第7講、函數(shù)的性質(zhì)（教師版）

微信更多資料請+wx：gk230616進資料群下載[在此處鍵入]第7講函數(shù)的性質(zhì)知識梳理1、函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設函數(shù)的定義域為，區(qū)間：如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．=1\*GB3①屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間=1\*GB3①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．=2\*GB3②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)．（3）復合函數(shù)的單調(diào)性復合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復合函數(shù)是減函數(shù).2、函數(shù)的奇偶性函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關于軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關于原點對稱判斷與的關系時，也可以使用如下結論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個，也在定義域內(nèi)(即定義域關于原點對稱)．3、函數(shù)的對稱性(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關于對稱．(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關于點對稱．(3)若，則函數(shù)關于對稱．(4)若，則函數(shù)關于點對稱．4、函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個函數(shù)的周期.（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做的最小正周期.【解題方法總結】1、單調(diào)性技巧（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設，是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；③定號：判斷差的正負或商與的大小關系；④得出結論．（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（3）記住幾條常用的結論：①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增(或減)函數(shù)，則在和的公共定義域上為增(或減)函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．2、奇偶性技巧(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關于原點中心對稱.(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足.(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.(5)若函數(shù)的定義域關于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記，，則.(6)運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如.對于運算函數(shù)有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)復合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.(8)常見奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．注意：關于=1\*GB3①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3、周期性技巧4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關系（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.5、對稱性技巧（1）若函數(shù)關于直線對稱，則．（2）若函數(shù)關于點對稱，則．（3）函數(shù)與關于軸對稱，函數(shù)與關于原點對稱．必考題型全歸納題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應用例1．已知函數(shù)的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，則函數(shù)一定是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．減函數(shù)【答案】C【解析】對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，等價于對于任意兩個不相等的實數(shù)，總有.所以函數(shù)一定是增函數(shù).故選：C例2．若定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個不相等的實數(shù)a，b，總有>0成立，則必有（

）A．f(x)在R上是增函數(shù) B．f(x)在R上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)先增后減 D．函數(shù)f(x)先減后增【答案】A【解析】由>0知f(a)-f(b)與a-b同號，即當a<b時，f(a)<f(b)，或當a>b時，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函數(shù).故選：A.例3．下列函數(shù)中，滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是A． B．C． D．【答案】D【解析】由于，所以指數(shù)函數(shù)滿足，且當時單調(diào)遞增，時單調(diào)遞減，所以滿足題意，故選D．考點：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．變式1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．和C．和 D．和【答案】B【解析】如圖所示：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和．故選：B.變式2．（江蘇省泰州市海陵區(qū)2024學年高三上學期期中數(shù)學試題）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）在上遞減，理由如下：任取，且，則，因為，且，所以，，所以，即，所以在上遞減；（2）由（1）可知在上遞減，所以由，得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.變式3．（2024·全國·高三專題練習）設，，證明：函數(shù)是x的增函數(shù)．【解析】證明：當，在伯努利不等式定理3中取，，則有，即，則有，從，即.所以當時，是x的增函數(shù)．變式4．（2024·上海靜安·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)，且.(1)求的值，并指出函數(shù)的奇偶性；(2)在（1）的條件下，運用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在上是增函數(shù).【解析】（1）因為，又，所以，所以，，此時，所以為奇函數(shù)；（2）任取，則，因為,所以,所以,所以即，所以函數(shù)在上是增函數(shù).【解題總結】函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．題型二：復合函數(shù)單調(diào)性的判斷例4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，得，解得或，所以函數(shù)的定義域為，令，則開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D.例5．（陜西省寶雞市金臺區(qū)2024學年高三下學期期末數(shù)學試題）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，令，則，在上遞增，在上遞減，因為在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A例6．（陜西省榆林市2024學年高三下學期階段性測試）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，，解得，又函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，且函數(shù)在內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知：的單調(diào)增區(qū)間為選項C正確，選項ABD錯誤.故選：C.【解題總結】討論復合函數(shù)的單調(diào)性時要注意：既要把握復合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復合法則，復合法則如下：1、若，在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；2、若，在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減．題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值例7．（河南省2024屆高三下學期仿真模擬考試數(shù)學試題）已知函數(shù)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且，則在上的值域為______．【答案】【解析】因為為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，所以存在唯一的，使得，則，，即，因為函數(shù)為增函數(shù)，且，所以，．易知在上為增函數(shù)，且，，則在上的值域為．故答案為：.例8．（上海市靜安區(qū)2024屆高三二模數(shù)學試題）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的值域為___________.【答案】【解析】函數(shù)（）是偶函數(shù)，，，易得，設，則，當且僅當即時，等號成立，所以，所以函數(shù)的值域為．故答案為：．例9．（河南省部分學校大聯(lián)考2024學年高三下學期3月質(zhì)量檢測）已知函數(shù)且，若曲線在點處的切線與直線垂直，則在上的最大值為__________.【答案】【解析】由題意得，所以，因為切線與直線垂直，而的斜率為，所以切線斜率為2，即，解得，所以，且，顯然是增函數(shù)，當時，，所以在上單調(diào)遞增，故.故答案為：變式5．（新疆烏魯木齊市第八中學2024屆高三上學期第一次月考）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實數(shù)_______.【答案】3【解析】∵函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性知，當時，在上單調(diào)遞減，最大值為；當時，在上單調(diào)遞增，最大值為，即，顯然不合題意，故實數(shù).故答案為：3【解題總結】利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結論：1、如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．2、如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．3、若函數(shù)在上是嚴格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．4、若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．5、若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍例10．已知函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，且，都有，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對任意的實數(shù)，都有,即成立，可得函數(shù)圖像上任意兩點連線的斜率小于0，說明函數(shù)是減函數(shù)；可得：，解得，故選：C例11．（吉林省松原市2024學年高三上學期第一次月考）若函數(shù)（且）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有意義，則，設則，(1)當時，是增函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，需使在區(qū)間內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞增，則需使，對任意恒成立,即對任意恒成立；因為時，所以與矛盾，此時不成立.(2)當時，是減函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，需使在區(qū)間內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞減，則需使對任意恒成立，即對任意恒成立，因為，所以，又，所以.綜上，的取值范圍是故選：B例12．（四川省廣安市2024學年高三上學期期末數(shù)學試題）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，，在中，函數(shù)單調(diào)遞增，∴，解得：，故選：C.變式6．（江西省臨川第一中學2024屆高三上學期期末考試數(shù)學（理）試題）已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在上是減函數(shù)，當時，恒成立，而函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，因此，不符合題意，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，并且，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D變式7．（天津市復興中學2024學年高三上學期期末數(shù)學試題）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則實數(shù)k的取值范圍為（

）．A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】函數(shù)的對稱軸為，因為函數(shù)在上具有單調(diào)性，所以或，即或.故選：C【解題總結】若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關于參數(shù)的不等式，利用下面的結論求解．1、若在上恒成立在上的最大值．2、若在上恒成立在上的最小值．題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性例13．（2024·天津河西·天津市新華中學?？寄M預測）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對任意，，且都有成立．若，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)的對稱軸為，又因為對任意，，且都有成立．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，，所以，所以，因為函數(shù)的對稱軸為，所以，而，因為，所以，所以，所以．故選：A．例14．（多選題）（甘肅省慶陽市寧縣第一中學2024學年高三上學期期中數(shù)學試題）已知函數(shù)在區(qū)間上是偶函數(shù)，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且，則（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，又，且，故此函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．由已知條件及偶函數(shù)性質(zhì)，知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．對于A，，故，故A錯誤；對于B，，故，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確．故選:BD.例15．（2024屆北京市朝陽區(qū)高三第一次模擬考試數(shù)學試題）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對四個函數(shù)逐一判斷可得答案.函數(shù)是奇函數(shù)，不符合；函數(shù)是偶函數(shù)，但是在上單調(diào)遞減，不符合；函數(shù)不是偶函數(shù)，不符合；函數(shù)既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合.故選：D【解題總結】1、比較函數(shù)值大小，應將自變量轉化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.2、求復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡單函數(shù)單調(diào)區(qū)間；③求復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間(同增異減).3、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點間關系求參數(shù).同時注意函數(shù)定義域的限制，遇到分段函數(shù)注意分點左右端點函數(shù)值的大小關系.題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明例16．利用圖象判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)(2)(3)；(4)；(5).【解析】（1）函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)，當，為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向下，對稱軸為，當，為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，函數(shù)圖象關于原點對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)；（2）函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)，當，為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，當，為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，函數(shù)圖象關于y軸對稱，故為偶函數(shù)；（3）先作出的圖象，保留圖象中x≥0的部分，再作出的圖象中x>0部分關于y軸的對稱部分，即得的圖象，如圖實線部分．由圖知的圖象關于y軸對稱，所以該函數(shù)為偶函數(shù).（4）將函數(shù)的圖象向左平移一個單位長度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)的圖象，如圖，由圖知的圖象既不關于y軸對稱，也不關于x軸對稱，所以該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；（5）函數(shù)，當，為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，當，為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，畫出函數(shù)的圖象，如圖，由圖知的圖象關于y軸對稱，所以該函數(shù)為偶函數(shù).例17．（2024·北京·高三專題練習）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，函數(shù)的定義域為R，且滿足，所以其為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，故A不符合題意；對于B，設，函數(shù)的定義域為R，且滿足，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，故B符合題意；對于C，函數(shù)的定義域為，不關于原點對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C不符合題意；對于D，設，函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，且滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D不符合題意.故選：B.例18．（多選題）（黑龍江省哈爾濱市第五中學校2024學年高三下學期開學檢測數(shù)學試題）設函數(shù)的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】CD【解析】因為函數(shù)的定義域都為R，所以各選項中函數(shù)的定義域也為R，關于原點對稱，因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，對于A，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故C正確；對于D，因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故D正確.故選：CD.變式8．（北京市海淀區(qū)2024屆高三二模數(shù)學試題）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A,的定義域為，定義域不關于原點對稱，所以為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤，對于B，的定義域為，定義域關于原點對稱，又，所以為奇函數(shù)，但在單調(diào)遞減，故B錯誤，對于C，的定義域為,關于原點對稱，又，故為偶函數(shù)，故C錯誤，對于D，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知為奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，故D正確，故選：D【解題總結】函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結合時，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的對稱性.題型七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)例19．（四川省成都市蓉城聯(lián)盟2024學年高三下學期第二次聯(lián)考）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______．【答案】-1【解析】定義域為R，由得：，因為，所以，故.故答案為：-1例20．（江西省部分學校2024屆高三下學期一輪復習驗收考試）若函數(shù)是偶函數(shù)，則__________．【答案】1【解析】∵為偶函數(shù)，定義域為，∴對任意的實數(shù)都有，即，∴，由題意得上式對任意的實數(shù)恒成立，∴，解得,所以故答案為：1例21．（湖南省部分學校2024屆高三下學期5月聯(lián)數(shù)學試題）已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，則______．【答案】【解析】因為是偶函數(shù)，所以，，即，解得.故答案為：.變式9．若函數(shù)為偶函數(shù)，則__________.【答案】2【解析】∵函數(shù)為偶函數(shù)∴即又∵∴故答案為：【解題總結】利用函數(shù)的奇偶性的定義轉化為，建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.題型八：已知函數(shù)的奇偶性求表達式、求值例22．（2024年高三數(shù)學押題卷五）已知函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)．若，則（

）A． B． C．0 D．【答案】C【解析】由函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，，故，即，將該式和相減可得，則，故選：C例23．（廣東省湛江市2024屆高三二模數(shù)學試題）已知奇函數(shù)則__________．【答案】【解析】當時，，，則．故答案為：.例24．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的解析式為_________．【答案】【解析】由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，則.當時，，設，則，則，所以.綜上所述，.故答案為：變式10．設函數(shù)與的定義域是，函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，所以，，因為①，則②，所以①+②得，所以．故選：A．【解題總結】抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關于的方程，從而可得的解析式.題型九：已知奇函數(shù)+M例25．（寧夏銀川一中、昆明一中2024屆高三聯(lián)合二?？荚嚁?shù)學試題）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．0 C．1 D．【答案】C【解析】因為，所以，所以.故選：C.例26．（河南省濟洛平許2024屆高三第四次質(zhì)量檢測數(shù)學試題）已知在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).若正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于為奇函數(shù)，所以，由得，由于所以，當且僅當時取等號，故的最小值為，故選：A例27．（重慶市巴蜀中學2024屆高三高考適應性月考數(shù)學試題）已知函數(shù)在區(qū)間的最大值是M，最小值是m，則的值等于(

)A．0 B．10 C． D．【答案】C【解析】令，則，∴f(x)和g(x)在上單調(diào)性相同，∴設g(x)在上有最大值，有最小值.∵，∴，∴g(x)在上為奇函數(shù)，∴，∴，∴，.故選：C.變式11．（福建省福州格致中學2024學年高三下學期期中考數(shù)學試題）已知函數(shù)，若，則（

）A．等于 B．等于 C．等于 D．無法確定【答案】C【解析】設，顯然定義域為，又，則，所以是上的奇函數(shù)；又也是上的奇函數(shù)，所以也是上的奇函數(shù)，因此，則.故選：C.【解題總結】已知奇函數(shù)+M，，則（1）（2）題型十：函數(shù)的對稱性與周期性例28．（多選題）（2024·山東煙臺·統(tǒng)考二模）定義在上的函數(shù)滿足，是偶函數(shù)，，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．的圖象關于直線對稱 D．【答案】ABD【解析】對于選項，∵是偶函數(shù)，∴，∴函數(shù)關于直線對稱，∴，∵，∴，∴是奇函數(shù)，則正確；對于選項，∵，∴，∴,∴的周期為，∴，則正確；對于選項，若的圖象關于直線對稱，則，但是，，即，這與假設條件矛盾，則選項錯誤；對于選項，將代入，得，將，代入，得，同理可知，又∵的周期為，∴正奇數(shù)項的周期為，∴，則正確.故選：ABD.例29．（多選題）（2024·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）已知定義在上的函數(shù)和的導函數(shù)分別是和，若，，且是奇函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A． B．的圖像關于點對稱C． D．【答案】ABD【解析】因為是奇函數(shù)，所以．因為，所以，所以，則正確；因為，所以，所以，因為，所以，則的圖像關于點對稱，則B正確；因為，所以，所以（為常數(shù)），所以（為常數(shù)）．因為，所以．令，得，所以，則．因為是奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以，即是周期為4的周期函數(shù)．因為，所以，所以，所以，即是周期為4的周期函數(shù)．因為，所以，，所以，，，則，，故，，即C錯誤，D正確.故選：ABD.例30．（多選題）（2024·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，的定義域均為，導函數(shù)分別為，，若，，且，則（

）A．4為函數(shù)的一個周期 B．函數(shù)的圖象關于點對稱C． D．【答案】ABC【解析】由得，由求導得，又得，所以，所以，所以，所以，所以4為函數(shù)的一個周期，A正確；，故，因此，故函數(shù)的圖象關于點對稱，B正確，在中，令由得為常數(shù)，故，由函數(shù)的圖象關于點對稱，，因此，所以由于的周期為4，所以的周期也為4，由于，所以，，所以，故C正確，由于,故D錯誤，故選:ABC變式12．（多選題）（2024·山東濱州·統(tǒng)考二模）函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足，函數(shù)的圖象關于點對稱，則（

）A．的圖象關于點對稱 B．8是的一個周期C．一定存在零點 D．【答案】ACD【解析】對于A,由于的圖象關于點對稱，所以，故，所以的圖象關于點對稱，故A正確，由得，令所以，故為偶函數(shù)，又的圖象關于點對稱，所以，又，從而，所以的圖象關于對稱，對于C,在中,令，所以，由于在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，由零點存在性定理可得在有零點，故C正確對于D,由于的圖象關于對稱以及得，又，所以，所以是周期為8的周期函數(shù)，，故D正確，對于B，，所以8不是的周期，故選：ACD【解題總結】（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.題型十一：類周期函數(shù)例31．（2024·山西長治·高三山西省長治市第二中學校?？茧A段練習）定義域為的函數(shù)滿足，，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若，則∵，∴即∵時，恒成立，∴只需.當時，最小值為（當時）；當時，最小值為（當時），∴所以只需，解得：或∴實數(shù)的取值范圍是故選：D例32．（2024·江西南昌·高三?？计谥校┮阎x在上的函數(shù)滿足，且當時，.設在上的最大值為（），且數(shù)列的前項的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知先求出，即，進一步可得，再將所求問題轉化為對于任意正整數(shù)恒成立，設，只需找到數(shù)列的最大值即可.當時，則，，所以，，顯然當時，，故，，若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，設，，令，解得，令，解得，考慮到，故有當時，單調(diào)遞增，當時，有單調(diào)遞減，故數(shù)列的最大值為，所以.故選：C.例33．（2024·全國·高三專題練習）定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，所以，因為時，，所以,因為函數(shù)滿足，所以，所以，，又因為，恒成立，故，解不等式可得或.變式13．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍為B．關于的方程有個不同的解C．對于實數(shù)，不等式恒成立D．當時，函數(shù)的圖象與軸圍成的圖形的面積為【答案】ABD【解析】∵，則在的圖象是將的圖象沿軸方向伸長為原來的3倍、沿軸方向縮短為原來的一半∴則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減∴在上的最大值為，最小值為，即在上的值域為對于A，令，即，則與有四個交點作出時的圖象，如圖1：分別與連線的斜率為結合圖象可得：實數(shù)的取值范圍為，A正確；對于B，令，則∴方程的根的個數(shù)即為與的交點個數(shù)當時，的最大值為∴與有且僅有一個交點，當時，則有：①當時，在上的最大值為，則與在內(nèi)有兩個交點∴當，與有交點②當，則在上的最大值為∴與有且僅有一個交點③當時，在上的最大值為，則與在內(nèi)沒有交點∴當，與沒有交點∴當，與的交點個數(shù)為當時，也成立∴關于的方程有個不同的解，B正確對于，因為圖象過點，令，則，C錯誤對于D，由題意可得：當時，函數(shù)的圖象與軸圍成的圖形為三角形，其底邊長為，高為∴當時，函數(shù)的圖象與軸圍成的圖形的面積為故選：ABD.【解題總結】1、類周期函數(shù)若滿足：或，則橫坐標每增加個單位，則函數(shù)值擴大倍．此函數(shù)稱為周期為的類周期函數(shù)．類周期函數(shù)圖象倍增函數(shù)圖象2、倍增函數(shù)若函數(shù)滿足或，則橫坐標每擴大倍，則函數(shù)值擴大倍．此函數(shù)稱為倍增函數(shù)．注意當時，構成一系列平行的分段函數(shù)，．題型十二：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性例34．（安徽省蚌埠市2024學年高三上學期期末數(shù)學試題）已知定義在上的函數(shù)，滿足：①；②為奇函數(shù)；③，；④任意的，，.（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.【解析】（1）依題意，.∴∴，又因為的定義域為，所以函數(shù)為偶函數(shù).（2）由④知，，∵，，，∴，∴即在上單調(diào)遞增.例35．（2024·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預測）設函數(shù)定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則下列結論錯誤的是（

）A． B．為奇函數(shù)C．在上是減函數(shù) D．方程僅有6個實數(shù)解【答案】C【解析】由題設，則關于對稱，即，，則關于對稱，即，所以，則，故，所以，即，故，所以的周期為8，，A正確；由周期性知：，故為奇函數(shù)，B正確；由題意，在與上單調(diào)性相同，而上遞增，關于對稱知：上遞增，故上遞增，所以在上是增函數(shù)，C錯誤；的根等價于與交點橫坐標，根據(jù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得：，，所以如下圖示函數(shù)圖象：函數(shù)共有6個交點，D正確.故選：C例36．（2024·湖北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對任意，且，有，若，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】已知是定義在上的偶函數(shù)，則，又對任意，且，都有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：等價為或，即或，解得或，即不等式的解集為.故選：.變式14．（四川省遂寧市2024學年高三上學期期末數(shù)學試題）定義在上的函數(shù)，對任意，滿足下列條件：①

②（1）是否存在一次函數(shù)滿足條件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，說明理由.（2）證明：為奇函數(shù)；【解析】解析：假設存在一次函數(shù)，設則，

，所以，.，故滿足條件的一次函數(shù)為：（2）定義在上的函數(shù)對任意的，

都有成立，令，則，得令，則

所以，即，于是∴為奇函數(shù).變式15．（安徽省蚌埠市2024學年高三上學期期末數(shù)學試題）已知定義在上的函數(shù)，滿足：①；②任意的，，.（1）求的值；（2）判斷并證明函數(shù)的奇偶性.【解析】（1）依題意，.（2）由（1）知，∴，即，∴，又因為的定義域為，所以函數(shù)為偶函數(shù).變式16．（多選題）（2024·遼寧沈陽·高三沈陽二中?？奸_學考試）已知函數(shù)對任意都有，若的圖象關于直線對稱，且對任意的，，且，都有，則下列結論正確的是（

）．A．是偶函數(shù) B．的周期C． D．在單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】由的圖象關于直線對稱，則，即，故是偶函數(shù)，A正確；由，令，可得，則，則的周期，B正確；，故C正確；又在遞增，則遞減，由周期，則在單調(diào)遞增，故D錯誤.故答案為：ABC【解題總結】抽象函數(shù)的模特函數(shù)通常如下：(1)若，則(正比例函數(shù))(2)若，則(指數(shù)函數(shù))(3)若，則(對數(shù)函數(shù))(4)若，則(冪函數(shù))(5)若，則(一次函數(shù))(6)對于抽象函數(shù)判斷單調(diào)性要結合題目已知條件，在所給區(qū)間內(nèi)比較大小，有時需要適當變形.題型十三：函數(shù)性質(zhì)的綜合例37．（廣西2024屆高三畢業(yè)班高考模擬測試數(shù)學試題）已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴，即，∴函數(shù)的圖象關于直線對稱，又∵函數(shù)定義域為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴由得，，解得.故選：D.例38．（北京市西城區(qū)第五十六中學2024屆高三數(shù)學一模試題）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，即函數(shù)的定義域為．因為，所以為上的偶函數(shù)，當時，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減，又都是在上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在