取得最小值．【鞏固練習2】已知函數，若實數滿足，且，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】易知，注意這里取不到等號，所以，【鞏固練習3】若對任意，恒成立，求實數的取值范圍法一：對勾函數參變分離后結合對勾函數性質當時，，成立；當時，由題可得對任意恒成立，令，則有，，，令，，根據對勾函數的性質可得，所以，所以當時，，故實數的取值范圍為；法二：分類討論令，①當時，，對任意，恒成立；②當時，函數圖象開口向上，若對任意，恒成立，只需，解得，故當時，對任意，恒成立；③當時，對任意，，，恒成立；綜上可知，實數的取值范圍為．【題型9】判斷不等式是否能成立（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件．（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致．（多選）下列函數中，最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據基本不等式求解最值判斷ABC，根據復合函數最值求法求解判斷D．【詳解】對于A，，當時，，不符合要求，錯誤；對于B，，當且僅當時取等號，由得顯然不成立，所以等號取不到，即的最小值不是2，錯誤；對于C，因為，所以，，當且僅當時取等號，最小值是2，正確；對于D，，易知，，則，當即或時，有最小值4，即有最小值2，故D正確．本號資料全部來源于微*信公眾號：數學第六感【鞏固練習1】下列不等式證明過程正確的是（

）A．若，則B．若x＞0，y＞0，則C．若x＜0，則D．若x＜0，則【答案】D【解析】∵可能為負數，如時，，∴A錯誤；∵可能為負數，如時，，∴B錯誤；∵，如時，，∴C錯誤；∵，，，∴，當且僅當，即等號成立，∴D正確．【鞏固練習2】（多選）下列命題中，真命題的是（

）A．，都有B．，使得C．任意非零實數，都有D．若，則的最小值為4【答案】AB【分析】利用不等式的性質和均值不等式，以及對勾函數的單調性求最值，并根據全稱命題與特稱命題的真假判斷，即可選出真命題．【詳解】解：對于A，恒成立，則，都有，A選項正確；對于B，當時，，（當且僅當時取等號），，，使得，B選項正確；對于，當時，，C選項錯誤；對于D，當時，，令，在上單調遞增，，則的最小值不是4，D選項錯誤【鞏固練習3】（多選）下面結論正確的是（

）本號*資料全部來源于微信公眾號：數學第六感A．若，則的最大值是B．函數的最小值是2C．函數（）的值域是D．，且，則的最小值是3【答案】ACD【分析】利用基本不等式求最值判斷ABD，結合二次函數的性質判斷C．【詳解】時，．，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，從而的最大值是，A正確；，當且僅當時等號成立，但無實數解，因此等號不能取得，2不是最小值，B錯；時，，，因為，所以時，，時，，時，．所以值域是，C正確；，且，，，則，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是4－1＝3，D正確．【題型10】換元法（整體思想）對于兩個分式的最值問題可以考慮整體法或換元法配湊整體配湊法原理是把目標當作一個整體，然后利用基本不等式求最值.單分母換元：當2個分母的和為定值，可以把其中一個分母進行換元雙分母換元：當2個分母均為字母加減常數時，可以把2個分母都換元（單分母換元）已知，則的最小值是________A．6B．8C．4D．9【解題思路】可以設，則有，求的最小值，用乘“1”法即可【答案】9【解答過程】解：設，則有，當且僅當1?2a2a=8a（雙分母換元）已知正數滿足，則的最大值是（）A．B．C．D．【解題思路】設，則有，求最小值，結合乘1法即可【解答過程】解：aa+1+4∵a+b＝2，∴a+1+b+1＝4，1a+1+4b+1=14（1a+1+4b+b+1a+1+4(a+1)b+1故14（1+4+b+1a+故aa+1+已知x，y為正實數，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】x，y為正實數，利用基本不等式求的最小值．【詳解】x，y為正實數，則，當且僅當，即時等號成立．最小值為6【鞏固練習1】已知，其中，，，則的最小值為．【答案】16【解析】因為，，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為16【鞏固練習2】已知實數，且，則的最小值是．【答案】24【解析】因為，且，所以，所以，當且僅當，即，時等號成立【鞏固練習3】若，，，，則的最小值為．本號資#料全部來源于微信公眾號：數#學第六感【答案】【分析】令，則，由此可將變形為，結合基本不等式，即可求得答案。【詳解】由題意，，，，得：，設，則，故，當且僅當，即時取得等號，故的最小值為【鞏固練習4】若正實數滿足，則最小值為________【答案】【詳解】由，當且僅當時，等號成立，所以有最小值【鞏固練習5】已知a，b，c均為正實數，，則的最小值是．【答案】【分析】根據題意，將看作一個整體，變形后結合基本不等式的計算，即可得到結果．【詳解】因為，即，設，則，且，原式，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為．【題型11】基本不等式的實際應用問題不等式的應用題常以函數為背景，多是解決現實生活、生產中的優(yōu)化問題，在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，構建數學模型是關鍵，重點培養(yǎng)數學建模、數學運算素養(yǎng)．調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數：若，則（當且僅當時取“=”）數學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖知：，在中，，所以，即小李從甲地到乙地的平均速度為，從乙地到甲地的平均速度為，他往返甲乙兩地的平均速度為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設從甲地到乙地的的路程為s，從甲地到乙地的時間為t1，從乙地到甲地的時間為t2，則，，，∴，【鞏固練習1】原油作為“工業(yè)血液”?“黑色黃金”，其價格的波動牽動著整個化工產業(yè)甚至世界經濟．小李在某段時間內共加油兩次，這段時間燃油價格有升有降，現小李有兩種加油方案：第一種方案是每次加油40升，第二種方案是每次加油200元，則下列說法正確的是（

）A．第一種方案更劃算B．第二種方案更劃算C．兩種方案一樣D．無法確定【答案】B【解析】分別求出兩種方案的平均油價，結合基本不等式作出比較即可得出結論．【詳解】設小李這兩次加油的油價分別為元升?元升，則：方案一：兩次加油平均價格為，方案二：兩次加油平均價格為，故無論油價如何起伏，方案二比方案一更劃算．【鞏固練習2】《幾何原本》中的幾何代數法(用幾何方法研究代數問題)成了后世西方數學家處理問題的重要依據，通過這一方法，很多代數公理、定理都能夠通過圖形實現證明，因此這種方法也被稱之為“無字證明”．如圖所示，AB是半圓O的直徑，點C是AB上一點(不同于A，B，O)，點D在半圓O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于點E，設AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的“無字證明”為()A．ab≤a＋b2(a＞0，bB．a＋b2＜2aba＋b(a＞0，b＞0，C．2aba＋b≤ab(a＞0，bD．2aba＋b＜ab＜a＋b2(a＞0，b＞【答案】D由AC＝a，BC＝b，可得半圓O的半徑DO＝a＋b2易得DC＝AC·BC＝ab，DE＝∵DE＜DC＜DO，∴2aba＋b＜ab＜a＋b2(a＞0，b＞0【鞏固練習3】（多選）給出下面四個結論，其中不正確的是（）A．兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數量一定．則若n次(n≥2)購買同一物品，用第一種策略比較經濟B．若二次函數f(x)＝24ax2＋4x－1(a≠0)在區(qū)間(－1，1)內恰有一個零點，則由零點存在定理知，實數a的取值范圍是C．已知函數f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，則3b＋2a的取值范圍是D．設矩形ABCD(AB＞AD)的周長為24，把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過去后交DC于點P，設AB＝x，則△ADP的面積是關于x的函數且最大值為【答案】BCD【解析】A選項：設n＝2，兩次購買的價格分別為，，數量關系為：單價＝總價÷數量設第一種策略每次花x元購買物品，則單價為（調和平均數），設第二種策略每次買y件物品，則單價為，易證，所以第一種策略比較經濟，A正確；B選項：①當時，由零點存在定理②當，代入計算可得時，f(x)＝0的根為1和，滿足條件；時，f(x)＝0的根為－1和，也滿足條件，當時，即時，可得f(x)的對稱軸為，也滿足條件綜上，，B錯誤；C選項：顯然0＜a＜1＜b，且ab=1，，然而，所以取不到，則C錯誤；補充：，取值范圍是D選項：設，則，，則D錯誤【題型12】與a+b、平方和、ab有關問題的最值（和，積，平方和互相轉化）利用基本不等式變形求解常用不等式鏈：（主要用于和積轉換）（2024·遼寧葫蘆島·二模）若，則的最小值是（

）A． B．1C．2 D．【答案】C【解析】，當且僅當時取等號，因此，即，解得，所以當時，取得最小值2.（2024·重慶渝中·模擬預測）（多選）已知實數滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由已知條件，結合基本不等式計算即可判斷AB；根據，結合基本不等式計算即可判斷C；根據，基本不等式計算即可判斷D.【詳解】A：由，得，即，得，解得，當且僅當時等號成立，故A錯誤；B：由選項A的分析知，故B正確；C：由，得，即，所以，得，當且僅當時等號成立，故C正確；D：由，得，即，所以，得，當且僅當時等號成立，故D錯誤.【鞏固練習1】已知實數，滿足，則的最大值為________【答案】對于選項AB，，則，當且僅當時等號成立，故的最大值為【鞏固練習2】（多選題）（2024·高三·海南·期末）已知，且，則（

）A． B．或C． D．或【答案】BD【解析】對于A，，因為，，令，得，解得或，即或，當且僅當或時，等號成立，故A錯誤；對于B，，解得或，當且僅當或時，等號成立，故B正確；對于C，，所以，當且僅當或時，等號成立，故C錯誤；對于D，，由選項B知，或，所以或，則或，故D正確.【鞏固練習3】（多選題）已知正數滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對于A：因為，所以，當且僅當時取等號，所以不恒成立，故錯誤；對于B：因為且，所以，所以，當且僅當時取等號，故正確；對于C：因為，所以，所以，所以，當且僅當時取等號，故正確；對于D：由C可知錯誤【題型13】基本不等式恒成立與能成立問題，使得，等價于，，使得，等價于，使得，等價于，，使得，等價于已知，且，若恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.【詳解】因為，，且，所以，當且僅當，即，時取等號，所以，因為恒成立，所以，即，解得，所以實數的取值范圍是.若正實數滿足，且不等式有解，則實數的取值范圍．【答案】或【分析】要使有解，則大于最小值即可；求出最小值，建立不等式，求出的取值范圍．【詳解】因為，所以，所以，當時，等號成立，因為，所以此時，所以的最小值為，由題可得，解得或．【鞏固練習1】已知，且，若恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，且，所以，當且僅當時取等號，又因為恒成立，所以，解得.所以實數的取值范圍是.【鞏固練習2】已知，，且，若不等式恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故，，，，故，當且僅當，即時取等號，故，最小值是16，由不等式恒成立可得.a的取值范圍是【鞏固練習3】若兩個正實數滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據題意可得滿足，再利用基本不等式中“1”的妙用求得的最小值，最后解不等式即可．【詳解】由得，，當且僅當時，等號成立，則使不等式有解，只需滿足即可，解得．【鞏固練習4】若存在，使不等式成立，則a的取值范圍為.【答案】【詳解】由，因為，所以，令，由，則有，且模塊二模塊二學有余力·拓展提升【題型14】消元法消元法：當所求最值的代數式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數”或“積為常數”的形式，最后利用基本不等式求最值.已知x>0,y>0，xy+2x?y=10，則x+y的最小值為42?1【解題思路】依題意可得x=y+10【解答過程】因為x>0，y>0且xy+2x?y=10，所以x=y+10所以x+y=y+10當且僅當8y+2=y+2，即y=22故x+y的最小值為42【鞏固練習1】若a>0,b>0,ab=2，則a+4b+2b3b2+1【解題思路】根據基本不等式即可求解.【解答過程】由a>0,b>0,ab=2?a=2故a+4b+2=2b+1b故最小值為4【鞏固練習2】（2024·浙江嘉興·二模）若正數x,y滿足x2?2xy+2=0，則x+y的最小值是（A．6 B．62 C．22【解題思路】根據題意可得y=x【解答過程】由x2?2xy+2=0可得∴x+y=x+x2當且僅當3x2=1x，即所以x+y的最小值為6.【鞏固練習3】（2024·重慶·模擬預測）（多選）已知，且，則（

）A．的取值范圍是B．的取值范圍是C．的最小值是3D．的最小值是E．【答案】BDE【分析】對于A項，運用基本不等式將其轉化成關于的不等式求解即得；對于B項，直接運用基本不等式將其轉化成關于的不等式，再結合不等式性質求解即得；對于CDE項，通過題設求出，代入所求式消元，湊項運用基本不等式即得.【詳解】對于A項，，由可得，因，故得，則，當且僅當時等號成立，錯誤；對于B項，由可得，因，故得：，當且僅當時等號成立，又，所以的取值范圍是，正確；對于C和E項，由得，所以，當且僅當即時，等號成立，所以，故C項錯誤，E正確；對于D項，由得，所以，當且僅當即時，等號成立，正確.【題型15】因式分解型含有這類結構的式子，可以考慮因式分解配湊成的結構，再結合整體思想來求最值（重慶巴蜀中學?？迹┮阎?，，且，則的最小值是________【答案】7【分析】將式子變形為，即可利用不等式求解，或者將式子變形為，結合不等式即可求解．【詳解】方法一：因為，故，解得，故，當且僅當，即，時等號成立．方法二：因為，則，且，故，故，當且僅當，即，時等號成立．故選：C．【鞏固練習1】設，為正實數，若，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】由，令，，即可得到，則，利用基本不等式計算可得．【詳解】解：因為，為正實數，且，令，，則，則，當且僅當，即，時取等號【鞏固練習2】若，且，則的最小值為________【答案】【解析】，且，，且，，，當且僅當，即，時取等號，故的最小值為，故選：D．【鞏固練習3】（2024·江蘇南京·三模）若實數滿足，則的最大值為.【答案】【分析】已知條件可化為，故可設，從而目標代數式可化為，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】由，得，設，其中.則，從而，記，則，不妨設，則,當且僅當，即時取等號，即最大值為.本號資料全#部來源于微信公眾號：數學第六感模塊二模塊二學有余力·拓展提升【題型16】同除型（構造齊次式）齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉化為運用基本不等式進行求解．設正實數、、滿足，則的最大值為________A．B．C．D．【答案】1【解析】因為正實數、、滿足，則，本號資料全部來源于微信公眾號：數學第六#感則，當且僅當時取等號．故的最大值為．【鞏固練習1】已知正實數x，y滿足5x2＋4xy－y2＝1，12x2＋8xy－y2的最小值為________．【答案】【解析】則原式等價于【鞏固練習2】已知，，，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】，，，即有且，將代入得，令，，，，，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值，即的最小值是.【題型17】萬能“k”法求啥設啥，利用一元二次方程有實數根時.（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知實數，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，方程可化為，整理得，則滿足，解得，所以，即，所以的最大值為.【鞏固練習1】若正數，，滿足，則的最大值是.【答案】【解析】把式子看作是關于的方程，則問題等價于關于的方程有解，則，即，則問題轉化為關于的不等式有解，則，化簡得，所以，此時，，符合條件.【鞏固練習2】（重慶巴蜀中學?？迹┮阎獙崝?，滿足，則的最小值為________【答案】【詳解】令，代入，得，當且僅當時，成立，即的最小值為【鞏固練習3】已知正實數x、y滿足則xy的取值范圍是________【答案】【解析】設，，整理得是正實數，∴△≥0，即，整理得，解得或m≤0(舍去)【題型18】三角換元法（利用三角函數）出現平方和結構（）形式，引入三角函數表示和若x，y滿足，則的最大值為________【答案】3【解析】設，因此，其中，所以當時，取到最大值3（多選題）若x，y滿足，則（

）.A． B．C． D．【答案】AD【解析】因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，故A正確，B錯誤；由可變形為，解得，當且僅當時取等號，故D正確；因為變形可得，設，所以，因此，所以當時，即時，此時，取到最大值2，故C錯誤.【鞏固練習1】若x，y滿足，則的最大值為________【答案】【解析】設，因此，其中，所以當時，取到最大值3【鞏固練習2】已知實數滿足，則的最大值為.【答案】【解析】由條件知令，則，令，則，當時，，當時，時，，故當時，單調遞減，當時，單調遞增，當時，取得最大值【鞏固練習3】【題型19】基本不等式與其他知識交匯的最值問題利用基本不等式求最值往往交匯考查，多涉及數列、三角、向量、解析幾何、立體幾何等問題中有關最值的求法．（2024·寧夏銀川·二模）已知，P是橢圓上的任意一點，則的最大值為.【答案】【解析】由已知可得為橢圓的焦點，根據橢圓定義知，所以，當且僅當時等號成立，故的最大值為.（2024·江西·模擬預測）已知圓關于直線對稱，則的最小值為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】利用特殊值“1”將化成積為定值的形式，再用基本不等式即可求解.【詳解】解：由題意可知，圓心在直線上，則，又因為，，所以，當且僅當且即，時取等號，此時取得最小值．【鞏固練習1】（2024