第81講、圓錐曲線拓展題型一（教師版）

第81講圓錐曲線拓展題型一必考題型全歸納題型一：定比點(diǎn)差法例1．已知橢圓（）的離心率為，過右焦點(diǎn)且斜率為（）的直線與相交于，兩點(diǎn)，若，求【解析】由，可設(shè)橢圓為（），設(shè)，，，由，所以，．又由（1）-（3）得，又．又．例2．已知，過點(diǎn)的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．【解析】設(shè)，，，由，所以．由由（1）-（3）得：，又，又，從而．例3．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，，，是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若，求的值．【解析】設(shè)，，，，由，得①滿足滿足②由③由（1）-（3）得：，又，同理可得．變式1．設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)【解析】記直線反向延長(zhǎng)交橢圓于，由及橢圓對(duì)稱性得，設(shè)，，．①由定比分點(diǎn)公式得．②又③由（1）-（3）得，又．變式2．已知橢圓，設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的軌跡方程．【解析】設(shè)，，由，記，即，．①，由定比分點(diǎn)得：，由定比分點(diǎn)得②又③由（1）-（3）得：，即．題型二：齊次化例4．已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：．【解析】直線由，得則由，得：，整理得：，即：．所以，則，即：．例5．如圖，橢圓，經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2．【解析】設(shè)直線則．由，得：．則，故．所以．即．例6．已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于A，B兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為，證明：直線過定點(diǎn)．【解析】設(shè)直線．．．．．．（1）由，得即：．．．．．．（2）由（1）（2）得：整理得：則，則，代入直線，得：顯然，直線過定點(diǎn)．變式3．已知橢圓，，，為上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，，求證：直線過定點(diǎn)．【解析】設(shè)直線方程為：則即，又因?yàn)榛?jiǎn)得或（舍去）．即直線為，即直線過定點(diǎn)．題型三：極點(diǎn)極線問題例7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓方程，平面上有一點(diǎn)．定義直線方程是橢圓在點(diǎn)處的極線．已知橢圓方程．(1)若在橢圓上，求橢圓在點(diǎn)處的極線方程；(2)若在橢圓上，證明：橢圓在點(diǎn)處的極線就是過點(diǎn)的切線；(3)若過點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，，割線交橢圓于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點(diǎn)．證明：，，三點(diǎn)共線．【解析】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以或．由定義可知橢圓在點(diǎn)處的極線方程為，所以橢圓在點(diǎn)處的極線方程為，即點(diǎn)處的極線方程為，即（2）因?yàn)樵跈E圓上，所以，由定義可知橢圓在點(diǎn)處的極線方程為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)極線方程為，所以處的極線就是過點(diǎn)的切線．當(dāng)時(shí)，極線方程為．聯(lián)立，得．．綜上所述，橢圓在點(diǎn)處的極線就是過點(diǎn)的切線；（3）設(shè)點(diǎn)，，，由（2）可知，過點(diǎn)的切線方程為，過點(diǎn)N的切線方程為．因?yàn)椋歼^點(diǎn)，所以有，則割線的方程為；同理可得過點(diǎn)的兩條切線的切點(diǎn)弦的方程為．又因?yàn)楦罹€過點(diǎn)，代入割線方程得．所以，，三點(diǎn)共線，都在直線上．例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點(diǎn)P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理①當(dāng)P在圓錐曲線G上時(shí)，其極線l是曲線G在點(diǎn)P處的切線；②當(dāng)P在G外時(shí)，其極線l是曲線G從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)P在G內(nèi)時(shí)，其極線l是曲線G過點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，是否存在定點(diǎn)T恒在直線MN上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線MN的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)P(4,0)，則，得，又，所以，所以，所以橢圓C的方程為.根據(jù)閱讀材料，與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線方程為，即；（2）由題意，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,)，因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，所以，聯(lián)立，得，，該方程無實(shí)數(shù)根，所以直線與橢圓C相離，即點(diǎn)Q在橢圓C外，又QM，QN都與橢圓C相切，所以點(diǎn)Q和直線MN是橢圓C的一對(duì)極點(diǎn)和極線.對(duì)于橢圓，與點(diǎn)Q(,)對(duì)應(yīng)的極線方程為，將代入，整理得，又因?yàn)槎c(diǎn)T的坐標(biāo)與的取值無關(guān)，所以，解得，所以存在定點(diǎn)T(2,1)恒在直線MN上.當(dāng)時(shí)，T是線段MN的中點(diǎn)，設(shè)，直線MN的斜率為，則，兩式相減，整理得，即，所以當(dāng)時(shí)，直線MN的方程為，即.例9．（2024秋·北京·高三中關(guān)村中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓M：（a＞b＞0）過A（－2，0），B（0，1）兩點(diǎn)．（1）求橢圓M的離心率；（2）設(shè)橢圓M的右頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點(diǎn)重合），直線AB與直線CP交于點(diǎn)Q，直線BP交x軸于點(diǎn)S，求證：直線SQ過定點(diǎn)．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，都在橢圓上，所以，．所以．所以橢圓的離心率．（2）由（1）知橢圓的方程為，．由題意知：直線的方程為．設(shè)（，），，．因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以有，，所以．所以．所以．因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即．所以．所以直線的方程為，即．又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以．所以直線的方程為．所以直線過定點(diǎn)．變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若雙曲線與橢圓共頂點(diǎn)，且它們的離心率之積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為，，直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)直線與的斜率分別為，，且．試問，直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）由已知得雙曲線的離心率為，又兩曲線離心率之積為，所以橢圓的離心率為；由題意知，所以，．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)萬程為．（2）當(dāng)直線l的斜率為零時(shí)，由對(duì)稱性可知：，不滿足，故直線l的斜率不為零．設(shè)直線l的方程為，由，得：，因?yàn)橹本€l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，所以，整理得：，設(shè)、，則，，，．因?yàn)椋?，整理得：，，將，代入整理得：要使上式恒成立，只需，此時(shí)滿足，因此，直線l恒過定點(diǎn)．變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，A，B分別為橢圓E的左，右頂點(diǎn)，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)（不在x軸上），與橢圓E的另一交點(diǎn)為C，與橢圓E的另一交點(diǎn)為D，記直線與的斜率分別為，．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）證明：直線過一個(gè)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）由條件可知：且，解得，所以橢圓的方程為；（2）因?yàn)椋O(shè)，所以，所以；（3）設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)椋裕?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以直線過定點(diǎn).題型四：蝴蝶問題例10．（2003·全國(guó)·高考真題）如圖，橢圓的長(zhǎng)軸與x軸平行，短軸在y軸上，中心為．(1)寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)直線交橢圓于兩點(diǎn)；直線交橢圓于兩點(diǎn)，．求證：；(3)對(duì)于（2）中的中的在，，，，設(shè)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求證：（證明過程不考慮或垂直于軸的情形）【解析】（1）橢圓的長(zhǎng)軸與軸平行，短軸在軸上，中心，橢圓方程為焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率（2）證明：將直線的方程代入橢圓方程，得整理得根據(jù)韋達(dá)定理，得，，所以①將直線的方程代入橢圓方程，同理可得②由①、②得所以結(jié)論成立.（3）證明：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)由、、共線，得解得由、、共線，同理可得由變形得所以即例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓（），四點(diǎn)，，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）蝴蝶定理：如圖1，為圓的一條弦，是的中點(diǎn)，過作圓的兩條弦，.若，分別與直線交于點(diǎn)，，則.該結(jié)論可推廣到橢圓.如圖2所示，假定在橢圓中，弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且兩條弦，所在直線斜率存在，證明：.【解析】（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故由題設(shè)知經(jīng)過，兩點(diǎn)，又由知，不過點(diǎn)，所以點(diǎn)在上，因此，解得，故橢圓的方程為；（2）因點(diǎn)的坐標(biāo)在軸上，且為的中點(diǎn)，所以直線平行于軸，設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓，得：，根據(jù)韋達(dá)定理得：，，①同理，設(shè)直線的方程為，代入橢圓，得：，根據(jù)韋達(dá)定理得：，，②由于、、三點(diǎn)共線，得，，同理，由于、、三點(diǎn)共線，得：，結(jié)合①和②可得：即，所以，即.例12．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（蝴蝶定理）過圓弦的中點(diǎn)M，任意作兩弦和，與交弦于P、Q，求證：.【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓方程為設(shè)直線、的方程分別為，.將它們合并為，于是過點(diǎn)C、D、E、F的曲線系方程為.令，得，即過點(diǎn)C、D、E、F的曲線系與交于點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)是方程的兩根.由韋達(dá)定理得，即是的中點(diǎn)，故.變式6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）蝴蝶定理因其美妙的構(gòu)圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數(shù)學(xué)名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來.如圖，已知圓的方程為，直線與圓交于，，直線與圓交于，.原點(diǎn)在圓內(nèi).（1）求證：.（2）設(shè)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).求證：.【解析】（1）已知圓的方程為，直線與圓交于，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，則，，所以，同理線與圓交于，，聯(lián)立化簡(jiǎn)得，則，，所以，故有，所以成立；（2）不妨設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，點(diǎn)在直線上，所以，則，同理因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，點(diǎn)在直線上，所以，則，又由，可得，，即，所以，則，所以，所以成立.變式7．（2024·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.【解析】（1）因?yàn)?，橢圓離心率為，所以，解得，.所以橢圓的方程是.（2）①若直線的斜率不存在時(shí)，如圖，因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，所以直線的方程是.所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.所以直線的方程是，直線的方程是.所以直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.所以點(diǎn)在直線上.②若直線的斜率存在時(shí)，如圖.設(shè)斜率為.所以直線的方程為.聯(lián)立方程組消去，整理得.顯然.不妨設(shè)，，所以，.所以直線的方程是.令，得.直線的方程是.令，得.所以分子..所以點(diǎn)在直線上.變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過點(diǎn)C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．【解析】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為，所以a＝2c.又因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以b＝c.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.又因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，所以＋＝1，解得c＝1.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)由橢圓的對(duì)稱性可知直線l的斜率一定存在，設(shè)其方程為y＝kx＋1.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．聯(lián)立方程組消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.所以由根與系數(shù)關(guān)系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.因?yàn)閗1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.即＝.①又因?yàn)镸(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓上，所以＝(4－)，＝(4－)．②將②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.解得k＝或k＝，又因?yàn)閗>1，所以k＝.變式9．（2021秋·廣東深圳·高二校考期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)是，過點(diǎn)F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知是橢圓C的下頂點(diǎn)，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，且M，N都在以P為圓心的圓上，求k的值；(3)過點(diǎn)作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點(diǎn)，若A，B為橢圓的左右頂點(diǎn)，記直線AR、BS的斜率分別為k1、k2，則是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）設(shè)，，直線AB的斜率顯然存在，則，因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，所以，，直線AB的斜率，A，B兩點(diǎn)在橢圓橢圓C上，所以，，兩式相減得，即，所以，整理得，①又且，②由①②可解得，，所以橢圓C的方程為.（2）由得，則，，，設(shè)M，N中點(diǎn)為，則，，因?yàn)镸，N都在以P為圓心的圓上，所以，則點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上，依題意，所以線段MN的垂直平分線方程為，M，N中點(diǎn)為在此直線上，所以有，即，解得.所以k的值為.（3）依題意有，，，設(shè)直線的方程為，由得，則，，，所以為定值.變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，，過且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，在軸上方．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記，的面積分別為，，若，求的值；(3)設(shè)線段的中點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，求的值．【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為．依題意可得，，解得，．故．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，，，．若，則，即有，①設(shè)直線的方程為，與橢圓方程，可得，則，，②將①代入②可得，解得，則；（3）由（2